函数与零点练习题
2023届新高考数学复习：专项(分段函数零点问题 )经典题提分练习(附答案)
2023届新高考数学复习：专项（分段函数零点问题）经典题提分练习一、单选题1．（2023ꞏ天津南开ꞏ高三南开中学校考期末）已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x m =+有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[)1,0-B ．[)1,-+∞C ．(),0∞-D ．(],1-∞2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知0m >，函数(2)ln(1),1,()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪=⎨⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3．（2023ꞏ陕西西安ꞏ高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩， 若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 的零点个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．54．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x = ()22122,2212,sin x a x ax a x a x a π⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[0,)+∞内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知定义在R 上的函数()11,0,1,0,1x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨<⎪-⎩若函数()()11g x f x ax =--+恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(){}1,10,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．(){}1,10,14⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()1,10,4⎡⎫-∞-⎪⎢⎣⎭D ．(){}14,10,14⎡⎫--⎪⎢⎣⎭6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()1,0ln ,0x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩，则函数()()22g x f f x ⎡+⎤⎣⎦=+的零点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．（2023ꞏ四川绵阳ꞏ四川省绵阳南山中学校考一模）已知0a >，函数()=f x 22,43,x x a x ax x a -+≤⎧⎨-+>⎩，若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是（ ） A．[)2,⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭B ．()[)0,12,+∞C．[)7,2,28⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭D．7,228⎛⎫⎡⎤⋃ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭ 8．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()2ln ,0,1,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()()=-g x f x k 有三个零点，则（ ） A ．e 1k -<≤ B ．11e k -<< C ．e 0k -<< D ．10e k -<<9．（2023ꞏ广东广州ꞏ高三广州市真光中学校考期末）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()[)[)12log (1),0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ）A ．21a -B ．12a -C ．21a --D ．12a --10．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()222,12()=log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪⎨⎪->⎩，则函数()()3()22F x f f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7二、多选题11．（2023ꞏ河南郑州ꞏ高三郑州市第七中学校考期末）已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ）A ．当0k >时，有3个零点B ．当0k <时，有2个零点C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点12．（2023ꞏ河南濮阳ꞏ高三濮阳一高校考期中）已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =-恰有2个零点，则b 的值可以是（ ）A ．1B ．74C ．2D ．313．（2023ꞏ江西ꞏ高三校联考阶段练习）已知函数()221,0,2,0,x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩则以下判断正确的是（ ）A ．若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是()0,1B ．函数()f x 在(),0∞-上单调递增C ．直线1y =与函数()y f x =的图象有两个公共点D ．函数()f x 的图象与直线2y x =+有且只有一个公共点14．（2023ꞏ广东佛山ꞏ高三佛山市三水区实验中学校考阶段练习）已知()121,02|log ,0x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩，令()()g x f x a =-，则下列结论正确的有（ ）A ．若()g x 有1个零点，则0a =B ．()0f x >恒成立C ．若()g x 有3个零点，则102a <<D ．若()g x 有4个零点，则112a ≤< 15．（2023ꞏ黑龙江绥化ꞏ高三校考阶段练习）已知函数()31,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若()(())1g x f f x =+，则下说法正确的是（ ）A ．当0a >时，()g x 有4个零点B ．当0a >时，()g x 有5个零点C ．当a<0时，()g x 有1个零点D ．当a<0时，()g x 有2个零点16．（2023ꞏ广东深圳ꞏ高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）对于函数sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列结论中正确的是（ ）A ．任取12,[1,)x x ∈+∞，都有123()()2f x f x -≤ B ．11511222222k f f f k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中N k ∈；C ．()2(2)()k f x f x k k N *=+∈对一切[0,)x ∈+∞恒成立；D ．函数()ln(1)y f x x =--有3个零点；17．（2023ꞏ全国ꞏ模拟预测）已知函数lg ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数()[2()]g x f f x a =+有7个零点，则实数a 的可能取值是（ ）A ．0B ．14-C ．13-D ．15-18．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数f (x )＝4,22021()(3),2x m x x m x m x ⎧-<⎨--⎩…恰有两个零点，则正整数m 的取值可能为（ ）A ．1B ．2C ．15D ．16三、填空题19．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）知函数()3223,015,1x x m x f x mx x ⎧++≤≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为_____________.20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数24,()1,x x x af x e x a ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()[()]g x f f x =在R 上有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是______________．21．（2023ꞏ上海黄浦ꞏ高三上海市向明中学校考开学考试）已知函数()f x 满足,1(1)ln(1),1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩，函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则实数a 的取值范围为____________．22．（2023ꞏ黑龙江哈尔滨ꞏ高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知函数()f x 定义城为(]0,12，恒有()()44f x f x +=，(]0,4x ∈时()222x f x -=-；若函数()()()2g x f x t f x =+⋅有4个零点，则t 的取值范围为______．23．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x 2e 1,0,0x x ax x a x ⎧-≥=⎨++<⎩，恰有2个零点，则=a __________．24．（2023ꞏ北京ꞏ高三专题练习）已知函数ln ,0()e 1,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩，且函数()()g x f x m =-恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是___________.25．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设函数()()3221014680x x f x x x g x x x x x ⎧+>⎪=-+=⎨⎪---≤⎩，，，，，则函数()()()1h x f g x =-的零点为________．26．（2023春ꞏ上海浦东新ꞏ高三上海市川沙中学校考期中）已知函数()y f x =的定义域是[0,)+∞，满足2201()4513,?2834x x f x x x x x x ≤<⎧⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎩且(4)()f x f x a +=+，若存在实数k ，使函数()()g x f x k =+在区间[0,2021]上恰好有2021个零点，则实数a 的取值范围为____27．（2023ꞏ浙江ꞏ高三专题练习）若函数()()()2210,10k x f x x x kx x ⎧-<⎪=⎨⎪-->⎩恰有4个零点，则实数k 的取值范围是______．28．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若348,122()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩ 则()()6g x xf x =-在*1,2,n n N ⎡⎤∈⎣⎦内的所有零点之和为：__________．29．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数1,0()42,0xx x x f x x --⎧+>=⎨-≤⎩，若函数(32)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________30．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数32,0()461,0x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数2()3[()]2()g x f x f x m =--有5个零点时m 的范围_____________.参考答案一、单选题1．（2023ꞏ天津南开ꞏ高三南开中学校考期末）已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x m =+有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[)1,0- B ．[)1,-+∞ C ．(),0∞- D ．(],1-∞【答案】A【答案解析】()()0()g x f x m f x m =+=⇔=-Q()g x ∴存在两个零点，等价于y m =-与()f x 的图象有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图象：由图可知，保证两函数图象有两个交点，满足01m <-≤，解得：[)1,0m ∈- 故选：A.2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知0m >，函数(2)ln(1),1,()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪=⎨⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】A【答案解析】设()(2)ln(1)g x x x =-+，()cos 34h x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，求导()23ln(1)ln(1)111x g x x x x x -'=++=++-++ 由反比例函数及对数函数性质知()g x '在(]1,,0m m ->上单调递增，且102g ⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()10g '>，故()g x '在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内必有唯一零点0x ，当()01,x x ∈-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(]0,x x m ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；令()0g x =，解得0x =或2，可作出函数()g x 的图像， 令()0h x =，即3,42x k k Z πππ+=+∈，在(]0,π之间解得12x π=或512π或34π， 作出图像如下图数形结合可得：π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ ，故选：A3．