最新推荐中考数学专题复习 全等三角形习题选(含答案解析精华版)
法四：过 E 作 EF//AB 交 BC 于点 F,则∠FEB=∠ABE=∠FBE ∴EF=BF,同理 EF=CF, ∴BF=CF, EF= BC 又∵EF//AB//DC ∴AE=ED
1 2 1 ∴ EF ( AB DC ) 2
∴ BC=AB+DC 思路点拨：角平分线平行线，等腰三角形来添。 7. 已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C 证明：连接 BE ∵AB∥ED, ∴∠ABE=∠DEB 又∵∠EAB=∠BDE ,BE=EB ∴△ABE≌△DEB， ∴AE=DB 又∵AF=CD,EF=BC ∴△AFE≌△DCB， ∴∠C=∠F
最新推荐中考数学专题复习 经典三角形证明题选讲（含答案）
三角形辅助线做法线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验
1.已知：AB=4，AC=2，D 是 BC 中点，AD 是整数，求 AD
A
B
D
C
பைடு நூலகம்
1. 证明：延长 AD 到 E,使 DE=AD, 则△ADC≌△EBD ∴BE=AC=2 在△ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE ，∴10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又 AD 是整数,则 AD=5 思路点拨：三角形中有中线，延长中线等中线。
E D
F
C
A
B
8．如图，在△ABC 中，BD=DC，∠1=∠2，求 证明：延长 AD 至 H 交 BC 于 H; ∵BD=DC， ∴∠DBC=∠DCB ∵∠1=∠2， ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2; 即∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC ∴△ABD≌△ACD， ∴∠BAD=∠CAD
证：AD⊥BC．
D
B
和△
思路点拨：图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现 6. 如图，四边形 ABCD 中，AB∥DC， 分∠ABC、∠BCD，且点 E 在 AD 上。 BC=AB+DC。 证明:在 BC 上截取 BF=BA,连接 EF. FBE,BE=BE, ∴ ⊿ABE≌ΔFBE(SAS), ∠EFB=∠A; ∵AB∥CD, ∴∠A+∠D=180°; 又∵∠EFB+∠EFC=180°, ∴∠EFC=∠D; 又∵∠FCE=∠DCE,CE=CE, ∴⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD. ∴BC=BF+FC=AB+CD. 思路点拨：线段等于线段和，理应截长或补短 ∵∠ABE=∠ BE 、 CE 分别平 求 证 ：
3
∴AD⊥BC 思路点拨：中线、垂线、角平分线，三线合一试试看。 9．如图，OM 平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B 为垂足，AB 交 OM 于点 N． 求证：∠OAB=∠OBA 证明：∵OM 平分∠POQ ， MA⊥OP,MB⊥OQ ∴MA=MB ∴∠MAB=∠MBA ∵∠OAM=∠OBM=90 度 ∴∠OAB=90-∠MAB ， ∠OBA=90-∠MBA ∴∠OAB=∠OBA 思路点拨：同一三角形中角相等，可用等边对等角
2
法二：延长 BE 交 CD 的延长线于点 F，易证 BC=FC=FD+DC 又∵∠BCE=∠FCE∴BE=FE; 易证⊿ABE≌ΔDFE ∴AB=FD ∴ BC=AB+DC 法三：易证∠BEC=90°,取 BC 中点 F，连接 EF,则 EF BC BF ； ∴∠FEB=∠FBE=∠ABE∴AB∥EF 同理 DC∥EF 又∵F 为 BC 中点 ∴E 为 BC 中点 ∴ EF ( AB DC ) ∴BC=AB+DC 思路点拨：三角形两边有中点，连接可得中位线。 梯形一腰有中点，亦可尝试中位线
方法二 在 AC 上截取 AE=AB，连接 ED ∵AD 平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB，AD=AD∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）
C
A
∴∠AED=∠B，DE=DB ∵AC=AB+BD ，AC=AE+CE ∴CE=DE∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 思路点拨：线段等于线段和，理应截长或补短 5. 已 知 ： AC 平 分 ∠ BAD ， CE ⊥ AB ， ∠ B+ ∠ D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：过 C 作 CF⊥AD 交 AD 的延长线于 F.在△CFA CEA 中 ∴∠CFA＝∠CEA＝90°又∵∠CAF＝∠CAE， AC=AC ∴△CFA≌△CEA ， ∴AE＝AF＝AD＋DF， CE=CF ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠FDC＋∠ADC＝180° ∴∠B＝∠FDCE 在△CEB 和△CFD 中 ， CE=CF,∠CEB＝∠CFD＝90°, ∠B＝∠FDCE ∴△CEB≌△CFD ∴BE＝DF ∴ AE＝AD＋BE
2.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F 是 CD 中点，求证：∠1=∠2
A 12 B E
2.证明：连接 BF 和 EF. ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ △BCF≌△EDF(边角边). ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF. 连接 BE. 在△BEF 中,BF=EF，∴∠EBF=∠BEF 又∵ ∠ABC=∠AED，∴ ∠ABE=∠AEB. ∴ AB=AE 在△ABF 和△AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF. ∴ △ABF≌△AEF∴∠1=∠2. 思路点拨：解答本题的关键是能够想到证明 AB=AE,而 AB、AE 在同一个△ABE 中，可 利用∠ABE=∠AEB 来证明.同一三角形中线段等，可用等角对等边 3.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证： 证明： 过 E 点，作 EG//AC，交 AD 延长线于 G 则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2 又∵CD=DE∴△ADC≌△GDE（AAS）∴EG=AC B ∵EF∥AB∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=EG∴EF=AC 思路点拨：角平分线平行线，等腰三角形来添。
4.已知：AD 平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C
A 12 F C D E
C
F
D
EF=AC
证明：
延长 AC 到 E 使 CE=CD，连接 ED，则∠CDE=∠E
∵ AB=AC+CD ∴AB=AC+CE=AE
1
又∵∠BAD=∠EAD，AD=AD ∴△BAD≌△EAD ∴∠B=∠E ∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠ACB=2∠B
2024年八年级数学上册《全等三角形》及答案解析
第十二章全等三角形(单元重点综合测试)班级_________姓名________学号__________分数__________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.下列说法中，正确的有()①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D．A.1个B.2个C.3个D.4个2.下列各组图形中，是全等形的是()A. B.C. D.3.如图，点B在线段AD上，△ABC≌△EBD，AB=2cm，BD=5cm，则CE的长度为()A.2cmB.2.5cmC.3cmD.5cm4.小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，CD⊥BC，BO=OC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是()A.SSSB.ASAC.SASD.HL5.如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，AC∥DF，AC=DF，能判定△ABC≌△DEF的是()A.BC=DEB.AE=DBC.∠A=∠DEFD.∠ABC=∠D6.如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA=OB，则图中全等三角形有()A.1对B.2对C.3对D.4对7.现要在一块三角形形状的草坪上安装一个洒水龙头，要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，洒水龙头的位置应选在( )处A.三角形三边的垂直平分线的交点B.三角形的三条角平分线的交点C.三角形的三条高所在直线的交点D.三角形的三条中线的交点8.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，S△ABC=30,DE=4,BC=10，则AC的长是()A.5B.6C.7D.89.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列五个结论：①DE=DF；②BC=2DB；③AD⊥BC；④AB=3BF；⑤S△ADB=2S△BDF；其中正确的结论共有()A.4个B.3个C.2个D.1个10.新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，a∥b∥c，相邻两条平行线间的距离为m，等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC=90°，则△ABC的面积为()A.5m2 B.2m2 C.5m2 D.4m22二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，AD=AB，∠C=∠E，∠CDE=50°，则∠ABE=．12.如图，四边形ABCD≌四边形A B C D ．若∠B=90°，∠C=60°，∠D =105°，则∠A的大小为度．13.如图，D，E是边BC上的两点，BD=CE，∠ADB=∠AEC，现要直接用“AAS”定理来证明△ABD≌△ACE，请你再添加一个条件：．14.已知△ABC面积为24，将△ABC沿BC的方向平移到△A B C 的位置，使B 和C重合，连接AC 交A C于D，则△C DC的面积为．15.如图，△ABC中∠A=66°，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，则∠BMN的度数是．16.如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB=15cm，AC=6cm．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=CB．若点E的运动时间为t秒t>0，则当t=秒时，△DEB与△BCA全等．三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)17.已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=ED．18.如图，已知AB∥CD，AB=CD．(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)判断BC与AD的位置关系，并说明理由．19.如图，已知AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE=OF．(1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来；(2)求证：∠MAE=∠NCF．20.如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B(1)求证：△ABC≌△CDE(2)若∠A=55°,求∠BCD的度数．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21.如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=106°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=53°．(1)求∠ACE的度数；(2)求证：AE平分∠CAF；(3)若AC+CD=16，AB=10，且S△ACD=24，则△ABE的面积．22.问题提出：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD与∠BCD互补，∠B与∠D互补，AB=AD，∠BAD=x°0<x<180，∠ACB=y°，数学兴趣小组在探究y与x的数量关系时，经历了如下过程：实验操作：(1)数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示：x⋯304050607080β130y757065α555040θ这里α=，β=，θ=．猜想证明：(2)根据表格，猜想：y与x之间的关系式为；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法：如图2，延长CB到E，使BE=DC，连接AE，⋯，请你根据其思路将证明过程补充完整，并验证(1)中结论的正确性．应用拓广：(3)如图3，若x+y=135，AC=10，求四边形ABCD的面积．23.(1)【问题解决】如图①，∠AOB=∠DFE=90°，OC平分∠AOB，点F在OC上，∠DFE的两边分别与OA，OB交于点D，E．当FE⊥OB，FD⊥OA时，则FD与FE的数量关系为；(2)【问题探究】如图②，在(1)的条件下，过点F作两条相互垂直的射线FM，FN，分别交OA，OB于点M，N，判断FM与FN的数量关系，说明理由；(3)【迁移应用】某学校有一块四边形的空地ABCD，如图③所示，∠DAB=∠DCB=90°，AC是∠DAB的平分线，AB= 50m，AD=30m，直接写出该空地的面积．五、(本大题共2小题，每小题12分，共24分)24.综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在OA、OB上分别取点C、E、D、F，使得OC=OD，OE=OF，连接CF、DE，交点为P，则射线OP为∠AOB的角平分线．【验证】(1)试说明OP平分∠AOB，且PE=PF；【应用】(2)如题图2，若C、E、D、F分别为OA、OB上的点，且OC=OD，CF⊥OA，DE⊥OB，试用(1)中的原理说明OP平分∠AOB；【猜想】(3)如题图3，P是∠AOB角平分线上一点，C、D分别为OA、OB上的点，且PC=PD，请补全图形，并直接写出∠PCO与∠PDO的数量关系．25.【模型呈现】(1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥CA于点C，DE⊥AE于点E．求证：BC=AE．【模型应用】(2)如图2，EA⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积．【深入探究】(3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC、DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．①求证DG=GE；②若BC=21，AF=12，求△ADG的面积．第十二章全等三角形(单元重点综合测试)班级_________姓名________学号__________分数__________考试范围：全章的内容；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.下列说法中，正确的有()①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】根据全等形的定义，全等三角形的判定与性质，即可判断．【详解】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，即形状和大小相同的两个图形是全等形，故①②说法错误；全等三角形能够完全重合，所以全等三角形的周长相等，面积相等，故③说法正确；若△ABC≌△DEF，∠A的对应角为∠D，所以∠A=∠D，故④说法正确；说法正确的有③④，共2个．故选：B．【点睛】本题考查全等形，理解能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题关键．2.下列各组图形中，是全等形的是()A. B.C. D.【答案】B【分析】本题考查全等形，掌握能完全重合的两个图形是全等形是解题的关键．【详解】观察发现：A，C，D选项中两个图形不能完全重合，不是全等形；B选项中两个图形能完全重合，是全等形，故选B．3.如图，点B在线段AD上，△ABC≌△EBD，AB=2cm，BD=5cm，则CE的长度为()A.2cmB.2.5cmC.3cmD.5cm【答案】C【分析】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键熟练掌握性质的应用．根据全等三角形的对应边相等，再利用线段和差即可求解．【详解】∵△ABC≌△EBD，∴BE=AB=2cm，BC=BD=5cm，∴CE=BC-BE=3cm，故选：C．4.小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，CD⊥BC，BO=OC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是()A.SSSB.ASAC.SASD.HL【答案】B【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．直接利用全等三角形的判定方法即可得出答案．【详解】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABO=∠DCO=90°，在△ABO和△DCO中，∠ABO=∠DCOBO=OC=CO∠BOA=∠COD，∴△ABO≌△DCO ASA∴证明△ABO≌△DCO的依据的是ASA，故选：B．5.如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，AC∥DF，AC=DF，能判定△ABC≌△DEF的是()A.BC=DEB.AE=DBC.∠A=∠DEFD.∠ABC=∠D【答案】B【分析】本题考查三角形全等的判定，先根据平行线的性质得到∠A=∠D，加上AC=DF，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断即可，掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，HL是解题的关键．【详解】解：∵AC∥DF，∴∠A=∠D，∵AC=DF，A、添加BC=DE，不能判定△ABC≌△DEF；B、添加AE=DB，能判定△ABC≌△DEF；C、添加∠A=∠DEF，不能判定△ABC≌△DEF；D、添加∠ABC=∠D，不能判定△ABC≌△DEF；故选：B．6.如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA=OB，则图中全等三角形有()A.1对B.2对C.3对D.4对【答案】C【分析】本题主要考查三角形全等的判定定理，角平分线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方程是解题的关键．根据全等三角形的判定分别证明△AOP≌△BOP(SAS)，Rt△P AE≌Rt△PBF HL，△OEP≌△OFP (AAS)，即可得到答案．【详解】解：∵OP平分∠MON，∴∠AOP=∠BOP，∵OA=OB，OP=OP，∴△AOP≌△BOP(SAS)；∴AP=BP，∵OP平分∠MON，PE⊥OM,PF⊥ON∴PE=PF，∵PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，∴Rt△P AE≌Rt△PBF HL；∵OP平分∠MON，∴∠AOP=∠BOP，又∵∠OEP=∠OFP=90°,OP=OP，∴△OEP≌△OFP(AAS)．∴图中全等三角形有3对故选C．7.现要在一块三角形形状的草坪上安装一个洒水龙头，要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，洒水龙头的位置应选在( )处A.三角形三边的垂直平分线的交点B.三角形的三条角平分线的交点C.三角形的三条高所在直线的交点D.三角形的三条中线的交点【答案】B【分析】本题考查的是三角形的角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．【详解】解：要使洒水龙头到草坪三条边的距离相等，则洒水龙头的位置应选在三角形三条角平分线的交点，故选：B8.如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC 于点E ，S △ABC =30,DE =4,BC =10，则AC 的长是()A.5B.6C.7D.8【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理．过点D 作DF ⊥AC 于点F ，根据角平分线的性质可得DE =DF =4，再由S △ABC =S △DBC +S △DAC ，即可求解．【详解】解：如图，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，DE =4，∴DE =DF =4，∵S △ABC =S △DBC +S △DAC ，S △ABC =30，BC =10，∴30=12DE ×BC +12DF ×AC ，∴30=12×4×10+12×4×AC ，∴AC =5，故选：A ．9.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF ∥AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE =2BF ，给出下列五个结论：①DE =DF ；②BC =2DB ；③AD ⊥BC ；④AB =3BF ；⑤S △ADB =2S △BDF ；其中正确的结论共有()A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，由角平分线的性质和平行线的性质可证∠ACB=∠ABC，可得AC=AB，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，CD= BD，由“ASA”可证△CDE≌△BDF，可得S△CDE=S△BDF，CE=BF，DE=DF，即可求解．