高考题中的常见数学建模方法
高中数学中的数学建模技巧与应用
高中数学中的数学建模技巧与应用数学建模是一种将数学方法应用于实际问题解决的过程，它不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以培养我们的创新思维和解决问题的能力。
在高中数学中，数学建模技巧的应用对于学生的学习和发展具有重要意义。
本文将介绍一些高中数学中常用的数学建模技巧及其应用。
一、数据分析与统计数据分析与统计是数学建模的重要组成部分，它可以帮助我们从大量的数据中提取有用的信息，并进行合理的推断和预测。
在高中数学中，我们可以通过对实际问题中的数据进行整理、分类和分析，来解决一些实际问题。
例如，我们可以通过对某城市过去几年的气温数据进行统计和分析，来预测未来某一天的气温。
通过建立数学模型，我们可以根据过去的气温数据，利用统计学方法对未来的气温进行预测，从而为人们的生活提供一定的参考。
二、函数建模与优化函数建模是数学建模中的一种常用方法，它可以帮助我们将实际问题转化为数学问题，并通过建立合适的函数模型来解决问题。
在高中数学中，我们学习了许多函数的性质和变化规律，可以应用这些知识来进行函数建模。
例如，我们可以通过建立一个函数模型来优化某个问题中的某个指标。
比如，某公司要生产一种产品，产品的成本与生产数量之间存在一定的关系。
我们可以通过建立一个成本函数模型，来确定生产数量使得成本最小化。
通过对函数的优化，我们可以找到最优解，从而为公司的生产决策提供依据。
三、几何建模与空间分析几何建模是数学建模中的另一种常用方法，它可以帮助我们将实际问题转化为几何问题，并通过几何分析和计算来解决问题。
在高中数学中，我们学习了许多几何知识和定理，可以应用这些知识来进行几何建模。
例如，我们可以通过建立一个几何模型来解决某个问题中的空间分析问题。
比如，某建筑设计师要设计一个具有特定形状和结构的建筑物，我们可以通过建立一个几何模型，来确定建筑物的各个部分的尺寸和位置关系。
通过几何分析和计算，我们可以得到满足设计要求的建筑物模型，为建筑师的设计提供参考。
适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习下篇能力培养思维进阶3数学建模课件
解:(1)由对折 2 次共可以得到 5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm 三种规格
的图形,所以对折三次的结果有:
5
3
dm×12dm,5dm×6dm,10dm×3dm,20dm× dm,共 4 种不同规格;
2
故对折
2
5
5
3
②明确题目中包含(已知)的信息和条件;
折纸是长方形的,沿着某条对称轴对折,对折1次和2次得到的规格大小和对
折图形的种数,对折1次和2次的面积之和与对折次数之间的关系.
③利用信息和条件对题目进行整体分析;
通过合情推理能推理到的问题是对折第3次规格大小和种数是多少?以此
类推,对折4次呢?对折n次呢?如何建立对折次数与面积和的函数关系式?
问题分析是将具体问题抽象为数学模型的桥梁,反映了对问题的认识程度,
是解决问题的雏形,起承上启下作用,其目的是找到问题的切入点.其过程
需要思考问题的可能解决方案.主要包括:
①确定题目中需要解决的任务目标;
②明确题目中包含(已知)的信息和条件;
③利用信息和条件对题目进行整体分析;
④大致确定用什么方法建立模型.