（2023ꞏ陕西西安ꞏ高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩， 若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 的零点个数为（ ） A ．1B ．3C ．4D ．5【答案】D【答案解析】当0x >时，0x -<，()3f x x -=当0x <时，0x ->，()e xf x --=()()()3e ,00,0e 3,0x x x x g x f x f x x x x -⎧->⎪∴=--==⎨⎪+<⎩，()()()()g x f x f x g x -=--=-，且定义域为R ，关于原点对称，故()g x 为奇函数，所以我们求出0x >时零点个数即可，(0,)3e x g x x x =->，()3e 0x g x '=->，令()3e 0x g x '=->，解得0ln3x <<，故()g x 在()0,ln 3上单调递增，在(ln3,)+∞单调递减，且(ln 3)3ln 330g =->，而()226e 0g =-<，故()g x 在(ln 3,2)有1零点，1311e 03g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()g x 在1(,ln 3)3上有1零点，图像大致如图所示：故()g x 在()0,∞+上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在(),0∞-上也有2个零点，且()00g =，故()g x 共5个零点， 故选：D.4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x = ()22122,2212,sin x a x a x a x a x a π⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[0,)+∞内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【答案解析】当0a ≤时，对任意的0x ≥，()()22212f x x a x a =-+++在[)0,∞+上至多2个零点，不合乎题意，所以，0a >.函数()22212y x a x a =-+++的对称轴为直线12x a =+，()()22214247a a a ∆=+-+=-. 所以，函数()f x 在1,2a a ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且()2f a a =-.①当470a ∆=-<时，即当704a <<时，则函数()f x 在[),a +∞上无零点， 所以，函数()12sin 22f x x a π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在[)0,a 上有5个零点，当0x a ≤<时，111222a x a -≤-+<，则()11222a x a πππ⎛⎫-≤-+< ⎪⎝⎭，由题意可得()5124a πππ-<-≤-，解得532a ≤<，此时a 不存在；②当Δ0=时，即当74a =时，函数()f x 在7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上只有一个零点， 当70,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()2cos 2f x x π=-，则7022x ππ≤<，则函数()f x 在70,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭上只有3个零点，此时，函数()f x 在[)0,∞+上的零点个数为4，不合乎题意；③当()20Δ470f a a a ⎧=-≥⎨=->⎩时，即当724a <≤时，函数()f x 在[),a +∞上有2个零点，则函数()12sin 22f x x a π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在[)0,a 上有3个零点，则()3122a πππ-<-≤-，解得322a ≤<，此时724a <<； ④当()20Δ470f a a a ⎧=-<⎨=->⎩时，即当2a >时，函数()f x 在[),a +∞上有1个零点，则函数()12sin 22f x x a π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在[)0,a 上有4个零点，则()4123a πππ-<-≤-，解得522a ≤<，此时，522a <<.综上所述，实数a 的取值范围是75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知定义在R 上的函数()11,0,1,0,1x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨<⎪-⎩若函数()()11g x f x ax =--+恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(){}1,10,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．(){}1,10,14⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()1,10,4⎡⎫-∞-⎪⎢⎣⎭D ．(){}14,10,14⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】B【答案解析】()()11,111,1x x x f x x x ⎧--≤⎪-=⎨->⎪⎩，故()()1,11111,1x x x f x x x ⎧-≤⎪-+=⎨-+>⎪⎩，则函数()()11g x f x ax =--+恰有2个零点等价于()11f x ax -+=有两个不同的解， 故()11,y f x y ax =-+=的图象有两个不同的交点，设()()()()1,01111,011,1x x x g x f x x x x x x ⎧⎪-≤≤⎪=-+=--<⎨⎪⎪-+>⎩又(),y g x y ax ==的图象如图所示，由图象可得两个函数的图象均过原点，若0a =，此时两个函数的图象有两个不同的交点， 当0a ≠时，考虑直线y ax =与()()201g x x x x =-≤≤的图象相切，则由2ax x x =-可得()2100a ∆=--=即1a =， 考虑直线y ax =与()11(1)g x x x=-+≥的图象相切，由11ax x =-+可得210ax x -+=，则140a ∆=-=即14a =.考虑直线y ax =与()2(0)g x x x x =-≤的图象相切，由2ax x x =-可得()2100a ∆=+-=即1a =-， 结合图象可得当114a <<或1a <-时，两个函数的图象有两个不同的交点， 综上，114a <<或1a <-或0a =， 故选：B.6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()1,0ln ,0x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩，则函数()()22g x f f x ⎡+⎤⎣⎦=+的零点个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【答案解析】令()2t f x =+，当1x <-时，1()(,2)f x x x =+∈-∞-且递增，此时(,0)t ∈-∞，当10x -<<时，1()(,2)f x x x=+∈-∞-且递减，此时(,0)t ∈-∞，当210e <<x 时，()ln (,2)f x x =∈-∞-且递增，此时(,0)t ∈-∞， 当21e x >时，()ln (2,)f x x =∈-+∞且递增，此时(0,)t ∈+∞， 所以，()g x 的零点等价于()f t 与=2y -交点横坐标t 对应的x 值，如下图示：由图知：()f t 与=2y -有两个交点，横坐标11t =-、201t <<： 当11t =-，即()3f x =-时，在(),1x ∈-∞-、(1,0)-、21(0,)e上各有一个解；当201t <<，即2()1f x -<<-时，在21,e x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭有一个解.综上，()g x 的零点共有4个. 故选：B7．（2023ꞏ四川绵阳ꞏ四川省绵阳南山中学校考一模）已知0a >，函数()=f x 22,43,x x ax ax x a -+≤⎧⎨-+>⎩，若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是（ ）A．[)2,⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭B ．()[)0,12,+∞C．[)72,8⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭D．7,28⎫⎡⎤⋃⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭ 【答案】A【答案解析】①若2x =是一个零点，则需要2()43()f x x ax x a =-+> 只有一个零点， 即有2a ≥，且此时当x a >时，需要2430()x ax x a -+=>只 有一个实根， 而221612162120a ∆=-≥⨯-> ，解方程根得2x a =±，易得2a 2a <<<2a 即当2a ≥ 时， ()f x 恰有 2个零点，122,2x x a ==. ②若2x =不是函数的零点，则2x a =为函数的 2 个零点，于是22Δ161202a a a a ⎧<⎪=->⎨⎪<⎩ ，解得：1.2a << 综上:[)2,2a ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：A.8．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()2ln ,0,1,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()()=-g x f x k 有三个零点，则（ ） A ．e 1k -<≤ B ．11e k -<< C ．e 0k -<< D ．10e k -<<【答案】D【答案解析】要使函数()f x k =有三个解，则()y f x =与y k =有三个交点，当0x >时，()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，可得()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，∴0x >时，()ln f x x x =有最小值11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且10e x <<时，ln 0x x <；当0x +→时，()0f x →；当x →+∞时，()f x →+∞； 当0x ≤时，2()1f x x =-+单调递增；∴()f x 图象如下，要使函数()g x 有三个零点，则10ek -<<，故选：D ．9．（2023ꞏ广东广州ꞏ高三广州市真光中学校考期末）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()[)[)12log (1),0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ）A ．21a -B ．12a -C ．21a --D ．12a --【答案】B【答案解析】由题设，画出[0,)+∞上()f x 的大致图象，又()f x 为奇函数，可得()f x 的图象如下：()F x 的零点，即为方程()0f x a -=的根，即()f x 图像与直线y a =的交点.由图象知：()f x 与y a =有5个交点：若从左到右交点横坐标分别为12344,,,,x x x x x ， 1、12,x x 关于3x =-对称，126x x +=-；2、30x <且满足方程()()()333f x a f x a f x a =⇒-=-⇒-=-即()132log 1x a -+=，解得：312a x =-；3、45,x x 关于3x =轴对称，则456x x +=；1234512∴++++=-a x x x x x 故选：B10．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()222,12()=log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪⎨⎪->⎩，则函数()()3()22F x f f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数是 （ ） A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【答案解析】令(),()0t f x F x ==，则3()202f t t --=， 作出()y f x =的图象和直线32+2y x =，由图象可得有两个交点，设横坐标为12,t t ，∴120,(1,2)t t =∈.当1()f x t =时，有2x =，即有一解；当2()f x t =时，有三个解， ∴综上，()0F x =共有4个解，即有4个零点. 故选：A 二、多选题11．（2023ꞏ河南郑州ꞏ高三郑州市第七中学校考期末）已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ）A ．当0k >时，有3个零点B ．当0k <时，有2个零点C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点【答案】CD【答案解析】令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解， 由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解， 即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．12．（2023ꞏ河南濮阳ꞏ高三濮阳一高校考期中）已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =-恰有2个零点，则b 的值可以是（ ） A ．1B ．74C ．2D ．