【详解】解：∵BC恰好平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∵BF∥AC，∴∠ACB=∠CBF，∴∠ACB=∠ABC，∴AC=AB，且AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，BC=2DB，故②，③正确，符合题意；在△CDE和△BDF中，∠ACB=∠CBF CD=BD∠CDE=∠BDF，∴△CDE≌△BDF ASA，∴S△CDE=S△BDF，CE=BF，DE=DF，故①正确，符合题意；∵AE=2BF，∴AC=3BF=AB，故④正确，符合题意；∵BD=CD，∴S△ADB=S△ACD，∵AE=2BF，∴S△ADB=S△ACD=3S△CDE=3S△BDF，故⑤错误，不符合题意；故选：A．10.新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，a∥b∥c，相邻两条平行线间的距离为m，等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC=90°，则△ABC的面积为()A.52m2 B.2m2 C.5m2 D.4m2【答案】A【分析】本题主要考查平行线间的距离，全等三角形的判定与性质，过点B作BE⊥直线a于点E，延长EB交直线c于点F，过点C作CD⊥直线a于点D，证明△CDA≌△AEB(AAS)，得出AE=CD=2m,AD=BE=m，CF=DE=AD+AE=m+2m=3m，再根据=S四边形DEFE-S△ACD×2-S△BCF求解即可【详解】解：过点B作BE⊥直线a于点E，延长EB交直线c于点F，过点C作CD⊥直线a于点D，则∠CDA=∠AEB=90°，如图，∵a∥b∥c，相邻两条平行线间的距离为m，∴BF⊥直线c，CD=2m,BE=BF=m,∵∠CAB=90°,∠CDA=90°∴∠DCA+∠DAC=90°，∴∠DCA=∠EAB，在△CDA和△AEB中，∠DCA=∠EAB∠CDA=∠AEBAC=AB，∴△CDA≌△AEB(AAS)，∴AE=CD=2m,AD=BE=m，∴CF=DE=AD+AE=m+2m=3m∴△ABC的面积=S四边形DEFE -S△ACD×2-S△BCF=3m×2m-12×2m×m×2-12×3m×m=52m2故选：A二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.如图，AD=AB，∠C=∠E，∠CDE=50°，则∠ABE=．【答案】130°/130度【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，邻补角的定义，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．证明△ADC≌△ABE AAS得出∠ADC=∠ABE，根据邻补角即可求解．【详解】解：∵在△ADC和△ABE中，∠C=∠E∠A=∠AAD=AB，∴△ADC≌△ABE AAS，∴∠ADC=∠ABE，∵∠CDE=50°，∴∠ADC=180°-50°=130°，∴∠ABE=130°．故答案为：130°．12.如图，四边形ABCD≌四边形A B C D ．若∠B=90°，∠C=60°，∠D =105°，则∠A的大小为度．【答案】105【分析】本题考查了全等图形的性质和四边形内角和公式，解题的关键在于熟练掌握全等图形的性质．根据全等的性质求出∠D=∠D ，利用四边形的内角和公式求出∠A的度数即可．【详解】解：∵四边形ABCD≌四边形A B C D ．∴∠D=∠D ，∵∠D =105°，∴∠D=105°，∵∠B=90°,∠C=60°，∴∠A=360°-90°-60°-105°=105°，故答案为：105．13.如图，D，E是边BC上的两点，BD=CE，∠ADB=∠AEC，现要直接用“AAS”定理来证明△ABD≌△ACE，请你再添加一个条件：．【答案】∠BAD=∠CAE【分析】在△ABE与△ACD中，已知AE=AD，∠AED=∠ADE，即已知一角及角的一边对应相等，根据“AAS”的判定方法，可以添加已知边的对角对应相等即可．本题考查了全等三角形的判定定理：AAS：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．【详解】解：可添加一个条件：∠BAD=∠CAE，使△ABD≌△ACE．理由：在△ABD与△ACE中，∠BAD=∠CAE∠AED=∠ADEBD=CE，∴△ABD≌△ACE(AAS)．故答案为∠BAD=∠CAE14.已知△ABC面积为24，将△ABC沿BC的方向平移到△A B C 的位置，使B 和C重合，连接AC 交A C于D，则△C DC的面积为．【答案】12【分析】根据平移的性质可得AC=A C ，BC=B C ，AC∥A C ，证明△ADC≌△C DA ，得到AD=C D，则S△C DC =12S△ACC，再推出S△ABC=S△ACC=24，则S△C DC=12S△ACC=12．【详解】解：由平移的性质可得AC=A C ，BC=B C ，AC∥A C ，∴∠DCA=∠DA C ，∠DAC=∠DC A ，∴△ADC≌△C DA ASA，∴AD=C D，∴S△C DC =12S△ACC，∵BC=CC ，△ABC的面积为24，∴S△ABC=S△ACC=24，∴S△C DC =12S△ACC=12．故答案为：12．【点睛】本题主要考查了平移的基本性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，熟知平移的性质是解题的关键：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．15.如图，△ABC中∠A=66°，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，则∠BMN的度数是．【答案】52°/52度【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理．过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NG=NF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出MN平分∠BMC，然后根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB,再根据角的三等分求出∠MBC+∠MCB的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠BMC的度数，从而得解．【详解】解：如图，过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，∵点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，∴BN平分∠MBC，CN平分∠MCB，∴NE=NG,NF=NG，∴NE=NF，∴MN平分∠BMC，∴∠BMN=12∠BMC，∵∠A=66°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-66°=114°，∴∠MBC+∠MCB=23∠ABC+∠ACB=76°，在△BMC中，∠BMC=180°-∠MBC+∠MCB=180°-76°=104°∴∠BMN=12∠BMC=52°．故答案为：52°．16.如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB=15cm，AC=6cm．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=CB．若点E的运动时间为t秒t>0，则当t=秒时，△DEB与△BCA全等．【答案】3或7或10【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是要分情况讨论．分情况，当E在线段AB上，或当E在线段AB延长线上，由HL即可求解．【详解】解：∵CA⊥AB，BM⊥AB，∠CAB=∠DBE=90°，∵ED=CB，当E在线段AB上时，若BE=AC，∴Rt△DEB≌Rt△BCA(HL)，∵AE=3tcm，∴BE=AB-AE=15-3tcm，∴15-3t=6，∴t=3；若BE=AB，∴Rt△DEB≌Rt△CBA(HL)，∴AE=0，∴t=0(舍去)，当E在线段AB延长线上时，若BE=AC，∴Rt△DEB≌Rt△BCA(HL)，∵AE=3t=AB+BE=15+6=21(cm)，∴t=7，若BE=AB，∴Rt△DEB≌Rt△CBA(HL)，∵AE=3t=AB+BE=15+15=30(cm)，∴t=10，∴当t=3或7或10秒时，△DEB与△BCA全等．故答案为：3或7或10．三、(本大题共4小题，每小题6分，共24分)17.已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=ED．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由∠1=∠2可得∠EAD=∠BAC，再根据条件AB=AE，∠C=∠D，可利用AAS证明△ABC≌△AED AAS，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论．【详解】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即∠EAD=∠BAC，在△EAD和△BAC中，∠C=∠D∠BAC=∠EADAB=AE，∴△ABC≌△AED AAS，∴BC=ED．18.如图，已知AB∥CD，AB=CD．(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)判断BC与AD的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)BC∥AD，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABC≌△CDA．(1)利用SAS证明△ABC≌△CDA即可；(2)由△ABC≌△CDA，得∠BCA=∠CAD，进而可以判断BC与AD的位置关系．【详解】(1)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，在△ABC与△CDA中，AB=CD∠BAC=∠ACDAC=CA，∴△ABC≌△CDA SAS；(2)解：BC∥AD，理由如下：∵△ABC≌△CDA，∴∠BCA=∠CAD，∴BC∥AD．19.如图，已知AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过O作一条直线分别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE=OF．(1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来；(2)求证：∠MAE=∠NCF．【答案】(1)4；△ABC≌△CDA，△AMO≌△CNO，△OAE≌△OCF，△AME≌△CNF(2)证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，找出判定三角形全等的条件是解题的关键．(1)结合已知条件，再根据全等三角形的四个判定方法，即可找出所有的全等三角形；(2)先证明△AME≌△CNF SSS，即可证明∠MAE=∠NCF．【详解】(1)解：有4对全等三角形，分别为：△ABC≌△CDA，△AMO≌△CNO，△OAE≌△OCF，△AME≌△CNF，理由如下：∵AB=CD，BC=AD=DA，AC=CA，∴△ABC≌△CDA SSS，∴∠BAC=∠DCA，即∠MAO=∠NCO，∵O为AC的中点，∴OA=OC，又∵∠AOM=∠CON，∴△AMO≌△CNO ASA，∴AM=CN，OM=ON，∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，∴△OAE≌△OCF SAS，∴AE=CF，∵OE=OF，OM=ON，∴OE-OM=OF-ON，即ME=NF，又∵AM=CN，∴△AME≌△CNF SSS；(2)证明：∵AB=CD，BC=AD=DA，AC=CA，∴△ABC≌△CDA SSS，∴∠BAC=∠DCA，即∠MAO=∠NCO，∵O为AC的中点，∴OA=OC，又∵∠AOM=∠CON，∴△AMO≌△CNO ASA，∴AM=CN，OM=ON，∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，∴△OAE≌△OCF SAS，∴AE=CF，∵OE=OF，OM=ON，∴OE-OM=OF-ON，即ME=NF，又∵AM=CN，∴△AME≌△CNF SSS，∴∠MAE=∠NCF．20.如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B(1)求证：△ABC≌△CDE(2)若∠A=55°,求∠BCD的度数．【答案】(1)详见解析(2)125°【分析】本题考查了平行线性质和全等三角形的性质和判定的应用，证得△ABC≌△CDE是解题的关键．(1)根据平行线求出∠ACD=∠CDE，∠ACB=∠CED，再说明∠B=∠CDE，最后结合AC=CE运用AAS即可证明结论；(2)根据全等三角形性质得出∠A=∠E=55°，进而根据平角定义即可解答．【详解】(1)证明∶∵AC∥DE，∴∠ACD=∠CDE，∠ACB=∠CED，∵∠ACD=∠B，∴∠B=∠CDE，∵AC=CE，∴△ABC≌△CDE AAS．(2)解：∵∠A=55°，∵△ABC≌△CDE，∴∠A=∠ECD=55°，∴∠BCD=180°-∠ECD=180°-55°=125°．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)21.如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=106°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=53°．(1)求∠ACE的度数；(2)求证：AE平分∠CAF；(3)若AC+CD=16，AB=10，且S△ACD=24，则△ABE的面积．【答案】(1)∠ACE=37°(2)证明见解析(3)15【分析】本题主要考查了邻补角的性质、角平分线的性质与判定定理、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．(1)根据邻补角的定义和垂直的定义可得∠ACD=74°、∠CHE=90°，进而得到∠ECH=37°，然后根据∠ACE=∠ACD-∠ECH即可解答；(2)如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得EM=EH、CE平分∠ACD、EN=EH，最后根据角平分线的判定定理即可解答；(3)根据S△ACD=S△ACE+S△CED结合已知条件可得EM=3，最后运用三角形的面积公式即可解答．【详解】(1)解：∵∠ACB=106°，∴∠ACD=180°-106°=74°，∵EH⊥BD，∴∠CHE=90°，∵∠CEH=53°，∴∠ECH=90°-53°=37°，∴∠ACE=∠ACD-∠ECH=74°-37°=37°．(2)证明：如图：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，∵BE平分∠ABC，∴EM=EH，∵∠ACE =∠ECH =37°，∴CE 平分∠ACD ，∴EN =EH ，∴EM =EN ，∴AE 平分∠CAF ．(3)解：∵AC +CD =16，S △ACD =24，EM =EN =EH ，∴S △ACD =S △ACE +S △CED =12AC ⋅EN +12CD ⋅EH =12(AC +CD )⋅EM =24，即12×16⋅EM =24，解得EM =3，∵AB =10，∴S △ABE =12AB ⋅EM =15．22.问题提出：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD 与∠BCD 互补，∠B 与∠D 互补，AB =AD ，∠BAD =x °0<x <180 ，∠ACB =y °，数学兴趣小组在探究y 与x 的数量关系时，经历了如下过程：实验操作：(1)数学兴趣小组通过电脑软件“几何画板”进行探究，测量出部分结果如下表所示：x⋯304050607080β130y 757065α555040θ这里α=，β=，θ=．猜想证明：(2)根据表格，猜想：y 与x 之间的关系式为；数学兴趣小组发现证明此猜想的一种方法：如图2，延长CB 到E ，使BE =DC ，连接AE ，⋯，请你根据其思路将证明过程补充完整，并验证(1)中结论的正确性．应用拓广：(3)如图3，若x +y =135，AC =10，求四边形ABCD 的面积．【答案】(1)60，100，15；(2)y =90-12x ，理由见详解；(3)S 四边形ABCD =50【分析】(1)观察表格发现：x 每增加10，y 减小5，由此即可得出α、β、θ的值．(2)根据表格猜想：y =90-12x ．延长CB 到E ，使BE =DC ，连接AE ，则可得△ABE ≌△ADE ，进而可得AE =AC ，∠EAB =∠CAD ，则可得∠EAC =x °．在△AEC 中，根据三角形内角和定理即可得出y 于x 之间的关系式．(3)延长CB 到E ，使BE =DC ，连接AE ．由(2)得△ABE ≌△ADE ，则S △ABE =S △ADE ，进而可得S 四边形ABCD =S △AEC ．由x +y =135，y =90-12x 可得x =90，y =45．则可得∠EAC =90°，∠AEC =∠ACE =45°，进而可得AE =AC =10，可得S △AEC 的值，即可得S 四边形ABCD 的值．【详解】(1)观察表格发现：x每增加10，y减小5，∴α=65-5=60，β=80+2×10=100，θ=40-3×5=15．故答案为：60，100，15，x．(2)根据表格猜想：y=90-12证明：如图2，延长CB到E，使BE=DC，连接AE，则∠ABC+∠ABE=180°，又∵∠ABC+∠D=180°，∴∠ABE=∠D，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴AE=AC，∠EAB=∠CAD，∴∠E=∠ACB=y°，∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠CAD+∠BAC=∠BAD=x°．在△AEC中，∠EAC+∠E+∠ACE=180°，∴x°+2y°=180°，y=90-1x．2(3)如图，延长CB到E，使BE=DC，连接AE．由(2)得△ABE≌△ADE，∴S△ABE=S△ADE，=S△ACD+S△ABC=S△ABE+S△ABC=S△AEC，∴S四边形ABCD∵x+y=135，y=90-1x，2x=135，∴x+90-12解得x=90，y=45，∴∠EAC=90°，∠AEC=∠ACE=45°，∴AE=AC=10，×10×10=50，∴S△AEC=12∴S=50．四边形ABCD【点睛】本题考查了数字类探索规律问题，以及全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握以上知识，证明出y与x之间的关系式是解题的关键．23.(1)【问题解决】如图①，∠AOB =∠DFE =90°，OC 平分∠AOB ，点F 在OC 上，∠DFE 的两边分别与OA ，OB 交于点D ，E ．当FE ⊥OB ，FD ⊥OA 时，则FD 与FE 的数量关系为；(2)【问题探究】如图②，在(1)的条件下，过点F 作两条相互垂直的射线FM ，FN ，分别交OA ，OB 于点M ，N ，判断FM 与FN 的数量关系，说明理由；(3)【迁移应用】某学校有一块四边形的空地ABCD ，如图③所示，∠DAB =∠DCB =90°，AC 是∠DAB 的平分线，AB =50m ，AD =30m ，直接写出该空地的面积．【答案】(1)FD =FE ；(2)FM =FN ，理由见详解；(3)1600m 2【分析】(1)根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得FD =FE ；(2)先根据四边形内角和等于360°可得∠DFE =90°，由∠DFE =∠FMN =90°可得∠DFM =∠EFN ，再根据ASA 证明△DFM ≌△EFN ，则可得FM =FN ；(3)过C 点作CE ⊥AB 于E 点，CF ⊥AD 的延长线于F 点．由(2)得△CFD ≌△CEB ，则可得FD =EB ，S △CFD =S △CEB ，进而可得S 四边形ABCD =S 四边形AECF ．证明△ACF ≌△ACE (，则可得AF =AE ，由AE =AB -BE 、AF =AD +DF 可求得BE 的长，进而可得AF 、AE 的长，由此可得S 四边形AECF 的值，即可得S 四边形ABCD 的值．【详解】(1)解：∵OC 平分∠AOB ，点F 在OC 上，且FE ⊥OB ，FD ⊥OA ，∴FD =FE ．(2)解：FD =FE ，理由如下：∵FD ⊥OA ，FE ⊥OB ，∴∠FDO =∠FEO =∠FEN =90°，∵四边形DOEF 中，∠FDO =∠FEO =∠AOB =90°，∴∠DFE =360°-∠FDO -∠FEO -∠AOB =90°，∴∠DMF +∠MFE =90°，又∵FM ⊥FN ，∴∠FMN =90°，∴∠DFM =∠EFN ，在△DFM 和△EFN 中，∠FDM =∠FENFD =FE ∠DFM =∠EFN，∴△DFM ≌△EFN (ASA )，∴FM =FN ．(3)解：如图，过C 点作CE ⊥AB 于E 点，CF ⊥AD 的延长线于F 点，由(2)得△CFD≌△CEB，∴FD=EB，S△CFD=S△CEB，∴S四边形ABCD =S四边形AECF，∵AC是∠DAB的平分线，∴∠DAC=∠CAB，又∵∠CFB=∠CEA=90°，AC=AC，∴△ACF≌△ACE(AAS)，∴AF=AE，又∵AE=AB-BE,AF=AD+DF，∴AB-BE=AD+DF，∴50-BE=30+BE，解得BE=10，∴AF=AE=40，∴S四边形AECF=40×40=1600m2，∴S四边形ABCD=1600m2，答：该空地的面积为1600m2．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．五、(本大题共2小题，每小题12分，共24分)24.综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在OA、OB上分别取点C、E、D、F，使得OC=OD，OE=OF，连接CF、DE，交点为P，则射线OP为∠AOB的角平分线．