定点数和浮点数
什么是定点数,浮点数
C++中的浮点数有6种，分别是：
float：单精度，32位
unsigned float：单精度无符号，32位
double：双精度，64位
unsigned double：双精度无符号，64位
long double：高双精度，80位
unsigned long double：高双精度无符号，80位（嚯，应该是C++中最长的内置类型了吧！）然而不同的编译器对它们的支持也略有不同，据我所知，很多编译器都没有按照IEEE规定的标准80位支持后两种浮点数的，大多数编译器将它们视为double，或许还有极个别的编译器将它们视为128位？！对于128位的long double我也仅是听说过，没有求证，哪位高人知道这一细节烦劳告知。下面我仅以float（带符号，单精度，32位）类型的浮点数说明C++中的浮点数是如何在内存中表示的。先讲一下基础知识，纯小数的二进制表示。（纯小数就是没有整数部分的小数，讲给小学没好好学的人）
void TestDouble(double value)
...{
int count=0;
string x;
if (value>0)
...{
x+="0"; //判断符号
什么是定点数和浮点数
计算机中的数除了整数之外，还有小数。如何确定小数点的位置呢？通常有两种方法：
浮点数和定点数的区别
cloudseawang定点数与浮点数区别最近做HDR时，经常要用NV提供的16位纹理，它的说明书16位能达到24位的精度，就很奇怪？一直搞不懂浮点数的精度怎么算的？今天认真看了一下IEEE float point的标准，终于明白是什么了1. 什么是浮点数在计算机系统的发展过程中，曾经提出过多种方法表达实数。
典型的比如相对于浮点数的定点数（Fixed Point Number）。
在这种表达方式中，小数点固定的位于实数所有数字中间的某个位置。
货币的表达就可以使用这种方式，比如99.00 或者00.99 可以用于表达具有四位精度（Precision），小数点后有两位的货币值。
由于小数点位置固定，所以可以直接用四位数值来表达相应的数值。
SQL 中的NUMBER 数据类型就是利用定点数来定义的。
还有一种提议的表达方式为有理数表达方式，即用两个整数的比值来表达实数。
定点数表达法的缺点在于其形式过于僵硬，固定的小数点位置决定了固定位数的整数部分和小数部分，不利于同时表达特别大的数或者特别小的数。
最终，绝大多数现代的计算机系统采纳了所谓的浮点数表达方式。
这种表达方式利用科学计数法来表达实数，即用一个尾数（Mantissa ），一个基数（Base），一个指数（Exponent）以及一个表示正负的符号来表达实数。
比如123.45 用十进制科学计数法可以表达为1.2345 × 102 ，其中1.2345 为尾数，10 为基数，2 为指数。
浮点数利用指数达到了浮动小数点的效果，从而可以灵活地表达更大范围的实数。
提示: 尾数有时也称为有效数字（Significand）。
尾数实际上是有效数字的非正式说法。
同样的数值可以有多种浮点数表达方式，比如上面例子中的123.45 可以表达为12.345 ×101，0.12345 × 103 或者1.2345 × 102。
因为这种多样性，有必要对其加以规范化以达到统一表达的目标。
定点数和浮点数
定点数和浮点数 任何⼀个数均可以表⽰为：(N)R=±S×R±e R：基值。
计算机中常⽤的R可取2、8、10、16等。
S：尾数。
代表数N的有效数字。
计算机中⼀般表⽰为纯⼩数。
e：阶码（指数）。
代表数N的⼩数点的实际位置。
⼀般表⽰为纯整数。
⼀、定点数 定点数：约定计算机中所有数据的⼩数点位置均是相同的，⽽且是固定不变的，即阶码e的取值固定不变的机器数表⽰。
定点数的两种表⽰⽅法： 定点⼩数：e=0，表⽰纯⼩数，⼩数点在符号位与最⾼数值位之间。
定点整数：e=n，表⽰纯整数，⼩数点在最低有效数值位之后，在最低位的右边，不占位 【例】 (123.45)10 = 0.12345×103 = 12345×10-2 (11011.101)2 = 0.11011101×105 = 11011101×2-3⼆、浮点数 浮点数⽤类似(N)R=±S×R±e科学计数法来表达，⽐如1001.101的规范浮点数表达为1.001101×23 浮点数的⼩数点位置不是固定，⽽是可以浮动的，即e的取值可变。
利⽤改变e值达到了浮动⼩数点的效果，从⽽灵活地表达更⼤范围地实数。
因此在机器中必须将e表⽰出来。
浮点数的表⽰如图 尾数的位数决定了数据表⽰的精度，为带符号的纯⼩数。
阶码的位数决定了数据表⽰的范围，为带符号的纯整数。
三、浮点数的规格化 （1）如何尽可能多地保留有效数字？ （2）如何保证浮点表⽰地唯⼀？ 规格化思想：尽可能去掉尾数中的前置“0”，尽量使⼩数点后第⼀位为“1”。