3【答案】BD【答案解析】∵()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，∴()222,02,0x x f x x x ⎧--≥-=⎨<⎩ ， ∵函数()()y f x g x =-恰好有两个零点，∴方程()()0f x g x -=有两个解，即()(2)0f x f x b +--=有两个解， 即函数()(2)y f x f x =+-与y b =的图象有两个交点，()()222,022,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧++<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩ ，作函数()(2)y f x f x =+-与y b =的图象如下， 当12x =-和52x =，即115572222224f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，结合图象可知，当724b <≤时，有不止两个交点， 当2b >或74b =时，满足函数()(2)y f x f x =+-与y b =的图象有两个交点， 当74b <时，无交点， 综上，2b >或74b =时满足题意，故选：BD.13．（2023ꞏ江西ꞏ高三校联考阶段练习）已知函数()221,0,2,0,x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩则以下判断正确的是（ ）A ．若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是()0,1B ．函数()f x 在(),0∞-上单调递增C ．直线1y =与函数()y f x =的图象有两个公共点D ．函数()f x 的图象与直线2y x =+有且只有一个公共点【答案解析】当0,x ≤()22211y x x x =--=++-，故()221,02,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩的图像如图所示，对AC ，函数()()g x f x m =-有3个零点，相当于()y f x =与y m =有3个交点，故m 的取值范围是()0,1，直线1y =与函数()y f x =的图象有两个公共点，AC 对； 对B ，函数()f x 在(),0∞-上先增后减，B 错；对D ，如图所示，联立222y x y x x =+⎧⎨=--⎩可得解得20x y =-⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，由图右侧一定有一个交点，故函数()f x 的图象与直线2y x =+不止一个公共点，D 错.14．（2023ꞏ广东佛山ꞏ高三佛山市三水区实验中学校考阶段练习）已知()121,02|log ,0x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩，令()()g x f x a =-，则下列结论正确的有（ ）A ．若()g x 有1个零点，则0a =B ．()0f x >恒成立C ．若()g x 有3个零点，则102a <<D ．若()g x 有4个零点，则112a ≤< 【答案】AD【答案解析】()121,02|log ,0x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩，作出()f x 的图象，如图所示：因为()()g x f x a =-，所以()g x 的零点个数即为函数()y f x =与y a =的图象的交点的个数，对于A ：若()g x 有1个零点，则函数()y f x =与y a =的图象仅有一个公共点，由图象得0a =，故A 正确；对于B ：由图象得()0f x ≥恒成立，故B 错误；对于C ：若()g x 有3个零点，则函数()y f x =与y a =的图象有三个公共点，由图象得1a =或者102a <<，故C 错误；对于D ：若()g x 有4个零点，则函数()y f x =与y a =的图象有四个公共点，由图象得112a ≤<，故D 正确. 故选：AD ．15．（2023ꞏ黑龙江绥化ꞏ高三校考阶段练习）已知函数()31,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若()(())1g x f f x =+，则下说法正确的是（ ）A ．当0a >时，()g x 有4个零点B ．当0a >时，()g x 有5个零点C ．当a<0时，()g x 有1个零点D ．当a<0时，()g x 有2个零点【答案】AC【答案解析】当0a >时，令()f x t =，由()10f t +=，解得13t =或3t =或2t a=-. 作出函数()f x 的图象，如图1所示，易得()f x t =有4个不同的实数解， 即当0a >时，()g x 有4个零点.故A 正确，B 错误； 当a<0时，令()f x t =，所以()10f t +=，解得13t =或3t =或2t a=-（舍） 作出函数()f x 的图象，如图2所示，易得()f x t =有1个实数解， 即当a<0时，()g x 有1个零点.故C 正确，D 错误. 故选：AC.16．（2023ꞏ广东深圳ꞏ高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）对于函数sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列结论中正确的是（ ）A ．任取12,[1,)x x ∈+∞，都有123()()2f x f x -≤B ．11511222222k f f f k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中N k ∈；C ．()2(2)()k f x f x k k N *=+∈对一切[0,)x ∈+∞恒成立；D ．函数()ln(1)y f x x =--有3个零点；【答案】ACD【答案解析】作出函数sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩的图象如图所示.所以max min ()1,()1f x f x ==-.对于A ：任取12,[1,)x x ∈+∞，都有()12max min 13()()()()122f x f x f x f x -≤-=--=.故A 正确； 对于B ：因为151111,,222222kf f f k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以111?121511*********k k f f f k +⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭++++==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- .故B 错误； 对于C ：由1()(2)2f x f x =-，得到1(2)()2kf x k f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()2(2)k f x f x k =+.故C 正确；对于D ：函数()ln(1)y f x x =--的定义域为()1,+∞.作出()y f x =和ln(1)y x =-的图象如图所示：当2x =时,sin2ln10y π=-=;当12x <<时,函数()y f x =与函数()ln 1y x =-的图象有一个交点;当2x >时,因为2111s 49422in 41f f π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,971ln 1ln 1224⎪->⎛⎫ ⎝>=⎭，所以函数()y f x =与函数()ln 1y x =-的图象有一个交点,所以函数()ln(1)y f x x =--有3个零点.故D 正确.故选：ACD17．（2023ꞏ全国ꞏ模拟预测）已知函数lg ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数()[2()]g x f f x a =+有7个零点，则实数a 的可能取值是（ ） A ．0B ．14-C ．13-D ．15-【答案】BD【答案解析】在0x ≤上()f x 单调递增且值域为(,1]-∞； 在01x <≤上()f x 单调递减且值域为[0,)+∞； 在1x >上()f x 单调递增且值域为(0,)+∞； 故()f x 的图象如下：由题设，()[2()]g x f f x a =+有7个零点，即[2()]f f x a =-有7个不同解，当0a -<时有2()1f x <-，即1()2f x <-，此时()g x 有1个零点；当0a -=时有2()1f x =±，即1()2f x =±，∴1()2f x =-有1个零点，1()2f x =有3个零点，此时()g x 共有4个零点；当0lg 2a <-≤时有12()lg 21f x -<≤-或12()12f x ≤<或12()2f x <≤， ∴1lg 21()022f x --<≤<有1个零点，11()42f x ≤<有3个零点，1(1)2f x <≤有3个零点，此时()g x 共有7个零点；当lg 21a <-≤时有lg 212()0f x -<≤或102()2f x <<或22()10f x <≤， ∴lg 21()02f x -<≤有1个零点，10()4f x <<有3个零点，1()5f x <≤有2个零点，此时()g x 共有6个零点；当1a ->时有102()10f x <<或2()10f x >， ∴10()20f x <<有3个零点，()5f x >有2个零点，此时()g x 共有5个零点； 综上，要使()g x 有7个零点时，则lg 20a -≤<，(lg 20.30103≈) 故选：BD18．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数f (x )＝4,22021()(3),2x m x x m x m x ⎧-<⎨--⎩…恰有两个零点，则正整数m 的取值可能为（ ）A ．1B ．2C ．15D ．16【答案】AD【答案解析】函数f (x )的零点即为方程f (x )＝0的解．当m ＝1时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣1＝0，解得：x ＝0； 当x ≥2时，2021（x ﹣1）（x ﹣3）＝0，解得：x ＝1或3，只取x ＝3． ∴函数有两个零点0或3．∴A 对；当m ＝2时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣2＝0，解得：x ＝12； 当x ≥2时，2021（x ﹣2）（x ﹣6）＝0，解得：x ＝2或6． ∴函数有三个零点12或2或6．∴B 错；当m ＝15时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣15＝0，解得：x ＝log 415＜2； 当x ≥2时，2021（x ﹣15）（x ﹣45）＝0，解得：x ＝15或45． ∴函数有三个零点log 415或15或45．∴C 错；当m ＝16时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣16＝0，解得：x ＝2不成立； 当x ≥2时，2021（x ﹣16）（x ﹣48）＝0，解得：x ＝16或48． ∴函数有两个零点16或48．∴D 对； 故选：AD ．三、填空题19．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）知函数()3223,015,1x x m x f x mx x ⎧++≤≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为_____________. 【答案】50m -<<【答案解析】由答案解析式知：在[0,1]上()f x 为增函数且()[,5]f x m m ∈+， 在(1,)+∞上，0m ≠时()f x 为单调函数，0m =时()5f x =无零点， 故要使()f x 有两个不同的零点，即1x =两侧各有一个零点，所以在(1,)+∞上()f x 必递减且()(,5)f x m ∈-∞+，则050m m <⎧⎨+>⎩，可得50m -<<.故答案为：50m -<<20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数24,()1,x x x af x e x a ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()[()]g x f f x =在R 上有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是______________．【答案】)⎡⎡⎣⎣【答案解析】令()t f x =，则()()g x f t =，由于函数()[()]g x f f x =在R 上有三个不同的零点，所以()()0g x f t ==必有两解，所以20a -≤<或2a ≥.当20a -≤<时，()f x 的图像如下图所示，由图可知，()y f t =必有两个零点122,0t t =-=，由于()2f x t =有两个解，所以()1f x t =有一个解，即242a -≤-，解得0a ≤<.当2a ≥时，()f x 的大致图像如下图所示，()y f t =必有两个零点342,2t t =-=，由于()3f x t =有两个解，所以()4f x t =有一个解，所以242a -<，解得2a ≤<综上所述，实数a 的取值范围是)⎡⎡⎣⎣ .故答案为：)⎡⎡⎣⎣21．（2023ꞏ上海黄浦ꞏ高三上海市向明中学校考开学考试）已知函数()f x 满足,1(1)ln(1),1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩，函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则实数a 的取值范围为____________．【答案】1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案解析】因为函数()f x 满足,1(1)ln(1),1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩，所以,0()ln ,0ax x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，-,0()ln(-),0ax x f x x x ≥⎧-=⎨<⎩， 因为函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点， 所以函数()y f x =与()y f x =-恰有5个交点，如图，因为y ax =-与y ax =交于原点，要恰有5个交点，,0y ax x =->与ln y x =必有2个交点， 设,0y ax x =->与ln y x =相切，切点为(,)m n ， 此时切线斜率为1100n y x m m -'===-，解得1,ln 1n m ==， 解得e m =，所以切点为(e,1)，所以e 1a -=，解得1a e =-，所以要使函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则1(,0)ea ∈-.