数学建模中高考分卷问题
国家政策对浅谈高考中的数学建模问题
2012年全国高考模拟参考部分浅谈高考中的数学建模问题宁波鄞州正始中学数学组—王伍成函数是高中数学的主要内容，涉及函数的应用问题，题源丰富，背景深刻，题型新颖，解法灵活，是历年高考命题的热点之一，同时也是考生失分较多的一种题型。
应用题与现实生活联系密切，它不仅能培养学生分析问题和解决实际问题的能力，还能提高学生的思维素质。
一般来说，高考中的函数应用题往往是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力，求解时一般按以下几步进行：（1）阅读理解、认真审题；（2）利用数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的相关方法将得到的常见数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果。
而解答这类问题的要害就在于理解题意，建立恰当的数学模型将问题转化为数学问题。
下面略举数例谈谈函数建模在生活和高考中的应用。
1、优化问题实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”或“线性规划”问题解决例1、(1996年全国高考题)某地现有耕地10000 公顷，规划l0年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?(粮食单产=总产量/总面积，人均粮食占有量=总产量/总人口数)。
（平均增长率问题：如果原来人口的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的人口量为y=N(1+p)x.）分析：人口是以年增长率计算，土地是以每年减少的亩数计算，因此可以这样理解：人口是以几何级数(等比数列)增长，土地是以算术级数(等差数列)减少。
本题的解答关键是建立数学模型，设现在总人口为p人时，10年后总人口为p(1+0．01)10；现在人均粮食占有量为bt(吨)时，10年后则为6(1+10％)t；现在耕地共104公顷，设每年允许减少xha时，10年后耕地将共有(104一l0x) 公顷；现有单产为Mt吨／公顷，10年后单产为M×(1+22％)t／公顷。
从高考题看“数学建模”问题
从高考题看“数学建模”问题作者：蔡定宏来源：《学知报·教师版》2012年第48期无论是中考题还是高考题，近年来几乎都有“数学建模”题型。
使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识正在大力加强。
例题：某旅行社准备在某地组织旅游团到北京观看奥运会，每人往返机票、食宿费、门票等费用共需3000元。
如果把每人收费标准定位4000元，则只有20人参加旅游团；高于4000元时，没有人参加。
如果每人收费标准从4000元每降低100元，则参加旅游团人数就增加10人。
试问：每人收费标准定位多少时，该旅行团所获利润最大？此时参加旅游团人数是多少？（2008年重庆市高职单独招生统一考试题）分析：设收费标准定为x元/人，该旅行社所获利润为y元，则：总利润=每一张票的利润×票数，每一张票的利润为：（x-3000）元，参加旅行团人数为：■×10+20，所以y =（x-3000）（■×10+20）解：设收费标准定为x元/人，该旅行社所获利润为y元，则：解法一：用配方法求一元二次函数的最大值y =（x-3000）（■×10+20），（3000≤x≤4000）=（x-3000）（-■+420）=（-■+720x）-126000=-■（x2-7200x）-1260000=-■x2-7200x+（■）2+■×36002-1260000=-■（x-3600）2+3000当x=3600时，ymax=30000;此时参加旅行团人数为：■×10+20=60；解法二：用公式法求一元二次函数的最大值y =（x-3000）（■×10+20），（3000≤x≤4000）=（x-3000）（-■+420）=-■+720x-126000因为抛物线顶点坐标为：（-■，■），-■=3600 ，■=30000,所以，当x=3600时，ymax=30000;答：收费标准定位3600元/人时，该旅行团所获利润最大为30000元，此时参加旅游团人数是60人。
(专家讲座)数学建模在高考中的考查趋势分析及教学建议
(3)若某船的吃水深度为 4 米,安全间隙为 1.5 米,该船在 2:00 开始卸货,吃水深度以每小时 0.3 米的速度减少, 那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的 水域?
二、数学建模在高中数学内容的渗透
解析:(1)根据图象,可以考虑用函数
y Asin x h 刻画水深与时间之间的对应关系.
从数据和图象可以得出:
A 2.5 , h 5,T 12 , 0 ,
由T 2 12 ,得 .
6
所以 y 2.5sin x 50 x 24 .
6
二、数学建模在高中数学内容的渗透
二、数学建模在高中数学内容的渗透
8、概率统计模型
3、会从实际情境中抽象出一些简单的不等问题并加以解决； 会用基本不等式解决实际中简单的最值问题.