对于⼆进制数，就是要满⾜：1/2≤|S|<1 【例】0.001001×25的规格化 0.001001×25规格化表⽰为：0.100100×23四、原码规格化 若[S]原=Sf.S1S2..Sn，规格化标志是：S1=1，即：[S]原=0.1xx...x 或 [S]原=1.1xx...x。
定点数和浮点数
定点数和浮点数1、定点数（Fixed-Point Number）计算机处理的数据不仅有符号，而且大量的数据带有小数，小数点不占有二进制一位而是隐含在机器数里某个固定位置上。
通常采取两种简单的约定：一种是约定所有机器数的小数的小数点位置隐含在机器数的最低位之后，叫定点纯整机器数，简称定点整数。
另一种约定所有机器数的小数点隐含在符号位之后、有效部分最高位之前，叫定点纯小数机器数，简称定点小数。
无论是定点整数，还是定点小数，都可以有原码、反码和补码三种形式。
2、浮点数（Floating-Point Number）计算机多数情况下采作浮点数表示数值，它与科学计数法相似，把一个二进制数通过移动小数点位置表示成阶码和尾数两部分：其中：E——N的阶码（Expoent），是有符号的整数S——N的尾数（Mantissa），是数值的有效数字部分，一般规定取二进制定点纯小数形式。
例：1011101B=2+7*0.1011101，101.1101B=2+3*0.1011101，0.01011101B=2-1*0.1011101浮点数的格式如下：阶符阶尾符尾数浮点数由阶码和尾数两部分组成，底数2不出现，是隐含的。
阶码的正负符号E0，在最前位，阶反映了数N小数点的位置，常用补码表示。
二进制数N小数点每左移一位，阶增加1。
尾数是这点小数，常取补码或原码，码制不一定与阶码相同，数N的小数点右移一位，在浮点数中表现为尾数左移一位。
尾数的长度决定了数N的精度。
尾数符号叫尾符，是数N的符号，也占一位。
例：写出二进制数-101.1101B的浮点数形式，设阶码取4位补码，尾数是8位原码。
-101.1101=-0.1011101*2+3浮点形式为：阶码0011 尾数11011101补充解释：阶码0011中的最高位“0”表示指数的符号是正号，后面的“011”表示指数是“3”；尾数11011101的最高位“1”表明整个小数是负数，余下的1011101是真正的尾数。
计算机中的二进制表示（定点数,浮点数）
计算机中的⼆进制表⽰（定点数,浮点数）1 规则及表⽰⽅法⾸先是对有符号数⽽⾔:1. ⼆进制的最⾼位是符号位：0–>正，1–>负2. 正数的原码，反码，补码⼀样3. 负数的反码==原码的符号位不变，其他的位取反4. 负数的补码==反码+15. 0的反码，补码都是0。
数值0的补码只有⼀个，即：0的补码=00000000B6. 计算机运算的时候都是以补码的⽅式运算的。
2 补充1. （-128）没有相应的原码和反码。
(-128)=(1000 0000)补码2. 采⽤补码的原因:1. 使⽤补码可以使符号位与其他位统⼀进⾏处理。
2. 减法可以按照加法处理。
如果最⾼位（符号位）有进位，则进位就舍弃。
3. 已知补码，求原码:补码的补码。
（因为：对于⼆进制来说先减1后取反和先取反后加1得到的结果是⼀样的）浮点数⼆进制表⽰根据国际标准IEEE 754，任意⼀个⼆进制浮点数V可以表⽰成下⾯的形式：V = (-1)s * M * 2E1. (-1)s表⽰符号位，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数。
2. M表⽰有效数字，⼤于等于1，⼩于2。
3. 2E表⽰指数位。
(其中2也可以换成别的基),E是⼩数点左移的位数举例来说：⼗进制的-5.0，写成⼆进制是-101.0，相当于-1.01×22。
那么，s=1，M=1.01，E=2。
IEEE 754规定，对于32位的浮点数，最⾼的1位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M。
对于64位的浮点数，最⾼的1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M。
规则及表⽰⽅法IEEE 754对有效数字M和指数E，还有⼀些特别规定。
前⾯说过，1≤M<2，也就是说，M可以写成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表⽰⼩数部分。
IEEE 754规定，在计算机内部保存M时，默认这个数的第⼀位总是1，因此可以被舍去，只保存后⾯的xxxxxx部分。
关于浮点数与定点数的理解
定点数与浮点数计算机处理的数值数据多数带有小数，小数点在计算机中通常有两种表示方法，一种是约定所有数值数据的小数点隐含在某一个固定位置上，称为定点表示法，简称定点数；另一种是小数点位置可以浮动，称为浮点表示法，简称浮点数。
