中国精算师《数学》过关必做1000题(含历年真题)-第11~12章及附录【圣才出品】
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中国精算师《金融数学》过关必做1000题(含历年真题)(债券及其定价理论)【圣才出品】
A．450 B．500 C．599 D．606
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E．1000
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【答案】B
【解析】已知 N=700，P＝670.60，K＝372.05，r=10%÷2=5%，n=10。
①由基本公式
，得：
670.6=372.05＋700×5%× ，
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K=Cvn=1050（1＋0.05）-20=395.734， G=Nr/i=42/0.05=840， t1=20%。 解法①：利用基本公式。
=33.6×12.4622＋395.734=814.46（元）； 解法②：利用溢价/折价公式。
乙债券：面值和期满赎回价均为 1000，债券期限为 2n 年，年息票率为 7%（每半年计 息一次），债券年利率为 5%（每半年计息一次），则乙债券的价格为（ ）。
A．1375 B．1475 C．1675 D．2100 E．2675 【答案】A 【解析】①对于甲债券，由题意，得：
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第 5 章 债券及其定价理论
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确 选项的代码填入括号内）
1．（2008 年真题）一个 5 年期的债券，面值为 1000 元，半年度支付的息票率为 10%， 到期按面值偿还；假设购买该债券将产生半年度转换 12%的收益率，则分期偿还表上利息 支付的总和为（ ）元。
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E．14
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【答案】B
【解析】已知 N=700，P＝670.60，K＝372.05，r=10%÷2=5%，n=10。
①由基本公式
，得：
670.6=372.05＋700×5%× ，
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K=Cvn=1050（1＋0.05）-20=395.734， G=Nr/i=42/0.05=840， t1=20%。 解法①：利用基本公式。
=33.6×12.4622＋395.734=814.46（元）； 解法②：利用溢价/折价公式。
乙债券：面值和期满赎回价均为 1000，债券期限为 2n 年，年息票率为 7%（每半年计 息一次），债券年利率为 5%（每半年计息一次），则乙债券的价格为（ ）。
A．1375 B．1475 C．1675 D．2100 E．2675 【答案】A 【解析】①对于甲债券，由题意，得：
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第 5 章 债券及其定价理论
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确 选项的代码填入括号内）
1．（2008 年真题）一个 5 年期的债券，面值为 1000 元，半年度支付的息票率为 10%， 到期按面值偿还；假设购买该债券将产生半年度转换 12%的收益率，则分期偿还表上利息 支付的总和为（ ）元。
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中国精算师《金融数学》过关必做1000题(含历年真题)(利率期限结构理论)【圣才出品】
可得 y3=6.33%。
8．第 3 年预计的远期利率是（ ）。 A．6% B．7% C．8% D．9% E．10% 【答案】C 【解析】解法①：设第 3 年预计的远期利率为 f3，则：
（1＋y3）3=（1＋y2）2×（1＋f3） （1.0633）3=（1.055）2×（1＋f3） 1＋f3=（1.0633）3／1.0552=1.08，f3=8.0％ 解法②：831.92（1＋y3）3=1000，898.47（1＋y2）2=1000，所以