【验证】(1)试说明OP平分∠AOB，且PE=PF；【应用】(2)如题图2，若C、E、D、F分别为OA、OB上的点，且OC=OD，CF⊥OA，DE⊥OB，试用(1)中的原理说明OP平分∠AOB；【猜想】(3)如题图3，P是∠AOB角平分线上一点，C、D分别为OA、OB上的点，且PC=PD，请补全图形，并直接写出∠PCO与∠PDO的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)补全图形见解析，∠PCO=∠PDO或∠PCO+∠PDO=180°【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．(1)先证明△DOE≌△COF(SAS)，得∠PEC=∠PFD，再证△CPE≌△DPF(AAS)，得PE=PF，然后证△OPE≌△OPF(SSS)，得∠POE=∠POF，即可得出结论；(2)先证明△OCF≌△ODE(ASA)，可得OF=OE，由(1)可得OP平分∠AOB；(3)过点P分别作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，分两种情况进行求解即可．【详解】解：(1)∵OC=OD，∠DOE=∠COF，OE=OF，∴CE=DF，△DOE≌△COF(SAS)，∴∠PEC=∠PFD，∵∠CPE=∠DPF，CE=DF，∴△CPE≌△DPF(AAS)，∴PE=PF，∵OE=OF，PE=PF，OP=OP，∴△OPE≌△OPF(SSS)，∴∠POE=∠POF，即∠POA=∠POB，∴射线OP平分∠AOB；(2)∵CF⊥OA，DE⊥OB，∴∠OCF=∠ODE=90°，∴∠COF=∠DOE，OC=OD，∴△OCF≌△ODE(ASA)，∴OF=OE，由(1)可得OP平分∠AOB；(3)补全图形如下，过点P分别作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，∵OP是∠AOB的平分线，∴PM=PN，∠PMC=∠PND=90°，当PC=PD1时，在Rt△PMC和Rt△PND1中，PC=PD1，PM=PN∴Rt△PMC≌Rt△PND1(HL)，∴∠PCO=∠PD1O；当PC=PD2时，同理得Rt△PMC≌Rt△PND2HL，∴∠PCM=∠PD2N；∵∠PD2N+∠PD2O=180°，∴∠PCO+∠PD2O=180°，综上所述，∠PCO与∠PDO的数量关系为∠PCO=∠PDO或∠PCO+∠PDO=180°；25.【模型呈现】(1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥CA于点C，DE⊥AE于点E．求证：BC=AE．【模型应用】(2)如图2，EA⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积．【深入探究】(3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC、DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．①求证DG=GE；②若BC=21，AF=12，求△ADG的面积．【答案】(1)见解析；(2)50；(3)①见解析；63【分析】(1)证明△ABC≌△DAE AAS，即可得证；(2)同(1)法得到△AEP≌△BAG，△CBG≌△DCH，分割法求出图形面积即可；(3)①过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q，易证△AFB≌△DP A，△AFC ≌△EQA，得到DP=AF，EQ=AF，再证明△DPG≌△EQG AAS，即可得出结论；②根据全等三角形的性质，求出AG的长，进而利用面积公式进行求解即可．【详解】解：(1)证明：∵∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAE=90°，∵BC⊥CA，DE⊥AE，∴∠ACB=∠DEA=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠DAE，在△ABC和△DAE中，∠ACB=∠DEA∠ABC=∠DAEBA=AD∴△ABC≌△DAE AAS，∴BC=AE．(2)由模型呈现可知，△AEP≌△BAG，△CBG≌△DCH，∴AP=BG=3，AG=EP=6，CG=DH=4，CH=BG=3，则S实线围成的图形=12×4+6×3+6+4+3-12×3×6-12×3×6-12×3×4-12×3×4=50．(3)①过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q．图3由【模型呈现】可知，△AFB≌△DP A，△AFC≌△EQA，∴DP=AF，EQ=AF∴DP=EQ，∵DP⊥AG，EQ⊥AG∴∠DPG=∠EQG=90°，在△DPG和△EQG中，∠DPG=∠EQG∠DGP=∠EGQDP=EQ∴△DPG≌△EQG AAS，∴DG=GE．②由①可知，BF=AP，FC=AQ，∴BC=BF+FC=AP+AQ，∵BC=21，∴AP+AQ=21，∴AP+AP+PG+GQ=21，由①△DPG≌△EQG得∴PG=GQ，∴AP+AP+PG+PG=21，∴AP+PG=10.5，∴AG=10.5，∴S△ADG=1×10.5×12=63．2。
三角形全等测试题及答案
三角形全等测试题及答案一、选择题1. 两个三角形全等的条件是（）A. 有两条边和它们的夹角对应相等B. 三条边对应相等C. 有两条边和其中一条边的对角对应相等D. 有两条边和其中一条边的邻角对应相等答案：B2. 如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形（）A. 一定全等B. 可能相似C. 一定相似D. 无法确定答案：B二、填空题3. 已知三角形ABC与三角形DEF全等，且∠A=∠D，AB=DE，那么AC=______。
答案：EF4. 如果两个三角形的两边和夹角对应相等，那么这两个三角形是______。
答案：全等三、判断题5. 如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形一定全等。
（）答案：错误6. 如果两个三角形的两边和夹角对应相等，那么这两个三角形一定相似。
（）答案：正确四、解答题7. 如图所示，已知三角形ABC与三角形DEF全等，且AB=5cm，BC=7cm，∠A=∠D=90°，求DE的长度。
答案：DE=7cm8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB=3cm，BC=4cm，DE=6cm，求AC的长度。
答案：AC=8cm五、证明题9. 已知三角形ABC与三角形DEF全等，且∠A=∠D，AB=DE，证明：AC=EF。
证明：由于三角形ABC与三角形DEF全等，根据全等三角形的性质，对应边相等，所以AC=EF。
10. 已知∠A=∠D，AB=DE，AC=DF，求证：三角形ABC≌三角形DEF。
证明：根据SAS（边角边）判定方法，已知∠A=∠D，AB=DE，AC=DF，所以三角形ABC≌三角形DEF。
中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带参考答案
中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带参考答案一、选择题1．下列选项中表示两个全等的图形的是（）A．形状相同的两个图形B．周长相等的两个图形C．面积相等的两个图形D．能够完全重合的两个图形2．如图，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE＝AD，则不一定能使△ABE≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．∠B＝∠CC．∠AEB＝∠ADC D．CD＝BE3．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD=∠DAB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4．如图△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE=65°，则∠CAF的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．65°5．如图EF=CF，BF=DF则下列结论不一定正确的是（）A．△BEF≌△DCF B．△ABC≌△ADEC．DC=AC D．AB=AD6．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．57．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E，BE、CD相交于点O．∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对8．如图，AD 是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为12，DE =2，AB = 7，则 AC 的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题9．如图，∠ACD＝∠BCE，BC＝EC，要使△ABC≌△DEC，则可以添加的一个条件是．10．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=2，则△ABD的面积为．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，若BD＝4cm，CE＝3cm则DE= cm．12．如图，把两根钢条AB，CD的中点连在一起做成卡钳，已知AC的长度是6cm，则工件内槽的宽BD是cm．13．如图，△ABC为等腰直角三角形AC=BC，若A(−3，0)，C(0，2)，则点B的坐标为.三、解答题14．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°（1）求证：△ADE≌△CDE．（2）求∠BDC度数．15．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A ＝25°，∠D ＝15°，求∠ACB 的度数.16．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE.（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数.17．如图，在ABC 中90C ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，点F 在BC 上，连接DF ，且AD DF =． (1)求证：CF AE =；(2)若3AE =，BF=4，求AB 的长．18．如图，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AE ＝AC ，AF ⊥CB ，垂足为F ．(1)求证：△ABC ≌△ADE ；(2)求∠FAE 的度数；(3)求证：CD ＝2BF+DE ．1．D2．D3．D4．A5．C6．B7．C8．C9．AC ＝DC （答案不唯一）10．811．712．613．(2，-1)14．（1）证明：∵DE 是线段AC 的垂直平分线 ∴DA=DC ，AE=CE在△ADE 与△CDE 中：DA=DCAE=CEDE=DE∴△ADE ≌△CDE （SSS ）；（2）解：∵△ADE ≌△CDE ．∴∠DCA=∠A=50°∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°15．（1）证明：∵∠BCE ＝∠DCA∴∠BCE +∠ACE ＝∠DCA +∠ECA即∠BCA ＝∠DCE .在△BCA 和△DCE 中{∠BCA =∠DCE AC =EC ∠A =∠E∴△BCA ≌△DCE （ASA ）（2）解：∵△BCA ≌△DCE∴∠B ＝∠D ＝15°.∵∠A ＝25°∴∠ACB ＝180°−∠A −∠B ＝140°.16．（1）证明：∵∠BAC ＝∠DAE∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC∴∠1＝∠EAC在△ABD 和△ACE 中{AB =AC ∠1=∠EAC AD =AE∴△ABD ≌△ACE （SAS ）（2）解：∵△ABD ≌△ACE∴∠ABD ＝∠2＝30°∵∠1＝25°∴∠3＝∠1+∠ABD ＝25°+30°＝55°.17．（1）证明：（1）∵90C ∠=︒∴DC BC ⊥又∵BD 是ABC ∠的平分线DE AB ⊥∴DE DC = 90AED ∠=︒在Rt AED △和Rt FCD △中∵AD DFDE DC =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt AED FCD HL ≌△△∴CF AE =．（2）解：由（1）可得3CF AE ==∴437BC BF CF =+=+=∵DE AB ⊥∴90DEB ∠=︒∴DEB C ∠=∠∵BD 是ABC ∠的平分线∴ABD CBD ∠=∠在BED 和BCD △中∵DEB C EBD CBD BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BED BCD AAS ≌△△ ∴7BE BC ==∴7310AB BE AE =+=+=∴AB 的长为10．18．（1）证明：∵90BAD CAE ∠=∠=︒∴90BAC CAD ∠+∠=︒ 90CAD DAE ∠+∠=︒ ∴BAC DAE ∠=∠在△BAC 和△DAE 中∵AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BAC DAE SAS ≌△△；（2）解：∵90CAE ∠=︒，AC=AE∴45E ∠=︒由（1）知BAC DAE ≌△△∴45BCA E ∠=∠=︒∵AF BC ⊥∴90CFA ∠=︒∴45CAF ∠=︒∴4590135FAE FAC CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）证明：延长BF 到G ，使得FG FB = ∵AF BG ⊥∴90AFG AFB ∠=∠=︒在△AFB 和△AFG 中∴BF GF AFB AFG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AFB AFG SAS ≌△△∴AB AG = ABF G ∠=∠∵BAC DAE ≌△△∴AB AD = CBA EDA ∠=∠ CB=ED ∴AG AD = ABF CDA ∠=∠∴CGA CDA ∠=∠∵45GCA DCA ∠=∠=︒∴在△CGA 和△CDA 中GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CGA CDA AAS ≌△△∴CG CD =∵22CG CB BF FG CB BF DE BF =++=+=+ ∴2CD BF DE =+．。
初中中考复习之三角形全等（精编含答案）
中考复习之三角形全等一、选择题：1.图是一个风筝设计图，其主体部分（四边形ABCD ABCD）关于）关于BD 所在的直线对称，所在的直线对称，AC AC 与BD 相交于点O ，且AB≠AD，则下列判断不正确．．．的是【的是【 】】 A ．△ABD≌△CBD ．△ABD≌△CBD B B B．△ABC≌△ADC ．△ABC≌△ADC ．△ABC≌△ADC C C C．△AOB≌△COB ．△AOB≌△COB ．△AOB≌△COB D D D．△AOD≌△COD ．△AOD≌△COD ．△AOD≌△COD2.如图，已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，下列能使△ABD≌△ACD 的条件是【的条件是【 】】A. AB=ACB. ∠BAC=90°C. BD=AC A. AB=AC B. ∠BAC=90° C. BD=ACD. ∠B=45°D. ∠B=45°D. ∠B=45°3.如图，已知点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，在同一条直线上，AB=DE AB=DE AB=DE，，BC=EF BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是【是【 】】 A A．∠BCA=∠F ．∠BCA=∠F ．∠BCA=∠F B B B．∠B=∠E ．∠B=∠E ．∠B=∠EC ．BC∥EF ．BC∥EFD ．∠A=∠EDF ．∠A=∠EDF4.如图，AB∥CD，如图，AB∥CD，E E ，F 分别为AC AC，，BD 的中点，若AB=5AB=5，，CD=3CD=3，则，则EF 的长是【的长是【 】】A ．4B ．3C ．2D ．15.已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是【等的是【 】】 (A) (A)两条边长分别为两条边长分别为4，5，它们的夹角为β (B) (B)两个角是两个角是β，它们的夹边为4(C) (C)三条边长分别是三条边长分别是4，5，5 (D)5 (D)两条边长是两条边长是5，一个角是β6.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M 、N 的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是【的线段是【 】】 A A．．PO B ．PQ C PQ C．．MO D ．MQ7.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC AC，，BD 相交于点O ，且AC≠BD，则图中全等三角形有【AC≠BD，则图中全等三角形有【 】】A.4对B. 6对.C.8对D.10对二、填空题：1.在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，中，∠ACB=90°，BC=2cm BC=2cm BC=2cm，CD⊥AB，在，CD⊥AB，在AC 上取一点E ，使EC=BC EC=BC，过点，过点E 作EF⊥AC 交CD 的延长线于点F ，若EF=5cm EF=5cm，则，则AE= cm AE= cm．．2.如图所示，如图所示，AB=DB AB=DB AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件 ，， 使使ΔABC≌ΔDBE DBE．． ( (只需添只需添加一个即可加一个即可) )3.如图所示，已知点A 、D 、B 、F 在一条直线上，在一条直线上，AC=EF AC=EF AC=EF，，AD=FB AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是这个条件可以是 ．．（只需填一个即可）（只需填一个即可）4.如图，点D ，E 分别在线段AB AB，，AC 上，上，BE BE BE，，CD 相交于点O ，AE=AD AE=AD，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件是件是 （只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）（只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）．5.如图．点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC AB=AC，，AD=AE AD=AE．．请写出图中的全等三角形请写出图中的全等三角形 ( ( (写出一对即可写出一对即可写出一对即可))．6.如图，己知AC=BD AC=BD，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是 ( ( (填一个即可填一个即可填一个即可) )三、解答题：1.已知：如图，AB AE =，1=2ÐÐ，=B E ÐÐ，求证：BC ED =2.如图，已知AB=DC AB=DC，，DB=AC（1）求证：∠ABD=∠DCA，注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．）求证：∠ABD=∠DCA，注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．（2）在（）在（11）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？3.如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，上，AB=AC AB=AC AB=AC，∠B=∠C．求证：，∠B=∠C．求证：，∠B=∠C．求证：BE=CD BE=CD BE=CD．．4.如图，AB∥CD，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB AB，，AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F为圆心，大于12EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P ，作射线AP AP，交，交CD 于点M 。
中考数学复习专题24全等三角形试题(A卷,含解析)
