全国高考数学直线与圆的方程试题汇编
全国高考数学试题汇编——直线与圆的方程
一、选择题：
1．（全国Ⅱ卷文科3）原点到直线052=-+y x 的距离为
（ D ）
A ．1
B ．3
C ．2
D ．5
2．（福建文科2）“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的 （ C ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3．（四川理科4文科6）将直线3y x =绕原点逆时针旋转90?，再向右平移1个单位，所得到的直线 为
（ A ）
A ．1133
y x =-
+ B ．1
13
y x =-
+ C ．33y x =-
D ．1
13
y x =
+ 解析：本题有新意，审题是关键．旋转90?则与原直线垂直，故旋转后斜率为13
-．再右移1得
1
(1)3
y x =--．
选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．
4．（全国I 卷理科10）若直线
1x y
a b
+=通过点(cos sin )M αα，
，则 （ B ）
A ．2
2
1a b +≤
B ．22
1a b +≥ C ．22111a b
+≤
D ．
2
211
1a b +≥ 5．（重庆理科7）若过两点P 2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP u u u u r
所成
的
比λ的值为
（ A ）
A ．－
13
B ．－
15 C ．15 D ．13 （重庆文科4）若点P 分有向线段AB u u u r 所成的比为－1
3
，则点B 分有向线段PA u u u r 所成的比是
（ A ）
A ．－
32
B ．－
12
C ．
12
D ．3
6．（安徽理科8文科10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线2
2
(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率
的取值范围为 （ C ）
A ．[
B ．(
C ．[
D ．( 7．（辽宁文、理科3）圆2
2
1x y +=与直线2y kx =+没有．．
公共点的充要条件是 （ C ）
A ．(2,2)k ∈-
B ．(,
2)(2,)k ∈-∞-?+∞ C ．(3,3)k ∈-
D ．(,3)(3,)k ∈-∞-?+∞
8．（陕西文、理科5）直线30x y m -+=与圆22
220x y x +--=相切，则实数m 等于
（ C ） A ．3或3-
B ．3-或33
C ．33-或3
D ．33-或33
9．（安徽文科11）若A 为不等式组 0,
0,2x y y x ??
??-?
≤≥≤ 表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1
时，
动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为
（ C ）
A ．
34
B ．1
C ．
74
D ．2
10．（湖北文科
5）在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组,
1
x y x ???
阴影表
示为下列图中的
（ C ）
11．（辽宁文科9）已知变量x 、y 满足约束条件10,310,10,y x y x y x +-??
--??-+?
≤≤≥则z ＝2x+y 的最大值为（ B ）
A ．4
B ．2
C ．1
D ．－4
12．（北京理科5）若实数x ,y 满足1000x y x y x -+??
+???
≥≥≤，则z =3x +y 的最小值是 （ B ）
A ．0
B ．1
C ．3
D ．9
（北京文科6）若实数x ，y 满足1000x y x y x -+??
+???
≥≥≤，则z =x +2y 的最小值是
（ A ）
A ．0
B ．
2
1 C ．1 D ．
2 13．（福建理科8）若实数x 、y 满足???x －y+1≤0x >0
，则y
x 的取值范围是
（ C ） A ．(0，1) B ．(0，1] C ．(1，+∞)
D ．[1，+∞)
（福建文科10）若实数x 、y 满足20,0,2,
x y x x -+??
>???
≤≤则y x 的取值范围是
（ D ）
A ．（0，2）
B ．（0，2）
C ．(2,+∞)
D ．[2，+∞)
14．（天津理科2文科3）设变量y x ,满足约束条件0
121x y x y x y -??
+??+?
≥≤≥，则目标函数y x z +=5的最大
值为
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
（ D ）
15．（广东理科4）若变量x 、y 满足240
25000
x y x y x y +??+?
????≤≤≥≥，则32z x y =+的最大值是（ C ）
A ．90
B ．80
C ．70
D ．40
16．（湖南理科3）已知变量x 、y 满足条件1,
0,290,x x y x y ??