4．一张 4 年期的面值是 1000 美元且息票率是年付 10％，并且在到期日按面值 1000 元兑付。则该债券的价格是（ ）美元。
A．1070.35
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B．1072.40
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C．1074.40
D．1079.35
E．1080.35
12．如果一只 3 年期的零息债券的收益率是 6.8％，第 1 年的远期利率是 5.9％，第 2 年的远期利率是 6.6％，那么第 3 年的远期利率是（ ）。
A．7.85％ B．7.87％ C．7.89％
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D．7.91％Байду номын сангаас
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E．7.93％
【答案】D
【解析】3 年期的远期利率为：
f3=（1.068）3／（1.059×1.066）-1=7.91％
13．1 年期债券的到期利率是 6.3％，2 年期零息债券的到期利率是 7.9％，第 2 年的 远期利率是（ ）。
【答案】B
【解析】计算 1 年期和 4 年期零息债券的到期收益率分别为：
中国精算师《数学》过关必做1000题(含历年真题)时间序列分析【圣才出品】
E．任意有限阶模型都是平稳的 【答案】C 【解析】ARMA（p,q）模型偏相关函数与自相关函数均拖尾
3．已知序列
，独立同分布服从 N（0,1）,观察到
,，若对
进行预测，其预测方差为（ ）。[2011 年真题]
A．0.4
B．0.46
C．1.16
D．32
E．32.5
【答案】C
，其中 ， 是相互独立的标准正态分布随机
变量， 是实数。下列说法正确的是（ ）。
A．{Xt}是平稳的
B．{Xt}是非平稳的
C．{Xt}可能是非平稳的
D．{Xt}可能是平稳的
E．无法判断
【答案】A
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【解析】因为
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自相关函数只依赖于时间的平移长度而与时间的起止点无关；③常数方差。
8．下列关于自相关系数的说法中不正确的是（ ）。
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A．
B．
C．
D．一个自相关函数一定唯一对应着一个平稳时间序列
E．当
，说明相隔 k 期的两个序列值之间具有正相关关系
13．平稳 AR（1）模型的自协方差函数为（ ）。 A． B． C． D． E． 【答案】A 【解析】平稳 AR（1）模型的自协方差函数递推公式为：
由
可得平稳 AR（1）模型的自协方差函数递推公式如下：
14．平稳 AR（2）模型的自相关系数递推式为（ ）。
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A． B． C． D． E． 【答案】D 【解析】平稳 AR（2）模型的递推公式为：
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，
。
5．已知 年秋季真题]
A．0.0506 B．0.0517 C．0.0526 D．0.0536 E．0.0552 【答案】A
【解析】由
，由此可计算 为（ ）。[2011
得 得
，解得 。
，又由 ，因此
6．现有两个期限均为 50 年的年金：
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春季真题]
A．4265972
B．4272801
C．4283263
D．4294427
E．4303612
【答案】D
【解析】设月实际利率为 i，则
。
第 10 年末，也即第 120 次支付后，累计值为：
10． （2008 年真题）某永久年金在第一年末支付 1，第二年末支付 3，第三年末支付 5，……， 则该年金的现值为（ ）。
B．0.0286
C．0.0333
D．0.0476
E．0.0571
【答案】E
【解析】由于
于是
8．某人在未来 15 年中每年年初向银行存入 5000 元，前五年的年利率为 5.6%，中间 五年的年利率下调为 3.7%，后五年由于通货膨胀影响，年利率上调至 8.9%，则第十五年 年未时，这笔款项的积累额为（ ）。[2011 年春季真题]
A．2379072 B．2380231 C．2381263