4、能运用三角函数知识分析处理实际问题, 掌握利用正弦定理、 余弦定理解决实际应用；
二、数学建模在高中数学内容的渗透
数学建模的教学重点在新课程中规定的应用：
5、了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本 几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问 题中的作用。
一、数学建模素养的意义
（一）数学建模的内涵
数学建模是通过对实际问题的简化和抽象后，用 数学原理建立模型，用数学方法解决问题，再回到实 际情境中解释、验证所得结果的数学活动过程。它主 要包括分析抽象、建立模型、求解模型和验证修改四 个阶段。其过程大致可用下图表示:
实际问题
分析抽象
建立模型
求解模型
验证修改
2020年高考山东版高考理科数学 第五节 生活中的优化问题举例(数学建模二)
第五节生活中的优化问题举例(数学建模二)A组基础题组1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件答案C由题意得,y'=-x2+81,令y'=0,解得x=9或x=-9(舍去).当0<x<9时,y'>0;当x>9时,y'<0.故当x=9时,y取最大值.2.(2019孝感模拟)某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式为y=x3-x+18(0<x≤120).要使该汽车行驶200千米时的油耗最低,则汽车匀速行驶的速度应为()A.60千米/时B.80千米/时C.90千米/时D.100千米/时答案C当速度为x千米/小时时,该汽车行驶200千米时行驶了小时,设耗油量为h(x)升,y=x3-x+18(0<x≤120).依题意得h(x)=-·=x2+-20(0<x≤120),h'(x)=x-=-(0<x≤120).令h'(x)=0,得x=90.当x∈(0,90)时,h'(x)<0,h(x)是减函数;当x∈(90,120]时,h'(x)>0,h(x)是增函数.所以当x=90时,h(x)取得极小值h(90)=18.因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以当x=90时取得最小值.故选C.3.设底面为正三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面正三角形的边长为()A. B. C. D.2答案C设底面正三角形的边长为x,侧棱长为l,则V=x2·sin60°·l,∴l=,∴S表=2S底+S侧=x2sin60°+3xl=x2+.令S'表=x-=0,得x=,又当x∈(0,)时,S'表<0;x∈(,+∞)时,S'表>0,∴当x=时,表面积最小.4.在半径为r的半圆内作一内接梯形,使其下底为直径,其他三边为圆的弦,则梯形的面积最大时,梯形的上底长为()A. B.r C.r D.r答案D设梯形的上底长为2x,高为h,面积为S,∵h=-,∴S=-=(r+x)·-.∴S'=---=-=-.令S'=0,得x=(x=-r舍去),∴h=r.当x∈时,S'>0;当x∈时,S'<0,∴当x=时,S取最大值,即当梯形的上底长为r 时,它的面积最大.5.某厂生产某种产品x件的总成本c(x)=1200+x3(万元),已知产品单价的平方与产品件数x 成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产量定为件时,总利润最大.答案25解析设产品的单价为p万元,根据已知,可设p2=,其中k为比例系数.因为当x=100时,p=50,所以k=250000,所以p2=,p=(x>0).设总利润为y万元,则y=·x-1200-x3=500-x3-1200.y'=-x2.令y'=0,得x=25.当0<x<25时,y'>0;当x>25时,y'<0.因此当x=25时,函数y取得极大值,也是最大值.6.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为cm.答案解析设该漏斗的高为x cm,则其底面半径为-cm,体积V=π(202-x2)x=π(400x-x3)(0<x<20),则V'=π(400-3x2).令V'=0,解得x1=,x2=-(舍去).当0<x<时,V'>0;当<x<20时,V'<0,所以当x=时,V取得最大值.7.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶过程中的耗油量y(L/h)关于行驶速度x(km/h)的解析式可以表示为y=x3-x+8(0<x≤120).已知甲、乙两地相距100km.(1)当汽车以40km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少?解析(1)汽车以40km/h的速度从甲地匀速行驶到乙地需=2.5(h),要耗油-×2.5=17.5(L).(2)当匀速行驶速度为x km/h时,汽车从甲地行驶到乙地需h,设耗油量为h L,依题意得h(x)=-=-+(0<x≤120),则h'(x)=-=-(0<x≤120).令h'(x)=0,得x=80.当x∈(0,80)时,h'(x)<0,h(x)是减函数;当x∈(80,120]时,h'(x)>0,h(x)是增函数.所以当x=80时,h(x)取得极小值h(80)=11.25.因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值,所以它也是最小值.