-??+-?
≥≤≤则x+y 的最大值是（ C ）
A ．2
B ．5
C ．6
D ．8 （湖南文科3）已知变量x 、y 满足条件120x y x y ??
??-?
≥≤≤，，，则x +y 是最小值是
（ C ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
17．（全国Ⅱ卷理科5文科6）设变量x ，y 满足约束条件：,22,2y x x y x ??
+??-?
≥≤≥则y x z 3-=的最小值
为（ D ）
A ．－2
B .－4
C . －6
D .－8
18．（陕西理科10）已知实数x y ，满足121y y x x y m ??
-??+?
≥≤≤，，．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，
则实
数m 等于
（ B ）
A ．7
B ．5
C ．4
D ．3
19．（浙江文科10）若0,0a b ≥≥，且当0,
0,1x y x y ??
??+?
≥≥≤时，恒有1ax by +≤，则以a ,b 为坐标点
(,)P a b 所形成的平面区域的面积等于
（ C ）
A ．
12
B ．
4
π C ．1 D ．
2
π 山东理科12）设二元一次不等式组219080,2140x y x y x y +-??
-+??+-?
≥≥≤，所表示的平面区域为M ，使函数
y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是
（ C ） A ．[1,3]
B ．[2,10]
C ．[2,9]
D ．[10,9]
21．（山东文科11）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该
圆的标准方程是
（ B ）
A ．2
27(3)13x y ?
?-+-= ??
?
B ．22
(2)(1)1x y -+-=
C ．2
2
(1)(3)1x y -+-=
D ．2
23(1)12x y ?
?-+-= ??
?
22．（重庆文科3）曲线C :cos 1.
sin 1
x y θθ=-??
=+?(θ为参数)的普通方程为
（ C ）
A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝1
B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1
C ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝1
D ．(x －1)2＋(y －1)2＝1
23．（北京理科7）过直线y ＝x 上的一点作圆2
2
(5)(1)2x y -+-=的两条切线l 1，l 2，当直线
l 1，l 2关
于y ＝x 对称时，它们之间的夹角为
（ C ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
24．（广东文科6）经过圆2
2
20x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ C ）
A ．x ＋y ＋1＝0
B ．x ＋y －1＝0
C ．x －y ＋1＝0
D ．x －y －1＝0
25．（湖北理科9）过点A （11，2）作圆2
2
241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有
A ．16条
B ．17条
C ．32条
D ．34条
（ C ）
26．（山东理科11）已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为
AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 （ B ）
A ．106
B ．
C ．306
D ．406
27．（重庆理科3）圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是 （ B ）
A ．相离
B ．相交
C ．外切
D ．内切
28．（上海理科15）如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个
与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的 四等分点，若点P (x ,y )、P ’(x ’,y ’)满足x ≤x ’ 且y ≥y ’， 则称P 优于P ’，如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其 它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧
（ D ） A ．AB ︵
B ．B
C ︵
C ．C
D ︵
D ．DA ︵
二、填空题
29．（广东文科12）若变量x 、y 满足24025000
x y x y x y +??+?
????≤≤≥≥，则32z x y =+的最大值是 ．
答案：70
30．（全国I 卷理科
13）若x y ，满足约束条件03003x y x y x ?+?
-+???
，
，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值
为 ．
答案：9
31．（山东文科
16）设x y ，满足约束条件20510000x y x y x y ?-+?
--?????
，
，
，，≥≤≥≥则2z x y =+的最大值
为 ．
答案：11
32．（安徽理科15）若A 为不等式组002x y y x ??
??-?
≤≥≤表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1
时，动
直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为 ． 答案：
74
33.（浙江理科17）若a ≥0,b ≥0,且当0,0,1x y x y ??
??+?