全等三角形一、选择题 1. (新疆建设兵团，4，5分）如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B =∠DEF ，AB =DE ，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC ≌△DEF ，这个条件是（ ）A ．∠A =∠DB ．BC =EF C ．∠ACB =∠FD ．AC =DF【答案】D【逐步提示】本题考查了全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形常见判定方法．注意到题目中给出一组角相等，一组边相等，分别结合四个选项，找到不符号常见判定方法的那个选项．【详细解答】解：选项A 可采用“ASA ”来判定三角形全等，选项B 可采用“SAS ”来判定三角形全等，选项C 可采用“AAS ”来判定三角形全等，选项D 为两边和其中一边的对角不能判定三角形全等，故选择D . 【解后反思】此类问题容易出错的地方是由SSA 就判定三角形全等，从而错选D 选项.三角形全等的判定方法有：SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，HL (直角三角形)． 【关键词】 三角形全等的判定；(浙江金华，6，3分)如图，已知=ABC BAD ∠∠，添加下列条件还不能判定△ABC ≌△BAD 的是( )A. AC=BDB.∠CAB ＝∠DBAC.∠C ＝∠DD.BC=AD 【答案】A【逐步提示】将题目中的条件表示到图形中，再结合图形条件判断已有哪些条件，然后根据三角形全等的判定方法确定正确的选项．【解析】题目中已给出一角相等，图形中有一条公共边，即已有一边及一角对应相等，再需要一边或一角相等即可，A 选项与两已知条件构成SSA 不能确定两个三角形全等；B 选项与两已知条件构成ASA 能确定两个三角形全等；C 选项与两已知条件构成AAS 能确定两个三角形全等；D 选项与两已知条件构成SAS 能确定两个三角形全等，故选择A.【解后反思】对于添加条件从而判断两个全等三角形全等类问题的解题策略：首先理解题目中已存在的条件(包括已知条件及图形条件)，再根据三角形全等的五种判定方法[(1)三边对应相等的两个三角形全等SSS ；(2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等SAS ；(3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等ASA ；(4)两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等AAS ；(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等HL]进行综合评判，从而确定需要添加的条件． 【关键词】三角形全等的识别 2.3. （ 四川省广安市，8，3分）下列说法： ①三角形的三条高一定都在三角形内；AB（第6题图）DC②有一个角是直角的四边形是矩形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形；④两边及一角对应相等的两个三角形全等；⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【逐步提示】本题考查了三角形的中线、高线、角平分线的概念，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定，平行四边形的判定等，解题的关键是掌握这些概念、定理等．因为直角三角形与钝角三角形的三条高不都在三角形内，故①错；至少有三个角是直角的四边形是才是矩形，故②错；③是菱形的定义，正确；满足④的条件时有可能形成“边边角”的情况，故错误；等腰梯形满足“一组对边平行，另一组对边相等”，但它不是平行四边形，故⑤错误．【详细解答】解：只有③正确，故选择A.【解后反思】要理解三角形“三线”的概念，掌握三角形、平行四边形、矩形、菱形的判定方法，这是正确解题的基础．能画图举反例，以排除不符合条件情形，也是解这类题的基本功，要多思考，勤积累．类似的问题还有：判断下列说法是否正确：（1）一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形.解：错误．如图1，作△ABC，使AB＝AC，在BC上取一点D（D点不与B、C重合且BD≠CD），连接AD.再以A为顶点，AD为一边，作∠EAD，使∠EAD＝∠ADC，且AE＝DC，连接DE.由上述画图方法，可知△ADC≌△DAE（SAS）.所以DE＝AC＝AB，∠AED＝∠C＝∠B.即四边形ABCD有一组对边相等（DE＝AB）、一组对角相等（∠AED＝∠B），但却不是平行四边形（另一组对边AE 和BD不平行也不相等）.（2）一组对边相等，且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.解：错误．如图2，画两条相交直线，交点为O，在其中一条直线上截取OA＝OC，分别过A、C两点向另一条直线作垂线，垂足分别为E、F.在线段OF上取一点D（D点不与O、F重合），连接CD.再在线段OE的延长线上取一点B，使EB＝FD，连接AB.由上述画图方法，易知△COF≌△AOE（AAS），则CF＝AE，由“SAS”可判定△CFD≌△AEB，则CD＝AB.连接AD、BC，则四边形ABCD满足条件，却不是平行四边形.（3）一组对角相等，且连接这一组对角的顶点的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.解：错误．如图，画一个“筝形”ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC且AO≠OC，则该“筝形”满足条件，但它不是平行四边形.【关键词】 中线、高线、角平分线；矩形的判定；菱形的判定；全等三角形的判定；平行四边形的判定二、填空题1. （ 山东省枣庄市，17，4分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC 2ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△A ´B ´C ´的位置，连接C ´B ，则C ´B ＝ ．31【逐步提示】本题考查了旋转、全等三角形、解直角三角形，解题的关键是通过旋转的性质及角度得出△ABB ´为等边三角形．连接BB ´，延长BC ´交AB ´于点H ，根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可知△ABB ´为等边三角形，然后再证明△ABC ´≌△B ´BC ´，再利用等腰三角形三线合一，证明BH ⊥AB ´，然后分别求HC ´与BH 即可求C ´B ．【详细解答】解：连接BB ´，延长BC ´交AB ´于点H ，∵∠C ＝90°，AC ＝BC 2，∴AB 22AC BC +2，由题意可知：AB ´＝AB ＝2，且∠BAB ´＝60°，∴△ABB ´为等边三角形，∴BB ´＝AB ，∠ABB ´＝60°，又∵BC ´＝BC ´，B´C ´＝AC ´，∴△ABC ´≌△B ´B C ´，∴∠ABC ´＝∠B ´ BC ´＝30°，∴BH ⊥AB ´，且AH ＝12AB ´＝1，∴BH 22AB AH -3AC ´B ´＝90°，AH ＝B ´H ，∴C ´H ＝12AB ´＝1，∴ C ´B ＝BH －C ´H 31 ，故答案为31 .【解后反思】本题考查了旋转的知识，解这类题通常抓住变换前后的全等图形中对应边、对应角相等．当旋转角为60°时，可以得到等边三角形；当旋转角为45°时，可以得到等腰直角三角形． 【关键词】三角形全等的识别 ；全等三角形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；C ´ABHCB ´ABCB ´C ´2. （ 四川省成都市，12，4分）如图，△ABC ≌△A ´B ´C ´，其中∠A ＝36°，∠C ´＝24°，∠B ＝ ．【答案】120°．【逐步提示】本题考查了三角形全等的性质及三角形内角和定理，解题的关键是掌握有关的性质．先根据全等三角形对应角相等求出∠C ，再利用三角形内角和定理可求出∠B ．【详细解答】解：∵△ABC ≌△A ´B ´C ´，∴∠C ＝∠C ´＝24°，∴ ∠B ＝180°―∠A ―∠C ＝180°―36°―24°＝120° ，故答案为 120° .【解后反思】全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 【关键词】三角形的内角和；全等三角形的性质三、解答题1. （ 山东省枣庄市，24，10分）如图，把△EFP 放置在菱形ABCD 中，使得顶点E ，F ，P 分别在线段AB ，AD ，AC 上，EP ＝FP ＝6，EF ＝3，∠BAD ＝60°，AB ＞63⑴求∠EPF 的大小；⑵若AP ＝10，求AE ＋AF ；⑶若△EFP 的三个顶点E ，F ，P 分别在线段AB ，AD ，AC 上运动，请直接写出AP 长的最大值和最小值．【逐步提示】本题考查了菱形的性质、等腰三角形三线合一性及全等三角形等知识，解题的关键是熟练掌握图形的性质和判定，善于转化．⑴过点P 作PG ⊥EF 于G ．根据等腰三角形三线合一性，得∠EPF ＝2∠FPG ，再解Rt △PFG ，利用特殊角三角函数值求∠FPG 的大小，即可得∠EPF ；⑵作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥AD 于N ．根据菱形的对角线平分对角的性质，可证明△PME ≌ △PNF ，得ME ＝NF ，再利用三角函数求出AM ＝AN ，通过线段和差得到AE ＋AF 与AM 、AN 的关系，即可求值；⑶当E 、F 分别与A 、B 重合时，AP 取最小值，当EF ⊥AC 时，AP 取最大值． 【详细解答】解：⑴如图，过点P 作PG ⊥EF 于G ． ∵PE ＝PF ＝6，PG ⊥EF ，∴FG ＝EG ＝12 EF ＝33FPG ＝∠EPG ＝12∠EPF ． 在Rt △FPG 中，sin ∠FPG ＝FG PF333．∴∠FPG ＝60°，∴∠EPF ＝2∠FPG ＝120°．AC BCA ´B ´ABDCFPE⑵作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥AD 于N ．∵AC 为菱形ABCD 的对角线，∴∠DAC ＝∠BAC ，AM ＝AN ，PM ＝PN ． 在Rt △PME 和Rt △PNF 中，PM ＝PN ，PE ＝PF ， ∴Rt △PME ≌Rt △PNF ．∴ME ＝NF ． 又AP ＝10，∠PAM ＝12∠DAB ＝30°， ∴AM ＝AN ＝AP ·cos30°＝10×3＝53． ∴AE ＋AF ＝(AM ＋ME )＋(AN －NF )＝AM ＋AN ＝103．⑶如图，当△EFP 的三个顶E ，F ，P 分别在线段AB ，AD ，AC 上运动时，点P 在P 1，P 2之间运动，易知P 1O ＝P 2O ＝3，AO ＝9，∴AP 的最大值为12，AP 的最小值为6．【解后反思】运动型问题一般是图形在运动中产生函数关系问题或探究几何图形的变化规律问题，这类问题可细分为点动型、线动型、形动型．解答这类问题时，要求对几何元素的运动过程有一个完整、清晰的认识，不管点动、线动还是形动，要善于借助动态思维的观点来分析，不被“动”所迷惑，从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决，从而找到“动”与“静”的联系，揭示问题的本质，发现运动中的各个变量之间互相依存的函数关系，从而找到解决问题的突破口，也就找到了解决这类问题的途径．【关键词】全等三角形的性质 ；三角形全等的识别；等腰三角形的性质；特殊角三角函数值的运用；动点题型2. (重庆A ，19，7分)如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，CE //DF ，EC =BD ，AC =FD . 求证：AE =FB .【逐步提示】由CE //DF ，可知∠ACE =∠D . 利用“SAS ”可以判定△ACE ≌△FDB ，即可判定AE =FB . 【详细解答】证明：∵CE //DF ，∴∠ACE =∠D . 在△ACE 和△FDB 中，OABDCFP 1EP 2M ABDCFPE N G∵EC=BD，∠ACE=∠D，AC=FD，∴△ACE≌△FDB(SAS).∴AE=FB.【解后反思】利用三角形全等是证明两条线段或两个角相等的重要方法. 证明两个三角形全等必须有一组对应边相等的条件，判定两个三角形全等的方法主要有“SAS”、“ASA”、“AAS”和“SSS”，对于直角三角形，还有“HL”，结合全等三角形的判定方法，可寻找所需要的条件. 当题目中出现平行线时，可根据平行线的性质得到相等的角，还要注意公共线段、公共角、重合线段、重合角在得到相等线段和相等角的作用.【关键词】全等三角形的识别；全等三角形的性质(重庆B，19，7分)如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E．【逐步提示】根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ECD，再利用“边角边”证明△ABC≌△CED，然后根据全等三角形对应角相等即可证明∠B=∠E．【详细解答】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ECD，在△ABC和△CED中，,,,AB CEBAC ECDAC CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC≌△CED(SAS)，∴∠B=∠E．【解后反思】利用三角形全等是证明两个角或两条线段相等的重要方法. 证明两个三角形全等必须有一组对应边相等的条件，判定两个三角形全等的方法主要有“SAS”、“ASA”、“AAS”和“SSS”，对于直角三角形，还有“HL”，结合全等三角形的判定方法，可寻找所需要的条件. 当题目中出现平行线时，可根据平行线的性质得到相等的角，还要注意公共线段、公共角、重合线段、重合角在得到相等线段和相等角的作用.【关键词】全等三角形的识别；全等三角形的性质3.(重庆B，25，12分)已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，CD=12BC，DE⊥CE，DE=CE，连接AE，点M 是AE的中点.(1)如图1，若点D在BC边上，连接CM，当AB=4时，求CM的长；(2)如图2，若点D在△ABC的内部，连接BD，点N是BD中点，连接MN，NE，求证MN⊥AE；(3)如图3，将图2中的△CDE绕点C逆时针旋转，使∠BCD=30°，连接BD，点N是BD中点，连接MN，探索MNAC 的值并直接写出结果.EMCBA图1D图2NMEDCBAENMCBA图3D【逐步提示】(1)先证明△ACE是直角三角形，根据CM=12AE，求出AE即可解决问题．(2)如图，延长EN至点F，使NF=EN，连接BF，连接AF.先证明△NBF≌△NDE，可得BF=DE=CE，∠FBN=∠NDE.根据题意可得∠ACE=∠ACB+∠DCE-∠DCB=90°-∠DCB，只要证出∠ABF=90°-∠DCB.即可证明∠ACE=∠ABF，又AB=AC，利用“SAS”可证出△ABF≌△ACE，进而可得∠FAB=∠EAC，所以有∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE=∠BAC=90°，又MN是△EAF的中位线.根据三角形的中位线的性质可得MN∥AF，从而∠NME=∠FAE=90°，可证MN⊥AF.(3)如图5，连接DM并延长到点G，使MG=MD，连接AG、BG，延长AG、EC交于点F．可得△AMG≌△EMD，∴AG=DE=EC，∠GAM=∠DEM，∴AG∥DE，∴∠F=∠DEC=90°，∵∠FAC+∠ACF=90°，∠BCD+∠ACF=90°，∴∠FAC=∠BCD=30°∴∠BAG=∠ACE=120°，在△ABG和△CAE中，,,,AB ACBAG ACEAG EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABG≌△CAE，∴BG=AE，∵BN=ND，DM=MG，∴MN是△DBG的中位线，∴BG=AE=2MN，设BC=2a，则CD=a，DE=EC=22a，AC=2a，CF=22a，AF=62a，EF=2a，∴AE=22142AF EF+=a，∴MN=144a，∴147442aMNAC a==.【详细解答】(1)解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=4，∴AC=AB=4，BC=42，∠ACB=∠ABC=45°.∵CD=12BC，∴CD=22∵DE⊥CE，DE=CE，∴△CDE是等腰直角三角形，∴∠DCE=∠CDE=45°，∴CE=CD·sin45°=2.∵∠ACE=∠DCE+∠ACB=45°+45°=90°，∴在Rt△ACE中，AE2225AC CE+=∵点M是AE中点，∴CM=12AE5(2)证明：如图4，延长EN至点F，使NF=EN，连接BF，连接AF.∵点N是BD的中点，∴BN=DN.∵∠BNF=∠DNE，∴△NBF≌△NDE.∴BF=DE，∠FBN=∠NDE，∵DE=CE，∴BF=CE.∵∠ACE=∠ACB+∠DCE-∠DCB，∴∠ACE=45°+45°-∠DCB=90°-∠DCB.在△BCD中，∵∠DBC+∠BDC+∠DCB=180°，∠BDC=∠NDE+∠CDE，又∵∠CDE=45°，∴∠DBC+∠NDE=135°-∠DCB.∵∠ABF=∠DBC+∠FBN-∠ABC，∠FBN=∠NDE，∴∠ABF=∠DBC+∠NDE-∠ABC=135°-∠DCB-45°=90°-∠DCB.∴∠ABF=∠ACE.∵AB=AC，∴△ABF≌△ACE.∴∠FAB=∠EAC∵∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，∴∠FAB+∠BAE=90°，即∠FAE=90°.∵点M是AE中点，NF=NE，∴MN是△EAF的中位线.∴MN∥AF.∴∠NME=∠FAE=90°.∴MN⊥AF.(3)解：7 MNAC.【解后反思】本题综合考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的中位线等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形.在几何问题的求解或证明中，全等三角形起着很重要的作用，应该充分利用已知条件和图形找出图中的全等三角形，根据全等三角形对应边、对应角分别相等的性质可实现等边、等角的代换，而当要证明的两线段之间或两角之间没有直接联系时，往往需要通过等量代换适当转换来求解.．【关键词】三角形全等的识别；全等三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理4.5.（四川泸州，18，6分）如图，C是线段AB的中点，CD=BE， CD∥BE.求证：∠D=∠E.【逐步提示】要证明两个不同三角形中的两个角相等，可以证明这两个角所在的两个三角形全等，从而选择合适的判定方法证明两个三角形全等.【详细解答】证明：∵C 是线段AB 的中点，∴AC=CB ，∵CD ∥BE ，∴∠ACD=∠CBE ，在△ACD 和△CBE 中，AC CB ACD CBE CD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△CBE, ∴∠D=∠E.【解后反思】证明两个三角形全等，一般情况下是已知两个条件去找第三个全等条件，有以下几种情况：（1）已知两边.⎧⎨⎩找第三边；找两边的夹角；（2）已知两角⎧⎨⎩找其中任意一角的对边找两角的夹边；（3）已知一边及其邻角⎧⎨⎩找任意一角找夹该已知角的边；（4）已知一边及其对角，找余下的任一角. 【关键词】三角形全等的判定方法5. （ 四川南充，19，8分）已知ΔABN 和ΔACM 位置如图所示，AB =AC ，AD =AE ，∠1=∠2. (1)求证：BD =CE ； (2)求证：∠M =∠N .21O ED MAN【逐步提示】本题考查了全等三角形的判定与性质；解题的关键是证明三角形全等．（1）由SAS 证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可（2）证出∠BAN=∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B=∠C，由AAS 证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可． 【详细解答】解：（1）证明：在△ABD 和△ACE 中，12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD≌△ACE（SAS ）， ∴BD=CE；（2）证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE， 即∠BAN=∠CAM，由（1）得：△ABD≌△ACE， ∴∠B=∠C，在△ACM 和△ABN 中，C BAC ABCAM BAN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACM≌△ABN（ASA），∴∠M=∠N．已知条件寻找的条件选择的判定方法两角夹边或一角对边ASA或AAS一角及其对边任一角AAS一角及其邻边角的另一边或边的另一邻角或边的对角SA S或ASA或AAS 两边夹角或另一边或直角SAS或SSS或HL 【关键词】全等三角形的性质；三角形全等的识别6（四川省宜宾市，18，6分）如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC.求证：BC=AD【逐步提示】已知∠CAB=∠DBA，可得AO=BO,因而可证明△BOC≌△AOD,结论成立. 【详细解答】证明：∠CAB=∠DBA，所以AO=BO在△BOC和△AOD 中∠CBD=∠DAC（已知）OB=OA(已证)∠CBD=∠DAC（已证）△BOC≌△AOD（ASA）所以BC=AD【解后反思】除了上面的证明方法外，也可以证明△BAC≌△ABD(ASA)【关键词】全等三角形的性质与判定；等腰三角形的性质与判定。
2024年中考数学《全等三角形》专题练习附带答案
2024年中考数学《全等三角形》专题练习附带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________知识重点1、全等三角形的概念：（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（2）把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
3、三角形全等的判定：(1)边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等。
(2)边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
(3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
(4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
(5)斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