故答案为：1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.22．（2023ꞏ黑龙江哈尔滨ꞏ高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知函数()f x 定义城为(]0,12，恒有()()44f x f x +=，(]0,4x ∈时()222x f x -=-；若函数()()()2g x f x t f x =+⋅有4个零点，则t 的取值范围为______． 【答案】[]32,28--【答案解析】设(]4,8x ∈，则(]40,4x -∈，则[]6()(4)44(4)422x f x f x f x -=-+=-=-，设(]8,12x ∈，则(]80,4x -∈，则[][]()(4)44(4)4(8)4f x f x f x f x =-+=-=-+1016(8)1622x f x -=-=-，则(](](]2610220,4()4224,816228,12x x x x f x x x ---⎧-∈⎪⎪=-∈⎨⎪-∈⎪⎩，，，，则(3)(7)(11)0f f f ===，函数()f x 图象如下：由2()()()0g x f x t f x =+⋅=，可得()0f x =，或()f x t =-， 由()0f x =，可得3x =，或7x =，或11x =，则()f x t =-仅有一根，又(8)f =810162228--=，(12)f =1210162232--=， 则2832t ≤-≤，解之得3228t -≤≤-， 故答案为：3228t -≤≤-.23．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x 2e 1,0,0x x ax x a x ⎧-≥=⎨++<⎩，恰有2个零点，则=a __________．【答案】12【答案解析】当0x ≥时，令()e 10xf x =-=，解得0x =，故()f x 在[)0+∞，上恰有1个零点，即方程20ax x a ++=有1个负根.当0a =时，解得0x =，显然不满足题意；当0a ≠时，因为方程20ax x a ++=有1个负根，所以2Δ140.a =-≥ 当2Δ140a =-=，即12a =±时，其中当12a =时，211022x x ++=，解得=1x -，符合题意；当12a =-时，211022x x -+-=，解得1x =，不符合题意； 当2140a ∆=->时，设方程20ax x a ++=有2个根1x ，2x ，因为1210x x =>，所以1x ，2x 同号， 即方程20ax x a ++=有2个负根或2个正根，不符合题意．综上，12a =．故答案为：0.5.24．（2023ꞏ北京ꞏ高三专题练习）已知函数ln ,0()e 1,0xx x f x x >⎧=⎨+≤⎩，且函数()()g x f x m =-恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是___________. 【答案】12m <≤【答案解析】由()0g x =得()f x m =，即函数()g x 的零点是直线y m =与函数()y f x =图象交点横坐标， 当0x ≤时，()e 1x f x =+是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当0x >时，()ln f x x =是增函数，函数值为一切实数，在坐标平面内作出函数()y f x =的图象，如图，观察图象知，当12m <≤时，直线y m =与函数()y f x =图象有2个交点，即函数()g x 有2个零点， 所以实数m 的取值范围是：12m <≤. 故答案为：12m <≤25．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设函数()()3221014680x x f x x x g x x x x x ⎧+>⎪=-+=⎨⎪---≤⎩，，，，，则函数()()()1h x f g x =-的零点为________．【答案】14322---，，， 【答案解析】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()1f g x =的解． 令()t g x =，则原方程的解变为方程组()()1t g x f t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解．由方程②可得320t t -=， 解得0t =或1t =，将0t =代入方程①，而方程104x x+=无解， 由方程2680x x ---=解得4x =-或2x =-；将1t =代入方程①，而方程114x x +=，解得12x =， 由方程2681x x ---=，解得3x =-．综上，函数()h x 的零点为14322---，，，，共四个零点． 故答案为：14322---，，，. 26．（2023春ꞏ上海浦东新ꞏ高三上海市川沙中学校考期中）已知函数()y f x =的定义域是[0,)+∞，满足2201()4513,?2834x x f x x x x x x ≤<⎧⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎩且(4)()f x f x a +=+，若存在实数k ，使函数()()g x f x k =+在区间[0,2021]上恰好有2021个零点，则实数a 的取值范围为____ 【答案】11(,)505504-【答案解析】由函数在[0,4)x ∈上的答案解析式作出如图所示图像，由(4)()f x f x a +=+知，函数()f x 是以4为周期，且每个周期上下平移|a |个单位的一个函数，若使[0,2021]x ∈时，存在R k ∈，方程()()g x f x k =+在[0,2021]x ∈上恰有2021个零点，等价于()f x k =-在[0,2021]x ∈上恰有2021个交点，如图所示，知在每个周期都有4个交点，即(1,2)k -∈时满足条件，且必须每个周期内均应使k -处在极大值和极小值之间，才能保证恰有2021个交点， 则当0a ≥时，需使最后一个完整周期[2016,2020)中的极小值(2018)2f <， 即(2018)(2)50415042f f a a =+=+<，解得1504a <，即1[0,504a ∈ 当a<0时，需使最后一个极大值(2021)1f >， 即(2021)(1)50525051f f a a =+=+>，解得1505a >-，即1(,0)505a ∈-， 综上所述，11(,505504a ∈-故答案为：11,505504⎛⎫- ⎪⎝⎭27．（2023ꞏ浙江ꞏ高三专题练习）若函数()()()2210,10k x f x x x kx x ⎧-<⎪=⎨⎪-->⎩恰有4个零点，则实数k 的取值范围是______．【答案】10,4⎛⎫⎪⎝⎭【答案解析】当0x <时，令()0f x =可得：21k x =， 当0x >时，令()0f x =可得：21x k x-=，令()()()221010x x g x x x x ⎧<⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩， 若01x <<，()21x g x x -+=， ()320x g x x -'=<，()g x 为减函数， 若1x ≥，()21x g x x -=， ()320x g x x -+'==，2x =， 若[)1,2x ∈，()0g x '<，()g x 为减函数， 若()2,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 为增函数，()124g = 画出()g x 的图像，如下图：如要()f x 有4个零点，则104k <<， 故答案为：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 28．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若348,122()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩则()()6g x xf x =-在*1,2,n n N ⎡⎤∈⎣⎦内的所有零点之和为：__________． 【答案】3(21)2n - 【答案解析】当312x ≤≤时，f （x ）＝8x ﹣8， 所以()218()82g x x =--，此时当32x =时，g （x ）max ＝0； 当322x ≤＜时，f （x ）＝16﹣8x ，所以g （x ）＝﹣8（x ﹣1）2+2＜0； 由此可得1≤x ≤2时，g （x ）max ＝0．下面考虑2n ﹣1≤x ≤2n 且n ≥2时，g （x ）的最大值的情况． 当2n ﹣1≤x ≤3•2n ﹣2时，由函数f （x ）的定义知()11112222n n x x f x f f --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为13122n x-≤≤， 所以()22251(2)82n n g x x --=--， 此时当x ＝3•2n ﹣2时，g （x ）max ＝0；当3•2n ﹣2≤x ≤2n 时，同理可知，()12251(2)802n n g x x --=--+＜．由此可得2n ﹣1≤x ≤2n 且n ≥2时，g （x ）max ＝0． 综上可得：对于一切的n ∈N *，函数g （x ）在区间[2n ﹣1，2n ]上有1个零点， 从而g （x ）在区间[1，2n ]上有n 个零点，且这些零点为232n n x -=⋅，因此，所有这些零点的和为()3212n -． 故答案为()3212n -． 29．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数1,0()42,0x x x x f x x --⎧+>=⎨-≤⎩，若函数(32)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________【答案】23a <≤.【答案解析】函数()f x 当0x >时是对勾函数，因为112x x x x -+=+≥=，当且仅当10x x x ⎧=⎪⎨⎪>⎩即1x =时，取最小值．所以函数最小值为2，且在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数．当0x ≤时，2x y -= 是减函数，且21x -≥，所以2x y -=-为增函数，且21x --≤-，所以函数()42x f x -=-为增函数，且()3f x ≤，函数图像如图所示．令32t x =-，函数(32)y f x a =--恰有三个不同的零点，可以看成函数()y f t a =-恰有三个不同的零点，函数()f t 的图像与直线y a =有三个交点．由图像可知23a <≤．30．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数32,0()461,0x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数2()3[()]2()g x f x f x m =--有5个零点时m 的范围_____________.【答案】01m ≤<【答案解析】当0x ≥时,2'()121212(1)f x x x x x =-=-，在区间()0,1上，()()'0,f x f x <单调递减，在区间()1,+∞上，()()'0,f x f x >单调递增，故函数在1x =处取得极小值()11f =-，据此绘制函数()f x 的图像如图所示，结合函数图像和题意可知原问题等价于函数232y x x =-与函数y m =有两个交点，且交点的横坐标的范围分别位于区间(]1,0-和区间()0,1内，观察二次函数的图像可得m 的范围是01m ≤<.。
函数零点问题-学会解题之高三数学多题一解【原卷版】
函数零点问题【高考地位】函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查.类型一 零点或零点存在区间的确定万能模板 内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0； 第二步 若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可.例1 函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【变式演练1】（2023·全国·高三专题练习）在下列区间中，函数()23xf x x =--的零点所在的区间为（ ）A ．)(01，B ．()12，C ．()23，D ．()34，【变式演练2】（2022·江苏·金沙中学高一阶段练习）函数sin sin()13y x x π=-+-在区间(0,2)π上的零点所在的区间为（ ）A ．(0,)2πB ．(,)2ππC ．3(,)2ππ D ．3(,2)2ππ 【变式演练3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数()226xf x x =+-的零点为0x ，不等式06x x ->的最小整数解为k ，则k ＝（ ） A ．8B ．7C ．5D ．6类型二 零点的个数的确定方法1：定义法万能模板 内 容使用场景一般函数类型解题模板 第一步 判断函数的单调性；第二步 根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其 零点；第三步 得出结论.例2.函数x e x f x3)(+=的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【变式演练4】（2022·重庆·三模）已知函数()21,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，则函数()()12g x f x =-的零点个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【变式演练5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数|2|1()2x f x -=，()g x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)(2)g x g x +=-，当[0,2]x ∈时，2()log (1)g x x =+．则当[0,2022]x ∈时，方程()()f x g x =实根的个数为_______．【变式演练6】（2022·北京·高三开学考试）已知函数()x af x a x a+=--，给出下列四个结论： ①存在a ，使得函数()f x 可能没有零点； ②存在a ，使得函数()f x 恰好有1个零点； ③存在a ，使得函数()f x 恰好有2个零点； ④存在a ，使得函数()f x 恰好有3个零点. 其中所有正确结论的序号是______.方法2：数形结合法万能模板 内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 函数()g x 有零点问题转化为方程()()f x m x =有根的问题； 第二步 在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像；第三步 观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数第四步 由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出结论.