福建省龙岩一中2014届高三高考模拟文科数学试卷 Word版含答案

龙岩一中2014届高考模拟试卷数学（文）（考试时间：120分钟 满分：150分 ）注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求).1．设集合{|2sin ,[,]}22M y y x x ππ==∈-，2{|log (1)}N x y x ==-，则MN =( )A ．{|15}x x <≤B ．{|10}x x -<≤C ．{|20}x x -≤≤D ．{|12}x x <≤2．已知复数21z i=-+（i 是虚数单位），则( )A ．||2z =B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为1-D ．z 的共轭复数为1i +3．等差数列前n 项和为n S ，若471330a a a ++=，则15S 的值是( ) A. 150B. 65C. 70D. 754. 执行如图的程序框图，则输出的T 值等于( ) A ．91 B ． 55 C ．54 D ．305. 已知命题a x R x p ≥∈∃sin ,:，下列a 的取值能使“p ⌝”命题是真命题的是( )A.2=aB.1=aC.0=aD.R a ∈6. 若实数,x y 满足条件01y xx y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2x y -的最小值是( )A ．3-B ． 2-C ．1-D ．0，，(n x x ++-7. 函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的图像与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像( )A.向左平移6π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向左平移12π个单位 D.向右平移12π个单位8. 若点P 在三个顶点坐标分别为(0,0)C，(0A ，(20)B ，的ABC ∆内运动，则动点P 到顶点A的距离PA ＜的概率为( )A.6B.C. 6D.9．函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可以是( ) A ．()sin f x x x =+ B ．cos ()xf x x=C ．()cos f x x x =D ．3()()()22f x x x x ππ=--10. 设双曲线221mx ny +=的一个焦点与抛物线218y x =率为2，则此双曲线的方程为( )A ．2213y x -=B ．2213x y -= C ．2211612y x -= D ．2211612x y -= 11. 0y m ++=与圆229x y +=交于,A B 两点，则与向量OA OB +(O 为坐标原点)共线的一个向量为( )A. 1（，B. 1（C.D.1（，12. 对于向量i （n i ,2,1=），把能够使得||||||21n PA PA PA +++ 取到最小值的点P 称为i A （n i ,2,1=）的“平衡点”. 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ,延长BC 至E ,使得CE BC =，联结AE ,分别交BD 、CD 于F 、G 两点.下列结论中，正确的是( )A. A 、C 的“平衡点”必为O .B. D 、C 、E 的“平衡点”为D 、E 的中点.C. A 、F 、G 、E 的“平衡点”存在且唯一.D. A 、B 、E 、D 的“平衡点”必为F .第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分).13. 某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人.如果在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级学生的概率为0.37，现采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于_____________．14. 若正实数,x y 满足x y +=M ≥恒成立，则 M 的最大值为_____________．15. cm ）如图所示．设两条异面直线1AQ 和PD 所成的角为θ，则cos θ=_____________．16. 对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立；②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 则其中所有真命题的序号是 ．三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分12分） 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知432,1,S S S +成等差数列. （Ⅰ）求d 的值；（Ⅱ）若521,,a a a 成等比数列，求)4(21++n n S a )(*∈N n 的最大值.18．（本小题满分12分）已知函数)0(,cos 3sin )(>+=m x x m xf 的最大值为2．1A D 1D 1Q 1 A 正视图侧视图俯视图（Ⅰ）求函数()f x 在[]0,π上的值域； （Ⅱ）已知ABC ∆外接圆半径2=R ，B A B f A f sin sin 8)3()3(=-+-ππ，角,A B 所对的边分别是,a b ，求ba 11+的值． 19．（本小题满分12分）从集合{1,2,3,4,5}A =中任取三个元素构成三元有序数组123(,,)a a a ，规定123a a a << （Ⅰ）从所有三元有序数组中任选一个，求它的所有元素之和等于10的概率；（Ⅱ）定义三元有序数组123(,,)a a a 的“项标距离”为123123d a a a =-+-+-，从所有三元有序数组中任选一个，求它的“项标距离”d 为偶数的概率； 20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中, E 为AD 上一点，面PAD ⊥面ABCD ，四边形BCDE 为矩形60PAD ∠=，PB =22PA ED AE ===.（Ⅰ）已知()PF PC R λλ=∈,且PA ∥面BEF ，求λ的值； （Ⅱ）求证：CB ⊥面PEB . 21．（本小题满分12分）已知(2,0),(2,0)A B -为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点,P 是椭圆C 上异于,A B 的动点，且APB ∆面积的最大值为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，试证明：无论直线AP 绕点A 如何转动，以BD 为直径的圆总与直线PF 相切． 22．（本小题满分14分）已知函数()ln ()f x x mx m R =-∈．（Ⅰ）若曲线()y f x =过点(1,1)P -，求曲线()y f x =在点P 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[]1,e 上的最大值；（Ⅲ）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，求证：212x x e >．龙岩一中2014届高考模拟试卷数学（文） 参考答案及评分标准(本大题共12小题，共60分)(本大题共4小题，共16分)13．25 14． 1 15 16．