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D．2382009
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E．2383089
【答案】E
【解析】两个月的实际利率为：
，共支付
次，
因此该年金在第三末的积累值为
。
4．下列表达式正确的为（ ）。[2011 年秋季真题] A． B．
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的值为（ ）。
[2011 年秋季真题]
A．8.11
B．8.12
C．8.13
D．8.14
E．8.15
【答案】B
【解析】因为假设是建立在相邻两个整数乊间上的，故丌能直接计算 0.7 q[61]0.6 ，而应 分 [61] 0.6 到 [61]+1 和[61]+1 到 [61]+1+0.3 两段计算，且 0.7 p[61]0.6 0.4 p[61]0.6 0.3 p[61]1 。而根据
D．0.006887，0.99683 E．0.006887，0.99724 【答案】B 【解析】由表中数据可以得出：
F（3）=1－S（3）=1－0.994073=0.005927
3．如表 3-2 所示的生命表，计算在 2 岁不 4 岁乊间的死亡人数，及 1 岁的人生存到 4 岁的概率分别为（ ）。
【答案】B
【解析】由题意可得：
（1）
=
（2）
（4）由亍
，所以
5．已知生命表函数为 =
，x≥0，且随机变量 T 表示 x 岁人的剩余寿命，则
Var(T ) =（ ）。
A． x 1
B． x 1 2
C． 3 x 1
4
x 12
D．
2
3 x 12
E．
4
【答案】E
【解析】由亍
，其中
4 / 58
【解析】由亍
，
，所以由表 3-3 中已知数据可得：
l99=d99＋l100=40＋24=64
而 d100=q100·l100=0.667×24=16，故
l101=l100－d100=24－16=8
又 d101=q101·l101=（1－p101）·l101=（1－0.25）×8=6，所以
中国精算师《精算模型》过关必做1000题(含历年真题)(短期聚合风险模型)【圣才出品】
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第 6 章 短期聚合风险模型
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有 1 项最符合题目要求，请将正确
选项的代码填入括号内）
1．损失服从均值为 2 的泊松分布，已知 E(Id ) 0.7 1.9e2 ，求 d=（ ）。[2014
年春季真题]
A．1.3 B．1.4 C．1.5 D．1.6 E．1.7
【答案】A
d
【解析】由递推公式 E(Id ) E(S) [1 Fs (x)]dx ， 而 E(S) 2 ， 0
d
则 [1 Fs (x)]dx E(S) E(Id ) 2 （0.7 1.9 e2 ) 1.3 1.9e2 ，当 1<d<2 时， 0
C． 3 4
D． 5 6
E． 6 7
【答案】A
【解析】由已知，有
P(N n)
ne 0 n!
e d
2 n1
0
e n11 2 (n 1)
2 (n1)
பைடு நூலகம்
d
2 (n1)
故
P(N k) 1 P(N k 1) 2
6～7 题的条件如下：
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（2）
M
x
2
f
( x)dx
；
（3） [ M x2 f (x)dx M 2P( X M )] 。 0
A．（1） B．（2） C．（1）（2） D．（3） E．（2）（3）
【答案】D
k 1
E(Xk
E( X k ))3
第 6 章 短期聚合风险模型
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有 1 项最符合题目要求，请将正确
选项的代码填入括号内）
1．损失服从均值为 2 的泊松分布，已知 E(Id ) 0.7 1.9e2 ，求 d=（ ）。[2014
年春季真题]
A．1.3 B．1.4 C．1.5 D．1.6 E．1.7
【答案】A
d
【解析】由递推公式 E(Id ) E(S) [1 Fs (x)]dx ， 而 E(S) 2 ， 0
d
则 [1 Fs (x)]dx E(S) E(Id ) 2 （0.7 1.9 e2 ) 1.3 1.9e2 ，当 1<d<2 时， 0
C． 3 4
D． 5 6
E． 6 7
【答案】A
【解析】由已知，有
P(N n)
ne 0 n!