1. 定点数表示法(fixed-point)所谓定点格式，即约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。
在计算机中通常采用两种简单的约定：将小数点的位置固定在数据的最高位之前，或者是固定在最低位之后。
一般常称前者为定点小数，后者为定点整数。
定点小数是纯小数，约定的小数点位置在符号位之后、有效数值部分最高位之前。
若数据x 的形式为x = x0.x1x2…x n( 其中x0为符号位，x1～x n是数值的有效部分，也称为尾数，x1为最高有效位)，则在计算机中的表示形式为：一般说来，如果最末位x n = 1，前面各位都为0 ，则数的绝对值最小，即|x|mi n = 2-n。
如果各位均为1，则数的绝对值最大，即|x|ma x =1-2-n 。
所以定点小数的表示范围是：2- n ≤ | x| ≤ 1 - 2- n定点整数是纯整数，约定的小数点位置在有效数值部分最低位之后。
若数据x 的形式为x = x0x1x2…x n ( 其中x0为符号位，x1～x n是尾数，x n为最低有效位)，则在计算机中的表示形式为：定点整数的表示范围是：1≤ | x| ≤ 2n - 1当数据小于定点数能表示的最小值时，计算机将它们作0处理，称为下溢；大于定点数能表示的最大值时，计算机将无法表示，称为上溢，上溢和下溢统称为溢出。
计算机采用定点数表示时，对于既有整数又有小数的原始数据，需要设定一个比例因子，数据按其缩小成定点小数或扩大成定点整数再参加运算，运算结果，根据比例因子，还原成实际数值。
若比例因子选择不当，往往会使运算结果产生溢出或降低数据的有效精度。
用定点数进行运算处理的计算机被称为定点机。
2. 浮点数表示法(floating-point number)4与科学计数法相似，任意一个J进制数N，总可以写成N = J E × M式中M称为数N 的尾数(mantissa)，是一个纯小数；E为数N 的阶码(e x ponent)，是一个整数，J称为比例因子J E 的底数。
定点数和浮点数课件
符号位
表示浮点数的正负，0表示正数，1 表示负数。
指数位
表示浮点数的指数部分，即小数点的 位置。
尾数位
表示浮点数的尾数部分，即小数点后 面的数字。
浮点数的范围和精度
范围
浮点数的范围取决于指数位的位 数和尾数位的位数，一般分为单 精度和双精度两种类型，单精度 范围较小，双精度范围较大。
精度
浮点数的精度取决于尾数位的位 数，位数越多，精度越高，能够 表示的数字越精确。
浮点数定义
浮点数是指小数点位置可以浮动的数 值表示方式，通常用于计算机内部运 算，其小数点位置可以根据需要移动。
浮点数的优点
浮点数的缺点
浮点数表示方式相对复杂，计算机内 部计算浮点数需要更多的时间和空间 资源，同时浮点数容易受到计算机内 部精度限制的影响。
浮点数表示方式的范围广泛，可以表 示非常大或非常小的数值，同时浮点 数精度高，能够准确表示小数。
具体实现可能会有所不同。
在定点数运算中，需要注意溢出、 舍入误差等问题。
一般来说，定点数运算的速度比 浮点数运算要快，因此在需要高 精度计算的情况下，定点数是一
种更好的选择。
2023
PART 03
浮点数的表示方法
REPORTING
浮点数的表示格式
IEEE 754标准
浮点数在计算机中采用IEEE 754标准 进行表示，包括符号位、指数位和尾 数位三个部分。
浮点数的运算规则
01
加减运算
浮点数的加减运算与普通加减运算类似，只需要对尾数位进行加减即可，
指数位不变。
02
乘除运算
浮点数的乘除运算需要将尾数位和指数位分开计算，然后组合得到结果。
乘法时尾数位需要左移一位，除法时尾数位需要右移一位。
matlab 定点数 浮点数 转换
matlab 定点数浮点数转换
Matlab中，定点数和浮点数的表示方式不同，需要进行相应的转换。
定点数是以固定的位数来表示数值，而浮点数则是根据 IEEE 754 标准来表示，可以表示更广泛的数值范围和精度。
定点数转换为浮点数，可以使用 fi 对象的 double 方法，将定点数转换为双精度浮点数。
例如：
a = fi(3, 1, 8); % 定点数，1 位整数，8 位小数
b = double(a); % 转换为双精度浮点数
浮点数转换为定点数，则需要先确定定点数的位数和精度，然后使用 fi 对象进行转换。
例如：
a = 3.14; % 浮点数
b = fi(a, 1, 8); % 转换为定点数，1 位整数，8 位小数
需要注意的是，在进行定点数和浮点数转换时，可能会存在精度损失的问题。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况进行精度控制和误差分析。
- 1 -。
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例:设X=0.1101,Y=0.1011,求X•Y. 其中寄存器B=X ,Cd=4.流程图3.6