例3. 方程3()|log |3x x =的解的个数是 （ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【变式演练7】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()πcos 2f x x =，则函数()y f x x =-的零点个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【变式演练8】（2022·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）（多选）已知函数()31,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若()()()1g x f f x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．当0a >时，()g x 有4个零点 B ．当0a >时，()g x 有5个零点 C ．当0a <时，()g x 有1个零点D ．当0a <时，()g x 有2个零点【变式演练9】（2022·湖南师大附中三模）（已知）已知函数()[)[)1,0,1,21,1,2,3x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪-⎩对定义域内任意x ，都有()(2)f x f x =-，若函数()()=-g x f x k 在[0，+∞）上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k 的可能取值为（ ） A ．0B ．1C 2D 21【高考再现】1．【2021年北京市高考数学试题】已知函数，给出下列四个结论： ①若，则有两个零点； ①，使得有一个零点； ①，使得有三个零点； ①，使得有三个零点． 以上正确结论得序号是_______．2.【2021年天津高考数学试题】设，函数，若在区间()lg 2f x x kx =--0k =()f x 0k ∃<()f x 0k ∃<()f x 0k ∃>()f x a ∈R 22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ-<⎧=⎨-+++≥⎩()f x (0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．3.【2020年高考天津卷9】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞4.【2020年高考上海卷11】已知a R ∈，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件，①对任意0x R ∈，0()f x 的值为0x 或02x ；②关于x 的方程()f x a =无实数解；则a 的取值范围为 ．5. 【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34}6.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）】已知λ①R ，函数f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________①7.【2017江苏】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 .8.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷）】已知a >0，函数f(x)={x 2+2ax +a, x ≤0,−x 2+2ax −2a,x >0.若关于x 的方程f(x)=ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【反馈练习】1．函数的图象与函数的图象交点横坐标所在的区间可能为（ ）95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭()()=x f x e ()2ln g x x =-A ．B ．C ．D ．【来源】重庆市南开中学2022届高三上学期7月考试数学试题2．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知直线l 与曲线ln (01)y x x =<<相切于点00(,)M x y ，若OM l ⊥，则0x 所在的取值区间是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭3．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数()()2ln 16f x x x =++-，则下列区间中含()f x 零点的是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,44．（2023·全国·高三专题练习）已知()=ln f x x ，()e x g x =，若()()f s g t =，则当s t -取得最小值时，()g t 所在区间是（ ） A ．11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()ln 2,1D ．1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭5．（2023·全国·高三专题练习）正实数,,a b c 满足422,33,log 4ab a bc c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（ ） A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c d <<D ．b c a <<6．（2022·江西·南昌二中高三开学考试（理））已知a 是()323652f x x x x =--+-的一个零点，b 是()e 1x g x x =++的一个零点，132log 5c =，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<或c b a <<7．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x x x =+-，则函数()()21g x xf x x=-的零点个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．68．（2022·甘肃·兰州市第五十五中学高三开学考试（文））定义域在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，12log (1),01()13,1x x f x x x +≤<⎧⎪=⎨⎪--≥⎩，则关于x 的函数()()12g x f x =-的所有零点的和是（ ）A 21B ．122C ．122-D ．129．（2022·河南·高三开学考试（文））已知定义域为R 的偶函数()f x 的图像是连续不间断的曲线，且()0,1()1,2()2,3()3,4(2)()(1)f x f x f ++=，对任意的1x ，20[]2,x -∈，12x x ≠，()()12120f x f x x x ->-恒成立，则()f x 在区间[]100,100-上的零点个数为（ ） A ．100B ．102C ．200D ．20210．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()33f x x x =-，则函数()()h x f f x c =-⎡⎤⎣⎦，[]2,2c ∈-的零点个数（ ） A ．5或6个B ．3或9个C ．9或10个D ．5或9个11．（2023·全国·高三专题练习）若()f x 为奇函数，且0x 是()2e x y f x =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（ ）A ．()e 2x y f x -=--B ．()e 2x y f x =+C ．()e 2x y f x =-D ．()e 2x y f x =-+12．（2022·陕西·西安铁一中滨河高级中学高三阶段练习（理））函数()222,0,23,0lnx x x x f x x x x ⎧-+>=⎨--≤⎩的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．313．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数()2,1,121,11,,1,1xx x f x x x x x x ⎧<-⎪+⎪=--≤≤⎨⎪⎪>-⎩方程()()()()2220f x a f x a a R -++=∈的不等实根个数不可能是（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个14．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数e x y x =+的零点为1x ，ln y x x =+的零点为2x ，则（ ） A ．120x x +>B ．120x x <C ．12ln 0xe x +=D ．12121x x x x -+<15．（2022·福建·上杭一中高三阶段练习）（多选）已知函数()1,0ln ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数判断正确的是（ ） A ．当0k <时，有1个零点； B ．当0k >时，有4个零点； C ．无论k 取何值，均有2个零点；D ．无论k 取何值，均有4个零点；16．（2022·全国·高二专题练习）设定义域为(0,)+∞的单调函数()f x ，对任意的,()0x ∈+∞，都有[]3()log 4f f x x -=，若0x 是方程()2()3f x f x '-=的一个解，且*0,(1),N x a a a ∈+∈，则实数a =_____． 17．（2022·重庆·高三阶段练习）函数||21()2x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数是______．18．（2021·福建·福州市第十中学高三开学考试）已知函数24,1()lg 1,1x x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则((9))f f -=__________，()f x 的零点个数为__________个．19．已知函数有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是_________. 【来源】河北省衡水市饶阳中学2021届高三5月数学精编试题20．【陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试文科】已知函数2,0()12,02x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-+->⎪⎩. （1）求斜率为12的曲线()y f x =的切线方程； （2）设()()f x g x m x=-，若()g x 有2个零点，求m 的取值范围.()()112 ()1421x x f x k -=-+-。
(必修第一册)函数的零点与方程的解(同步练习)(含解析)
4.5.1函数的零点与方程的解一、单选题1．以下函数在区间（0，12）上必有零点的是（ ） A ．y ＝12xB ．y ＝143x -C ．y ＝ln （x +45）D ．y ＝2x +12．若曲线224,43,x x ay x x x a ⎧->=⎨-+≤⎩与x 轴有且只有2个交点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a ≤≤B ．3a ≥C ．12a ≤≤或3a ≥D ．12a ≤<或3a ≥3．函数lg ,010()16,102x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若f （a ）＝f （b ）＝f （c ）且a ，b ，c 互不相等，则abc 的取值范围是（ ）A ．（1，10）B ．（10，12）C ．（5，6）D ．（20，24）4．设f (x )＝0.8x －1，g (x )＝ln x ，则函数h (x )＝f (x )－g (x )存在的零点一定位于下列哪个区间（ ） A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，e )D ．(e ，3)5．定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x >时，()20212021log xf x x =+，则在R 上方程()0f x =的实根个数为（ ） A ．1B ．3C ．2D ．2021二、多选题 6．在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列函数的图象中存在完美点的是（ ） A ．y =﹣2xB ．y =x ﹣6C ．y =3xD ．y =x 2﹣3x +47．已知函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 的两个零点为12,x x 12()x x <，则（ ） A ．122x x << B ．12111x x += C ．124x x <D．1223+≥+x x 8．已知函数2ln ,0,()=4,0.x x f x x x x >⎧⎨--≤⎩关于x 的方程()0f x t -=的实数解个数，下列说法正确的是（ ）A ．当0t ≤时，方程有两个实数解B ．当4t >时，方程无实数解C ．当04t <<时，方程有三个实数解D ．当4t =时，方程有两个实数解 三、填空题9．若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间1(,3)2上有零点，则实数a 的取值范围是________．10．已知函数()y f x =在区间[]16，上的图像是一段连续的曲线，且有如下的对应值表：设函数y f x =在区间16，上零点的个数为，则的最小值为________. 11．方程22x x +=的根为a ，方程2log 2x x +=的根为b ，则a b +=__________四、解答题12．已知函数()|1|||f x x x a =+-+.若方程()f x x =有三个不同的解，求实数a 的取值范围.13．已知函数1122()log (2)log f x x x =-+．（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点．14．若函数()221,1log ,1x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩．（1）在所给的坐标系内画出函数()f x 图像；（2）求方程()f x m =恰有三个不同实根时的实数m 的取值范围．参考答案1．