一、选择题1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（）A．B．C．D．2．如图，△ABC≌△EDC，AC=3cm，DC=5cm，则BE=（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．30°C．35°D．25°4．小亮设计了如下测量一池塘两端AB的距离的方案：先取一个可直接到达点A，B的点O，连接AO，BO，延长AO至点P，延长BO至点Q，使得OP=AO，OQ=BO再测出PQ的长度，即可知道A，B之间的距离．他设计方案的理由是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS5．如图，点F，E在AC上AD=CB，∠D=∠B添加一个条件，不一定能证明△ADE≌△CBF的是（）A．AD∥BC B．DE∥FB C．DE=BF D．AE=CF6．如图所示∠E=∠D，CD⊥AC于点C，BE⊥AB于点B，AE交BC于点F，且BE=CD，则下列结论不一定正确的是（）A．AB=AC B．BF=EF C．AE=AD D．∠BAE=∠CAD 7．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=5 F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（）A．4 B．5 C．5.5 D．68．如图，AD是△BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=32，DE=4，AB=9，则AC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题9．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平长度DF 相等，那么判定△ABC与△DEF全等的依据是．10．若△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点∠A=50°，∠B=60°则∠F=. 11．如图，△ABC的面积为25cm2，BP平分∠ABC，过点A作AP⊥BP于点P，则△PBC的面积为；12．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知BC=8，DE=2则△BCE 的面积等于．13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=7cm，CE=5cm，则DE= cm．三、解答题14．如图，点B，C，E，F在同一直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF．求证：AB∥DF．15．如图，在Rt△ABC中∠B=90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE=AB.求证：△CED≅△ABC.16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，AE平分∠DAB．求证：CD+AB＝AD．17．已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：（1）OD=OE；（2）OB=OC．18．如图，在△ABC中AC>AB，射线AD平分∠BAC，交BC于点E，点F在边AB的延长线上AF=AC，连接EF．（1）求证：△AEC≌△AEF．（2）若∠AEB=50°，求∠BEF的度数．19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB．（1）求∠AOE得度数；（2）求证：AC=AE+CD．参考答案1．A2．B3．C4．A5．D6．B7．A8．C9．HL10．70°11．12.5cm212．813．1214．解：∵ BE＝CF∴BE−CE=CF−CE∴BC=FE∵ AB＝DF，AC＝DE∴△ABC≌△DFE(SSS)∴∠B＝∠F∴AB∥DF．15．证明：∵DE⊥AC，∠DEC=90°又∵∠B=90°∴∠DEC=∠B=90°∵CD∥AB，∴∠A=∠DCE在△CED和△ABC中{∠DCE=∠A CE=AB∠DEC=∠B∴△CED≅△ABC(ASA).16．证明：如图，过点E作EF⊥AD于F∵∠B＝90°，AE平分∠DAB∴BE＝EF在Rt△EFA和Rt△EBA中{EF=EBAE=AE∴Rt△EFA和≌Rt△EBA（HL）．∴AF＝AB∵E是BC的中点∴BE＝CE＝EF在Rt△EFD和Rt△ECD中{EF=ECDE=DE∴Rt△EFD和≌Rt△ECD（HL）．∴DF＝CD∴CD+AB＝DF+AF＝AD∴CD+AB＝AD．17．（1）证明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC ∴OD=OE（2）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC∴∠BDO=∠CEO=90°在△BDO和△CEO中{∠BDO=∠CEO DO=CO∠BOD=∠COE∴△BDO≌△CEO（ASA）∴OB=OC18．（1）证明：射线AD平分∠BAC∴∠CAE=∠FAE 在△AEC和△AEF中{AC=AF∠CAE=∠FAE AE=AE∴△AEC≌△AEF(SAS)；（2）解：∵△AEC≌△AEF(SAS)∴∠AEC=∠AEF∵∠AEB=50°∴∠AEC=180°−∠AEB=180°−50°=130°∴∠AEF=∠AEC=130°∴∠BEF=∠AEF−∠AEB=80°∴∠BEF为80°．19.18．（1）解：∵∠BAC=90°，∠ABC=60°∴∠ACB=30°∵AD平分∠BAC，CE平分∠BAC∴∠CAD=12∠BAC=45°，∠ACE=12∠ACB=15°∵∠AOE是△AOC的外角∴∠AOE=∠CAD+∠ACE=60°；（2）证明：在AC上截取CF=CD，连接OF∵CE平分∠ACB∴∠DCO=∠FCO在△DCO和△FCO中{CD=CF∠DCO=∠FCOOC=OC∴△DCO≌△FCO(SAS)∴∠COD=∠COF∵∠AOE=60°∴∠COD=∠COF=60°∴∠AOF=180°−∠AOE−∠COF==60°∴∠AOE=∠AOF∵AD平分∠BAC∴∠EAO=∠FAO在△EAO和△FAO中{∠EAO=∠FAO AO=AO∠AOE=∠AOF∴△EAO≌△FAO(ASA)∴AE=AF∵AC=AF+CF∴AC=AE+CD．。
最新中考数学三角形全等专项练习 选择30、填空10、解答20 附解题过程
最新中考数学三角形全等专项练习选择题30道，填空题10道，解答题20道一、选择题1．如图，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是（）A．5B．4C．3D．2解：∵△ABC≌△DEF，∴DE=AB，∵BE=4，AE=1，∴DE=AB=BE+AE=4+1=5，故选A．2．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵，∴△AEB≌△AFC；（AAS）∴∠FAM=∠EAN，∴∠EAN-∠MAN=∠FAM-∠MAN，即∠EAM=∠FAN；（故③正确）又∵∠E=∠F=90°，AE=AF，∴△EAM≌△FAN；（ASA）∴EM=FN；（故①正确）由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；又∵∠CAB=∠BAC，∴△ACN≌△ABM；（故④正确）由于条件不足，无法证得②CD=DN；故正确的结论有：①③④；故选C．3．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．（S．S．S．）B．（S．A．S．）C．（A．S．A．）D．（A．A．S．）解：作图的步骤：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；④过点D′作射线O′B′．所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；作图完毕．在△OCD与△O′C′D′，，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，显然运用的判定方法是SSS．故选A．4．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC 的是（）A．∠BCA=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠B=∠D=90°D．C B=CD解：A、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故A选项符合题意；B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；C、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故C选项不符合题意；D、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；故选A．5．如图所示，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD 于点F，连接CF，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对解：∵AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，DF=DF；∴△ADF≌△CDF；同理可得：△ABF≌△CBF；∵AD=CD，AB=BC，BD=BD∴△ABD≌△CBD．因此本题共有3对全等三角形，故选C．6 ．如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）A．∠B=∠E，BC=EF B．BC=EF，AC=DFC．∠A=∠D，∠B=∠E D．∠A=∠D，BC=EF解：A、添加∠B=∠E，BC=EF可用SAS判定两个三角形全等，故A选项正确；B、添加BC=EF，AC=DF可用SSS判定两个三角形全等，故B选项正确；C、添加∠A=∠D，∠B=∠E可用ASA判定两个三角形全等，故C选项正确；D、添加∠A=∠D，BC=EF后是SSA，无法证明三角形全等，故D选项错误．故选D．7．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：已知∠1=∠2，AC=AD，由∠1=∠2可知∠BAC=∠EAD，加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④故选B．8．如图：在平行四边形ABCD中，AB≠BC，AE、CF分别为∠BAD、∠BCD的平分线，连接BD，分别交AE、CF于点G、H，则图中的全等三角形共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对解：先从平行四边形的性质入手，得到AD=CB，AB=CD，∠BAD=∠DCB，∠ABC=∠CDA，再由角平分线的性质得到∠BAE=∠DAE=∠DCF=∠BCF，从而先得到：△ABD≌△CDB，△ABE≌△CDF，进而得到△ABG≌△CDH，△ADG≌△CBH，△BGE≌△DHF．所以全等三角形共5对，分别是：△ABD≌△CDB（SSS），△ABE≌△CDF（ASA），△ABG≌△CDH（ASA），△ADG≌△CBH（ASA），△BGE≌△DHF（AAS）．故选C．9 ．如图，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件：（1）AB=DE；（2）BC=EF；（3）AC=DF；（4）∠A=∠D；（5）∠B=∠E；（6）∠C=∠F．以其中三个作为已知条件，不能判断△ABC与△DEF全等的是（）A．（1）（5）（2） B．（1）（2）（3） C．（4）（6）（1） D．（2）（3）（4）解：A、正确，符合判定方法SAS；B、正确，符合判定方法SSS；C、正确，符合判定方法AAS；D、不正确，不符合全等三角形的判定方法．故选D．10．下列说法中，正确的是（）A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等B．两锐角对应相等的两个直角三角形全等C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等D．面积相等的两个三角形全等解：A、两腰对应相等的两个等腰三角形，只有两边对应相等，所以不一定全等；B、两锐角对应相等的两个直角三角形，缺少对应的一对边相等，所以不一定全等；C、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，符合ASA；D、面积相等的两个三角形不一定全等．故选C．11．如图，AC、BD是长方形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SAS）；②∵在△ABC和△DBC中，，∴△ABC≌△DBC（SAS）；③∵在△ABC和△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（SAS）；④∵DE∥AC，∴∠ACB=∠DEC，∵在△ABC和△DCE中，，∴△ABC≌△DCE（AAS）．故选D．12．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，若CD⊥AB，DE⊥BC 垂足分别是D、E．则图中全等的三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对解：∵∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB，CD=CD，∴△CAD≌△CBD．（HL）同理可证明△CDE≌△BDE．故选A．13．如图，OA=OB，OC=OD，∠O=50°，∠D=35°，则∠AEC=（）A．60°B．50°C．45°D．30°解：∵在△AOD中，∠O=50°，∠D=35°，∴∠OAD=180°-50°-35°=95°，∵在△AOD与△BOC中，OA=OB，OC=OD，∠O=∠O，∴△AOD≌△BOC，故∠OBC=∠OAD=95°，在四边形OBEA中，∠AEB=360°-∠OBC-∠OAD-∠O，=360°-95°-95°-50°，=120°，又∵∠AEB+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-120°=60°．故选A．14．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（）A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF解：在△ABC和△DEB中，，∴△ABC≌△DEB （SSS），∴∠ACB=∠DBE．∵∠AFB是△BFC的外角，∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，∠ACB=∠AFB，故选C．15．如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC，FG，其中正确结论的个数是（）①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC．A．1个B．2个C．3个D．4个解：（1）△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACE=∠BCD=120°，在△BCD和△ACE中∵，∴△BCD≌△ACE∴AE=BD，故结论①正确；（2）∵△BCD≌△ECA，∴∠GAC=∠FBC，又∵∠ACG=∠BCF=60°，AC=BC∴△ACG≌△BCF，∴AG=BF，故结论②正确；（3）∠DCE=∠ABC=60°，∴DC∥AB，∴，∵∠ACB=∠DEC=60°，∴DE∥AC，∴=，∴，∴FG∥BE，故结论③正确；（4）过C作CN⊥AE于N，CZ⊥BD于Z，则∠CNE=∠CZD=90°，∵△ACE≌△BCD，∴∠CDZ=∠CEN，在△CDZ和△CEN中∵，∴△CDZ≌△CEN，∴CZ=CN，∵CN⊥AE，CZ⊥BD，∴∠BOC=∠EOC，故结论④正确．故选D．16．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）A．B．4C．D．5解：∵∠ABC=45°，AD⊥BC，∴AD=BD，∠ADC=∠BDH，∵∠AHE+∠DAC=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠AHE=∠BHD=∠C，∴△ADC≌△BDH，∴BH=AC=4．故选B．17．如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数为（）A．45°B．60°C．55°D．75°解：等边△ABC中，有∵，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠ABP+∠PBD=∠ABD=60°．故选B．18．如图，△ABD与△ACE均为正三角形，且AB＜AC，则BE与CD之间的大小关系是（）A．B E=CD B．BE＞CDC．B E＜CD D．大小关系不确定解：∵△ABD与△ACE均为正三角形，∴BA=DA，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAE=∠DAC，∴△BAE≌△DAC，∴BE=CD，故选A．19．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出A′B′的长等于内槽宽AB；那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A．边角边B．角边角C．边边边D．角角边解：△OAB与△OA′B′中，∵AO=A′O，∠AOB=∠A′OB′，BO=B′O，∴△OAB≌△OA′B′（SAS）．故选A．20．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．B．C．D．不能确定解：过P作PM∥BC，交AC于M；∵△ABC是等边三角形，且PM∥BC，∴△APM是等边三角形；又∵PE⊥AM，∴AE=EM=AM；（等边三角形三线合一）∵PM∥CQ，∴∠PMD=∠QCD，∠MPD=∠Q；又∵PA=PM=CQ，在△PMD和△QCD中∴△PMD≌△QCD（AAS）；∴CD=DM=CM；∴DE=DM+ME=（AM+MC）=AC=，故选B．21．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）A．4B．3C．2D．解：∵等边三角形ABC，AD⊥BC，∴BD=DC，∠CDF=∠BDF=90°∴△BDF≌△CDF同理可证：△BDE≌△CDE，△ABD≌△ACD，∴△BEF≌△CEF，△ABE≌△ACE∴S阴影=S△ABC=×∵AB=4，AD==2，∴S 阴影==．故选C．22．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D．E、F分别是CD、AD上的点，且CE=AF．如果∠AED=62°，那么∠DBF=（）A．62°B．38°C．28°D．26°解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD．又∵∠BAC=90°，∴BD=AD=CD．又∵CE=AF，∴DF=DE．∴Rt△BDF≌Rt△ADE（SAS）．∴∠DBF=∠DAE=90°-62°=28°．故选C．23．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC 的长是（）A．B．C．D．7解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBE=90°又∠DAB+∠ABD=90°∴∠BAD=∠CBE，，∴△ABD≌△BCE，∴BE=AD=3在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC==，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=×=2；故选A．24．如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④解：∵△ABE、△ADF是等边三角形，∴FD=AD，BE=AB∵AD=BC，AB=D，C∴FD=BC，BE=DC∵∠B=∠D，∠FDA=∠ABE，∴∠CDF=∠EBC，∴△CDF≌△EBC，故①正确；∵∠FAE=∠FAD+∠EAB+∠BAD=60°+60°+（180°-∠CDA）=300°-∠CDA，∠FDC=360°-∠FDA-∠ADC=300°-∠CDA，∴∠CDF=∠EAF，故②正确；同理可得：∠CBE=∠EAF=∠CDF，∵BC=AD=AF，BE=AE，∴△EAF≌△EBC，∴∠AEF=∠BEC，∵∠AEF+∠FEB=∠BEC+∠FEB=∠AEB=60°，∴∠FEC=60°，∵CF=CE，∴△ECF是等边三角形，故③正确；在等边三角形ABE中，∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG=30°，∠ABC=150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误．故选B．25．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S △APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正确结论的序号是（）A．①③④B．①②⑤C．③④⑤D．①③⑤解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠EAB=∠PAD，又∵AE=AP，AB=AD，∴△APD≌△AEB（故①正确）；③∵△APD≌△AEB，∴∠APD=∠AEB，又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，∴∠BEP=∠PAE=90°，∴EB⊥ED（故③正确）；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，∵AE=AP，∠EAP=90°，∴∠AEP=∠APE=45°，又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，∴∠FEB=∠FBE=45°，又∵BE===，∴BF=EF=（故②不正确）；④如图，连接BD，在Rt△AEP中，∵AE=AP=1，∴EP=，又∵PB=，∴BE=，∵△APD≌△AEB，∴PD=BE=，∴S △ABP+S△ADP=S△ABD-S△BDP=S正方形ABCD-×DP×BE=×（4+）-××=+．（故④不正确）．⑤∵EF=BF=，AE=1，∴在Rt△ABF中，AB2=（AE+EF）2+BF2=4+，∴S 正方形ABCD=AB2=4+（故⑤正确）；故选D．26．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（）A．B E=AF B．∠DAF=∠BECC．∠AFB+∠BEC=90°D．A G⊥BE解：∵ABCD是正方形，∴∠ABF=∠C=90°，AB=BC∵BF=CE，∴△ABF≌△BCE，∴AF=BE（第一个正确）∠BAF=∠CBE，∠BFA=∠BEC（第三个错误）∵∠BAF+∠DAF=90°，∠BAF+∠BFA=90°，∴∠DAF=∠BEC（第二个正确）∵∠BAF=∠CBE，∠BAF+∠AFB=90°，∴∠CBE+∠AFB=90°，∴AG⊥BE（第四个正确）故选C．27．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，有如下四个结论：①AC=BD；②AC⊥BD；③等腰梯形ABCD是中心对称图形；④△AOB≌△DOC．则正确的结论是（）A．①④B．②③C．①②③D．①②③④解：①正确，等腰梯形的两条对角线相等．②不正确，无法得到．③不正确，等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形．