≥≥≤时，恒有ax ＋by ≤1，则以a 、b 为坐标的
点P （a ，b ）所形成的平面区域的面积等于_________. 答案：1
34．（福建理科14）若直线3x +4y +m =0与圆???x =1+cos θ
y =－2+sin θ
（θ为参数）没有公共点，则实数m
的取值
范围是 ．
答案：(,0)(10,)-∞?+∞
（福建文科14）若直线3x+4y +m =0与圆x 2+y 2-2x +4y +4=0没有公共点，则实数m 的取值
范围
是 ．
答案：(,0)(10,)-∞?+∞
35．（山东文科13）已知圆2
2
:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的
一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．
答案：22
1412
x y -=
36．（江苏9）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设△ABC 的顶点分别为
(0)(0)(0)A a B b C c ，，，，，，
点(0)P p ，是线段OA 上一点（异于端点），a b c p ，，，均为
非零实数．直线BP 、CP 分别交AC 、AB 于点E ，F ．一同学已
正确地求出直线OE 的方程为11110x y b c p a ??
??-+-= ?
??
???，请你 完成直线OF 的方程：（ ▲ ）110x y p a ??
+-= ???
． 答案：
11
c b
- 37．（广东理科11）经过圆2
2
20x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=
垂直的直线方程是________________．
【解析】易知点C 为(1,0)-，而直线与0x y +=垂直，我们设待求的直线的方程为y x b =+，
将点C 的
坐标代入马上就能求出参数b 的值为1b =，故待求的直线的方程为10x y -
+=．
38．（重庆理科15）直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为（0，1），
则直线l 的方程为 ． 答案：x －y ＋1＝0
（重庆文科15）已知圆C ：2
2230x
y x ay +++-=（a 为实数）上任意一点关于直线l ：
x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a = ． 答案：－2
39．（天津理科13）已知圆C 的圆心与抛物线x y 42
=的焦点关于直线x y =对称.直线
0234=--y x
与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ,则圆C 的方程为 .． 答案：22(1)10x y +-=
40．（天津文科15）已知圆C 的圆心与点(21)P -，关于直线1y x =+对称．直线
34110x y +-=与
圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为 ． 答案：22(1)18x y ++=
41．（湖南文科14）将圆x 2+y 2=1沿x 轴正向平移1个单位后得到圆C ，则圆C 的方程是 ；
若过点(3，0)的直线l 和圆C 相切，则直线l 的斜率是 ．
答案：(x －1)2+y 2＝133
42．（四川文、理科14）已知直线:40l x y -+=与圆2
2
:(1)(1)2C x y -+-=，则C 上各点到l 距离
的最小值为 ．
解析：由数想形，所求最小值＝圆心到到直线的距离－圆的半径．圆心(1,1)到直线60x y -+=的距离
d =
三、解答题 43．（宁夏海南文科第
已知,m ∈R 直线m y m mx l 4)1(:2
=+-和圆01648:2
2
=++-+y x y x C . （Ⅰ）求直线l 斜率的取值范围；
（Ⅱ）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为2
1
的两段圆弧？为什么？ 解：（Ⅰ）22
,0()1
m
k km m k m =
∴-+=*+Q ， ,m ∈R Q ∴当k ≠0时0?≥，解得11
22
k -≤≤且k ≠0
又当k ＝0时，m ＝0，方程()*有解，所以，综上所述11
22
k -≤≤
（Ⅱ）假设直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为2
1
的两段圆弧．设直线l 与圆C 交于A ，B 两点
则∠ACB ＝1∵圆22:(4)(2)4C x y -++=，∴圆心C （4，-2）到l 的距离为1．
1=，整理得423530m m ++=．
∵254330?=-??<，∴423530m m ++=无实数解． 因此直线l 不可能将圆C 分割成弧长的比值为2
1
的两段圆弧．
44．（江苏18）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2
()2f x x x b =++（x ∈R ）与两坐标轴有三
个交点．记过三个交点的圆为圆C ． （Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；
（Ⅲ）圆C 是否经过定点（与b 的取值无关）？证明你的结论． 解：（Ⅰ）令x =0，得抛物线于y 轴的交点是（0，b ）
令f (x )=0，得x 2+2x +b =0，由题意b ≠0且△>0，解得b <1且b ≠0 （Ⅱ）设所求圆的一般方程为x 2+ y 2+D x +E y +F=0
令y =0，得x 2+D x +F=0，这与x 2+2x +b =0是同一个方程，故D=2，F=b 令x =0，得y 2+ E y +b =0，此方程有一个根为b ，代入得E=-b -1 所以圆C 的方程为x 2+ y 2+2x -(b +1）y +b =0 （Ⅲ）圆C 必过定点（0，1），（-2，1）
证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边= 02+ 12+2×0-(b +1）×1+b =0，右边=0 所以圆C 必过定点（0，1）； 同理可证圆C 必过定点（-2，1）．
全国高考数学直线与圆的方程试题汇编