8位阶码为：（+9）补=0000 1001
24位尾数为：(+0.10 0000 0001)补
=0.100 0000 0010 0000 0000 0000
所求256.5的浮点表示格式为：
0000 1001 0100 0000 0010 0000 0000 0000
用16进制表示此结果则为：(09402000)16
3.2.3 定点数和浮点数 计算机中的两种表示方式
数值范围：一种数据类型所能表示的最大值和 最小值
数据精度：实数所能表示的有效数字位数。
数值范围和数据精度均与使用多少位二进制位
数以及编码方式有关。
计算机用数字表示正负，隐含规定小数点。 采用“定点”、“浮点”两种表示形式。
1
1. 数的定点表示方法
6
2. 求Y= -256.5 的第一种浮点表示格式
Y=-(256. 5)10 =-(100000000.1)2 =-0.1000000001 x2+9 8位阶码为：(+9)补=0000 1001 24位尾数为：(-0.10 0000 0001)补 =1.011 1111 1110 0000 0000 0000 所求-256.5的浮点表示格式为： 0000 1001 1011 1111 1110 0000 0000 0000 用16进制表示此结果则为：(09BFE000)16
步数与最后一步操作:乘数有效位是4位，共 作5步。注意，最后一步不移位因为这一步 是用来处理符号位的。
28
3.4.1 定点除法运算
1.定点原码一位除法
有恢复余数法和不恢复余数法（加减交替法），计算机中常用
后者。因为它的操作步骤少，而且也不复杂。其处理思想是：先 减后判，如减后发现不够减，则在下一步改作加除数操作。这样 操作步骤固定易于编程。其要点如下：
-1022
-16382
+1023
+16383
10-308~10+308
12
微机中浮点数表示成规格化形式，如下图所示：
单精度 双精度 扩展精度
31 30 23 22
0
符号位 阶 码 尾数有效位
1·
63 62 符号位 阶
52 51
0
码 尾数有效位
1·
79 78 符号位 阶
64 63
0
码 尾数有效位
7
（3） 溢出问题
定点数的溢出——根据数值本身判断 浮点数的溢出——根据规格化后的阶码判断
上溢——浮点数阶码大于机器最大阶码—— 中断
下溢——浮点数阶码小于机器最小阶码—— 零处理
溢出的具体判断方法将结合实例在后续课程中介绍
8
3. 微机中所能表示的数值类型
（1）无符号二进制数（字节、字和双字） （2）带符号的二进制定点整数形式（16、
5
例题：设某机器用32位表示一个实数，阶码部分8位 （含1位阶符），用定点整数补码表示；尾数部分24 位（含数符1位），用规格化定点小数补码表示，基 数为2。则：
1. 求X=256.5 的第一种浮点表示格式
X=(256. 5)10 =+(100000000.1)2 =+(0.1000000001 x 2+9 )2
(1)要求被除数|X|<除数|Y|,并取原码尾数的绝对值相除；符号 位单独处理，商的符号为相除两数符号的半加和。
计算过程如下:部分积 A源自乘数 C00 0000
1011
+x
00 1101
右移一位→
+x
00 1101 00 0110 00 1101
1 1 0 1 1(丢失)
右移一位→
+0
01 0011 00 1001 00 0000
1 1 1 0 1(丢失)
右移一位→
+x
00 1001 00 0100 00 1101
尾数为原码表示时，无论正负应满足1/2<|d |<1
即：小数点后的第一位数一定要为1。
正数的尾数应为0.1x….x 负数的尾数应为1.1x….x
尾数用补码表示时，小数最高位应与数符符号位 相反。
正数应满足 1/2≦d<1，即 0.1x….x 负数应满足 -1/2 > d≥ -1，即 1.0x….x
32、64位补码表示)和18位BCD码整数形 式(80bit)。 （3）浮点数（IEEE754标准） 包括数符 S、阶码E和尾数D三个字段。
9
微机中的四种整数类型
整数类型 数值范围 精 度 格 式 16位整数 -32768~32767 二进制16位 补码表示
短整数 -231~ 231-1 二进制32位 补码表示 长整数 -263~ 263-1 二进制64位 补码表示 BCD整数 -1018+1~1018-1 十进制18位 80个二进 制其中最左面1字节的最高位是符号位，余7位无 效；另外72位是18位BCD码，原码表示。
15
3.2.4 数字化信息的编码及表示
计算机进行数据处理和运算，就必须首先实 现数字化表达。
另外由于计算机除了数据处理和运算外，还 要进行各种文字(特别是中文)的处理与编辑。因 此，所有由计算机处理的信息也要用数字进行编 码。这样在物理机制上可以以数字信号表示.