④正确，∵AB=DC，AD=DA，AC=DB，∴△ABD≌△DCA，∴∠ABD=∠DCA，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△DOC．故选A．28．如图，已知两个全等直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线AD于点E，A′B′分别交直线AD，AC于点F，G．则旋转后的图中，全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对解：旋转后的图中，全等的三角形有：△B′CG≌△DCE，△A′B′C≌△ADC，△AGF≌△A′EF，△ACE≌△A′CG，共4对．故选C．29．如图，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．△ACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90°后与△ADB重合B．△ACB以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270°后与△DAC重合C．沿AE所在直线折叠后，△ACE与△ADE重合D．沿AD所在直线折叠后，△ADB与△ADE重合解：A、根据题意可知AE=AB，AC=AD，∠EAC=∠BAD=135°，△EAC≌△BAD，旋转角∠EAB=90°，正确；B、因为平行四边形是中心对称图形，要想使△ACB和△DAC重合，△ACB应该以对角线的交点为旋转中心，顺时针旋转180°，即可与△DAC重合，错误；C、根据题意可知∠EAC=135°，∠EAD=360°-∠EAC-∠CAD=135°，AE=AE，AC=AD，△EAC≌△EAD，正确；D、根据题意可知∠BAD=135°，∠EAD=360°-∠BAD-∠BAE=135°，AE=AB，AD=AD，△EAD≌△BAD，正确．故选B．30．如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠BCD=45°，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（）A．1B．2C．3D．不能确定解：作EF⊥AD交AD延长线于F，作DG⊥BC．∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，∵AD=2，BC=3，∠BCD=45°，∴DG=CG，∴DE=DC，DE⊥DC，∠CDG=∠EDF，∴△CDG≌△EDF，∴DF=DG=CG=3-2=1，EF=GC=1，∴△ADE的面积是：×2×1=1．故选A．二、填空题1．如图，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=_______°．解：∵△OAD≌△OBC，∴∠OAD=∠OBC；在△OBC中，∠O=65°，∠C=20°，∴∠OBC=180°-（65°+20°）=180°-85°=95°；∴∠OAD=∠OBC=95°．2 ．已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出_______个．解：以AB为公共边有三个，以CB为公共边有三个，以AC为公共边有一个，所以一共能作出7个．故答案为：7．3．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有_______对．解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，且AO平分∠BAC，∴△ODA≌△OEA，∴∠B=∠C，AD=AE，∴△ADC≌△AEB，∴AB=AC，∴△OAC≌△OAB，∴△COE≌△OBD．故填4．4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AC-BD，则∠B：∠C的值是_______．解：在AC上截取AE=AB=X，于是AB=AE又∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠EAD又∵AD=AD∴△ABD≌△AED∴∠1=∠B，DE=BD=CE=X∴在等腰三角形DEC中，∠B=∠1=2∠C∴∠B：∠C=2：1或2．5．如图，OA=OB，OC=OD，∠O=60°，∠C=25°，则∠BED等于_______°．解：∵OA=OB，OC=OD，∠O=60°，∴△OAD≌△OBC，∴∠D=∠C=25°，∵∠DBE=∠O+∠C=85°，∴∠BED=180°-25°-85°=70°．6．如图，在等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=CE，则∠BCD+∠CBE=_______°．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°，AC=BC，∵AD=CE，∴△ADC≌△CEB，∴∠ACD=∠CBE∴∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°．7．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F 为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D．则∠ADC的度数为_______．解：解法一：连接EF．∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，∴AF=AE；∴△AEF是等腰三角形；又∵分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；∴AG是线段EF的垂直平分线，∴AG平分∠CAB，∵∠CAB=50°，∴∠CAD=25°；在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，∴∠ADC=65°（直角三角形中的两个锐角互余）；解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，∵∠CAB=50°，∴∠CAD=25°；在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，∴∠ADC=65°（直角三角形中的两个锐角互余）；故答案是：65°．8．如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是_______．解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠ABM+∠CBN=90°，而AM⊥MN，CN⊥BN，∴∠BAM=∠CBN，∠AMB=∠CNB=90°，∴△AMB≌△BCN（AAS），∴BM=CN，∴AB为．9．已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．E、F分别是边AD、CD上的点，若AE=4cm，CF=3cm，且OE⊥OF，则EF的长为_______cm．解：连接EF，作OM⊥AB于点M，∵OD=OC，∵OE⊥OF∴∠EOD+∠FOD=90°∵正方形ABCD∴∠COF+∠DOF=90°∴∠EOD=∠FOC而∠ODE=∠OCF=45°∴△OFC≌△OED，∴OE=OF，CF=DE=3cm，则AE=DF=4，根据勾股定理得到EF==5cm．10．如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是_______．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，∴∠ABE=∠D=90°，∵∠EAF=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，∴∠DAF=∠BAE，在△AEB和△AFD中，∵，∴△AEB≌△AFD（ASA），∴S△AEB=S△AFD，∴它们都加上四边形ABCF的面积，可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=16．三、解答题1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE=BF．解：证明：∵∠FAB+∠BAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°，∴∠FAB=∠DAE，∵∠AB=AD，∠ABF=∠ADE，∴△AFB≌△ADE，∴DE=BF．2．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABC≌△BAD．求证：（1）OA=OB；（2）AB∥CD．证明：（1）∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB．（2）∵△ABC≌△BAD，∴AC=BD，又∵OA=OB，∴AC-OA=BD-OB，即：OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∵∠AOB=∠COD，∠CAB=，∠ACD=，∴∠CAB=∠ACD，∴AB∥CD．3．如图，▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O．（1）图中有哪些三角形是全等的？（2）选出其中一对全等三角形进行证明．解：（1）△AOB≌△COD、△AOD≌△COB、△ABD≌△CDB、△ADC≌△CBA；（2）以△AOB≌△COD为例证明；∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．在△AOB和△COD中，OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD，∴△AOB≌△COD．4．如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：_______，并给予证明．解：①添加条件：AE=AF，证明：在△AED与△AFD中，∵AE=AF，∠EAD=∠FAD，AD=AD，∴△AED≌△AFD（SAS），②添加条件：∠EDA=∠FDA，证明：在△AED与△AFD中，∵∠EAD=∠FAD，AD=AD，∠EDA=∠FDA，∴△AED≌△AFD（ASA）．5．如图，在8×8的正方形网格中，△ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=_______°，BC=_______．（2）请你在图中找出一点D，再连接DE、DF，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，并加以证明．（1）解：依题意得∠ABC=135°，BC为边长为2的正方形的对角线，则BC=2；（2）证明：∵FD 3=FD4=ED2=ED3=BC=，∴∠EFD3=∠EFD4=∠FED2=∠FED1=∠ABC=90°+45°=135°，EF=AB=2，∴△FED1≌△FED2≌△EFD3≌△EFD4≌△ABC．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CE⊥BE，CE与AB相交于点F，AD⊥CF于点D，且AD平分∠FAC，请写出图中两对全等三角形，并选择其中一对加以证明．解：△ADC≌△ADF、△ADC≌△CEB，若选择△ADC≌△ADF，证明如下：∵AD平分∠FAC，∴∠CAD=∠FAD，∵AD⊥CF，∴∠ADC=∠ADF=90°，在△ADC和△ADF中，，∴△ADC≌△ADF（ASA）．7．如图所示，将一长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点E处，折痕为MN，图中有全等三角形吗？若有，请找出并证明．解：有，△ABN≌△AEM．证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AB=DC，∠B=∠C=∠DAB=90°∵四边形NCDM翻折得到四边形NAEM，∴AE=CD，∠E=∠D=90°，∠EAN=∠C=90°．∴AB=AE，∠B=∠E，∠DAB=∠EAN，即：∠BAN+∠NAM=∠EAM+∠NAM，∴∠BAN=∠EAM．在△ABN与△AEM中，∴△ABN≌△AE M（ASA）．8．如图，△ABC中，AB=AC，延长BC至D，使CD=BC，点E在边AC上，以CE，CD为邻边做▱CDFE，过点C作CG∥AB交EF于点G，连接BG，DE．（1）∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由；（2）求证：△BCG≌△DCE．（1）解：∠ACB=∠GCD．理由如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB∵CG∥AB，∴∠ABC=∠GCD，∴∠ACB=∠GCD．（2）证明：∵四边形CDFE是平行四边形，∴EF∥CD．∴∠ACB=∠GEC，∠EGC=∠GCD．∵∠ACB=∠GCD，∴∠GEC=∠EGC，∴EC=GC，∵∠GCD=∠ACB，∴∠GCB=∠ECD．在△BCG和△DCE中∴△BCG≌△DCE．9．已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌△DEF．判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明．解：是假命题．以下任一方法均可：①添加条件：AC=DF．证明：∵AD=BE，∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE．在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠FDE，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（SAS）；②添加条件：∠CBA=∠E．证明：∵AD=BE，∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE．在△ABC和△DEF中，∠A=∠FDE，AB=DE，∠CBA=∠E，∴△ABC≌△DEF（ASA）；③添加条件：∠C=∠F．证明：∵AD=BE，∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE．在△ABC和△DEF中，∠A=∠FDE，∠C=∠F，AB=DE，∴△ABC≌△DE F（AAS）．10．如图，AB=AC，AD⊥BC于点D，AD=AE，AB平分∠DAE交DE于点F，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．解：（1）△ADB≌△ADC、△ABD≌△ABE、△AFD≌△AFE、△BFD≌△BFE、△ABE≌△ACD （写出其中的三对即可）．（2）以△ADB≌△ADC为例证明．证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵在Rt△ADB和Rt△ADC中，，∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）．12．如图，AB∥CD．（1）用直尺和圆规作∠C的平分线CP，CP交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）．（2）在（1）中作出的线段CE上取一点F，连接AF．要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件（只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明）．解：（1）作图如下；（2）取点F和画AF正确（如图）；添加的条件可以是：添加AF⊥CE，可根据AAS判定△ACF≌△AEF；添加∠CAF=∠EAF，可根据AAS判定△ACF≌△AEF等．（选一个即可）13．如图，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC=DF，BC=EF，△ABC 与△DEF全等吗？证明你的结论．解：△ABC与△DEF全等．证明：∵AC∥DF，∴∠C=∠F．在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．14．如图所示，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，FC⊥BD，垂足分别为E，F．（1）写出图中所有的全等三角形；（2）选择（1）中的任意一对全等三角形进行证明．解：（1）①△ABD≌△CDB②△ABE≌△CDF③△AED≌△CFB；（2）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=CB，∵BD=DB，∴△ABD≌△CDB．②证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°．∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD且AB=CD．∴∠ABE=∠CDF．∴△ABE≌△CDF．③证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°．∵ABCD是平行四边形，∴AD∥CB且AD=CB．∴∠ADE=∠CBF．∴△AED≌△CFB．15．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别是AB、AC的中点，点F是BE、CD的交点．请写出图中两组全等的三角形，并选出其中一组加以证明．（要求：写出证明过程中的重要依据）解：△ABE≌△ACD，∠FAE=∠EAD或△BFD≌△CFE（写出两个即可）（1）选△ABE≌△ACD．证明：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴．又∵AB=AC，∴AD=AE．在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS）．（2）选△BCD≌△CBE．证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴，．∴BD=CE．在△BCD和△CBE中，，∴△BCD≌△CBE（SAS）．（3）选△BFD≌△CFE．方法一：证明：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴，又∵AB=AC，∴AD=AE在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABE=∠ACD，∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴，，∵AB=AC，∴BD=CE，在△BFD和△CFE中，，∴△BFD≌△CFE（AAS）．方法二：证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴，．∴BD=CE．在△BCD和△CBE中，，∴△BCD≌△CBE（SAS）．∴∠BDC=∠CEB．在△BFD和△CFE中，，∴△BFD≌△CFE（AAS）．16．已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC为等边三角形．证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）∴FA=EC（等量加等量和相等）．∵△DEF是等边三角形（已知），∴EF=DE（等边三角形的性质）．又∵AE=CD（已知）∴△AEF≌△CDE（SSS）．（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF，△DEF是等边三角形，∴∠DEF=60°，∴∠BCA=60°，由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，∵∠DEC+∠FEC=60°，∴∠EFA+∠FEC=60°，又∠B AC是△AEF的外角，∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，∴△ABC中，AB=BC．∴△ABC是等边三角形．17．复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC中内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连结BQ、CP则BQ=CP．”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP．之后，他将点P移到等腰三角形ABC外，原题中其它条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．证明：∵∠QAP=∠BAC∴∠QAP+∠PAB=∠PAB+∠BAC即∠QAB=∠PAC在△ABQ和△ACP中，，∴△ABQ≌△ACP（SAS），∴BQ=CP．18．如图，△ABC中，AB=AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G．试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．解：△BCF≌△CBD．△BHF≌△CHD．△BDA≌△CFA．证明：在△BCF与△CBD中，∵AB=AC．∴∠ABC=∠ACB∵BD、CF是角平分线．∴∠BCF=∠ACB，∠CBD=∠ABC．∴∠BCF=∠CBD，∴，∴△BCF≌△CBD（ASA）．19．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD=BE．（1）请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明．你添加的条件是_______．（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形_______．（只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）解：添加条件例举：BA=BC；∠AEB=∠CDB；∠BAC=∠BCA；证明例举（以添加条件∠AEB=∠CDB为例）：∵∠AEB=∠CDB，BE=BD，∠B=∠B，∴△BEA≌△BDC．另一对全等三角形是：△ADF≌△CEF或△AEC≌△CDA．20．已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．求证：AD=AE．证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，∴∠ADB=90°，。
中考数学复习考点题型专练19--全等三角形(解析版)