e d
2 n1
0
e n11 2 (n 1)
2 (n1)
பைடு நூலகம்
d
2 (n1)
故
P(N k) 1 P(N k 1) 2
6～7 题的条件如下：
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（2）
M
x
2
f
( x)dx
；
（3） [ M x2 f (x)dx M 2P( X M )] 。 0
A．（1） B．（2） C．（1）（2） D．（3） E．（2）（3）
【答案】D
k 1
E(Xk
E( X k ))3
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第 9 章 时间序列分析
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确 选项的代码填入括号内）
1．已知时序模型
A．0 B．－1 C．－1/2 D．1 E．1/2 【答案】D
独立同分布服从 N（0,1），则 等于（ ）。[2011 年真题]
，其中 ， 是相互独立的标准正态分布随机
变量， 是实数。下列说法正确的是（ ）。
A．{Xt}是平稳的
B．{Xt}是非平稳的
C．{Xt}可能是非平稳的
D．{Xt}可能是平稳的
E．无法判断
【答案】A
6 / 70
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【解析】因为
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从而得 。
7．如果时间序列{Xt}为平稳时间序列，则下列说法中正确的是（ ）。
A．{Xt}的均值和方差均与时间有关
B．{Xt}具有常数均值，但方差不一定存在
C．{Xt}具有常数均值，自协方差函数
仅与时间间隔 t－s 有关
D．{Xt}具有常数均值，自协方差函数
也为常数
E．以上说法均不正确
【答案】C
【解析】对于平稳时间序列{Xt}，具有三个重要性质：①常数均值；②自协方差函数与
9．设时间序列 Xt 是由下面随机过程生成的：Xt=Zt＋ ，其中 为一均值为 0，方 差为 的白噪声序列，Zt 是一均值为 0，方差为 ，协方差恒为常数 a 的平稳时间序 列。 与 Zt 不相关。下列选项中不正确的是（ ）。
A．E（Xt）=0 B．Var（Xt）= C．Cov（Xt，Xt＋k）=a
所以{Xt，0≤t≤1}为平稳过程。
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第 9 章 时间序列分析
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确 选项的代码填入括号内）
1．已知时序模型
A．0 B．－1 C．－1/2 D．1 E．1/2 【答案】D
独立同分布服从 N（0,1），则 等于（ ）。[2011 年真题]
，其中 ， 是相互独立的标准正态分布随机
变量， 是实数。下列说法正确的是（ ）。
A．{Xt}是平稳的
B．{Xt}是非平稳的
C．{Xt}可能是非平稳的
D．{Xt}可能是平稳的
E．无法判断
【答案】A
6 / 70
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【解析】因为
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从而得 。
7．如果时间序列{Xt}为平稳时间序列，则下列说法中正确的是（ ）。
A．{Xt}的均值和方差均与时间有关
B．{Xt}具有常数均值，但方差不一定存在
C．{Xt}具有常数均值，自协方差函数
仅与时间间隔 t－s 有关
D．{Xt}具有常数均值，自协方差函数
也为常数
E．以上说法均不正确
【答案】C
【解析】对于平稳时间序列{Xt}，具有三个重要性质：①常数均值；②自协方差函数与
9．设时间序列 Xt 是由下面随机过程生成的：Xt=Zt＋ ，其中 为一均值为 0，方 差为 的白噪声序列，Zt 是一均值为 0，方差为 ，协方差恒为常数 a 的平稳时间序 列。 与 Zt 不相关。下列选项中不正确的是（ ）。
A．E（Xt）=0 B．Var（Xt）= C．Cov（Xt，Xt＋k）=a
所以{Xt，0≤t≤1}为平稳过程。
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第3章收益率单项选择题（以下各小题所给出的5个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确选项的代码填入括号内）1．李先生第一年初投资10000元，第二年初投资5000元。
以后每年初投入1000元。
总共投资10次。
从第七年起，开始收回投资及回报：第七年初收回8000元，第八年初收回9000元，…，第11年初收回12000元。
具体现金流情况如表3-1所示。