C 【分析】根据题意，依次分析选项中函数在区间（0，12）上有没有零点，综合即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ：，y ＝12x 0，12）单调递增，且y ＞0恒成立，在区间（0，12）上没有零点，不符对于B ，y ＝143x -x 0，12）单调递增，且有y ＞0恒成立，在区间（0，12）上没有零点，不符合题意;对于C ，y ＝ln （x +45），当x ＝15时，y ＝ln1＝0，区间（0，12）上有零点，符合题意;对于D ，y ＝2x +1，在区间（0，12）单调递增，且y ＞0恒成立，在区间（0，12）上没有零点，不符合题意. 故选：C ． 2．D 【分析】作出函数24x y =-与243y x x =-+的图象，对参数分类讨论，得出结论.【详解】作出函数24x y =-与243y xx =-+的图象，令240x y =-=，即2x =，故()2,0B ，令2430y x x =-+=，即1x =或3x =，故1,0A 或()3,0C ,当1a <时，只有B 一个零点；当12a ≤<时，有A ,B 两个零点；当23a ≤<时， 有A 一个零点；当3a ≥时，有A,C 两个零点；综上，实数a 的取值范围是：12a ≤<或3a ≥， 故选：D.【分析】先画出分段函数的图象，根据图象确定字母a 、b 、c 的取值范围，再利用函数解析式证明ab ＝1，最后数形结合写出其取值范围即可 【详解】解：函数lg ,010()16,102x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩的图象如图：∵f （a ）＝f （b ）＝f （c ）且a ，b ，c 互不相等 ∵a ∵（0，1），b ∵（1，10），c ∵（10，12）∵由f （a ）＝f （b ）得|lg a |＝|lg b |，即﹣lg a ＝lg b ，即ab ＝1 ∵abc ＝c由函数图象得abc 的取值范围是（10，12） 故选：B ．4．A 【分析】通过等价转化，把函数的零点转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象交点的横坐标，然后画出函数的图象，通过图象即可判断出零点所在的区间. 【详解】函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点等价于方程f (x )－g (x )＝0的根，即为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象交点的横坐标， 画出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象，从图象可知它们仅有一个交点A ，且交点横坐标的范围为()0,1.故选：A.【分析】当0x >时，作出函数2021x y =，2021log y x =-的示意图，由图象交点个数得到方程根的个数，再根据奇函数图象的对称性以及(0)0f =，即可求出方程所有根的个数. 【详解】①当0x >时，令()0f x =，即20212021log xx =-，在同一坐标系中作出函数12021xy =，22021log y x =-的示意图，如下图：函数12021xy =为单调增函数，22021log y x =-为单调减函数，可知两个图象有且只有一个交点P ，横坐标记为0x . 即0x >时方程()0f x =有且只有一个实根0x ， ②因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以当0x <时，方程()0f x =也有一个实根0x -，③又∵()f x 是R 上的奇函数，(0)0f =，∵即0也是方程()0f x =的根， 综上所述，方程()0f x =有3个实根. 故选：B. 6．AC 【分析】横纵坐标相等的函数即y x =，与y x =有交点即存在完美点，依次计算即可. 【详解】横纵坐标相等的函数即y x =，与y x =有交点即存在完美点，对于A,2y x y x =⎧⎨=-⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，即存在完美点()0,0，对于B,6y x y x =⎧⎨=-⎩，无解，即不存在完美点，对于C,3y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，(对于D,234y x y x x =⎧⎨=-+⎩， 24x x x -+=,即2240x x -+=，解得2(2)44120∆=--⨯=-<，即不存在完美点， 故选：AC. 7．ABD 【分析】函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 即为函数函数2log (1)y x =-，y m =，交点的横坐标，作出函数图像，根据图像，易判断A ；根据()12()0f x f x ==，化简整理即可判断B ； 结合基本不等式将和化为积的形式即可判断C ； 利用整体代换结合基本不等式即可判断D. 【详解】解：令2()log (1)0f x x m =--=，()1x >则2log (1)x m -=， 令2log (1)y x =-，y m =，则函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 的两个零点为12,x x 12()x x <，即为函数2log (1)y x =-，y m =交点的横坐标，作图如下图所示：故1212x x <<<，故A 正确；根据题意得()12()0f x f x ==，即2122log (1)log (1)x x -=-， 因为1212x x <<<，所以2122log (1)0,log (1)0x x -<->， 故2122log (1)log (1)0x x -+-=，即212log (1)(1)0x x --=， 所以12(1)(1)1x x --=，即()12120x x x x -+=， 所以12111x x +=，故B 正确；因为12x x +≥，所以()121212x x x x x x -+≤-120x x -≥， 所以124x x ≥，当且仅当12x x =时取等号， 又因1212x x <<<，所以124x x >，故C 错误； ()21121212122112233x xx x x x x x x x ⎛⎫+++=+++ ≥⎪⎝⎭=当且仅当21122x x x x =，即21x 时，取等号，故D 正确. 故选：ABD. 8．CD 【分析】方程()0f x t -=即()f x t =，作出函数()f x 的简图，数形结合可得结果. 【详解】方程()0f x t -=即()f x t =，作出函数()f x 的简图，由图可知：当0t <时，函数()y f x =的图象与直线y t =有2个交点，即方程()0f x t -=有2个实数解；当0t =时，函数()y f x =的图象与直线y t =有3个交点，即方程()0f x t -=有3个实数解，故A 错误；当4t >时，函数()y f x =的图象与直线y t =有1个交点，即方程()0f x t -=有1个实数解，故B 错误； 当04t <<时，函数()y f x =的图象与直线y t =有3个交点，即方程()0f x t -=有3个实数解，故C 正确； 当4t =时，函数()y f x =的图象与直线y t =有2个交点，即方程()0f x t -=有2个实数解，故D 正确. 故选：CD.9．102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】通过参变分离，转化为1a x x =+在1(,3)2上有解，转化为求函数t ＝x ＋1x ，x ∵1(,3)2的值域. 【详解】由题意知方程ax ＝x 2＋1在1(,3)2上有解，即1a x x =+在1(,3)2上有解．设t ＝x ＋1x ，x ∵1(,3)2，则t 的取值范围是102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以实数a 的取值范围是102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.10．3 【分析】根据函数零点存在定理，判断函数值的符号，即可判断函数零点个数． 【详解】解：由题意，因为()()230f f <，()()450f f <，()()560f f <，所以根据函数零点存在性定理，在区间（2，3）和（4，5）及（5，6）内至少有一个零点，故函数()y f x =在区间[]16，上的零点至少有3个，即n 的最小值为3， 故答案为：3． 11．2 【分析】利用方程的根于函数图象的交点之间的关系，结合指数函数和对数函数互为反函数的关系，作出图象即可求解【详解】a 是方程22x x +=的根，就是2x y =和2y x =-图象交点的横坐标；b 是方程2log 2x x +=的根，就是2log y x =和2y x =-图象交点的横坐标；在同一坐标系中画出函数2x y =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示：由图可知，a 是2x y =和2y x =-图象交点A 的横坐标，b 是2log y x =和2y x =-图象交点B 的横坐标，因为2x y =与2log y x =互为反函数， 所以图象关于直线y x =对称， 故点A ，B 也关于直线y x =对称， 所以点A ，B 为(),A a b ，(),B b a ， 而点A ，B 又在2y x =-上， 所以2b a =-，2a b =-， 即2a b +=， 所以2a b +=， 故答案为：2 12．10a -<<． 【分析】用分离参数法变形方程为1a x x x =-++，引入函数()1g x x x x =-++，作出函数()g x 的图象，由图象与直线y a =有三个交点可得结论． 【详解】方程()f x x =可化为1a x x x =-++，设()1g x x x x =-++，则1,0()1,101,1x x g x x x x x -≥⎧⎪=---≤<⎨⎪+<-⎩，函数图象如下：由图象知()y g x =的图象与直线y a =有三个交点时，10a -<<． 13．（1）(0,2)；（2）1. 【分析】（1）根据真数大于0即可. （2）令()0f x =即可. 【详解】（1）由已知可得200x x ->⎧⎨>⎩，解得02,()x f x <<∴的定义域为(0,2)．（2）()()()212log 20,2f x x x x =-+∈，，由()0f x =得221x x -+=，即2210x x -+=，解得1x =， ()f x ∴的零点是1．14．(1)图象见解析；(2)01m <<. 【分析】(1)结合二次函数的图象与性质，对数函数的图象与性质利用描点法作函数的图象，(2)观察()f x 图象,根据()y f x =的图象与y m =的图象有三个交点确定m 的范围.【详解】 (1)作图如下：11(2)方程()f x m =有3个解等价于函数()y f x =的图象与y m =的图象有三个交点， 观察图象可得01m <<.。
专题10函数零点(原卷版)
《函数零点》专项突破 高考定位函数的零点其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，以选择、填空题的形式考查可难可易，以大题形式出现，相对较难. 考点解析（1）零点个数的确定（2）二次函数的零点分布（3）零点与函数性质交汇（4）嵌套函数零点的确定（5）复杂函数的零点存在性定理（6）隐零点的处理（7）隐零点的极值点偏移处理 题型解析类型一、转化为二次函数的零点分布例1-1．（2022·全国·高三专题练习）已知f (x )是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y =f (2x 2+1)+f (λ-x )只有一个零点，则实数λ的值是（ ） A ．14B ．18C ．78-D ．38-练（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）若函数2()2a f x x ax =+-在区间(1,1)-上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2(2,)3-B ．2(0,)3C ．(2,)+∞D ．(0,2)例1-2．（2022·湖北恩施·高三其他模拟）设函数()()2x f x x a e =+在R 上存在最小值(其中e 为自然对数的底数，a R ∈)，则函数()2g x x x a =++的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定类型二、区间零点存在性定理例2-1．（2022·天津二中高三期中）已知函数()ln 1f x x x =-，则()f x 的零点所在的区间是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4练．（2022·天津·大钟庄高中高三月考）函数()2xf x x =+的零点所在的区间为（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2类型三、利用两图像交点判断函数零点个数例3-1（一个曲线一个直线）14．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()1y f x =-的零点个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个练．已知m 、n 为函数()1ln xf x ax x+=-的两个零点，若存在唯一的整数()0,x m n ∈则实数a 的取值范围是（ ） A ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．ln 20,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭例3-2（一个曲线一个直线）（2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）已知函数()()()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为_______.例3-3【一个曲线和一个倾斜直线】【2022福建省厦门市高三】已知函数()221,20, ,0,xx x x f x e x ⎧--+-≤<=⎨≥⎩若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为__________．例3-4（两个曲线）（2022·全国·高三专题练习）函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为________.（两个曲线）（2022·四川·高三期中（理））已知定义在R 上的函数()f x 和()1f x +都是奇函数，当(]0,1x ∈时，21()log f x x=，若函数()()sin()F x f x x π=-在区间[1,]m -上有且仅有10个零点，则实数m 的最小值为（ ） A ．3 B ．72C ．4D ．92（两个曲线）【2022河北省武邑中学高三】若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时， ()f x x =，则函数()3log y f x x =-的零点个数是（ ）A ． 6个B ． 4个C ． 3个D ． 