全国高考数学直线与圆的方程试题汇编 一、选择题： 1．（全国Ⅱ卷文科3）原点到直线052=-+y x 的距离为 （ D ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．5 2．（福建文科2）“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的 （ C ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．（四川理科4文科6）将直线3y x =绕原点逆时针旋转90?，再向右平移1个单位，所得到的直线 为 （ A ） A ．1133 y x =- + B ．1 13 y x =- + C ．33y x =- D ．1 13 y x = + 解析：本题有新意，审题是关键．旋转90?则与原直线垂直，故旋转后斜率为13 -．再右移1得 1 (1)3 y x =--． 选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换． 4．（全国I 卷理科10）若直线 1x y a b +=通过点(cos sin )M αα，，则 （ B ） A ．2 2 1a b +≤ B ．22 1a b +≥ C ．22111a b +≤ D ． 2 211 1a b +≥ 5．（重庆理科7）若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的 比λ的值为 （ A ） A ．－ 13 B ．－ 15 C ． 15 D ． 13 （重庆文科4）若点P 分有向线段AB 所成的比为－ 1 3，则点B 分有向线段PA 所成的比是（ A ） A ．－ 32 B ．－ 12 C ．12 D ．3 6．（安徽理科8文科10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线2 2 (2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率 的取值范畴为 （ C ） A ．[ B ．( C ．[ D ．( 7．（辽宁文、理科3）圆2 2 1x y +=与直线2y kx =+没有．． 公共点的充要条件是 （ C ）
高三总复习直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程 一、直线的方程 1、倾斜角： ，围0≤α＜π， x l //轴或与x 轴重合时，α=00 。 2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0?κ=0 已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜ 02 >?k π P 2（x 2,y 2） α= κπ ?2 不存在 ?k= 1 212x x y y -- 022
二、两直线的位置关系 （说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑） 2、L 1 到L 2的角为0，则1 21 21tan k k k k ?+-= θ（121-≠k k ） 3、夹角：1 21 21tan k k k k +-= θ 4、点到直线距离：2 2 00B A c By Ax d +++= （已知点（p 0(x 0,y 0)，L ：AX+BY+C=0） ①两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0?2 221B A c c d +-= ②与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C ±022 =+B A d ③与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是 02 2 1=++ +C C BY AX 5、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称)2,2(1010Y Y X X P --'
直线与圆知识点及经典例题
圆的方程、直线和圆的位置关系 【知识要点】 一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 (一)圆的标准方程这个方程叫做圆的标准方程。 说明： 1 、若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。 2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了 圆，所以，只要三个量确定了且〉0,圆的方程就给定了。 就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决。 (二)圆的一般方程 将圆的标准方程, 展开可得。可见,任何一个圆的方程都可以写成: 问题：形如的方程的曲线是不是圆 将方程左边配方得： (1)当〉0时，方程(1 )与标准方程比较，方程表示以为圆心,以为半径的圆。, (3)当v 0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。 圆的一般方程的定义： 当〉0时，方程称为圆的一般方程? 圆的一般方程的特点： ( 1 )和的系数相同,不等于零； ( 2)没有xy 这样的二次项。 (三)直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类 ( 1 )相离--- 求距离；(2) 相切--- 求切线；( 3)相交--- 求焦点弦长。 2、直线与圆的位置关系判断方法： 几何方法主要步骤： ( 1)把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径 ( 2)利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 (3)作判断：当d>r时，直线与圆相离；当 d = r时，直线与圆相切；当d
最新直线与方程和圆与方程-知识点总结
第三章 直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此，倾斜角的取值范围是0180α?≤
数学高考知识点之 直线与圆的方程