所以当汽车以80km/h的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,为11.25L.8.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h 米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时,该蓄水池的体积最大.解析(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh=200πrh元,底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.又据题意知200πrh+160πr2=12000π,所以h=(300-4r2),从而V(r)=πr2h=(300r-4r3).又由r>0,h>0可得r<5,故函数V(r)的定义域为(0,5).(2)因V(r)=(300r-4r3),故V'(r)=(300-12r2).令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(舍去).当r∈(0,5)时,V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r∈(5,5)时,V'(r)<0,故V(r)在(5,5)上为减函数.由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.B组提升题组1.某商店经销一种奥运纪念品,每件产品的成本为30元,并且每卖出一件产品需向税务部门上交a(a为常数,4≤a≤5)元的税收,设每件产品的日售价为x(35≤x≤41)元,根据市场调查,日销售量与e x(e为自然对数的底数)成反比.已知每件产品的日售价为40元时,日销量为10件.(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式;(2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润L(x)最大?并求出L(x)的最大值.解析(1)设日销售量为,则=10,所以k=10e40,则日销售量为件.则日利润L(x)=(x-30-a)=--(35≤x≤41).(2)由(1)可得L'(x)=-,因为4≤a≤5,所以35≤a+31≤36.令L'(x)=0,得x=a+31,故L(x)在[35,a+31]上为增函数,在(a+31,41]上为减函数.所以当x=a+31时,L(x)取得最大值,最大值为10e9-a.2.某种商品的成本为5元/件,开始按8元/件销售,销售量为50件,为了获得最大利润,商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销.经试销发现:销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件,而降价后,日销售量Q(单位:件)与实际销售单价x(单位:元)满足关系:Q(x)=---(1)试写出该商家的销售利润y与销售单价x的函数关系式;(利润=销售额-成本)(2)当实际销售单价为多少元时,日销售利润最大?并求出最大利润.解析(1)根据题意得y=--------=-----(2)由(1)得当5<x<7时,y=39(2x3-39x2+252x-535),y'=39(6x2-78x+252),令y'=0,则6x2-78x+252=0,解得x=6或x=7(舍去).当5<x<6时,y'>0;当6<x<7时,y'<0,故当x=6时,y max=195.当7≤x<8时,y=6(33-x),故当x=7时,y max=156.当8≤x≤13时,y=-10x2+180x-650=-10(x-9)2+160,故当x=9时,y max=160.综上可知,当实际销售单价定为6元时,日销售利润最大,最大利润为195元.3.如图,点C为某沿海城市的高速公路出入口,直线BD为海岸线,∠CAB=,AB⊥BD,是以A 为圆心,半径为1km的圆弧形小路.该市拟修建一条从C通往海岸的观光专线-PQ,其中P 为上异于B,C的一点,PQ与AB平行,设∠PAB=θ.(1)证明:观光专线-PQ的总长度随θ的增大而减小;(2)已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍,当θ取何值时,观光专线-PQ的修建总成本最低?请说明理由.解析(1)证明:由题意,∠CAP=-θ,所以=-θ.又PQ=AB-APcosθ=1-cosθ,所以观光专线的总长度f(θ)=-θ+1-cosθ=-θ-cosθ++1,0<θ<.因为当0<θ<时,f'(θ)=-1+sin θ<0,所以f(θ)在上单调递减,即观光专线-PQ的总长度随θ的增大而减小.(2)设翻新道路的单位成本为a(a>0),则总成本g(θ)=a--=a(-θ-2cosθ++2),0<θ<,g'(θ)=a(-1+2sinθ),令g'(θ)=0,得sinθ=,因为0<θ<,所以θ=.当0<θ<时,g'(θ)<0;当<θ<时,g'(θ)>0.所以,当θ=时,g(θ)最小,即当θ=时,观光专线-PQ的修建总成本最低.。
高考高等数学试题技巧善用数学建模思维解题
高考高等数学试题技巧善用数学建模思维解题高考，那可是千军万马过独木桥的战场！在这激烈的角逐中，高等数学试题就像一个个狡猾的小怪兽，时不时跳出来给咱考生使绊子。
但别怕，今儿咱就来聊聊怎么用数学建模思维这把利剑，把这些小怪兽打得落花流水。
我先跟您唠唠我之前遇到的一个事儿。
有一次，我去参加一个数学竞赛培训，碰到一道特别有意思的题。