中考数学复习考点题型专练专题19全等三角形（满分：100分时间：90分钟）班级_________ 姓名_________学号_________ 分数_________ 一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)1．（2022·浙江湖州市·中考真题）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积. 如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（）A．D【答案】D【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得EM=DN，利用勾股定理即可求得．【详解】于G.如图，EF为剪痕，过点F作FG EM∵EF 将该图形分成了面积相等的两部分，∴EF 经过正方形ABCD 对角线的交点，∴,AF CN BF DN ==.易证PME PDN ∆∆≌，∴EM DN =，而AF MG =，∴1EG EM MG DN AF DN CN DC =+=+=+==.在Rt FGE ∆中，EF ==故选：D.2．（2022·黑龙江中考真题）如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．15B ．12.5C ．14.5D ．17【答案】B【分析】过A 作AE ⊥AC ，交CB 的延长线于E ，判定△ACD ≌△AEB ，即可得到△ACE 是等腰直角三角形，四边形ABCD 的面积与△ACE 的面积相等，根据S △ACE =12×5×5=12.5，即可得出结论． 【详解】如图，过A 作AE ⊥AC ，交CB 的延长线于E ，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，∴∠D=∠ABE，又∵∠DAB=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB，又∵AD=AB，∴△ACD≌△AEB，∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，∵S△ACE=12×5×5=12.5，∴四边形ABCD的面积为12.5，故选B．3．（2022·青海中考真题）如图，把直角三角形ABO放置在平面直角坐标系中，已知30OAB∠=，B 点的坐标为()0,2，将ABO沿着斜边AB翻折后得到ABC，则点C的坐标是()A．()4B．(2,C．)D．【答案】C【分析】过点C 作CD ⊥y 轴，垂直为D ，首先证明△BOA ≌△BCA ，从而可求得BC 的长，然后再求得∠DCB=30°，接下来，依据在Rt △BCD 中，求得BD 、DC 的长，从而可得到点C 的坐标．【详解】OAB BAC 30∠∠==，BOA BCA 90∠∠==，AB AB =，BOA ∴≌BCA ，OB BC 2∴==，CBA OBA 60∠∠==，过点C 作CD y ⊥轴，垂直为D ，则DCB 30∠=，1DB BC 12∴==，DC BC 2== )C ∴， 故选C ．4．（2022·新疆中考真题）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，以点B 为圆心，适当长为半径的画弧，分别交BA ，BC 于点M 、N ；再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ，则下列说法中不正确的是（）A ．BP 是∠ABC 的平分线B ．AD=BDC ．:1:3CBD ABD S S D ．CD=12BD 【答案】C【分析】A 、由作法得BD 是∠ABC 的平分线，即可判定；B 、先根据三角形内角和定理求出∠ABC 的度数，再由BP 是∠ABC 的平分线得出∠ABD ＝30°＝∠A,即可判定；C ，D 、根据含30°的直角三角形，30°所对直角边等于斜边的一半，即可判定.【详解】解：由作法得BD 平分∠ABC ，所以A 选项的结论正确；∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∴∠ABD ＝30°＝∠A ，∴AD ＝BD ，所以B 选项的结论正确；∵∠CBD ＝12∠ABC ＝30°， ∴BD ＝2CD ，所以D 选项的结论正确；∴AD ＝2CD ，∴S △ABD ＝2S △CBD ，所以C 选项的结论错误．故选C ．5．（2022·湖南张家界市·中考真题）如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，根据已知求出CD 的长，再根据角平分线的性质进行求解即可.【详解】如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，AC 8=，1DC AD 3=，1CD 8213∴=⨯=+， C 90∠︒=，BD 平分ABC ∠，DE CD 2∴==，即点D 到AB 的距离为2，故选C ．6．（2022·山东潍坊市·中考真题）如图，已知AOB ∠．按照以下步骤作图：①以点O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AOB ∠的两边于C ，D 两点，连接CD ．②分别以点C ，D 为圆心，以大于线段OC 的长为半径作弧，两弧在AOB ∠内交于点E ，连接CE ，DE ．③连接OE 交CD 于点M ．下列结论中错误的是（ ）A ．CEO DEO ∠=∠B ．CM MD =C ．OCD ECD ∠=∠D ．12OCED S CD OE =⋅四边形 【答案】C【分析】利用基本作图得出是角平分线的作图，进而解答即可．【详解】由作图步骤可得：OE 是AOB ∠的角平分线，∴∠COE=∠DOE ，∵OC=OD ，OE=OE ，OM=OM ，∴△COE ≌△DOE ，∴∠CEO=∠DEO ，∵∠COE=∠DOE ，OC=OD ，∴CM=DM ，OM ⊥CD ，∴S 四边形OCED =S △COE +S △DOE =111222OE CM OE DM CD OE +=， 但不能得出OCD ECD ∠=∠，∴A 、B 、D 选项正确，不符合题意，C 选项错误，符合题意，故选C ．7．（2022·山东临沂市·中考真题）如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，//FC AB ，若4AB =，3CF =，则BD 的长是( )A ．0.5B ．1C ．1.5D ．2【答案】B【分析】根据平行线的性质，得出A FCE ∠=∠，ADE F ∠=∠，根据全等三角形的判定，得出ADE CFE ∆≅∆，根据全等三角形的性质，得出AD CF =，根据4AB =，3CF =，即可求线段DB 的长．【详解】∵//CF AB ，∴A FCE ∠=∠，ADE F ∠=∠，在ADE ∆和FCE ∆中A FCE ADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADE CFE AAS ∆≅∆，∴3AD CF ==，∵4AB =，∴431DB AB AD =-=-=.故选B ．8．（2022·广西河池市·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，BE CF =，则图中与AEB ∠相等的角的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据正方形的性质，利用SAS 即可证明△ABE ≌△BCF ，再根据全等三角形的性质可得∠BFC=∠AEB ，进一步得到∠DAE=∠AEB ，∠BFC=∠ABF ，从而求解．【详解】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴,,90AB BC AB BC ABE BCF =∠=∠=︒∕∕，在ABE ∆和BCF ∆中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE BCF SAS ∆∆≌，∴BFC AEB ∠=∠，∴BFC ABF ∠=∠，又有EAD AEB ∠=∠故图中与AEB ∠相等的角的个数是3．故选C ．9．（2022·四川宜宾市·中考真题）如图，,ABC ECD ∆∆都是等边三角形，且B ，C ，D 在一条直线上，连结,BE AD ，点M ，N 分别是线段BE ，AD 上的两点，且11,33BM BE AN AD ==，则CMN ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不等边三角形【答案】C【分析】先证明BCE ACD ≅，得到BE AD =，根据已知条件可得AN BM =，证明△△BCM ACN ≅，得到=60MCN ∠︒，即可得到结果；【详解】∵,ABC ECD ∆∆都是等边三角形，∴BC AC =，CE CD =，60BCA DCE ∠=∠=︒，∴+BCA ACE DCE ACE ∠∠=∠+∠，∴BCE ACD ∠=∠，在BCE 和ACD △中，BC AC BCE ACD CE CD ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△BCE ACD SAS ≅，∴BE AD =，CBMACN ∠=∠， 又∵11,33BM BE AN AD ==， ∴BM AN =，在BCM 和ACN △中，BM AN CBM ACN BC AC ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△BCM ACNSAS ≅， ∴BCM ACN ∠=∠，MC NC =，∴+60BCM ACMACN ACM ∠∠=∠+∠=︒， ∴CMN ∆是等边三角形．故答案选C ．10．（2022·广西中考真题）如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（ ）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒【答案】C【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG AB ⊥，则CG 平分ACB ∠，利用A B ∠=∠和三角形内角和计算出ACB ∠，从而得到BCG ∠的度数.【详解】由作法得CG AB ⊥，∵AB AC =，∴CG 平分ACB ∠，A B ∠=∠，∵1804040100ACB ∠=︒-︒-︒=︒， ∴1502BCG ACB ∠=∠=︒． 故选：C ． 二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)11．（2022·广西玉林市·中考真题）如图，将两张对边平行且相等的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD_________菱形（是，或不是）．【答案】是【分析】 如图（见解析），先根据“两张对边平行且相等的纸条”得出//,//,AB CD AD BC BE DF =，再根据平行四边形的判定可得四边形ABCD 是平行四边形，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得AB AD =，最后根据菱形的判定即可得．【详解】如图，过点B 作BE AD ⊥，交DA 延长线于点E ，过点D 作DF AB ⊥，交BA 延长线于点F 由题意得：//,//,AB CD AD BC BE DF =∴四边形ABCD 是平行四边形在ABE △和ADF 中，90BAE DAF AEB AFD BE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩(AAS)ABE ADF ∴≅AB AD ∴=∴平行四边形ABCD 是菱形故答案为：是．12．（2022·黑龙江鹤岗市·中考真题）如图，Rt ABC ∆和Rt EDF ∆中，//BC DF ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使Rt ABC ∆和Rt EDF ∆全等．【答案】AB ED =，答案不唯一【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，可以是AB ＝ED 或BC ＝DF 或AC ＝EF 或AE ＝CF 等，只要符合全等三角形的判定定理即可．【详解】∵Rt ABC ∆和Rt EDF ∆中，∴90BAC DEF ∠=∠=︒，∵//BC DF ，∴DFE BCA ∠=∠，∴添加AB ED =，在Rt ABC ∆和Rt EDF ∆中DFE BCA DEF BAC AB ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()Rt Rt AAS ABC EDF ∆∆≌，故答案为：AB ED =答案不唯一．13．（2022·辽宁本溪市·中考真题）如图，在ABC ∆中，M ，N 分别是AB 和AC 的中点，连接MN ，点E 是CN 的中点，连接ME 并延长，交BC 的延长线于点D ，若4BC =，则CD 的长为_________．【答案】2【分析】依据三角形中位线定理，即可得到MN=12BC=2，MN //BC ，依据△MNE ≌△DCE （AAS ），即可得到CD=MN=2．【详解】解：∵M ，N 分别是AB 和AC 的中点，∴MN 是△ABC 的中位线，∴MN=12BC=2，MN ∥BC ， ∴∠NME=∠D ，∠MNE=∠DCE ，∵点E 是CN 的中点，∴NE=CE ，∴△MNE ≌△DCE （AAS ），故答案为：2．14．（2022·甘肃天水市·中考真题）如图，在边长为6的正方形ABCD 内作45EAF ∠=︒，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABG ，若3DF =，则BE 的长为__________．【答案】2【分析】根据旋转的性质可得AG=AF ，GB=DF ，∠BAG =∠DAF ，然后根据正方形的性质和等量代换可得∠GAE =∠F AE ，进而可根据SAS 证明△GAE ≌△F AE ，可得GE=EF ，设BE=x ，则CE 与EF 可用含x 的代数式表示，然后在Rt △CEF 中，由勾股定理可得关于x 的方程，解方程即得答案．【详解】解：∵将△ADF 绕点A 顺时针旋转90︒得到△ABG ，∴AG=AF ，GB=DF ，∠BAG =∠DAF ，∵45EAF ∠=︒，∠BAD =90°，∴∠BAE +∠DAF =45°，∴∠BAE +∠BAG =45°，即∠GAE =45°，∴∠GAE =∠F AE ，又AE=AE ，∴△GAE ≌△F AE （SAS ），设BE=x ，则CE =6－x ，EF=GE=DF+BE =3+x ，∵DF =3，∴CF =3，在Rt △CEF 中，由勾股定理，得：()()222633x x -+=+，解得：x =2，即BE =2．故答案为：2．15．（2022·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）如图，已知在△ABD 和△ABC 中，∠DAB ＝∠CAB ，点A 、B 、E 在同一条直线上，若使△ABD ≌△ABC ，则还需添加的一个条件是______．（只填一个即可）【答案】AD ＝AC (∠D ＝∠C 或∠ABD ＝∠ABC 等）【分析】利用全等三角形的判定方法添加条件即可求解．【详解】解：∵∠DAB ＝∠CAB ，AB ＝AB ，∴当添加AD ＝AC 时，可根据“SAS ”判断△ABD ≌△ABC ；当添加∠D ＝∠C 时，可根据“AAS ”判断△ABD ≌△ABC ；当添加∠ABD ＝∠ABC 时，可根据“ASA ”判断△ABD ≌△ABC ．故答案为AD ＝AC (∠D ＝∠C 或∠ABD ＝∠ABC 等)．三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)16．（2022·柳州市柳林中学中考真题）如图，已知OC 平分∠MON ，点A 、B 分别在射线OM ，ON 上，且OA ＝OB ．求证：△AOC ≌△BOC ．【答案】见解析【分析】根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法可以证明结论成立．【详解】证明：∵OC 平分∠MON ，∴∠AOC ＝∠BOC ，在△AOC 和△BOC 中，OA OB AOC BOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOC （SAS ）．17．（2022·江苏连云港市·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，对角线BD 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于M 、N ．（1）求证：四边形BNDM 是菱形；（2）若24BD =，10MN =，求菱形BNDM 的周长．【答案】（1）见解析；（2）52【分析】（1）先证明BON DOM ≌△△，得到四边形BNDM 为平行四边形，再根据菱形定义证明即可； （2）先根据菱形性质求出OB 、OM 、再根据勾股定理求出BM ，问题的得解．【详解】（1）∵//AD BC ，∴CBD ADB ∠=∠．∵MN 是对角线BD 的垂直平分线，∴OB OD =，MB MD =．在BON △和DOM △中，CBD ADB OB OD BON DOM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()BON DOM ASA ≌，∴MD NB =，∴四边形BNDM 为平行四边形．又∵MB MD =，∴四边形BNDM 为菱形．（2）∵四边形BNDM 为菱形，24BD =，10MN =．∴90BOM ︒∠=，1122OB BD ==，152OM MN ==． 在Rt BOM △中，13BM ===．∴菱形BNDM 的周长441352BM ==⨯=．18．（2022·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边角形ADE ，连接BE 、CE ．（1）求证：BAE CDE △≌△；（2）求AEB ∠的度数．【答案】(1)见解析；(2)15°．【分析】(1)利用正方形的性质得到AB=CD ，∠BAD=∠CDA ，利用等边三角形的性质得到AE=DE ，∠EAD=∠EDA=60°即可证明；(2)由AB=AD=AE ，得到△ABE 为等腰三角形，进而得到∠ABE=∠AEB ，且∠BAE=90°+60°=150°，再利用三角形内角和定理即可求解．【详解】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=CD ，且∠BAD=∠CDA=90°，∵△ADE 是等边三角形，∴AE=DE ，且∠EAD=∠EDA=60°，∴∠BAE=∠BAD+∠EAD=150°，∠CDE=∠CDA+∠EDA=150°，∴∠BAE=∠CDE ，在△BAE 和△CDE 中:=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AB CD BAE CDE AE DE ，∴()△≌△BAE CDE SAS ．(2)∵AB=AD ，且AD=AE ，∴△ABE 为等腰三角形，∴∠ABE=∠AEB ，又∠BAE=150°，∴由三角形内角和定理可知：∠AEB=(180°-150°)÷2=15°．故答案为：15°．19．（2022·江苏宿迁市·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 在AC 上，且AF=CE ．求证：四边形BEDF 是菱形．【答案】见解析【分析】由正方形的性质可得AB=AD=CD=BC ，∠DAE=∠BAE=∠BCF=∠DCF=45°，由“SAS”可证△ABE ≌△ADE ，△BFC ≌△DFC ，△ABE ≌△CBF ，可得BE=BF=DE=DF ，可得结论．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD=CD=BC ，∠DAE=∠BAE=∠BCF=∠DCF=45°，在△ABE 和△ADE 中，AB AD BAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADE （SAS ），∴BE=DE ，同理可得△BFC ≌△DFC ，可得BF=DF ，∵AF=CE ，∴AF-EF=CE-EF ，即AE=CF ，在△ABE 和△CBF 中，AB BC BAE BCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBF （SAS ），∴BE=BF ，∴BE=BF=DE=DF ，∴四边形BEDF 是菱形．20．（2022·江苏南通市·中考真题）（1）如图①，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AD ＝AE ，∠B ＝∠C ．求证：AB ＝AC ．（2）如图②，A 为⊙O 上一点，按以下步骤作图：①连接OA ；②以点A 为圆心，AO 长为半径作弧，交⊙O 于点B ；③在射线OB 上截取BC ＝OA ；④连接AC ．若AC ＝3，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）⊙O【分析】（1）根据“AAS “证明△ABE ≌△ACD ，然后根据全等三角形的性质得到结论；（2）连接AB ，如图②，由作法得OA=OB=AB=BC ，先判断△OAB 为等边三角形得到∠OAB=∠OBA=60°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠C=∠BAC=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求OA 的长．【详解】（1）证明：在△ABE 和△ACD 中B C A A AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （AAS ），∴AB ＝AC ；（2）解：连接AB ，如图②，由作法得OA ＝OB ＝AB ＝BC ，∴△OAB 为等边三角形，∴∠OAB ＝∠OBA ＝60°，∵AB ＝BC ，∴∠C ＝∠BAC ，∵∠OBA ＝∠C+∠BAC ，∴∠C ＝∠BAC ＝30°∴∠OAC ＝90°，在Rt △OAC 中，OA ＝3AC ＝3×3即⊙O ．。
中考数学备考专题复习 全等三角形(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