数学高考知识点之 直线和圆的方程 考试内容： 直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式． 两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离． 用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题． 曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程． 圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程． 考试要求： （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程． §07. 直线和圆的方程 知识要点 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤. 注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是： 1=+b y a x . 注：若232-- =x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是232--=x y ，但若)0(23 2≥--=x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行： 1l ∥212k k l =?两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. （一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =?，
直线和圆的方程知识点总结讲课稿
直线和圆的方程知识 点总结
一、直线方程. 1. 直线的倾斜角 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 3. ⑴两条直线平行： 1l 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=?l . ⑵两条直线垂直： 两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=?⊥k k l l 4. 直线的交角： 5. 过两直线? ??=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内） 6. 点到直线的距离： ⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200B A C By Ax d +++= . 注： 1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=. 2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段1212 PP PP PP λλ=u u u r u u u r 所成的比为即,其中P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).则 λλλλ++=++=1,121 21y y y x x x 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。 3. 直线的倾斜角（0°≤α＜180°）、斜率:αtan =k 4. 过两点1212222111),(),,(x x y y k y x P y x P --=的直线的斜率公式：. 12()x x ≠
高考数学复习直线与圆的位置关系
7.6 直线与圆的位置关系 ●知识梳理 直线和圆 1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系. ①Δ＞0，直线和圆相交. ②Δ=0，直线和圆相切. ③Δ＜0，直线和圆相离. 方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d 和半径R 的大小加以比较. ①d ＜R ，直线和圆相交. ②d =R ，直线和圆相切. ③d ＞R ，直线和圆相离. 2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况. 3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题. ●点击双基 1.设m >0，则直线2（x +y ）+1+m =0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为 A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切 解析：圆心到直线的距离为d = 2 1m +，圆半径为m . ∵d －r =21m +－m =21（m －2m +1）=2 1（m －1）2≥0， ∴直线与圆的位置关系是相切或相离. 答案：C 2.圆x 2＋y 2－4x +4y +6=0截直线x －y －5=0所得的弦长等于 A.6 B.2 25 C.1 D.5 解析：圆心到直线的距离为 22，半径为2，弦长为222)22()2(-=6. 答案：A 3.圆x 2+y 2－4x =0在点P （1，3）处的切线方程为 A.x +3y －2=0 B.x +3y －4=0 C.x －3y +4=0 D.x －3y +2=0 解法一： x 2+y 2－4x =0
圆方程知识点总结典型例题
圆与方程 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系： (1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d ＞r (2). 给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? （ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? （3）涉及最值： ① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦（此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .
(1) 当042 2 >-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2 E D C ，半径2 422F E D r -+= . (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??-- 2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时，方程不表示任何图形. 注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且 0422φAF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离2 2 B A C Bb Aa d +++= 1）无交点直线与圆相离??>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切??=r d ； 3）有两个交点直线与圆相交?? 第1讲直线与圆(小题) 热点一直线的方程及应用 1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.求直线方程 要注意几种直线方程的局限性.点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线. 3.两个距离公式 (1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝ |C 1－C 2|A 2 ＋B 2 (A 2＋B 2≠0). (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2 (A 2 ＋B 2≠0). 例1 (1)(2019·宝鸡模拟)若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( ) A.1 B.－2 C.1或－2 D.－32 答案 A 解析 ①当m ＝－1时，两直线分别为x －2＝0和x －2y －4＝0，此时两直线相交，不合题意. ②当m ≠－1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得??? －11＋m ＝－m 2， 2 1＋m ≠－2 解得m ＝1. 综上可得m ＝1. (2)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( ) A.x ＋(2－1)y －2＝0 B.(1－2)x －y ＋2＝0 C.x －(2＋1)y ＋2＝0 D.(2－1)x －y ＋2＝0 答案 C 解析 如图所示可知A (2，0)， B (1,1)， C (0，2)， D (－1,1)， 直线与圆及其方程高考真题分类解析（文科全国卷）一、高考考点梳理 （一）、直线的倾斜角与斜率 1.直线的倾斜角 ①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线L，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线L重合所成的角，叫作直线L的倾斜角，当直线L和x轴平行时，它的倾斜角为0. ②范围：直线倾斜角的取值范围是[0，π)． 2.直线的斜率 ①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率。斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是90°的直线斜率不存在． ②过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为：k＝y 2 －y1 x 2 －x1 . (二) 、直线方程的五种形式 (三) 、两条直线的平行与垂直 1．两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2， 则有l1∥l2?k1＝k2. 特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2也平行. 2．两条直线垂直：如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1. 特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率 不存在时，两条直线也垂直. (四) 、两条直线的交点坐标 1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组???A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0 的解一一对应. (1).相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； (2).平行?方程组无解； (3).重合?方程组有无数个解. (五) 、距离公式 1. 两点间的距离公式 平面上任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离公式为|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 2．点到直线的距离公式： 平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C | A 2＋ B 2 . 3．两条平行直线间的距离公式 :一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离 。 (六) 、线段的中点坐标公式 若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )， 则? ????x ＝x 1 ＋x 2 2，y ＝y 1 ＋y 2 2， (七) 、圆的定义和圆的方程 圆的方程，直线、圆的位置关系 一·圆的方程 1. 圆的标准方程： 求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P 例2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.圆的一般方程：02 2=++++F Ey Dx y x 22 40D E F +->表示圆，圆心C （,22D E -- 2240D E F +-=表示点（,22 D E --） 2240D E F +-<不表示任何图形 二·直线、圆的位置关系 1. 点与圆的位置关系： 点00(,)M x y 与圆的关系的判断方法： （1）圆方程为标准式222 ()()x a y b r -+-= 222()()x a y b r -+->?点在圆外 222()()x a y b r -+-=?点在圆上 222()()x a y b r -+-?点在圆外 022=++++F Ey Dx y x ?点在圆上 220x y Dx Ey F ++++?直线l 与圆C 相离?直线l 与圆C 无交点 r d =?直线l 与圆C 相切?直线l 与圆C 有一交点 r d V ?直线l 与圆C 相交?