题目说：一个工厂生产零件，甲机器每小时生产 10 个，乙机器每小时生产 15 个，现在要生产 100 个零件，怎么安排这两台机器的工作时间才能最快完成任务？当时我就有点懵，这可咋整？后来老师点拨说，这就是一个典型的数学建模问题呀。
咱们设甲机器工作 x 小时，乙机器工作 y 小时，根据题目条件就能列出方程 10x ＋ 15y ＝ 100 。
然后再考虑实际情况，比如工作时间不能是负数，而且要找最小的工作时间，这不就有思路了嘛！从那以后，我算是明白了数学建模思维的厉害。
回到高考高等数学试题，这种思维方式更是大有用处。
比如说函数应用题，经常会给出一些实际场景，像销售利润啦、成本控制啦。
这时候，咱就得把题目中的文字信息转化成数学语言。
比如，销售价格和销售量之间有某种关系，那咱就设个函数来表示，然后通过求导、找最值这些手段来解决问题。
再比如几何问题，像求图形的面积、体积啥的。
咱可以先把图形的形状和条件搞清楚，建立一个合适的模型。
比如说一个圆锥体放在一个正方体里面，让求圆锥体体积的最大值，这就得考虑圆锥体和正方体的位置关系，找出约束条件，建立数学模型来求解。
还有概率统计的题目，也经常需要数学建模。
比如说调查一批产品的合格率，给出抽样的数据，让咱估计总体的合格率。
这时候就得想到用样本去估计总体的方法，建立相应的概率模型。
那怎么才能培养这种数学建模思维呢？首先，得多做练习题，见多识广嘛。
做完之后，别着急做下一道，好好总结一下，这道题是怎么从实际问题转化成数学模型的，用了哪些数学知识和方法。
其次，要学会观察生活中的数学现象。
数学建模高考内容分析及复习建议
数学建模高考内容分析及复习建议一、数学建模高考内容分析数学建模是数学教育中的一门重要课程，也是高考中的一项重要内容。
通过对数学建模高考内容进行分析，可以帮助学生了解考试要求，有针对性地进行复备考。
1. 数学建模的考试形式：高考数学建模试题一般分为选择题和非选择题两部分。
选择题主要考察学生对数学模型的理解和应用能力，而非选择题则要求学生能够独立思考、分析和解决实际问题。
数学建模的考试形式：高考数学建模试题一般分为选择题和非选择题两部分。
选择题主要考察学生对数学模型的理解和应用能力，而非选择题则要求学生能够独立思考、分析和解决实际问题。
2. 数学建模的考试内容：数学建模的考试内容十分广泛，涉及了数学的各个领域，如代数、几何、概率与统计等。
在考试中，学生需要具备数学基础知识，并能够将这些知识运用到实际问题中进行建模和求解。
数学建模的考试内容：数学建模的考试内容十分广泛，涉及了数学的各个领域，如代数、几何、概率与统计等。
在考试中，学生需要具备数学基础知识，并能够将这些知识运用到实际问题中进行建模和求解。
3. 数学建模的考察重点：数学建模试题通常注重对学生的综合能力的考察，包括数学建模思维能力、数学分析和推理能力、问题建模和解决能力等。
因此，学生在备考过程中应注重培养综合素质和综合运用数学知识的能力。
数学建模的考察重点：数学建模试题通常注重对学生的综合能力的考察，包括数学建模思维能力、数学分析和推理能力、问题建模和解决能力等。
因此，学生在备考过程中应注重培养综合素质和综合运用数学知识的能力。
二、数学建模高考复建议为了顺利备考数学建模高考，学生们可以采取以下复建议：1. 全面复数学基础知识：数学建模考试需要学生具备扎实的数学基础知识，因此，学生们应该全面复数学各个领域的知识点，并理解它们之间的联系。
全面复习数学基础知识：数学建模考试需要学生具备扎实的数学基础知识，因此，学生们应该全面复习数学各个领域的知识点，并理解它们之间的联系。
2021年数学新高考2卷 数学建模
2021年数学新高考2卷数学建模一、概述数学建模是数学与实际问题相结合的一门学科，它通过数学方法研究和解决实际问题。
近年来，随着社会发展和教育改革的不断推进，数学建模在高中数学教学中日益受到重视。
2021年数学新高考2卷中的数学建模题目也成为备受关注的焦点。
本文将针对2021年数学新高考2卷中的数学建模部分进行深入分析和讨论。
二、数学新高考2卷中的数学建模2021年数学新高考2卷中的数学建模部分分为A、B两道题。
在A题中，考生需要结合实际情景，利用函数、求导、积分等数学知识进行建模分析。
而B题则涉及到概率与统计、线性规划等知识，要求考生解决一个实际问题并加以分析。
整体来看，数学建模题目考察了考生对于数学理论与实际问题结合的能力，考生不仅需要掌握扎实的数学基础知识，还需要具备灵活运用知识解决实际问题的能力。
三、建模题目解析A题的建模题目主要涉及函数的性质和应用、导数在几何和科学问题中的应用以及定积分的应用等内容。
通过建立数学模型，考生需要解决一个关于质点运动及其相关问题的实际问题。
而B题则涉及到一个关于饲料配方和需求量的实际问题，要求考生利用线性规划模型进行分析和求解。
总体来看，这两道建模题目在考查考生对于数学理论与实际问题相结合的理解和应用能力的也着重考察考生的逻辑推理和问题解决能力。
四、考生解题策略针对建模题目，考生在解题时应该充分理解实际问题，抓住问题的关键点，建立合适的数学模型。
在求解过程中，要注意运用所学的数学知识，结合实际问题进行分析和推理，并且要善于将问题转化为数学问题进行求解。
另外，考生还应该注意对解题过程中的数学概念和方法进行合理的解释和阐述，使得解题过程清晰易懂。
通过逻辑严谨的证明和推理，全面展现数学建模的解题过程。
五、数学建模的意义数学建模是现代数学应用的一种重要形式，它将数学与科学、工程和社会实际问题相结合，为解决实际问题提供了重要的数学工具和方法。
通过数学建模，不仅能够培养学生的数学思维和分析问题的能力，还能将数学知识应用于实际生活中，提高学生的数学素养和实际应用能力。