设利率i=0.08，则该现金流的现值为（）元。
表3-1 现金流量表A．6800.93B．6801.93C．6803.93D．6805.93E．6807.93【答案】D【解析】i=0.08，所以，故现金流的现值为：=6805.93（元）。
2．当利率=（）时，第2年末支付2000元、第4年末支付3000元的现值之和为4000元。
A．4.3%B．5.3%C．6.3%D．7.3%E．8.3%【答案】D【解析】该现金流为：R0=4000，R2=－2000，R4=－3000。
所以，由于，故解得：=0.868517，又v=1/（1＋i），所以i=（1－v）/v=7.3%。
3．有甲、乙两个投资额相同的项目，甲投资项目为期20年，前10年的收益率为15%；乙投资项目为期20年，收益率为12%。
则甲投资项目后10年的再投资收益率为（）时，能使甲、乙两个投资项目在20年投资期中收益率相等。
A．6.50%B．7.08%C．7.50%D．8.08%E．9.08%【答案】E【解析】根据题意得：1.1510（1＋i）10=1.1220，所以。
4．某人在期货交易市场上先投入10000元买入1年期期货，一年后作为现货卖出且另外卖空一部分一年期期货，共24500元，又过一年，投入15000元买入现货支付到期期货。
则该投资人的投资收益率为（）。
A．20%B．22%C．20%或22%D．20%或25%E．22%或25%【答案】D【解析】根据题意，现金流为：R0=－10000，R1=24500，R2=－15000，则由得：即=0，=0，所以i=0.2或i=0.25。
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A．1.57 B．2.44 C．3.65 D．4.78 E．5.24 【答案】C 【解析】新设备的更换是一个更新过程，而到 t 时刻更换新设备所花费的费用 是一
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个更新回报过程。令长时间后每年的平均费用为 ，则
A． B．ຫໍສະໝຸດ C．D． E． 【答案】E 【解析】设
是顾客到达数的泊松过程，
，故
则
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【答案】C
【解析】
的含义是 t 时刻之前更新次数不少于 n，
的含义是第 n
次更新的发生时刻在 t 之前，两个是等价的。A 中第一次更新发生在 t 之前并不影响第二次
发生的时间。B 中当 t 时刻之前发生的次数为 1 时，若发生时刻为 s,且 s<t，那么在（s,t]
时间段内没有事件发生，同样满足。D 有定义可知。E 在 t 时间段内发生的次数大于 n，只
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第 11 章 几种常用的随机过程
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确
选项的代码填入括号内）
1．设移民到某地定居的户数是一个泊松过程，平均每周有 2 户定居。设每户的人口数
是一个随机变量，一户有 4 人的概率是 1/6，有 3 人的概率是 1/3，有 2 人的概率是 1/3，
B．13/144
C．1/4
D．1/2
E．1
【答案】A
【解析】每月进入中国上空的流星个数是服从参数为
的泊松分布，那么
落入中国地面的陨石数的期望为
3．设某种设备的寿命是服从均匀分布 U（0,10）的随机变量，当设备损坏或用了 3 年 时，就以旧换新。假设一台新设备价格为 10 万元，用了 3 年的旧设备卖出的价格为 1 万元， 一台损坏的设备没有任何价值。若每当购置一台新设备时就说一个循环开始，则长时间后每 年的平均费用为（ ）万元。[2011 年真题]
的泊松过程
C． 是强度为 的泊松过程
D． 是强度为 的泊松过程
E． 是强度为
的泊松过程
【答案】E
【解析】因 和
都是泊松过程，所以
和
，从而得
。在 上任取点
，做 的增量
，由于
记成
。此处
，
有
，
。对于任意实数
即知
相互独立，从而
因此 是独立增量过程。又因为
和 是相互独立的，所以
6 / 113
相互独立， 和
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【答案】C
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【解析】有限状态不可约马尔科夫链的所有状态都是常返态
9．设 和
是两个相互独立，分别具有强度为 和 的泊松过程，定义随
机过程
。下列关于随机过程 的说法正确的是（ ）。
A． 不是泊松过程
B． 是强度为
，其中
表示一次更新的平均报酬， 表示一次更新所需的平均时间。由题：当设备在 3 年内损
坏时，则在损坏时更换的设备没有任何价值，当设备在 3 年内没损坏时，则在第 3 年末更
换设备，此时设备能卖到 1 万元。由此：