①③ 三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由432,1,S S S +成等差数列得24322,S S S +=+ …………………………2分即111(2)(46)2(33)2a d a d a d +++=++，得2d = ……………………5分 （Ⅱ）由521,,a a a 成等比数列得2215a a a =，即2111()(4)a d a a d +=+解得11a = …………………………………………7分 所以1(1)21n a a n d n =+-=-，21()2n n n a a S n +==………………………9分 所以41414)4(212≤+=+=++nn n nS a n n ……………………………11分 所以，当2n =时，)4(21++n n S a 的最大值为14 ……………………………12分18．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）由题意，max ()2f x ==，0m >1m ∴=()sin 2sin()3f x x x x π=+=+ …………………………3分4,sin()3333x x ππππ⎡⎤⎡⎤+∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以()f x 在[]0,π上的值域为2⎡⎤⎣⎦…………………………6分（Ⅱ）化简B A B f A f sin sin 8)3()3(=-+-ππ得sin sin 4sin sin A B A B += …………………………8分由正弦定理4sin sin a b A B ==，得44444a b a b==⋅⋅即a b ab +=所以111a b+= ………………………………………12分19. (本小题满分12分) 解：（Ⅰ）从集合{}1,2,3,4,5A =中任取三个不同元素构成三元有序数组如下{}1,2,3 {}1,2,4 {}1,2,5 {}1,3,4 {}1,3,5 {}1,4,5 {}2,3,4 {}2,3,5 {}2,4,5 {}3,4,5所有元素之和等于10的三元有序数组有{}{}1,4,5,2,3,521105P ∴== ……6分 （Ⅱ）项标距离为0的三元有序数组：{}1,2,3项标距离为2的三元有序数组：{}{}1,2,5,1,3,4 项标距离为4的三元有序数组：{}{}1,4,5,2,3,5 项标距离为6的三元有序数组：{}3,4,563105P ∴== ………………12分20．(本小题满分12分)解：（Ⅰ） 连接AC 交BE 于点M ，连接FM .//PA BEF 面//FM AP ∴ …………………………2分 //EM CD 12AM AE MC ED ∴== //FM AP ,12PF AM FC MC ∴==13λ∴= ………………………6分（Ⅱ）2,1,60,AP AE PAD PE PE AD ==∠=∴∴⊥…………………8分又面PAD ⊥面ABCD ，且面PAD面ABCD AD =,PE ⊥面ABCD PE CB ∴⊥又BE CB ∴⊥,且PEBE E ∴=,CB ∴⊥面PEB …………………………12分21．(本小题满分12分)（Ⅰ）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(,0)F c ．由题意知解得b =1c =． …………………………2分故椭圆C 的方程为22143x y +=． …………………………4分 （Ⅱ）由题意可设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠．则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ． ………………………5分由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=． ………………………6分设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k --=+．所以2026834k x k-=+，00212(2)34k y k x k =+=+． …………………………8分 因为点F 坐标为(1, 0)， 当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±． 直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+=与直线PF 相切．………9分当12k ≠±时，则直线PF 的斜率0204114PF y kk x k ==--．所以直线PF 的方程为24(1)14ky x k =--．⎧⎪⎨⎪⎩2221222, .a b a a b c ⋅⋅===+点E 到直线PF的距离d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-． 又因为||4||BD k = ，所以1||2d BD =． 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上，无论直线AP 绕点A 如何转动，以BD 为直径的圆总与直线PF 相切．……………12分22. (本小题满分14分)解：（Ⅰ）因为点(1,1)P -在曲线()y f x =上，所以1m -=-，解得1m =．因为11()mxf x m x x-'=-=，所以切线的斜率为0， 所以切线方程为1y =-． …………………4分 （Ⅱ）因为11()mx f x m x x-'=-=． ①当0m ≤时，(1,)x e ∈ ，()0f x '>，所以函数()f x 在[]1,e 上单调递增，则max ()()1f x f e me ==-． ②当1e m ≥，即10m e<≤时，(1,)x e ∈ ，()0f x '>，，所以函数()f x 在[]1,e 上单调递增，则 max ()()1f x f e me ==- ． ③当111m e <<，即11m e <<时，函数()f x 在 1(1,)m 上单调递增，在1(,)e m上单调递减，则max 1()()ln 1f x f m m==--． ……………………7分④当11m≤，即1m ≥时，(1,)x e ∈，()0f x '>，函数()f x 在[]1,e 上单调递减，则max ()(1)f x f m ==-． ………………………9分 综上，①当1m e≤时，max ()1f x me =-； ②当11m e<<时，max ()ln 1f x m =--；③当1m ≥时，max ()f x m =-． …………………………10分（3）不妨设120x x >>．因为12()()0f x f x ==，所以11ln 0x mx -=，22ln 0x mx -=， 可得1212ln ln ()x x m x x +=+，1212ln ln ()x x m x x -=-． 要证明212x x e >，即证明12ln ln 2x x +>，也就是12()2m x x +>． 因为1212ln ln x x m x x -=-，所以即证明121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即1122122()ln x x x x x x ->+． …………………………12分令12x t x =，则1t >，于是2(1)ln 1t t t ->+． 令2(1)()ln 1t t t t ϕ-=-+（1t >），则22214(1)()0(1)(1)t t t t t t ϕ-'=-=>++． 故函数()t ϕ在(1,)+∞上是增函数，所以()(1)0t ϕϕ>=，即2(1)ln 1t t t ->+成立． 所以原不等式成立． …………………14分。