“数学建模思想”在高考数学中的应用
数学建模思想 在高考数学中的应用郑记科(河南省驻马店高级中学㊀４６３０００)摘㊀要:在高考中ꎬ数学所占比重较大ꎬ同时难度也较大.学好数学ꎬ能够很大地与其他学生拉开差距.这样ꎬ有利于学生在高考中取得一个好的数学成绩ꎬ能够对学生的高考分数有一个提升ꎬ从而让学生多一点选择大学和专业的机会.在高考数学中应用 数学建模思想 ꎬ能够将复杂的数学题型简单化ꎬ从而提高数学的做题效率ꎬ让学生在规定的考试时间中获得一个更高的数学分数.基于此ꎬ本文将对 数学建模思想 在高考数学中的应用进行探究.关键词:数学建模思想ꎻ高考数学ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)０６－００３６－０３收稿日期:２０２１－１１－２５作者简介:郑记科(１９８２.８－)ꎬ男ꎬ河南省驻马店人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀高考数学ꎬ题型较多ꎬ题目新颖ꎬ难度较大.为了让学生在有限的考试时间内做出更多的题ꎬ做对更多的题ꎬ从而取得更高的数学分数ꎬ在高考数学中引进 数学建模思想 是尤为重要的. 数学建模思想 的引用ꎬ对于学生来说ꎬ是帮助学生理解题很好的方式ꎬ简化题目ꎬ这样ꎬ能够让学生去很快地解决问题ꎬ从而有时间对求解的结果进行检查ꎬ以此提高做题正确率ꎬ从而在高考数学中取得好成绩.因此ꎬ下文将从 数学建模思想 的定义以及 数学建模思想 在高考数学中的基本形式介绍 数学建模思想 .１ 数学建模思想 的定义为了去探究 数学建模思想 在高考数学中的应用ꎬ应该先对 数学建模思想 有一个简单的了解. 数学建模思想 其实可以理解为学生通过对文字性题目的分析ꎬ通过列方程组㊁不等式㊁函数ꎬ画几何图形等ꎬ使复杂的题目简单化ꎬ将文字性题目转换为学生所熟悉的数学方程式㊁图形等ꎬ从而更有利于学生去求解问题ꎬ提高做题效率等.在这样的基础上ꎬ通过 数学建模 ꎬ能够让学生以一个轻松愉悦的方式去学习数学ꎬ并且能够在高考数学中ꎬ考出水平ꎬ考出优势ꎬ这对于那些希望通过数学拉开差距ꎬ从而取得一个好的高考成绩的学生是很重要的.２ 数学建模 的基本高考题型高考数学是一个考查学生综合思维的学科ꎬ一般来说ꎬ高考数学题型较多ꎬ题目新颖ꎬ对于学生来说难度较大ꎬ但大部分题目都是可以通过 数学建模 来实现题目的简单化的ꎬ从而有利于学生去求解ꎬ提高做题效率与正确性.根据数学知识点的不同ꎬ数学建模可以分成多种形式ꎬ高考数学的题型也可以分为多种模型ꎬ从而有利于学生去逐一地掌握知识点.２.１函数模型例１㊀在２０１６年的山东高考数学中有这样一道函数题:已知函数Ｆ(Ｘ)的定义域为Ｒꎬ当Ｘ<０时ꎬＦ(Ｘ)＝Ｘ２－１ꎻ当－１ɤＸɤ１时ꎬＦ(－Ｘ)＝－Ｆ(Ｘ)ꎻ当Ｘ>０.５时ꎬＦ(Ｘ＋０.５)＝Ｆ(Ｘ－６３０.５)ꎬ求Ｆ(６).解决这一类问题ꎬ可以通过 数学建模思想 来完成.学生给通过读题目ꎬ分析出题目所给函数是一个组合函数ꎬ这一组合函数分为三段ꎬ在条件当Ｘ<０时ꎬＦ(Ｘ)＝Ｘ２－１中ꎬ可以画出Ｘ<０时的函数图像.而在条件当－１ɤＸɤ１时ꎬＦ(－Ｘ)＝－Ｆ(Ｘ)中ꎬ可以发现该函数在－１ɤＸɤ１区间内为奇函数ꎬ从而能够画出函数在－１ɤＸɤ１上的图像ꎬ从而得出函数式ꎻ而观察条件当Ｘ>０.５时ꎬＦ(Ｘ＋０.５)＝Ｆ(Ｘ－０.５)ꎬ可以发现函数在Ｘ>０.５上为周期函数ꎬ从而根据它们的周期规律ꎬ能够画出这一段的函数图像ꎬ并得到函数式.因为Ｆ(６)在Ｘ>０.５内ꎬ求出第三段的函数式将Ｘ＝６代入式子ꎬ就能进行结果的求解.通过逐步分析ꎬ辅助画图这一种 数学建模 的方法ꎬ能够让学生的解题思路更加清晰ꎬ也有利于计算结果的检验.２.２线性规划模型例２㊀在２０１２年的广东高考中有这样一道线性规划题:已知变量Ｘꎬｙ满足条件:Ｘ＋ｙɤ１ꎻＸ－ｙɤ１ꎻＸ＋１ȡ０.则Ｚ＝Ｘ＋２ｙ的最小值.求解这一问题ꎬ学生可以通过 数学建模思想 ꎬ将题目所给信息ꎬ转变为图形ꎬ从而有利于学生更直观地看出三个函数所处的位置.再将三条函数的相交点求出来.将Ｚ＝Ｘ＋２ｙ进行转化ꎬ在图上画出ｙ＝０.５Ｘ这个函数.让ｙ＝０.５Ｘ在平面直角坐标系中进行上下平移ꎬ最终找到Ｚ＝Ｘ＋２ｙ的最小值.这一方法ꎬ应用了空间想象与图形辅助的 数学建模思想 .通过文字转变为图形这一方法ꎬ能够让学生更直观地去求解这一类问题ꎬ从而为高考数学解题节省时间.２.３排列组合模型例３㊀甲㊁乙㊁丙㊁丁四人两两进行握手ꎬ问他们一共要握多少次手.对于这一问题ꎬ应用 数学建模思想 ꎬ学生可以联系实际ꎬ情节带入ꎬ再应用数学知识进行求解ꎬ这样往往能使问题简单化.学生可以先假设自己是甲ꎬ就需要和其他三位同学进行三次握手ꎻ再假设自己是乙同学ꎬ因为已经和甲同学握过手了ꎬ所以还需要和丙㊁丁两位同学进行两次握手ꎻ再假设自己是丙ꎬ因为已经和甲㊁乙两位同学握过手ꎬ所以只需和丁握一次手ꎻ当轮到丁时ꎬ他已经和全部四位同学握过手ꎬ所以不需要去再次握手.最终应用分类加法计数原理ꎬ计算出结果.对于像这样的一些简单的数学排列组合问题ꎬ可以这样情景带入ꎬ这样便于学生去展开思考ꎬ最终解决问题.还可以通过一些简单的文具ꎬ比如说笔ꎬ用四支笔ꎬ进行实际操作ꎬ两两配对ꎬ最终得到答案.通过情景带入这种 数学建模思想 ꎬ能够很好地解决排列组合这类问题.２.４立体几何模型例４㊀在一个圆柱体的物体上ꎬ一小虫子在圆柱体的侧面上进行爬行ꎬ从底上爬到与之相对的顶上ꎬ已知圆柱体的高为１０ｃｍꎬ圆柱体的圆的半径是４ｃｍꎬ问小虫爬过的距离.解决这一类问题ꎬ需要用到图形结合的 建模思想 ꎬ学生需要在草稿纸上画出一个圆柱体ꎬ在圆柱体上根据题目信息标注出小虫的起始点.