120×(2) ,对于第
n 次对折后的图形的规格形状种数,根据(1)的
120(+1)
过程和结论,猜想为 n+1 种(证明略),故得猜想 Sn=
2 -1
,
120×2
120×3
120×4
120(n+1)
设 S= ∑ Sk= 0 + 1 + 2 +…+ n -1 ,
上述问题中,需要考虑长方形折纸对折情况,做出假设,构建数列模型,该题
高中数学的归纳数学建模中的常见方法与步骤
高中数学的归纳数学建模中的常见方法与步骤归纳数学建模是数学学科中的一种重要方法，它通过观察和总结实际问题现象中的规律性，提出问题的一般性结论或模型。
在高中数学教学中，归纳数学建模是数学思想和方法的重要体现之一。
本文将介绍高中数学的归纳数学建模中的常见方法与步骤。
一、问题的提出与分析归纳数学建模的第一步是明确问题的具体内容和要求。
高中数学的归纳数学建模问题通常来源于实际生活或其他学科。
在问题的提出与分析过程中，需要明确问题的背景、条件、目标和限制等。
通过深入分析问题，寻找问题的本质，为后续的建模工作奠定基础。
二、规律的观察与总结在确定问题后，需要通过观察和实践，寻找问题中的规律或模式。
这个过程需要通过大量的实例和数据进行验证和分析。
通过观察和总结，我们可以发现问题中的一些普遍规律，例如数列的递推关系、图形的几何性质等。
三、数学模型的建立在观察和总结的基础上，我们需要建立数学模型，抽象出问题的数学形式。
数学模型通常采用符号表示，可以是方程、函数、不等式等。
根据问题的特点和要求，我们可以选择适当的数学工具和方法，例如利用数列递推关系的迭代公式、曲线的方程等。
四、模型的求解与验证建立数学模型后，需要进行模型的求解和验证。
在高中数学的归纳数学建模中，常使用数学计算软件或手工计算的方法来求解模型。
求解过程中需要运用数学知识、方法和技巧，化繁为简，高效求解。
求解完成后，还需要对模型的结果进行验证，比较模型预测结果与实际观测的数据是否一致，有效性和准确性是否符合要求。
五、结果的分析与讨论在模型的求解和验证完成后，需要对结果进行分析和讨论。
分析结果主要包括结论的有效性、合理性以及对问题的解释等。
同时，还需要讨论模型的局限性和假设的合理性。
通过结果的分析与讨论，可以进一步深化对问题的理解和认识，并为问题的拓展和推广提供思路和方法。
六、问题的应用与拓展在通过归纳数学建模解决具体问题后，我们还可以将所学的方法和思想应用到其他相关的问题中。
数学建模常用的十种解题方法
数学建模常用的十种解题方法 摘要当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。
这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
数学建模的十种常用方法有蒙特卡罗算法；数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法；解决线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题的数学规划算法；图论算法；动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法；最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法；网格算法和穷举法；一些连续离散化方法；数值分析算法；图象处理算法。
关键词：数学建模；蒙特卡罗算法；数据处理算法；数学规划算法；图论算法 一、蒙特卡罗算法蒙特卡罗算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法。
在工程、通讯、金融等技术问题中, 实验数据很难获取, 或实验数据的获取需耗费很多的人力、物力, 对此, 用计算机随机模拟就是最简单、经济、实用的方法; 此外, 对一些复杂的计算问题, 如非线性议程组求解、最优化、积分微分方程及一些偏微分方程的解⑿, 蒙特卡罗方法也是非常有效的。
一般情况下, 蒙特卜罗算法在二重积分中用均匀随机数计算积分比较简单, 但精度不太理想。
通过方差分析, 论证了利用有利随机数, 可以使积分计算的精度达到最优。
本文给出算例, 并用MA TA LA B 实现。
1蒙特卡罗计算重积分的最简算法-------均匀随机数法二重积分的蒙特卡罗方法(均匀随机数)实际计算中常常要遇到如()dxdy y x f D ⎰⎰,的二重积分, 也常常发现许多时候被积函数的原函数很难求出, 或者原函数根本就不是初等函数, 对于这样的重积分, 可以设计一种蒙特卡罗的方法计算。
数学建模!高考递推数列、配凑法讲解,构造辅助等比数列技巧!