直线l 与圆C 有两交点 3. 圆与圆的位置关系： 圆与圆的位置关系判断方法 求出圆心距12C C ，两圆的半径12,r r 1212C C r r >+?圆1C 与圆2C 相离?有4条公切线 1212C C r r =+?圆1C 与圆2C 外切?有3条公切线 121212||r r C C r r -<<+?圆1C 与圆2C 相交?有2条公切线 1212||C C r r =-?圆1C 与圆2C 内切?有1条公切线 1212||C C r r <-?圆1C 与圆2C 内含?有0条公切线 补充：直径圆方程： (x-x 1)(x -x 2)-(y -y 1)(y -y 2)=0 圆系方程： 设圆C 1 : x 2+y 2+D 1x+E 1 y+F 1=0, C 2 : x 2+y 2+D 2x+E 2 y+F 2=0,则方 程C : x 2+y 2+D 1x+E 1 y+F 1 + m(x 2+y 2+D 2x+E 2 y+F 2)=0表示过两圆C 1、C 2的交点的圆系方程(m 不为-1，且不含圆C 2). 其中一圆可以退化成直线。 圆的参数方程： ()222cos 0sin x r x y r r y r θθ =?+=>??=?，θ为参数 ()()()222cos 0sin x a r x a y b r r y b r θθ=+?-+-=>??=+?，θ为参数 高考真题第十一篇直线和圆的方程 2019年 1.（2019北京理3）已知直线l 的参数方程为 （t 为参数），则点（1，0） 到直线l 的距离是 （A ） （B ） （C ） （D ） 2.（2019江苏10）在平面直角坐标系中，P 是曲线上的一个动点， 则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 . 3（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长； （2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离． 4．（2019浙江12）已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆 相切于点，则=_____，=______. 2010-2018年 x =1+3t y =2+4t ìí?15254565 xOy 4 (0)y x x x =+ >C (0,)m r 230x y -+=C (2,1)A --m r 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅲ)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆 22(2)2x y -+=上，则ABP ?面积的取值范围是 A ．[2,6] B ．[4,8] C ． D ． 2．(2018天津)已知圆22 20x y x +-=的圆心为C ， 直线1, 232 ? =-+??? ?=-?? x y (t 为参数)与该圆相 交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 ． 3．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离， 当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ， 且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A B C D ．1 3 5．（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为 A ．3 B ． C D ．2 6．（2015山东）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆2 2 (3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为 高中数学之直线与圆的方程 一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程： ①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接 带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可 全国高考数学试题汇编——直线与圆的方程 一、选择题： 1．（全国Ⅱ卷文科3）原点到直线052=-+y x 的距离为 （ D ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．5 2．（福建文科2）“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的 （ C ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．（四川理科4文科6）将直线3y x =绕原点逆时针旋转90?，再向右平移1个单位，所得到的直线 为 （ A ） A ．1133 y x =- + B ．1 13 y x =- + C ．33y x =- D ．1 13 y x = + 解析：本题有新意，审题是关键．旋转90?则与原直线垂直，故旋转后斜率为13 -．再右移1得 1 (1)3 y x =--． 选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换． 4．（全国I 卷理科10）若直线 1x y a b +=通过点(cos sin )M αα， ，则 （ B ） A ．2 2 1a b +≤ B ．22 1a b +≥ C ．22111a b +≤ D ． 2 211 1a b +≥ 5．（重庆理科7）若过两点P 2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP u u u u r 所成 的 比λ的值为 （ A ） A ．－ 13 B ．－ 15 C ．15 D ．13 （重庆文科4）若点P 分有向线段AB u u u r 所成的比为－1 3 ，则点B 分有向线段PA u u u r 所成的比是 （ A ） A ．－ 32 B ．－ 12 C ． 12 D ．3 6．（安徽理科8文科10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线2 2 (2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率 的取值范围为 （ C ） A ．[ B ．( C ．[ D ．( 7．（辽宁文、理科3）圆2 2 1x y +=与直线2y kx =+没有．． 公共点的充要条件是 （ C ） 直线和圆的方程 ●考点阐释 解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科．在建立坐标系后，平面上的点与有序实数对之间建立起对应关系，从而使平面上某些曲线与某些方程之间建立对应关系；使平面图形的某些性质（形状、位置、大小）可以用相应的数、式表示出来；使平面上某些几何问题可以转化为相应的代数问题来研究． 