联系实际生活ꎬ学生应该知道圆柱体应该是立体的ꎻ再结合课本知识ꎬ知道圆柱体的侧面展开是一个长方形ꎬ长方形的长就是底面或顶面圆的周长.而小虫爬行的距离为长方形的一顶点到另一边中点的距离ꎬ为一直角三角形的斜边.通过圆的周长公式算出圆的周长ꎬ取一半就是长方形同一侧顶点到中点的距离ꎬ就是直角三角形的一直角边ꎬ而圆柱体的高就是直角三角形的另一条直角边.通过直角三角形的边与边关系的公式ꎬ就能够求解出斜边ꎬ就是题目所要求的结果.这一 数学建模 的过程ꎬ应用了图形结合ꎬ实际联系等方式.２.５概率统计模型例５㊀简单的概率模型如:甲在一次比赛中获胜的概率为０.６ꎬ乙在一次比赛中获胜的概率为０.４ꎬ问甲乙两位同学进行三次比赛ꎬ采用三局两胜制ꎬ那么甲乙两同学获胜的概率分别为多少.解决这一类问题ꎬ学生同样可以应用 数学建模思想 ꎬ将这一问题与现实生活联系起来ꎬ进７３行 数学建模 .同学假设自己是甲ꎬ那么甲同学获胜分三种情况ꎬ一种是甲同学连续获胜两次ꎬ从而直接结束比赛ꎬ这种情况甲同学获胜的概率则为０.６∗０.６ꎻ另一种情况是甲第一次获胜ꎬ第二次失败ꎬ第三次再获胜ꎬ从而赢下比赛ꎬ这种情况ꎬ通过计算ꎬ获胜的概率为０.６∗０.４∗０.６.第三种情况ꎬ则是甲同学第一次失败ꎬ后两次获胜ꎬ而这种结果出现的概率为０.４∗０.６∗０.６ꎻ最后通过分类加法计数原理ꎬ将三次概率相加就是甲同学获胜的概率.计算乙同学获胜的概率也是一样的.通过 数学建模 ꎬ往往能够让学生在解决概率统计这类问题时ꎬ思路更加地清晰ꎬ从而解题的效率也就更高.在高考数学中ꎬ题型大概就是这些ꎬ对于不同种类的题型ꎬ应用相似的数学建模思想ꎬ往往也能够给数学题目建立起模型ꎬ从而方便学生去观察ꎬ去找出解决问题的最优方法ꎬ以此来提高学生的做题速度与正确性ꎬ从而取得一个好的数学成绩.这是教会学生去应对高考数学的一种很重要的方法.３数学建模思想在课堂中应用的措施３.１设立问题情境ꎬ激发学生兴趣一些学生在高中学习生涯中ꎬ总是感觉数学比较难学ꎬ成绩较难提高.其实学习数学知识并没有想象中的那么困难ꎬ只是学生在思想中对数学的恐惧ꎬ才造成学习数学困难的假象.建模思想是高中数学学习当中非常重要的一项内容ꎬ主要体现为主体性原则ꎬ从根本上来说ꎬ就是通过设置问题情境ꎬ使学生拥有对数学探究的热情ꎬ让学生对建模产生兴趣.３.２在高中数学课堂讲解的过程中ꎬ要渗透数学建模思想教师在数学课程中深入讲解数学概念ꎬ可以有力地渗透建模思想:第一ꎬ要通过分析数学理论本身所具有的一些特殊性ꎬ对数学当中的其他内容进行渗透ꎬ如在«三角函数»教学过程中ꎬ可利用三角函数的特性展开积极引导.第二ꎬ要注意数学教材当中一些规律性知识内容的总结延伸ꎬ使学生能够深入理解数学概念具有的普遍性.第三ꎬ通过对数学理论和模型间的相互联系ꎬ促使学生对概念产生更深的认识ꎬ进而全面理解数学建模同有关理论间的转换作用.３.３在应用题教学当中ꎬ数学建模思想的应用知识与实际问题结合的题目在逐年增多ꎬ利用数学运算来体现出数学事物的变换规律ꎬ建模方法更科学ꎬ数学结论更加可靠.因此ꎬ在实际应用题讲解过程中ꎬ需要进行一些基础知识的扩展ꎬ利用数学模型来实际解决问题.第一ꎬ在分析应用题的过程中ꎬ不仅要对题目更深层次的含义进行研究ꎬ而且还要将其进行变式.第二ꎬ依据一些原有的条件对数学模型进行有效求解.第三ꎬ依据数学模型体现出来的一些规律ꎬ展开科学预估.数学建模思想 能够帮助学生去应对高考数学中不同种类的题型ꎬ 数学建模 的过程ꎬ往往是根据数学题目中的一些条件ꎬ将复杂的文字表述转变为学生容易理解的解方程组㊁观察图形ꎬ联系实际等形式ꎬ从而让学生能够有条理地去分析问题ꎬ从而快速地求解出答案. 数学建模 的过程ꎬ不仅有利于学生去快速解决问题ꎬ也有利于学生去检验结果ꎬ从而提高学生做题的正确性.因此ꎬ 数学建模思想 在高考数学中的应用ꎬ对于学生来说发挥着巨大的作用.参考文献:[１]张定强ꎬ裴阳.探析建模思想落实核心素养 近五年高考数学建模思想考查的特征分析及启示[Ｊ].考试研究ꎬ２０１８(０６):８５－９０.[２]颜习位.近年高考中数学建模思想及其应用初探[Ｊ].青少年日记(教育教学研究)ꎬ２０１３(１０):６５.[３]梁远榕.运用建模思想解高考数学应用题浅探[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１０(１３):７１＋７３.[责任编辑:李㊀璟]８３。
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数学建模竞赛模拟题题目：中高考电子阅卷中的问题中高考电子阅卷中的问题摘要本文主要讨论的中高考电子阅卷问题中试卷的优化分配、成绩预处理和对教师评阅效果的定量评价问题，在充分理解题意的基础上，建立了合理的模型，并设计了相应的算法，从而有效地解决了上述问题，为考试提供了一个良好的阅卷环境。
1、试卷的分发问题。
根据题意要求，首先设计了一种随机分配算法，使其在满足基本条件的前提下实现较好的均匀性。
在算法设计时，采用计算机软件随机编号、排列组合和移位搜索相结合的思想，即对1000份试卷进行随机编号，并将其分成25个数据包组合，每个数据包含40份不同编号的试卷，然后将25个数据包重复3次分给40个阅卷教师，每次进行移位搜索以避免重复以及达到较好的均匀性。
然后，为了对随机分配结果进行均匀性评价，又设计了两两逐一比对的评价算法，计算出任意两位阅卷教师评阅同一份试卷的次数，从而得出本次任务单的均匀性。
2、评分的预处理问题。
首先选取一份均匀性好的任务分配单，任务单中包含了教师的编号i及其需要评阅的75个试卷编号n。
然后，利用MATLAB软件自带的库函数随机产生一组均值为70、方差为15并服从正态分布的数据作为评分成绩的模拟数据s，并将数据s通过计算搜索教师编号i与试卷编号n对应，从而得出1000份试卷的初始成绩。
