状态反馈控制

本科毕业论文（设计）题目状态反馈控制学院计算机与信息科学学院专业自动化（控制方向）年级2009级学号222009321042049 姓名王昌洪指导老师何强成绩2013 年4 月18 日状态反馈控制王昌洪西南大学计算机与信息科学学院，重庆400715摘要：现代控制理论的特色为状态反馈控制，状态反馈控制经过近几十年的发展演变，在现实控制系统中应用越来越是广泛，由于系统的内部特性可以由状态变量全面的反应出来，因而相对于输出反馈控制，状态反馈更加的有利于改善系统的控制性能。

但是，在实际的系统中，状态变量由于其难于直接测量，所以进行状态反馈总是很难实现。

本论文将论述状态反馈基本原理，并通过举例说明状态反馈控制的优越性，同时将对状态反馈控制进行Matlab仿真，使系统满足提出的设计要求。

关键词：状态反馈；极点配置；Matlab仿真；时域指标State Feedback ControlWang changhongSouthwest university school of computer and information science, chongqing, 400715Abstract:Modern control theory, the characteristics for the state feedback control, state feedback control through decades of development and evolution, in the real control system is applied more and more widely, because the internal characteristics of the system can be fully reflected by the state variables,So relative to the output feedback control, state feedback are more favorable to improve the control performance. However, in practical systems, the state variable because of its difficult to measure directly, so the state feedback is always difficult to achieve.This paper will describe the state feedback principle, and illustrates the superiority of the state feedback control, at the same time, the state feedback control for Matlab simulation, the system meets the requirements of the design.Key words:State feedback;Pole assignment;Matlab simulation;Time domain index目录1 引言 (1)2 状态反馈控制原理 (2)3 状态反馈矩阵可控性和可观性 (2)3.1 状态反馈系统的可控性 (2)3.2状态反馈系统的可观性 (3)4 极点配置问题 (4)5 极点配置 (5)6 状态反馈控制实例 (6)7 加入干扰信号后的状态反馈系统 (12)7.1 系统输入端产生干扰信号 (12)7.2 系统中产生干扰信号（1） (12)7.3 系统中产生干扰信号（2） (13)8 分析与总结 (15)参考文献： (16)1 引言随着状态观测器理论与状态估计方法的发展，卡尔曼-布什滤波方法的出现，以及计算机仿真技术的越来越成熟，状态反馈控制方法应用越来越广泛。

由于时代的发展，科技的不断进步，人们在硬件上的研究发展已经趋向于及其精微，以及很难再取得重大的进步和延伸的情况下，我们自然而然的将注意力转移到软件的发展上。

软件的成熟与优越，将更优化的控制各种各样设备，使其尽可能的发挥最大的性能。

对于机械方面而言，其软件为控制系统，一个系统的状态变量由比例环节传送到输入端去的反馈方式为状态反馈，状态反馈控制是现代控制理论的一种特色。

一个系统的状态变量可以展现其整个系统的内部特性而不需要知道系统的内部结构。

所以相对于传统的输出反馈控制，状态反馈控制能够更优秀更有效的控制系统，使其稳定正常工作。

然而由于状态变量是不能直接由系统外部直接测量得到的，这让状态反馈技术在实现的过程中相对于输出反馈复杂。

状态反馈变量不会影响原系统的能控性，但是可能会改变系统的能观性只要原系统是能控的，则一定能够通过选着适当的反馈增益矩阵K用状态反馈来任意移植闭环系统的极点。

这一点传统的输出反馈控制是不能做到的]1[。

由于状态反馈拥有这么许多优点，本论文将通过实例论证状态反馈控制的优越性。

2 状态反馈控制原理状态反馈控制定义：将系统的每一状态变量乘以相应的反馈系数，反馈到输入端,与参考输入相加，其和作为被控系统的控制信号]2[。

现假设系统的状态空间表达式为：xAx Buy Cx Du=+=+设状态反馈矩阵为12[]n k k k k =⋯为该系统的状态反馈增益矩阵，可以得到闭环系统矩阵为()A Bk -，再由系统特征多项式()I A Bk λ--可以看出，再加入状态反馈矩阵以后，系统矩阵和特征值有所改变，但是其A,B 值均无变化。

其系统框图画在下面：图1 系统框图 Fig.1 system chart3 状态反馈矩阵可控性和可观性 3.1 状态反馈系统的可控性定理：多变量线性系统（定常的或时变的）{}0,,A B C ∑，在任何形如()()()()u t r t K t x t =+的状态反馈下，这个状态反馈闭环系统{},,k A BK B C ∑+完全可控的充要条件是被控对象0{A,B,C}∑完全可控]3[。