全等三角形一、单选题（共12题；共24分）1、下图中，全等的图形有（）A、2组B、3组C、4组D、5组2、使两个直角三角形全等的条件是（）A、一锐角对应相等B、两锐角对应相等C、一条边对应相等D、两条直角边对应相等3、下列说法错误的是（）A、等腰三角形两腰上的中线相等B、等腰三角形两腰上的高线相等C、等腰三角形的中线与高重合D、等腰三角形底边的中线上任一点到两腰的距离相等4、如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（）去配．A、①B、②C、③D、①和②5、长为1的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x 的取值X围为（）A、B、C、D、6、已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（）A、15°或75°B、15°C、75°D、150°和30°7、如图，x的值可能为（）A、10B、9C、7D、68、如图，△A BC中，AB=AC ， EB=EC ，则由“SSS”可以判定（）A、△ABD≌△ACDB、△ABE≌△ACEC、△BDE≌△CDED、以上答案都不对9、如果线段AB=3cm，BC=1cm，那么A、C两点的距离d的长度为（）A、4cmB、2cmC、4cm或2cmD、小于或等于4cm，且大于或等于2cm10、（2016•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A、50°B、51°C、51.5°D、52.5°11、（2016•某某）如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）A、AC=BDB、∠CAB=∠DBAC、∠C=∠DD、BC=AD12、如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（）A、24°B、25°C、30°D、36°二、填空题（共5题；共6分）13、若△ABC≌△EFG，且∠B＝60°,∠FGE－∠E＝56°,，则∠A＝________度．14、如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“________”．15、如图，△ABC≌△ADE，∠B＝100°，∠BAC＝30°，那么∠AED＝________°．16、如果△ABC 和△DEF 全等，△DEF 和△GHI 全等，则△ABC 和△GHI________全等，如果△ABC 和△DEF 不全等，△DEF 和△GHI 全等，则△A BC 和△GHI________全等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”）17、（2016•某某）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点（不含B 、C 两点），将△ABP 沿直线AP 翻折，点B 落在点E 处；在CD 上有一点M ，使得将△CMP 沿直线MP 翻折后，点C 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交CD 于点N ，连接MA ，NA ．则以下结论中正确的有________（写出所有正确结论的序号） ①△CMP∽△BPA；②四边形AMCB 的面积最大值为10；③当P 为BC 中点时，AE 为线段NP 的中垂线； ④线段AM 的最小值为2；⑤当△ABP≌△ADN 时，BP=4﹣4．三、综合题（共6题；共66分）18、如图，分别以Rt△ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F ，连接DF ．(1)试说明AC=EF ；(2)求证：四边形ADFE 是平行四边形.19、已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE=CG ，连接BG 并延长交DE 于F ．(1)求证：△BCG≌△DCE；(2)将△DC E 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD 是什么特殊四边形，并说明理由。
中考数学专题训练：全等三角形(含答案)
中考数学专题训练：全等三角形一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件是()A．∠A＝∠C B．∠D＝∠BC．AD∥BC D．DF∥BE2. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点．若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为()A．15°B．20°C．25°D．30°3. 如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC，不能添加的一组条件是()A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DCC．BC＝DC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D4. 如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点．若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有()A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对5. 如图，若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为()图12-1-10A.2B.3C.5D.2.56. 如图所示，△ABD≌△CDB，下列四个结论中，不正确的是()A.△ABD和△CDB的面积相等B.△ABD和△CDB的周长相等C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBDD.AD∥BC，AD=BC7. 如图，AB⊥CD，且AB＝CD.E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE ＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为()A．a＋c B．b＋cC．a－b＋c D．a＋b－c8. 如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B=∠C=x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是()9. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1＋∠2＋∠3等于() A．90°B．120 C．135°D．150°10. 如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 3个以上二、填空题（本大题共10道小题）11. 如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝________.12. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD.请添加一个适当的条件：______________，使得△ABD≌△CDB.(只需写出一个)13. 如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，BF=CE，点B，F，C，E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是(只填一个即可).14. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当条件：________，使△AEH≌△CEB.15. 如图，已知AC＝EC，∠ACB＝∠ECD，要直接利用“AAS”判定△ABC≌△EDC，应添加的条件是__________．16. 如图，AC与BD相交于点O，且AB＝CD，请添加一个条件：________，使得△ABO≌△CDO.17. △ABC的周长为8，面积为10，若其内部一点O到三边的距离相等，则点O 到AB的距离为________．18. 如图，P A⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且P A＝PB.若∠MON＝50°，∠OPC ＝30°，则∠PCA的大小为________．19. 如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q是线段AC与射线AX上的两个动点，且AB＝PQ，当AP＝________时，△ABC与△APQ全等．20. 如图，P是△ABC外的一点，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC.若PD＝PE＝PF，∠BAC＝64°，则∠BPC的度数为________．三、解答题（本大题共6道小题）21. 如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC.求证：Rt△ABC≌Rt△DEF.22. 如图，已知△ACF≌△DBE，且点A，B，C，D在同一条直线上.若AD=16，BC=10，求AB的长.23. 观察与类比(1)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°.点D在△ABC外，连接AD，作DE⊥AB于点E，交BC于点F，AD＝AB，AE＝AC，连接AF.求证：DF＝BC ＋CF；(2)如图②，AB＝AD，AC＝AE，∠ACB＝∠AED＝90°，延长BC交DE于点F，写出DF，BC，CF之间的数量关系，并证明你的结论．24. 如图所示，已知在△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=8 cm，D为AB的中点，点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA 上由点C向点A以a cm/s的速度运动，设运动的时间为t s(t>0).(1)求CP的长(用含t的式子表示);(2)若以C，P，Q为顶点的三角形和以B，D，P为顶点的三角形全等，且∠B和∠C是对应角，求a的值.25. △ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF 的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，①求证：△BPE∽△CEQ；②当BP＝2，CQ＝9时，求BC的长．26. 已知：在等边△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，且∠BAE＝∠CBD＜60°，DH⊥AB，垂足为点H.(1)如图①，当点D、E分别在边AC、BC上时，求证：△ABE≌△BCD；(2)如图②，当点D、E分别在AC、CB延长线上时，探究线段AC、AH、BE的数量关系；(3)在(2)的条件下，如图③，作EK∥BD交射线AC于点K，连接HK，交BC于点G，交BD于点P，当AC＝6，BE＝2时，求线段BP的长．2021中考数学一轮专题训练：全等三角形-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】B[解析] 在△ADF和△CBE中，由AD＝BC，∠D＝∠B，DF＝BE，根据两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，可以得到△ADF≌△CBE.故选B.2. 【答案】D[解析] 由条件可知∠ADB＝∠EDB＝∠EDC＝60°，且∠DEB＝∠DEC＝90°，∴∠C＝30°.3. 【答案】C4. 【答案】C【解析】由题意可知，△ABD≌△CBD，△MON≌△M′ON′，△DON ≌△BON′，△DOM≌△BOM′共4对．5. 【答案】B[解析] ∵△ABE≌△ACF，AB=5，∴AC=AB=5.∵AE=2，∴EC=AC-AE=5-2=3.6. 【答案】C[解析] A.∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项不符合题意;B.∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的周长相等，故本选项不符合题意;C.∵△ABD≌△CDB，∴∠A=∠C，∠ABD=∠CDB.∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本选项符合题意;D.∵△ABD≌△CDB，∴AD=BC，∠ADB=∠CBD.∴AD∥BC，故本选项不符合题意.故选C.7. 【答案】D[解析] ∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠CED＝∠AFB＝90°，∠A＝∠C.又∵AB＝CD，∴△CED≌△AFB.∴AF＝CE＝a，DE＝BF＝b，DF ＝DE－EF＝b－c.∴AD＝AF＋DF＝a＋b－c.故选D.8. 【答案】C[解析] 选项A中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.选项B中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.选项C中，如图①，∵∠DEC=∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.∴∠FEC=∠BDE.这两个角所对的边是BE和CF，而已知条件给的是BD=CF=3，故不能判定两个小三角形全等.选项D中，如图②，∵∠DEC=∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.∴∠FEC=∠BDE.又∵BD=CE=2，∠B=∠C，∴△BDE≌△CEF.故能判定两个小三角形全等.9. 【答案】C[解析] 在图中容易发现全等三角形，将∠3转化为与其相等的对应角后可以看出∠3与∠1互余．故∠1＋∠3＝90°.易得∠2＝45°，故∠1＋∠2＋∠3＝135°.10. 【答案】D【解析】如解图，①当OM1＝2时，点N1与点O重合，△PMN 是等边三角形；②当ON2＝2时，点M2与点O重合，△PMN是等边三角形；③当点M3，N3分别是OM1，ON2的中点时，△PMN是等边三角形；④当取∠M1PM4＝∠OPN4时，易证△M1PM4≌△OPN4(SAS)，∴PM4＝PN4，又∵∠M4PN4＝60°，∴△PMN是等边三角形，此时点M，N有无数个，综上所述，故选D.二、填空题（本大题共10道小题）11. 【答案】120°【解析】由于△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝24°，在△ABC 中，∠B＝180°－24°－36°＝120°.12. 【答案】答案不唯一，如AB＝CD[解析] 由已知AB∥CD可以得到一对角相等，还有BD＝DB，根据全等三角形的判定，可添加夹这个角的另一边相等，或添加另一个角相等均可．13. 【答案】AB=DE或∠A=∠D或∠ACB=∠DFE或AC∥DF[解析]已知条件已经具有一边一角对应相等，需要添加的条件要么是夹已知角的边，构造SAS全等，要么添加另外的任一组角构造ASA或AAS，或者间接添加可以证明这些结论的条件即可.14. 【答案】AH＝CB(符合要求即可)【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E，∴∠BEC＝∠AEC＝90°，在Rt△AEH中，∠EAH＝90°－∠AHE，在Rt△HDC中，∠ECB＝90°－∠DHC，∵∠AHE＝∠DHC，∴∠EAH＝∠ECB，∴根据AAS添加AH＝CB或EH＝EB；根据ASA添加AE＝CE.可证△AEH≌△CEB.故答案为：AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE均可．15. 【答案】∠B＝∠D16. 【答案】∠A ＝∠C 或∠B ＝∠D 或AB ∥CD(答案不唯一)[解析] 由题意可知∠AOB ＝∠COD ，AB ＝CD.∵AB 是∠AOB 的对边，CD 是∠COD 的对边，∴只能添加角相等，故可添加∠A ＝∠C 或∠B ＝∠D 或AB ∥CD.17. 【答案】2.5 [解析] 设点O 到AB ，BC ，AC 的距离均为h ，∴S △ABC ＝12×8·h ＝10，解得h ＝2.5，即点O 到AB 的距离为2.5.18. 【答案】55° [解析] ∵PA ⊥ON ，PB ⊥OM ，∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°.在Rt △AOP 和Rt △BOP 中，⎩⎪⎨⎪⎧PA ＝PB ，OP ＝OP ，∴Rt △AOP ≌Rt △BOP(HL)．∴∠AOP ＝∠BOP ＝12∠MON ＝25°.∴∠PCA ＝∠AOP ＋∠OPC ＝25°＋30°＝55°.19. 【答案】5或10 [解析] ∵AX ⊥AC ，∴∠PAQ ＝90°.∴∠C ＝∠PAQ ＝90°. 分两种情况：①当AP ＝BC ＝5时，在Rt △ABC 和Rt △QPA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝QP ，BC ＝PA ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA(HL)；②当AP ＝CA ＝10时，在Rt △ABC 和Rt △PQA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝PQ ，AC ＝PA ，∴Rt △ABC ≌Rt △PQA(HL)．综上所述，当AP ＝5或10时，△ABC 与△APQ 全等．20. 【答案】32° [解析] ∵PD ＝PE ＝PF ，PD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ，∴CP 平分∠ACF ，BP 平分∠ABC.∴∠PCF ＝12∠ACF ，∠PBF ＝12∠ABC.∴∠BPC ＝∠PCF －∠PBF ＝12(∠ACF －∠ABC)＝12∠BAC ＝32°.三、解答题（本大题共6道小题）21. 【答案】证明：∵BF ＝EC ，∴BF ＋FC ＝FC ＋EC ，即BC ＝EF.∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABC 和△DEF 都是直角三角形．在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ， ∴Rt △ABC ≌Rt △DEF(HL)．22. 【答案】解:∵△ACF ≌△DBE ，∴AC=DB.∴AC-BC=DB-BC ，即AB=CD.∵AD=16，BC=10，∴AB=CD=(AD-BC )=3.23. 【答案】解：(1)证明：∵DE ⊥AB ，∠ACB ＝90°，∴∠AED ＝∠AEF ＝∠ACB ＝90°.在Rt △ACF 和Rt △AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AE ，AF ＝AF ， ∴Rt △ACF ≌Rt △AEF(HL)．∴CF ＝EF.在Rt △ADE 和Rt △ABC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，AE ＝AC ，∴Rt △ADE ≌Rt △ABC(HL)． ∴DE ＝BC.∵DF ＝DE ＋EF ，∴DF ＝BC ＋CF.(2)BC ＝CF ＋DF.证明：如图，连接AF.在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AE ， ∴Rt △ABC ≌Rt △ADE(HL)．∴BC ＝DE.∵∠ACB ＝90°，∴∠ACF ＝90°＝∠AED.在Rt △ACF 和 Rt △AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AE ，AF ＝AF ，∴Rt △ACF ≌△AEF(HL)．∴CF＝EF.∵DE＝EF＋DF，∴BC＝CF＋DF.24. 【答案】解:(1)依题意得BP=3t cm，BC=8 cm，∴CP=(8-3t)cm.(2)∵∠B和∠C是对应角，∴分两种情况讨论:①若△BDP≌△CPQ，则BD=CP，BP=CQ.∵AB=10 cm，D为AB的中点，∴BD=5 cm.∴5=8-3t，解得t=1.∴CQ=BP=3 cm.∴a==3.②若△BDP≌△CQP，则BD=CQ，BP=CP.∵BP=3t cm，CP=(8-3t)cm，∴3t=8-3t，解得t=.∵BD=CQ，∴5=a，解得a=.综上所述，a的值为3或.25. 【答案】(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠C＝45°，又∵AP＝AQ，∴BP＝CQ，∵E是BC的中点，∴BE＝EC.∴在△BPE与△CQE中，∠∠BP CQ B C BE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△BPE ≌△CQE (SAS)；(2)①证明：∵∠BEF ＝∠C ＋∠CQE ，∠BEF ＝∠BEP ＋∠DEF ， ∠C ＝∠DEF ＝45°，∴∠CQE ＝∠BEP ，∵∠B ＝∠C ，∴△BPE ∽△CEQ ；②解：由①知△BPE ∽△CEQ ， ∴BE BP CQ CE=， ∴BE ·CE ＝BP ·CQ ，又∵BE ＝EC ，∴BE 2＝BP ·CQ ，∵BP ＝2，CQ ＝9，∴BE 2＝2×9＝18，∴BE ＝32，∴BC ＝2BE ＝6 2.26. 【答案】(1)证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ，在△ABE 和△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CBD AB ＝BC∠ABE ＝∠BCD， ∴△ABE ≌△BCD (ASA)；(2)解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ，∴∠ABE ＝∠BCD ＝180°－60°＝120°.∴在△ABE 和△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CBD AB ＝BC∠ABE ＝∠BCD， ∴△ABE ≌△BCD (ASA)，∴BE ＝CD .∵DH ⊥AB ，∴∠DHA ＝90°，∵∠CAB ＝60°，∴∠ADH ＝30°，∴AD ＝2AH ，∴AC ＝AD －CD ＝2AH －BE ；(3)解：如解图，作DS ⊥BC 延长线于点S ，作HM ∥AC 交BC 于点M ，解图∵AC ＝6，BE ＝2，∴由(2)得AH ＝4，BH ＝2,与(1)同理可得BE ＝CD ＝2，CE ＝8，∵∠SCD ＝∠ACB ＝60°，∴∠CDS ＝30°，∴CS ＝1，SD ＝3，BS ＝7，∵BD 2＝BS 2＋SD 2＝72＋(3)2，∴BD ＝213，∵EK ∥BD ，∴△CBD ∽△CEK ，∴CB CE ＝CD CK ＝BD EK ，∴CK ＝CD ·CE CB ＝2×86＝83，EK ＝CE ·BD CB ＝8×2136＝8133. ∵HM ∥AC ，∴∠HMB ＝∠ACB ＝60°，∴△HMB 为等边三角形，BM ＝BH ＝HM ＝2， CM ＝CB －BM ＝4，又∵HM ∥AC ，∴△HMG ∽△KCG ， ∴HM KC ＝MG CG ，即382＝MG 4－MG，∴MG ＝127，BG ＝267，EG ＝407， ∵EK ∥BD ，∴△GBP ∽△GEK ， ∴BP EK ＝GB GE ，∴BP ＝261315.。