，
，故
。
4．设 N（t）是一个更新过程，Tn 是第 n 次更新发生的时刻，则下面事件的等价关系 成立的是（ ）。[2011 年真题]
也是相互独立的。所以有
综上可得， 是强度为
的泊松过程。
10．设
是强度为 的泊松过程，定义随机过程
常数
。则关于随机过程 的说法正确的有（ ）。
A． 是强度为 的泊松过程
B． 不是平稳过程
C． 的均值是
D． 的协方差函数为
E．以上都正确
【答案】C
【解析】因 是强度为 的泊松过程，所以
，其中 ，从而
因
记
，由
于是上式右边等于
，
，故
，即知
关于 是对称的，故不妨假定 ，
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由 的对称性，即知
进而可知， 是平稳过程。
11．设顾客以 2 人/min 的速率到达，顾客到达数为泊松过程，则在 2min 内到达的顾 客不超过 3 人的概率为（ ）。
那么
2．设进入中国上空的流星的个数是一个泊松过程，平均每年为 10000 个，且每个流星 能以陨石落入地面的概率为 0.0001，则一个月内落于中国地面的陨石数的期望为（ ）。
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[2011 年真题]
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A．1/12
6．设齐次马尔可夫链的状态空间为
，其一步转移概率矩阵为
则此马尔可夫链的极限分布为（ ）。[2011 年真题]
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【答案】C
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【解析】假设
，由
验证只有 C 满足
7．设
是独立同分布随机变量序列，且
，
，则下列说法正确的是（ ）。[2011 年真题]
能说明第 n 次更新的发生时刻在 t 之前。
5．设齐次马尔可夫链的状态空间为
3 / 113
，其一步转移概率矩阵为
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则下列说法不正确的是（ ）。[2011 年真题] A．状态 1 是正常返状态 B．状态 2 与状态 3 不是互通的 C．状态 3 与状态 4 不是互通的 D．状态 4 是正常返状态 E．状态 2 的周期为 1 【答案】D 【解析】由转移矩阵知，没有任何一个状态到状态 4，因此 4 不是正常返的
【答案】B
【解析】若 是关于
的一个鞅，则满足
，
将各选项带入验证得 B 正确
8．设下列说法不正确的是（ ）。[2011 年真题] A．泊松过程中第一个事件发生的时刻服从指数分布 B．泊松过程是一种特殊的更新过程 C．不可约有限状态马尔科夫链可能存在非常返态 D．布朗运动的增量服从正态分布 E．布朗运动是平稳增量过程
有 1 人的概率是 1/6，则在五周内到该地定居的移民人数的方差为（ ）。[2011 年真题]
A．2.5
B．7.17
C．25
D．71.67
E．83.33
【答案】D
【解析】假设 X 为五周内到该地定居的移民人数；
表示移民到某地定居的户数，
其中
服从参数为 的泊松分布， =2； 表示每户的人口数，则
，由于
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个更新回报过程。令长时间后每年的平均费用为 ，则
A． B．ຫໍສະໝຸດ C．D． E． 【答案】E 【解析】设
是顾客到达数的泊松过程，
，故
则
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【答案】C
【解析】
的含义是 t 时刻之前更新次数不少于 n，
的含义是第 n
次更新的发生时刻在 t 之前，两个是等价的。A 中第一次更新发生在 t 之前并不影响第二次
发生的时间。B 中当 t 时刻之前发生的次数为 1 时，若发生时刻为 s,且 s<t，那么在（s,t]
时间段内没有事件发生，同样满足。D 有定义可知。E 在 t 时间段内发生的次数大于 n，只
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第 11 章 几种常用的随机过程
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确
选项的代码填入括号内）
1．设移民到某地定居的户数是一个泊松过程，平均每周有 2 户定居。设每户的人口数
是一个随机变量，一户有 4 人的概率是 1/6，有 3 人的概率是 1/3，有 2 人的概率是 1/3，
B．13/144
C．1/4
D．1/2
E．1
【答案】A
【解析】每月进入中国上空的流星个数是服从参数为
的泊松分布，那么
落入中国地面的陨石数的期望为
