平行四边形例题一

例题一（矩形）

1．如图12-2-1所示：已知矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O，∠AOD=120°，AB＝4cm，求矩形对角线长．

分析：注意到矩形的对角线相等且平分这个特性，不难求解．

解：∵ABCD为矩形

∴AC＝BD，且OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，

∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°∴△AOB为等边三角形

∴OB＝OA＝AB＝4，∴BD＝2OB＝2×4＝8cm．

2．如图12-2-2所示：□ABCD中AC，BD直交于O，EF⊥BD垂足为O，EF分别交AD，BC 于点E，F，且AE=EO=DE.

求证：□ABCD为矩形

分析：观察给出的已知图象的特征，要证□ABCD为矩形，显然只要证AC＝BD即可，若Rt△DOE的斜边上的中线OM，易证△AOE≌△DOM，∴OA＝OD问题得证．

证明：取DE的中点M，连结OM，

∴在Rt△DOE中，OM=DE=DM，

∴OE=AE=DE，∠OME=∠OEA

∴OM＝OE，DM＝AE，∠OMD＝∠OEM，

∴△OMD≌△OEA，∴OA=OD，

在□ABCD中，∵OA=AC，OD=BD，

∴AC＝BC ∴□ABCD为矩形．

3．已知：如图所示，E是已知矩形ABCD的边CB延长线上的一点，CE＝CA，F是AE的中点．求证：BF⊥FD

分析：由于CE＝CA，F是AE的中点，若连结CF，则CF⊥AE．所示∠AFC＝90°.所以要证BF⊥FD，只须再证∠CFB＝∠AFD．易知，只要证△AFD≌△BCF．

证法一：连结CF．因为CE＝CA，F是AE中点，所以CF⊥AE．

所以∠AFD+∠DFC＝90°，因为四边形ABCD为矩形，所以AD＝BC，∠ABC＝∠BAD＝90°

又∵F是Rt△ABE斜边BE的中点，所以BF＝AF，所以∠FAB＝∠FBA，所以∠FAD=∠FBC．所以△FAD≌△FBC．所以∠CFB=∠AFD，所以∠CFB+∠DFC＝90°，即BF⊥FD．

证法二：如图所示：延长BF交DA延长线于点G，连结BD．因为四边形ABCD是矩形，所以AD BC，AC＝BD，所以∠AGF＝∠EBF，∠GAF=∠BEF．因为F是AE的中点，所以AF＝FE．所以△AGF≌△EBF所以GF＝BF，AG＝BE．所以GD＝EC．因为CA＝CE，CA＝BD，所以BF⊥DF.

4．已知如图：矩形ABCD中，E为CD的中点．求证：∠EAB＝∠EBA．

分析：证角相等．若两角在同一个三角形中，可证三角形为等腰三角形．

证明：∵四边形ABCD为矩形∴∠D＝∠C＝90°，AD＝BC

∵E为DC的中点，∴△ADE≌△BCE ∴AE＝BE ∴∠EAB=∠EBA．

5．如图：已知矩形ABCD中，CF⊥BD于F，∠DAB的平分线AE与FC的延长线相交于点E，判断CA与CE的大小关系，并说明理由．

分析：要判断CA与CE的大小关系，如果能证到∠EAO＝∠E即可得CA＝CE

解：OA＝CO

过点A作AM⊥DB，可得AM∥EF，∠MAE＝∠E

∴∠DAM＝∠DBA＝∠OAB，∴∠MAE＝∠EAO

∴∠EAO＝∠E ∴CE = CA

随堂练习(矩形)

一、填空题

1．矩形ABCD的边AB的中点为P，且∠DPC为直角，则AD：BA＝．2．已知矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点，∠AOB=2∠BOC，AC=18cm，则AD= cm.

＝8cm2，则AD＝，3．如图矩形ABCD中，E是CD的中点，且AE⊥EB，若S

EAB

AB＝ .

4．矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的长

为，对角线的长 .

5．在矩形ABCD中，AB=2AD，E是CD上一点，且AE＝AB，则∠CBE的度数

是 .

6．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，如图，且四边形AFDE为矩形，若EF＝5，矩形AFDE的面积为12，则AC= .

7．如图，在矩形ABCD中，AB＝16，BC＝8，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE 交AB于点F，则AF= ．

8．如图，宽为3，长为4的矩形纸片ABCD，先沿对角线BD对折，点C落在点C′位置，BC′交AD于G，再折叠一次使点D与点A重合．得折痕EN，EN交AD于点M，则点ME的长

为 .

二、选择题

1．矩形的边长为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分为（）

A．6cm和

9cm B．5cm和10cm

C．4cm和

11cm D．7cm和8cm 2．下列四边形中，不是矩形的是（）

A．三个角都是直角的四边形

B．四个角都相等的四边形

C．一组对边平行且对角线相等的四边形

D．对角线相等且互相平分的四边形

3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠BDE的度数（）

A．18° B．36°

C．54° D．72°

4．已知矩形ABCD对角线相交于O，且AB：BC=1：2，AC＝ 3cm，则矩形ABCD的周长为（）

A．（6+2）

cm B．cm

C．（6+）

cm D．12cm 5．矩形具有的特征而一般的平行四边形不一定具有的特征是（）

A．对角线相

等B．对边相等

C．对角相

等D．对角线互相平分

6．矩形的两条对角线与各边围成的三角形中，共有多少对全等的三角形（）

A．2

对

B．4对

C．6

对

D．8对

7．矩形的对角线所成的角是65°，则对角线与各边所成的角度是（）

A．57．5°

B．32．5°

C．57．5°，

33．5° D．57．5°，32．5°

8．下面真命题的个数是（）

（1）矩形是轴对称图形，又是中心对称图形

（2）矩形的对角线大于夹在两对边间的任意线段