2个例3-5（直接解出零点）（2022·四川·高三月考（理））函数()25sin sin 1f x x x =--在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为（ ） A ．12 B ．14 C ．16 D ．18类型三、利用周期性判断零点个数例3-1．（2022·广东·高三月考）已知定义域为R 的函数()y f x =在[0,10]上有1和3两个零点，且(2)y f x =+与(7)y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[0,2013]上的零点个数为（ ） A ．404 B ．804C ．806D ．402例3-2．偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1ln6,ln23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln2,ln63⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．1ln2,ln63⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1ln6,ln23⎛⎫- ⎪⎝⎭类型四、零点之和例4-1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()1sin sin f x x x=+，定义域为R 的函数()g x 满足()()0g x g x -+=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()()()112266,,,,,,x y x y x y ⋯，则()61i j i x y =+=∑（ ）A ．0B ．6C ．12D ．24例4-2（2022·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，若函数()()()4g x f x k x =--的所有零点为()1,2,3,,i x i n =，当1335k <<时，1nii x==∑（ ）A ．20B ．24C ．28D ．36类型五、等高线的使用例5-1．（2022·福建宁德·高三期中）已知函数()()8sin ,02log 1,2x x f x x x π≤≤⎧=⎨->⎩，若a ､b ､c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是___________.例5-2（2022·山西太原·高三期中）设函数22log (1),13()(4),3x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3412114x x x x ++的取值范围是（ ）A ．109,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭例5-3（2022·吉林吉林·高三月考（理））()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则下列结论中正确的为（ ）①()0,1m ∈；①()122e 2,e 1a b c d --+++∈--，其中e 为自然对数的底数； ①函数()y f x x m =--恰有三个零点. A ．①① B ．①① C ．①① D ．①①①例5-4．（2022·辽宁实验中学高三期中）已知函数()266,1ln 1,1x x x f x x x ⎧---≤⎪=⎨+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有三个不同实数解123x x x <<，则关于n 的方程()()121222356516n x x x x x -+=++-的正整数解取值可能是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4类型六、嵌套函数零点例6-1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））设函数()32,0lg ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()()12y f f x =-的零点个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例6-2．（2022·天津市第四十七中学高三月考）已知函数()2e ,0,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，2()2g x x x =-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())g f x m =恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则12322x x x -+的最大值为___________.例6-3（2022·全国·高三专题练习）设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a=-有三个零点，则实数a 的范围为________．例6-4. 已知函数f(x)={e |x−1|,x >0−x 2−2x +1,x ≤0 ，若关于x 的方程f 2(x)−3f(x)+a =0(a ∈R)有8个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ． (0,14) B ． (13,3) C ． (1,2) D ． (2,94)类型七、隐零点处理例7-1．（1）已知函数f(x)＝x 2＋πcos x ，求函数f(x)的最小值；（2）已知函数()()32213210f x x ax a x a a ⎛⎫=++++> ⎪⎝⎭，若()f x 有极值，且()f x 与()f x '（()f x '为()f x 的导函数）的所有极值之和不小于263-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,3 B ．(]1,3 C ．[]1,3 D ．[)3,+∞例7-2已知函数()ln()(0)x af x ex a a -=-+>.（1）证明：函数()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a 的值.例7-3已知函数()xf x xe =，()lng x x x =+．若()()()21f x g x b x -≥-+恒成立，求b 的取值范围．例7-4已知函数()()22e xx x f a x =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，判断函数()()21ln 2g x f x x x -+=零点的个数，并说明理由.类型八、隐零点之极值点偏离类型一、目标与极值点相关思想：偏离−−→−转化对称 步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数 （2）确定极值点（3）确定零点所在区域 （4）构造对称函数类型二、目标与极值点不相关 步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数 （2）确定极值点（3）确定零点所在区域（4）寻找零点之间的关系，消元换元来解决例8-1．（2022·江苏高三开学考试）已知函数()ln af x x x=+（a ∈R ）有两个零点.（1）证明：10ea <<. （2）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：a x x 221>+.（3）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：.121<+x x练、已知函数f(x)＝x 2＋πcos x. (1)求函数f(x)的最小值；(2)若函数g(x)＝f(x)－a 在(0，＋∞)上有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：x 1＋x 2<π.练、已知函数21()1xx f x e x-=+. （①）求()f x 的单调区间；（①）证明：当12()()f x f x = 12()x x ≠时，120x x +<练、已知函数f(x)＝xe －x .(1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若x 1≠x 2且f(x 1)＝f(x 2)，求证：x 1＋x 2>2.练、已知函数f(x)＝xln x 的图象与直线y ＝m 交于不同的两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．求证：x 1x 2<1e 2.练（2022·沙坪坝区·重庆八中）已知函数()222ln f x x ax x =-+（0a >）．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设()2ln g x x bx cx =--，若函数()f x 的两个极值点1x ，2x （12x x <）恰为函数()g x 的两个零点，且()12122x x y x x g '+⎛⎫=- ⎪⎝⎭的取值范围是[)ln31,-+∞，求实数a 的取值范围．练．已知2()4ln f x x x a x =-+.已知函数()f x 有两个极值点12x x ，（12x x <），若123()20f x mx ->恒成立，试求m 的取值范围.。
高中数学函数的零点练习题(有解析)
高中数学函数的零点练习题（有解析）数学必修1(苏教版)2．5函数与方程2．5.1函数的零点已知二次函数y＝x2－2x－3，令y＝0即x2－2x－3＝0时，这是一元二次方程，那么那个一元二次方程的根与前面二次函数的图象与x轴的交点有什么关系？基础巩固1．若x0是方程lgx＋x＝2的解，则x0属于区间()A．(0,1) B．(1,1.25)C．(1.25,1.75) D．(1.75,2)解析：设f(x)＝lg x ＋x－2，则f(1.75)＝f74＝lg 74－140，f(2)＝lg 2 0.答案：D2．函数f(x)＝x2＋2x－3，x0，－2＋lnx，x0的零点个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：：x0时由x2＋2x－3＝0x＝－3；x0时由－2＋lnx＝0x＝e2.答案：C3．设函数f(x)＝x2－x＋a(a0)，若f(m)0，则()A．f(m－1)0B．f(m－1)0C．f(m－1)＝0D．f(m－1)与0的大小不能确定解析：结合图象易判定．答案：A4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B. (－1,0)C. (0,1) D．(1,2)解析：因为f(0)＝－10，f(1)＝e－10，因此零点在区间(0,1)上，选C.答案：C5．函数f(x)＝4x－2x＋1－3的零点是________解析：由4x－2x＋1－3＝0(2x＋1)(2x－3)＝02x＝3, x＝log23.答案：log236．函数f(x)＝(x－1)(x2－3x＋1)的零点是__________．解析：利用定义可求解．答案：1，3527．若函数y＝x2－ax＋2有一个零点为1，则a等于__________．解析：由零点定义可求解．答案：38．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a0且a1)，当234时，函数f(x)的零点为x0(n，n＋1)(nN*)，则n＝________.解析：依照f(2)＝loga2＋2－blogaa＋2－3＝0，f(3)＝loga3＋3－blogaa＋3－4＝0，x0(2,3)，故n＝2.答案：29．证明：方程x2x＝1至少有一个小于1的正根．课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。
考点12 零点定理(练习)(原卷版)
考点12：零点定理【题组一求零点】1．函数f （x ）2120810x x log x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+⎩（），（）（＞）的零点为_____.2．若函数()()2log a f x x =+的零点为2-，则a =________.3．设函数[)()222,1,()2,,1x x f x x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩，则函数()y f x =的零点是________________.【题组二零点区间】1．函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)2．已知函数()26log 21f x x x =--+.在下列区间中,包含()f x 零点的区间是()A ．()0,1B ．()1,3C ．()3,5D ．()5,73．函数1()sin 2f x x x =-在下列哪个区间必有零点（）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【题组三零点个数】1．函数()231xf x log x =-的零点个数为.2．函数()22xf x e x =+-在区间()21-，内零点的个数为.3．函数f （x ）＝cosπx ﹣（12）x+1在区间[﹣1，2]上的零点个数为.4．函数()2ln f x x x =+的零点个数是.5．函数()3f x x =-,则()f x 的零点个数为________.6．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(4)f x f x =-,且当[0,2]x ∈时,()cos f x x =,则()()lg g x f x x =-的零点个数为____________.7．函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为_______________.8．f(x)是R 上的偶函数，f(x ＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x 2，则函数y ＝f(x)－|log 5x|的零点个数为.9．若偶函数()f x 的图像关于32x =对称,当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x x =,则函数()()20log g x f x x =-在[]20,20-上的零点个数是.10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=-+,且在区间[)2,4上,()2,234,34x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩,则函数()3log y f x x =-的零点的个数为______.11．函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是.12．已知定义在R 上,且最小正周期为4的函数()f x ,满足()()f x f x -=-,则在区间()10,10-内函数()y f x =的零点个数的最小值是______【题组四根据零点求参数】1．方程24(2)50x m x m +-+-=的一根在区间()1,0-内，另一根在区间()02，内，则m 的取值范围是.2．