为了使合成的试卷分数更加公正合理，采用归一化算法对不同阅卷教师的初始成绩进行标准化处理。
这里的归一化处理是对编号为i的教师的75个成绩的归一化。
然后再对编号为n的试卷的三个标准化成绩求几何平均得到该份试卷的标准成绩。
3、教师评阅效果的评价。
经过评分的预处理后可得教师i评阅试卷n的标准化成绩以及试卷n的标准成绩，然后求取方差，通过方差的大小来评判教师的评阅效果。
关键词：排列组合；移位搜索；计算搜索；归一化；方差目录一问题重述 (4)二问题分析 (5)三模型假设 (5)四符号说明 (6)五模型建立与求解 (6)六模型的评价 (15)七模型的推广与改进 (15)参考文献 (16)附录 (17)一问题重述近些年来，越来越多的考试已经采用标准的“电子阅卷”，尤其像中考、高考这样正规的大型考试。
对于广大考生来说，不仅仅要答对卷面上的题目，更要确保答案顺利通过“电子阅卷”的“法眼”，最终才能拿到理想的分数。
这对考生的书写规范和答题习惯就有了更多的要求。
考试之后都要经过阅卷的过程，除了几百名教师参与繁重的评阅试卷的工作外，许多管理工作都有很强的技术性。
比如试卷的分发、教师评分的预处理、对每位教师评阅效果的评价等。
这些做得好坏，直接影响着评阅的合理性和公正性，我们追求最优、最准确的评阅效果。
一次考试通常试卷有几百份，评阅前已将试卷打乱编号。
每份试卷就是一篇科技论文，评阅教师需要综合考虑各方面情况给出一个成绩。
每份试卷应有三名不同的教师评阅，所给出的三个成绩合成该试卷的最后成绩。
各位教师对自己所在单位的试卷应该回避，但这件事比较容易处理，我们这里就不考虑这个原因，也就是假设教师都没有本单位的试卷。
试卷的随机分发考虑有1000份试卷由40名阅卷教师评阅的情况。
每份三人评阅就共需要3000人次，每人阅卷75份。
提前编写程序，让试卷随机地分发到教师的任务单中。
注意让每份试卷分给每位教师等可能，另外任何两位教师交叉共同评阅一份试卷的情况也尽量均匀，即尽量不要出现交叉次数过多或过少的情况。
再编写一个程序，对一次分发的任务单进行均匀性的评价。
然后可以在多次生成的任务单中选出一个评价比较好的来使用。
请给出两个程序的算法或框图，并选出一个好的分配任务单供使用及对它的评价。
评分的预处理全部阅完之后，就要进行成绩的合成了。
但是，每个人见到的卷子不同，实际评分标准也不完全相同（尽管评阅前已经集体开会、讨论，统一评卷标准），大家的分数没有直接的可比性，所以不能简单地合成，需要预处理。
比如，可能出现一份试卷的两位评阅教师都给出70分的评价，但是其中一个70分是他给出的最高分，另一个则是他的最低分，能认为这个试卷就应该是70分吗？！请设计一个成绩预处理的算法把教师给出的成绩算得标准化成绩，然后用三个标准化成绩就可以直接合成了，使得合成的成绩尽量地公平合理并且为后面对教师评阅效果的评价提供方便。
教师评阅效果的评价阅卷全部结束之后，组织者要对所聘请的教师有一个宏观的评价，哪些教师比较认真，对评分标准掌握得也好，看论文又快又准，因此给出的成绩比较准确，是这次阅卷的主力。
下次再有类似的事情一定还请他们来，甚至于在下一次阅卷后合成成绩的时候给他们以更大的权值。
这些除了在日常的生活工作中会有所感觉外，大家给出的成绩也会说明一些问题。
请制定一个方法，利用每人给出的成绩，反过来给教师的评阅效果给出评价。
二问题分析2.1问题一的分析针对问题一，首先需要设计一个随机分配算法将1000份试卷随机、均匀地分配给40位阅卷教师。
在算法设计时，采用了计算机软件随机编号以保证任一份试卷分配给任一位教师的概率是相等的，采用排列组合方法使得每位教师分配到75份不同的试卷且每份试卷有三个不同的教师评阅。
另外，为了得到较好的均匀性，即任意两个教师交叉评阅一份试卷的数量不能过大也不能过小，需要设计一个好的算法或对随机分配结果不断修正，使其满足均匀性要求。
本文采用的是对1000份试卷的三次分配进行移位搜索的算法以达到良好的均匀性。
其次，为了对生成的任务单进行均匀性分析，需要对任意两个教师的试卷号逐一比对并统计其交叉的次数，根据交叉次数可以对本次任务单的均匀性作出评价。
2.2问题二的分析针对问题二，由于不同教师对试卷的评判标准不同，这将会对成绩的公正性与合理性造成一定的影响。
为了避免这种情况的出现，就需要对成绩进行预处理。
本文通过采用归一化方法对成绩进行标准化处理，可以得出试卷的标准化成绩。
由于每份试卷是由3位不同的阅卷教师共同评阅，因此对于任意一份试卷的标准成绩可由这份试卷对应的三位评委标准化成绩的几何平均求得。
通过对成绩的标准化处理，在很大一定程度上解决了试卷成绩的公正性与合理性问题。
2.3问题三的分析针对问题三，假设所有阅卷教师对任意一份试卷的评阅时间相等且不受其它外界因素的影响，因此，只有根据教师对试卷的评阅成绩来合理评价教师的评阅效果。
设计的算法是计算教师评阅的标准化成绩与标准成绩之间的偏离程度，并采用方差之和来表示某位阅卷教师本次阅卷的整体偏离程度，从而可以对阅卷教师的评阅效果作出一个合理的评判。
三模型假设1、计算机产生的伪随机数认为完全随机。
2、评阅试等概率性：每份试卷分发给每个阅卷教师的概率是相等的，不存在某阅卷教师一直评阅优秀答卷，另一个阅卷教师一直评阅较差答卷。
3、评阅委员的独立性，每位评委对试卷的评阅不受外界任何因素的干扰。
比如他评委所给出的成绩，自己的疲劳程度等。
4、所给出的成绩服从正态分布。