3．设某种设备的寿命是服从均匀分布 U（0,10）的随机变量，当设备损坏或用了 3 年 时，就以旧换新。假设一台新设备价格为 10 万元，用了 3 年的旧设备卖出的价格为 1 万元， 一台损坏的设备没有任何价值。若每当购置一台新设备时就说一个循环开始，则长时间后每 年的平均费用为（ ）万元。[2011 年真题]
的泊松过程
C． 是强度为 的泊松过程
D． 是强度为 的泊松过程
E． 是强度为
的泊松过程
【答案】E
【解析】因 和
都是泊松过程，所以
和
，从而得
。在 上任取点
，做 的增量
，由于
记成
。此处
，
有
，
。对于任意实数
即知
相互独立，从而
因此 是独立增量过程。又因为
和 是相互独立的，所以
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相互独立， 和
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【答案】C
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【解析】有限状态不可约马尔科夫链的所有状态都是常返态
9．设 和
是两个相互独立，分别具有强度为 和 的泊松过程，定义随
机过程
。下列关于随机过程 的说法正确的是（ ）。
A． 不是泊松过程
B． 是强度为
，其中
表示一次更新的平均报酬， 表示一次更新所需的平均时间。由题：当设备在 3 年内损
坏时，则在损坏时更换的设备没有任何价值，当设备在 3 年内没损坏时，则在第 3 年末更
换设备，此时设备能卖到 1 万元。由此：
，
，故
。
4．设 N（t）是一个更新过程，Tn 是第 n 次更新发生的时刻，则下面事件的等价关系 成立的是（ ）。[2011 年真题]
也是相互独立的。所以有
综上可得， 是强度为
的泊松过程。
10．设
是强度为 的泊松过程，定义随机过程
常数
。则关于随机过程 的说法正确的有（ ）。
A． 是强度为 的泊松过程
B． 不是平稳过程
C． 的均值是
D． 的协方差函数为
E．以上都正确
【答案】C
【解析】因 是强度为 的泊松过程，所以
，其中 ，从而
因
记
，由
于是上式右边等于
，
，故
，即知
关于 是对称的，故不妨假定 ，
7 / 113
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由 的对称性，即知
进而可知， 是平稳过程。
11．设顾客以 2 人/min 的速率到达，顾客到达数为泊松过程，则在 2min 内到达的顾 客不超过 3 人的概率为（ ）。
那么
2．设进入中国上空的流星的个数是一个泊松过程，平均每年为 10000 个，且每个流星 能以陨石落入地面的概率为 0.0001，则一个月内落于中国地面的陨石数的期望为（ ）。
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[2011 年真题]
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A．1/12
6．设齐次马尔可夫链的状态空间为
，其一步转移概率矩阵为
则此马尔可夫链的极限分布为（ ）。[2011 年真题]
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【答案】C
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【解析】假设
，由
验证只有 C 满足
7．设
是独立同分布随机变量序列，且
，
，则下列说法正确的是（ ）。[2011 年真题]
能说明第 n 次更新的发生时刻在 t 之前。
5．设齐次马尔可夫链的状态空间为
3 / 113
，其一步转移概率矩阵为
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则下列说法不正确的是（ ）。[2011 年真题] A．状态 1 是正常返状态 B．状态 2 与状态 3 不是互通的 C．状态 3 与状态 4 不是互通的 D．状态 4 是正常返状态 E．状态 2 的周期为 1 【答案】D 【解析】由转移矩阵知，没有任何一个状态到状态 4，因此 4 不是正常返的
【答案】B
【解析】若 是关于
的一个鞅，则满足
，
将各选项带入验证得 B 正确
8．设下列说法不正确的是（ ）。[2011 年真题] A．泊松过程中第一个事件发生的时刻服从指数分布 B．泊松过程是一种特殊的更新过程 C．不可约有限状态马尔科夫链可能存在非常返态 D．布朗运动的增量服从正态分布 E．布朗运动是平稳增量过程
有 1 人的概率是 1/6，则在五周内到该地定居的移民人数的方差为（ ）。[2011 年真题]
A．2.5
B．7.17
C．25
D．71.67
E．83.33
【答案】D
【解析】假设 X 为五周内到该地定居的移民人数；
表示移民到某地定居的户数，
其中
服从参数为 的泊松分布， =2； 表示每户的人口数，则
，由于