学习解析几何，要特别重视以下几方面： （1）熟练掌握图形、图形性质与方程、数式的相互转化和利用； （2）与代数、三角、平面几何密切联系和灵活运用． ●试题类编 一、选择题 1.（2003北京春文12，理10）已知直线ax +by +c =0（abc ≠0）与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形（ ） A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不存在 2.（2003北京春理，12）在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为x =0，y =0，2x +3y =30，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ） A.95 B.91 C.88 D.75 3.（2002京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ） A.x －y =0 B.x +y =0 C.|x |－y =0 D.|x |－|y |=0 4.（2002京皖春理，8）圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ,θ≠ 2 ＋k π， k ∈Z ）的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定的 5.（2002全国文）若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为（ ） A.1，－1 B.2，－2 C.1 D.－1 高中数学圆与方程知识点分析 1. 圆的方程：（1）标准方程：2 22()()x a y b r -+-=（圆心为A(a,b),半径为r ） （2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ） 圆心（-2D ，-2 E ）半径 F E D 421 22-+ 2. 点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离d 与r 在大小关系判断 3. 直线与圆的位置关系判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。 d=r 为相切，d>r 为相交，d 圆与方程高考真题精选 2009年考题 1.（2009辽宁）已知圆C 与直线x －y=0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x+y=0上， 则圆C 的方程为（ ） （A ）2 2 (1)(1)2x y ++-= (B) 2 2 (1)(1)2x y -++= (C) 2 2 (1)(1)2x y -+-= (D) 2 2 (1)(1)2x y +++= 【解析】选B.圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可. 2.（2009浙江）已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【解析】选B.由于3，4，5构成直角三角形S ，故其内切圆半径为r=345 12 +-=,当该圆运动时，最多与直角三角形S 的两边也有4个交点。 3.（2009上海）.过圆22 (1)(1)1C x y -+-=： 的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于 点A 、B ，AOB ?被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足|||,S S S S I ∏+=+￥ 则直线AB 有（ ） （A ） 0条 （B ） 1条 （C ） 2条 （D ） 3条 【解析】选B.由已知，得：,IV II III I S S S S -=-，第II ，IV 部分的面积是定值，所以，IV II S S -为定值，即,III I S S -为定值，当直线AB 绕着圆心C 移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB 只有一条，故选B 。 4.（2009湖南）已知圆1C ：2 (1)x ++2 (1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ） （A ）2 (2)x ++2 (2)y -=1 （B ）2 (2)x -+2 (2)y +=1 （C ）2 (2)x ++2 (2)y +=1 （D ）2 (2)x -+2 (2)y -=1 【解析】选B.设圆2C 的圆心为（a ，b ），则依题意，有11 1022111a b b a -+?--=???-?=-?+? ， 解得：2 2 a b =??=-?，对称圆的半径不变，为1，故选B. 5.（2009陕西高考）过原点且倾斜角为60?的直线被圆22 40x y y +-=所截得的弦长为 （A ）3 （B ）2 （C ）6 （D ）23 【解析】选D.过原点且倾斜角为60°的直线方程为 22 22 30,243021,R 24123 31 x y x y d d -=+-=?-= =-=-=+圆（）的圆心（0，2）到直线的距离为 因此弦长为2 高中数学必修2 第四章圆与方程知识点两圆的位置关系. 设两圆的连心线长为I，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: 4.1.1圆的标准方程 2 2 2 1、圆的标准方程：(x a) (y b) r 圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程 2 2 2 2、点M(x),y0)与圆(x a) (y b) r的关系的判断方法: (1) 当 J I r1r2时，圆C1与圆C2相离；(2)当1r1r2时，圆C1与圆C2外切； (3) 当 i 1A r ： 2I I r1r2时，圆C1与圆C2相交； (4) 当i 1 Iq r21时，圆C1与圆C2内切；(5)当1| r, r2| 时，圆C1与圆C2内含; 4.2.3直线与圆的方程的应用 1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关 系; 2 (1)(X。a) (y°b)2>r2，点在圆外 2 2 2 (2)(X。a) (y o b) =r2，点在圆上 2 (3)(X。a) (y o b)22020高考数学(理)二轮专题复习讲义《五 第1讲 直线与圆(小题)》
直线与圆及其方程高考真题分类解析
圆的方程-直线与圆的位置关系--知识点
高考真题第十一篇直线和圆的方程
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直线和圆的方程十年高考题(含答案)
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圆与方程高考历年真题
第四章圆与方程知识点归纳