已知函数()()2log 13f x x x m =+++的零点在区间(]0,1上，则m 的取值范围为.3．若函数()3()1x f x x a =--在（﹣∞，0）上有零点，则实数a 的取值范围为.4．若函数2()log ()f x x x k k z =+-∈在区间(2,3)上有零点，则k =．5．函数1()lg1f x x m x =-++在区间()0,9上有零点，则实数m 的取值范围为____________.6．已知函数()ln f x x m =-的零点位于区间()1,e 内，则实数m 的取值范围是________.7．设函数f (x )＝log 32x x+－a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是________．8．若函数()()21xf x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是.9．已知函数22log (),0()3,0x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+>⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.10．已知函数()226f x x ax =+--，若存在a R ∈，使得()f x 在[]2,b 上恰有两个零点，则实数b 的最小值是______.11．函数f (x)＝∣4x －x 2∣－a 的零点的个数为3，则a ＝．12．设(0,1)m ∈，若函数2log ,02()(4),24x m x f x f x x ⎧-<≤=⎨-<<⎩有4个不同的零点1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则22341225x x x x +-+的取值范围是.13．已知直线y mx =与函数()211,0212,03xx x f x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是.14．已知m R ∈，函数221,1()log (1),1x x f x x x ⎧+<=⎨->⎩，2()221g x x x m =-+-，若函数[()]y f g x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是.15．已知定义在R 上的偶函数()f x ，且0x ≥时，()31,0153,13x x x f x x -⎧+≤≤⎪=⎨+>⎪⎩，方程()f x m =恰好有4个实数根，则实数m 的取值范围是.【题组四二分法】1．已知函数 uli m l l ⺁ 的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示：则方程l l ⺁ m 的近似解可取为（精确度 鎀ၹ）.2．下列函数中，不能用二分法求函数零点的是()A ．()21f x x =-B ．()221f x x x =-+C ．()2log f x x=D ．()2xf x e =-3．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：x12 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125()f x -63-2.625-1.459-0.141.34180.5793则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为4．用二分法研究函数()321f x x x =--的零点时，若零点所在的初始区间为()12，，则下一个有解区间为（）A ．()12，B ．()1.752，C ．()1.52，D ．()11.5，5．若函数()3222f x x x x =+--的—个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:()12f =-()1.50.625f =()1.250.984f =-()1.3750.260f =-()1.4380.165f =()1.40650.052f =-那么方程32220x x x +--=的一个近似根(精确度为0.05)为.6．已知函数f （x ）的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为.A ．4，4B ．3，4C ．5，4D ．4，37．某同学求函数()ln 26f x x x =+-的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：x 23 2.5 2.75 2.625 2.5625()f x 1.3069- 1.09860.084-0.5120.2150.066则方程ln 260x x +-=的近似解（精确度0.1）可取为（）A ．2.52B ．2.625C ．2.47D ．2.758．用“二分法”求26y x =-的零点时，初始区间可取（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4。
考点12零点定理（练习）（解析版）
考点12：零点定理【题组一求零点】1.函数/(X)=，T——(x<0),8 的零点为. -/c?g2(x+l)(x>0)【答案】-3【解析】当工<0时，/(x)=2x--=0,/.x=-3；8"'庶>0时，/(x)=-log2(x+l)=0,.\x=0t不满足，排除；故函数零点为一3故答案为：—3 2.若函数/(x)=log2(x+n)的零点为一2,则"=【答案】3【解析】根据题意，若函数/(x)=log2(x+a)的零点为・2,则，(・2)=log2(Z7-2)=0,即〃・2=1,解可得〃=3・故答案为33.设函数fW= <2x-2,x e[l.+oo)-V? -2a-,xe(-co,1)则函数y=f(x)的零点是【答案】o或1岸、f x>\x<\【解析顷对=°等价干值-2=。
或卜-2i=。
’解得M或1=0,所以，函数y=f(x)的零点是。
或1.故答案为：o或1.【题组二零点区间】1.函数/«=log3(x+2)+x-l的零点所在的一个区间是()A.(0,1)B.(L2)C.(2,3)D.(3.4)【答案】A【解析】f(0)=log32-l<0./⑴=log3(l+2)+l-l=l>0.所以/(0)/(1)<0,根据零点存任性定理.../⑴=logQ+2)+x—1的零点所在的•个区间是(0,1)・故选：A.2.已知函数/(工)=1理2*-土-2.在下列区间中，包含/(幻零点的区间是()■4I1A.(0,1)B.(1.3)C.(3.5)D.(5,7)【答案】D【解析】函数/(x) = log 2x —-^--2,在其定义域</(5) = log 25-3 = log 2|<0, f(7) = log 27^-2 = log 2^L>0, 故函数f(x)的? 间(5,7) |故逸：D3.函^f(x) = -x-sinx 在下列哪个区间必有零点((3.' c - g 土A.71B - 2-' D.3n2【答案】B【解析】V/(0) = 0-sin0 = 0. = /(汗)=?>0・<0.任区间;刁内必有零点故选:B【题组三零点个数】1.函数/⑴=3啊/|一1的零点个数为【答案】2【解析】函数f(x) = y\log 2x\-\的琴点,即方程y\log 2j]-i = 0的解,「|/心|=转化为函数)>=|/华2乂与的交点,在同一平而直角坐标系出函数ytpogiM 勺,=(!)的现象,如卜所示:x-l=O«两个实数根.即保f(x)=y\iog2x\-i^两个零点.2.函数f(x)=e x+x2-2/±区间(一2,1)内零点的个数为一【答案】2【T"I］令N+X2-2=0,b=-x2 +2.M*1*y=r\y=一『+2的图象如下图所示.由图可知，图象有两个3.函数f(x)=cosnx-<->X+1任区间［•1,2］上的零点个数为【答案】3【解析】根可知•函数/3)=cosg—(y+1在"•矶—1.2］上的等吊勺个数,即为》.、=cos/rx的图象，j函数、=(二)'一1的图象在［乂间［—1,2］1-1门在同一坐标系中画出两个函数图象如图所示:可以发现有三个公尹M ，所以函数/(x)=cos^-(|r+l 在区间［T2］ |-.{J 个34.函数f(x) = \nx+x 2的零点个数是一【解析】因为y = lnx 与y = F 均在0,+oo 上为析".・所以函^ f(x) = \nx+x 2至多1)2=-1/e)乂 /[■!■] = ln 』+<0, /(l) = lnl + l = l>0. /|lj /(l)<0. EP 函数/'(x)在-J | I 行个5.函数f(x) = x-^-3,则/(司的零点个数为【答案】1【解析】函数/(犬)定义域为［O.+8)x — JF —3 = O = x — 3 =,=jv_3q\=JL 则以刀)的省点的个敖 撤y,=x — 3,»=J7・ XWp*。
考点12 零点定理(练习)(解析版)
则
f
(0)
m
5
0
，解得 7 m 5 ，
f (2) 16 2(m 2) m 5 0
3
∴m
的取值范围是
7 3
,
5
.
2．已知函数 f x log2 x 1 3x m 的零点在区间 0,1 上，则 m 的取值范围为 .
【答案】[4, 0）
【解析】由题意，函数 f (x) log2 (x 1) 3x m 是定义域上的单调递增函数，
如上图所示，则 f x 的零点个数为1.故答案为：1
6．定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f (x) f (4 x) ,且当 x [0, 2] 时, f (x) cos x ,则 g( x) f ( x) lg x 的
零点个数为____________. 【答案】10
【解析】由于定义在 R 上的偶函数 y f x 满足 f ( x) f 4 x , 所以 y f x 的图象关于直线 x 2 对称, 画出 x [0, ) 时， y f x 部分的图象如图,在同一坐标系中画出 y lg x 的图象,
是.
【答案】
7 3
,
5
【解析】∵方程 4x2 (m 2)x m 5 0 的一根在区间(−1,0)内,另一根在区间(0,2)内，
∴函数 f x 4x2 (m 2)x m 5 的两个零点一个在区间(−1,0)内,另一个在区间(0,2)内，
f (1) 4 (m 2) m 5 0
π 2
,
π
内必有零点.故选：B.
【题组三 零点个数】
1．函数 f x 3x log2x 1的零点个数为
.
【答案】2
【解析】函数 f x 3x log2x 1的零点，即方程 3x log2x 1 0 的解，
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－0.5
0
0.5
1
1.5
2
f(x)
－3.51
1.02
2.37
1.56
－0.38
1.23
2.77
3.45
4.89
二、利用图象法解零点问题
1. 函数 的零点个数为 ( C )
A．0B．1C．2D．3
2.设 是定义在R上的奇函数，当 时， ，则 的零点个数是3个.
变式1：设偶函数 满足 ，且当 ∈[0,1]时， ，则关于 的方程 在区间[0,3]上解的个数有3.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知x是函数f(x)=2x+ 的一个零点.若 ∈（1， ）， ∈（ ，+ ），则( B )
A.f( )＜0，f( )＜0 B.f( )＜0，f( )＞0C.f( )＞0，f( )＜0 D.f( )＞0，f( )＞0
3.若定义在R上的偶函数 满足 ,且当 时, ,则函数 的零点个数是(B )
A．“二分法”求方程的近似解一定可将 在[a,b]内的所有零点得到
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到 在[a,b]内的零点
C．应用“二分法”求方程的近似解， 在[a,b]内有可能无零点
D．“二分法”求方程的近似解可能得到 在[a,b]内的精确解
4．通过下列函数的图象，判断不能用“二分法”求其零点的是（）
A.没有零点B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点
变式:函数 在区间 内的零点个数是( B )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.函数f（x）= 的零点所在的一个区间是( C )
A.（-2,-1） B. （-1,0） C. （0,1） D. （1,2）
3.函数f(x)= 的零点所在的一个区间是( B )
函数与零点
基础回顾：
零点、根、交点的区别
零点存在性定理：f（x）是连续函数；f（a）f（b）<0
二分法思想：零点存在性定理
一、基础知识—零点问题
1．若函数 在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）
A．若 ，不存在实数 使得 ；
B．若 ，存在且只存在一个实数 使得 ；
C．若 ，有可能存在实数 使得 ；
A． B． C． D．
5．求 零点的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
6．已知函数 有反函数，则方程 （）
A．有且仅有一个根B．至多有一个根
C．至少有一个根D．以上结论都不对
7．对于“二分法”求得的近似解，精确度 说法正确的是（）
A． 越大，零点的精确度越高B． 越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是 D．重复计算次数与 无关
A.（-2，-1） B.（-1,0） C.（0,1） D.（1,2）
变式:若 是方程式 的解，则 属于区间（ D ）
A.（0，1）. B.（1，1.25）. C.（1.25，1.75） D.（1.75，2）
4.函数 在定义域内的零点的个数为（ C ）
A．0B．1C．2D 的值为( B )
A.5 B.4 C.3 D.2
4．已知函数 ，若函数 有三个零点，则实数 的取值范围是(0,1).
5.若定义在R上的偶函数 满足 ,且当 时, ,则函数 的零点个数是(B )
A.5 B.4 C.3 D.2
8．设函数 的图象在[a,b]上连续，若满足，方程 在[a,b]上有实根.
9．用“二分法”求方程 在区间[2，3]内的实根，取区间中点为 ，那么下一个有根的区间是.
10．举出一个方程，但不能用“二分法”求出它的近似解.
11．已知函数 图象是连续的，有如下表格，判断函数在那几个区间上有零点.
x
－2
－1.5
2:方程 的根的个数是1.
3:已知 ,函数 的零点个数为2.
4．已知 是方程lgx+x=3的解， 是 的解，求 （）
A． B． C．3D．
5．方程 根的个数（）
A．无穷多B．3C．1D．0
6．函数 ，若函数 有3个零点，则实数a的值为（C）
A．－2B．－4C．2D．不存在
三、解方程法——数型结合
1.函数f(x)= —cosx在[0，+∞）内 （ B ）
D．若 ，有可能不存在实数 使得 ；
2．已知 唯一的零点在区间（1，3）、（1，4）、（1，5）内，那么下面命题错误的是
（）
A．函数 在（1，2）或[2，3]内有零点
B．函数 在（3，5）内无零点
C．函数 在（2，5）内有零点
D．函数 在（2，4）内不一定有零点
3．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）