数学建模是应用数学方法解决实际问题的过程，而递推数列是一种常见的数学模型，它可以通过已知的数列项之间的关系来推导后续的项。
配凑法是一种常用的技巧，用于将表达式进行整理和变形，以便更好地应用数学定理和公式。
构造辅助等比数列则是一种解决递推数列问题的方法，通过构造等比数列来简化问题。
在解决递推数列问题时，我们首先需要理解数列的定义和性质，然后根据递推公式推导出后续的项。
配凑法可以帮助我们将表达式进行整理和变形，从而更容易地找到规律。
构造辅助等比数列则是一种特殊的方法，通过构造等比数列来简化递推数列问题。
具体来说，构造辅助等比数列的方法包括：观察递推数列的特点，确定等比数列的形式；将递推数列中的每一项进行变形，使其符合等比数列的形式；确定等比数列的首项和公比，以便使用等比数列的通项公式；将等比数列的通项公式代入递推数列中，得到每一项的值。
下面是一个具体的例子：题目：已知数列{ a_n } 满足a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 1 (n ∈N*) ，求数列{ a_n } 的通项公式。
解：由递推公式a_{n+1} = 2a_n + 1，我们可以将其变形为a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)，这说明数列{ a_n + 1 } 是一个等比数列。
接下来，我们确定等比数列的首项和公比。
由已知条件a_1 = 1，我们可以得到a_1 + 1 = 2，所以等比数列的首项为2。
公比为2，因为每一项都是前一项的两倍加一。
最后，我们使用等比数列的通项公式来求解数列{ a_n } 的通项公式。
由于等比数列的通项公式为a_n = a_1 * r^(n-1)，其中a_1 是首项，r 是公比，我们可以得到a_n = 2 * 2^(n-1) = 2^n。
因此，数列{ a_n } 的通项公式为a_n = 2^n。
专题七 数学建模 2023高考数学二轮复习课件
角度一 指数、对数运算模型
【例1】 某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8 mg/mL，此
时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，经过n小
时后他血液中的酒精含量在0.2 mg/mL以下，则n的最小整数值为(参考数
据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
(B )
cos 45°＝22ar＝22ab＝ 22，即ba＝ 22，故离心率 e＝ac＝ 故选 B.
1－ba2＝
1－12＝
2 2.
目录
02
类型2 构造新模型求解
目录
角度一 构造函数模型
【例4】 f(x)在(0，＋∞)上的导函数为f′(x)，xf′(x)＞2f(x)，则下列不等式成
立的是
(A)
A．2 0212f(2 022)＞2 0222f(2 021)
以下，所以 n 的最小值为 7，故选 B.
目录
|技法点拨| 先计算出100 mL血液中酒精含量，再构建指数型函数模型，根据 n小时后血液中酒精含量列出不等式即可求解．
目录
在流行病学中，基本传染数是指每个感染者平均可传染的人数．当基本传染
数高于 1 时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病
B．2 0212f(2 022)＜2 0222f(2 021)
C．2 021f(2 022)＞2 022f(2 021)
D．2 021f(2 022)＜2 022f(2 021)
目录
解析
令
g(x)
＝
f（x） x2
(x>0)
，
则
g′(x)
＝
x2f′（x）－2xf（x） x4
＝
常用的数学建模方法总结
2常用的建模方法
(I)初等数学法。
主要用于一些静态、线性、确定性的模型。
例如，席位分配问题，学生成绩的比较，一些简单的传染病静态模型。
(2)数据分析法。
从大量的观测数据中，利用统计方法建立数学模型，常见的有：回归分析法，时序分析法。
(3)仿真和其他方法。
主要有计算机模拟(是一种统计估计方法，等效于抽样试验，可以离散系统模拟和连续系统模拟)，因子试验法(主要是在系统上做局部试验，根据试验结果进行不
断分析修改，求得所需模
型结构)，人工现实法(基于对系统的了解和所要达到的目标，人为地组成一个系统)。
(4)层次分析法。
主要用于有关经济计划和管理、能源决策和分配、行为科学、军事科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗、环境等领
域，以便进行决策、评价、分析、预测等。
该方法关键的一步是建立层次结
构模型。
数学建模有哪些方法
数学建模有哪些方法
数学建模是指将实际问题用数学的方法进行描述和分析的过程。
常见的数学建模方法有以下几种：
1. 形式化建模：将实际问题抽象成数学模型，通过符号和公式的形式进行描述和求解。
2. 统计建模：利用统计学的方法对数据进行收集、整理和分析，从中提取规律和模式，对未知的情况进行预测和决策。