证明：充分性证明，即若0∑可控，则k ∑就可控。

假设0x 和1x 在状态空间中的任意两个状态，根据0∑可控的假设，必存在能将0x 在有限时间内转移到1x 的输入0u 于是有相对于k ∑，若选r u Kx =-，则当输入r 也能将0x 转移到1x ，因此得到k ∑也是可控，证明出充分性。

证明必要性，若0∑不可控，则k ∑也不可控。

由结构图一可见，输入r 不直接控制x ，而必须通过产生控制信号u 来控制x ，因此，如u 不可控制x ，则r 也不能控制x ，换言之，若0∑不可控，则k ∑也不可控。

必要性得证。

注意到上述证明过程并没有考虑到单变量和定常的条件，所以，上述定理对于多变量时变系统也是合适的。

3.2状态反馈系统的可观性虽然状态反馈保持了动态方程的可控性，但总可以选择某一状态反馈阵K ，破坏动态方程的可观性]4[。

用一个特例就可以证明。

例： 设对象的动态方程为340461x x u ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]34y x =因为[]042163423536rank bab rank c rank rank ac ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以，该系统是完全可控的，但不是完全可观的。

若取状态反馈的控制规律为[]24u Kx r x r =+=--+ 则状态反馈系统的动态方程为[]14024114x x y y x⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦=可以验证，闭环系统依然可控且可观。

上面的例子说明，状态反馈不改变系统的可控性，但可能改变系统的可观性。

一般地说，当用状态反馈配置的系统极点与原系统相同时，即出现零、极点对消时，状态反馈就改变了系统的可观性。

定理：输出反馈闭环系统可控的充要条件是被控系统可控；输出反馈闭环系统可观的充要条件是被控系统可观]5[。

4 极点配置问题极点配置定理 线性（连续或离散）多变量系统{A,B,C}能任意配置极点的充分必要条件是，该系统状态完全可控]6[。

证明 下面仅给出连续系统情况下的证明，离散系统的证明类似。

必要性证明：采用反证法，即设系统部完全可控，于是可以通过状态方程的线性变换进行可控性规范分解，即11200c c C c c C x x B A Au x x A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 对于任一状态反馈增益阵12K K K ⎡⎤=⎣⎦,状态反馈系统的特征方程为： 1121211121211()det[()det{}00det 0det[]det[]0C C C C C C f I ABK B A A I K K A I A B K A B K I A I AB K I A λλλλλλλ=-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤----=⎢⎥-⎣⎦=---=所以，只有当系统完全可控时，才有可能任意配置状态反馈系统的闭环极点。

必要性得证。

充分性证明：我们只证明单输入单输出的情况。

由前面的论述，若{}A b 、是可控的，则存在非奇异线性变换x Tx =,将{}A b 、化为第一可控标准型：011010000101n A b a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦容易求得状态反馈闭环系统的特征多项式为：111201()()()()n n n n f a k a k a k λλλλ--=+-++-+-设闭环系统的期望极点为λ1，λ2，… ，λn ，则系统的期望特征多项式为*12*1**110()()()()n nn n f aa aλλλλλλλλλ--=---=++++为了使闭环系统的极点取期望值，只需要有：*()()f f λλ=比较上式两边系数得：*010*121*11n n n a k a a k a a k a --⎧-=⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩所以：*100*211*11n n n k a a k a a k a a --⎧=-⎪=-⎪⎨⎪⎪=-⎩从而得到对于状态x 下的状态反馈增益阵为:001111nnK a a a a a a ***--⎡⎤=---⎣⎦上式表明，总存在状态反馈增益矩阵，使系统具有给定的期望特征多项式。

充分性得证。

5 极点配置1)期望闭环极点组的性能指标属性期望闭环极点组具有二重性，理论计算上的闭环期望极点组和控制工程中的直观性能指标]7[。

2)控制工程中基本类型的性能指标]8[时间域：,,,,,,s r d p t t t t δσζ 频率域：,,r r cc M ωω它们间可以相互转化，转化公式中我们论文需要用到的如下。

cos ζβ= r d t πβω-=21dn ωωζ=- ()2ln 1/1ln σζπσ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭3)基本类型性能指标和期望闭环极点组的主导极点对的关系 212,1n n s s j ζωωζ=-±-4)期望闭环极点组的确定]10[主导极点：212,1n n s s j ζωωζ=-±-余下2n -个极点为：()()e 14~6R ,3,4,i s s i n ==6 状态反馈控制实例题目：已知系统模型为：xax bu y cx du=+=+其中：010001023a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 001b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]100c = []0=d为了使系统上升时间0.5r t s =，超调量为10%，设计状态反馈系统并进行仿真。