四符号说明i 阅卷教师编号n 试卷编号X教师i对第j份试卷的评阅成绩ijX教师i 75次评阅成绩的最大值ijmaxX教师i 75次评阅成绩的最小值ijminS编号为i的教师对第j份试卷的标准化成绩ij第j份试卷的标准成绩jY第i位教师评阅成绩相对于标准成绩的方差之和开平方imA教师m与教师n的交叉数（m,n值为1~40）n,()1五模型建立与求解5.1 试卷的随机分发根据题意要求，需首先给出一种试卷的随机分配方式，使其在每位阅卷教师评阅75份试卷且每份试卷需有三位不同教师评阅的基础上，任意两位教师共同评阅一份试卷的情况尽量均匀。
因此，本文设计了一种随机分配算法，使其在满足基本条件的前提下实现较好的均匀性。
在算法设计时，采用计算机软件随机编号、排列组合和移位搜索相结合的思想，即对1000份试卷进行随机编号，并将其分成25个数据包组合，每个数据包含40份不同编号的试卷，40份试卷对应分配给40位阅卷教师，然后将25个数据包重复3次分给40个阅卷教师，每次进行移位搜索以避免重复分配给同一个教师并使其达到较好的均匀性。
随机分配模型示意图如图5.1所示：图5.1 随机分配模型示意图在随机分配示意图中，第一列存放教师编号，共40行，表示40位教师。
第一行表示对数据包进行1~75次顺序分配，每25次完成对1000份试卷一次完全分配。
n 表示不同的试卷编号，即对应不同的试卷。
虽然教师编号没有随机排列，但1000份试卷的编号是随机排列的，因此每一份试卷分到每个教师的概率是等可能的，且概率P 如式（5-1）：110001C P（5-1）根据模型示意图，可得编程的具体算法实现框图，如图5.2所示：图5.2 试卷随机分配算法框图通过随机分配算法求得一次的任务单如表一：表一 随机分配任务单教师编号试卷编号1 609 678 423 55 464 … 378 232 196 76 904 2 452 343 475 506 956 … 219 242 750 494 690 3 123 744 838 488 425 … 616 107 221 205 967 4 448 92 871 963 911 … 982 134 103 916 326 5 872 705 749 376 584 … 829 504 398 143 128 6 772 600 532 636 369 … 113 384 898 81 145 7 99 723 402 649 11 … 214 854 866 172 909 8746865165148913…2544248865509079 174 301 306 661 399 …171 471 38 926 16410 333 170 35 931 101 …812 345 991 722 52111 635 999 6 869 54 …487 559 885 645 83912 556 325 948 879 975 …249 665 934 523 58613 971 784 881 3 951 …836 859 505 817 41314 396 756 265 790 105 …147 51 590 259 23015 932 682 720 358 899 …292 33 238 822 71616 699 520 834 96 675 …150 7 410 187 96817 294 983 752 870 335 …939 426 457 366 49618 244 440 732 166 578 …435 655 418 818 32819 281 409 789 802 296 …163 86 965 159 66920 692 304 840 320 883 …743 474 573 337 15121 32 742 419 691 176 …547 715 807 372 34922 643 797 673 739 902 …469 780 708 569 98823 361 905 518 880 218 …74 437 557 202 1724 408 91 944 136 360 …623 933 754 89 92525 40 146 336 594 30 …888 382 696 912 34626 22 894 121 269 321 …78 843 278 42 40127 460 119 271 68 950 …381 331 922 379 87328 960 763 390 530 726 …72 770 267 450 42229 860 190 877 16 461 …441 835 725 827 23930 261 672 767 882 706 …62 918 100 162 55831 303 319 519 674 689 …970 695 786 989 92932 653 625 851 140 721 …499 182 157 322 45433 175 112 804 135 357 …70 237 769 564 39734 545 127 228 651 400 …980 755 340 28 47935 34 241 160 599 969 …903 757 58 537 37436 758 816 593 69 133 …229 923 465 552 93037 773 824 841 310 291 …129 738 388 258 86238 646 798 236 542 186 …394 212 445 858 56239 152 762 805 832 149 …266 694 541 783 22340 796 592 710 115 736 …544 351 703 566 131特别说明：由于数据较多，只列出了前五列和后五列数据。