3. 数值模拟：利用计算机和数值方法对问题进行模拟和求解，通过近似计算得到结果。
4. 最优化建模：通过建立优化模型，寻找使目标函数达到最大或最小值的最优解。
5. 离散建模：将连续的问题离散化，转化为离散的数学模型进行分析和求解。
6. 动态建模：对问题进行时间序列的分析和建模，预测未来的变化和趋势。
7. 图论建模：将问题抽象成图的形式，利用图的相关理论和算法进行分析和求解。
8. 概率建模：利用概率论的方法对问题进行建模和分析，从中推断出一些未知的情况。
以上是一些常见的数学建模方法，具体的方法选择要根据实际问题的特点和要求进行判断和决策。
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高考题中的常见数学建模方法
“数学建模”是指通过对实际问题的抽象、简化，确定变量和参数，是一种创造性活动，也是一种解决现实问题的量化手段，根据创造性人才成长和发展的规律以及现代社会对人才素质的要求，寓创新能力培养于数学建模之中，是培养学生创新能力的一条有效途径。
解答数学应用问题的核心是建立数学模型。
这就要求：认真分析题意，准确理解题意，寻找已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想、转化、抽象，建立数学模型。
中学数学建模的基本类型有：
一、函数最值模型
有关涉及用料最省、成本最低、利润最大等应用问题，可考虑建立目标函数，转化为函数最值问题结合导数来解决。
例1：某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=a/(x-3)+10(x-6)~(2)，其中3<x<6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。
（I）求a的值
（II）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
分析：本题是2011年福建高考题，是以函数最值为模型的一个实际问题。
考查运算求解能力、应用意识，函数建模的能力，关键是列出利润的目标函数，第（I）题，代入x=5，y=11，得a=2
（II）由（I）可知，该商品每日的销售量y=2/(x-3)+10(x-6)~(2)，所以商场每日销售该商品所获得的利润的目标函数为
f(x)=(x-3)[2/(x-3)+10(x-6)~(2)]=2+10(x-3)(x-6)~(2)，3<x<6
再利用导数求得三次函数的最大值。
二、不等式模型
有关设计求最大、最小值问题的应用题时，考虑转化为不等式，应用不等式的性质及基本不等式来解。
例2;某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z=______
A.4650元
B.4700元
C.4900元
D.5000元
分析：这是2011年四川高考题，是一道以不等式为模型的应用题，关键是列出线性约束条件及目标函数。
【解析】由题意设派甲，乙x,y辆，则利润Z=450x+350y，得约束条件()画出可行域在()的点()代入目标函数z=4900.
三、数列模型
有关涉及平均增长率、等值增加、利率等应用问题，可考虑转化为等差、等比数列来解决。
例3：某地现有耕地1万公顷，规划10年后粮食产量比现在增加22%，要人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口增长率为1%，那么耕地平均每年至少只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食年产量＝）（96年高考题23）
分析：设平均每年至多只能减少x公顷。
题设所给的条件可列出下表：()
关键词：耕地平均每年至少只能减少x公顷时，要人均粮食占有量比现在提高10%，释成数学语言：
整理之有：
（10000－10x）*(1+22%)≥11000*(1+1%)~(10) 解之有：x≤4（公顷）
由以上例子可知，领会应用问题的语言，把应用问题转化为自己能够理解的数学语言，并在不同的情景中发现问题，把应用问题转化成纯数学问题，是顺利建模不可缺少的因素。
建模类型除了上述采用的这三种类型外，若有关测量、确定方向等应用问题，考虑利用三角函数来解决，即三角模型，根据题意，涉及几个量的一些应用问题，建立适当的方案或方案组来解决。
针对以上情况，作为教师应充分认识到加强建模教学的重要性。
数学建模与纯数学有很大的区别，并不像以前学生遇到的数学问题那样去寻求唯一的解答。
对于学生来说，需要很长的时间进行磨练，需要将思维方式朝向问题解决的方向转变。
因此不仅在高三复习中对建模教学加强，而要在整个高中教学中及至初中教学中都要加强训练，要做到由浅入深，由近及远，形成一个练习的教学过程。
使学生在解决数学建模问题上有所准备，提高应考能力。
在数学教学中，经常联系实际，建立生活中的数学模型，就能让学生感受到“生活处处皆数学，”有利于提高学习的情趣和内在动力、从而激发学生的创新能力。