16
信息的数字化表示形式
数字信号:是一种在时间上或空间上离散 的信号,单个信号是常用的二值逻辑(0或 1),依靠多位信号组合表示广泛的信息.
Yi Yi+1
操作
00
原部分积右移一位
01
原部分积加X补后再右移一位
10
原部分积加[-X补]后再右移一位
11
原部分积右移一位
26
例3.35:设X=-0.1101,Y=0.1011,即[X]补=11.0011,[Y]补=0.1011 ,[-X]=00.1101 求
[X•Y]补. 计算过程如下:
部分积
14
例:将下面Pentium机中的单精度浮点数 表示成十进制真值是多少？
0011 ,1111,0101,1000,0000,0000,0000,0000
数符:S=(-1) 0=1 （正号） 阶码: E=(01111110)2-127=126-127= -1 尾数: D=(1.1011)2 X= 1.1011x2-1= (0.11011)2=0.84375
最后是加符号位，根据Sx⊕Sy决定。25
2.定点补码一位乘法
实现补码乘法有两种方法，现在广泛使用的是
Booth算法，也称为比较法。这种方法在机器实 现中要在乘数末位Yi之后再增加一个附加位Yi+1, 并令其初始值为0。然后根据比较Yi、 Yi+1的值决 定下一步操作，规则如下：(部分积初始为0)
11
微机中三种不同类型浮点数的格式
参数
单精度
双精度 扩展精度
浮点数长度（位）
32 64
80
符号位数
1
1
1
尾数长度 P(位) 23+1（隐） 52+1（隐） 64
阶码 E 长度（位） 8
最大阶码
+127
11
15
+1023
+16383
最小阶码 阶码偏移量 表示数范围
-126 +127 10-38~10+38
(1). 定点整数——小数点位置固定在数的最低位之后
. 如： Dn-1 Dn-2 • • • • • • D1 D0
范围： 2n-1 -1 ~ -2n-1 (采用字长n=16位补码时其 值为32767 ~ -32768)
(2). 定点小数——小数点位置固定在数的符号位之后、数值
最高位之前。
. 如：D0 D-1 • • • • • • D-(n-2) D-(n-1)
11 0110
→
11 1011
0010 1 0
右移一位
+
00 1101
Y2Y1=01 +[-X]补
00 1000
→
00 0100
0001 0 1
右移一位
+
11 0011
Y1Y0=10 +[X]补
11 0111
0001
乘积高位
乘积低位
27
[X•Y]补=1.01110001, X•Y=-0.10001111
范围：1 - 2-(n-1) ~ -1 (采用字长n=16位时其值为 32767/32768 ~ -1)
其中n表示字长多少位
2
2. 数的浮点表示方法
（1） 浮点数的表示：是把字长分成阶码和
尾数两部分。其根据就是：
X
D• 2E
① J Em-2…….E0J S D-1……D-(n-1)
阶符
阶码值
数符 . 尾数值
（1）在机器内一次加法操作只能求出两数之和，因此 每求得一个相加数时，就得与上次部分积相加。
（2）人工计算时，相加数逐次向左偏移一位，由于最 后的乘积位数是乘数（或被乘数）的两倍.由于在求本 次部分积时，前一次部分积的最低位，不再参与运算， 因此可将其右移一位。相加数可直送而不必偏移，于是 用N位加法器就可实现两个N位数相乘。
20
数字化方法表示信息的优点:
抗干扰能力强,可靠性高; 位数增多则数的表示范围可扩大; 物理上容易实现,并可存储; 表示信息的范围与类型极其广泛; 能用逻辑代数等数字逻辑技术进行处理.