一次函数的性质
一次函数的图象及性质
在某个点处，函数的导数为0，并且在该点左侧导数小 于0，右侧导数大于0，那么这个点就是极小值点。
一次函数的凹凸性
凹函数
如果在某个区间内，函数的二阶导数大于 0，那么这个函数在这个区间内是凹函数 。
VS
凸函数
如果在某个区间内，函数的二阶导数小于 0，那么这个函数在这个区间内是凸函数 。
04
一次函数与数列的关系
数列是一次函数图象上多个点的集合，表示在多个自变 量下函数的值的变化规律。通过对数列的研究，我们可 以找到一次函数图象上对应的多个点。
一次函数与数列的关系还表现在解决实际问题中，如等 差数列和等比数列的问题，通过建立一次函数模型可以 解决实际问题的最优解。
06
一次函数的扩展知识
一次函数与方程的关系还表现在求解未知数 的运算过程中，通过对方程的求解可以得到
一次函数的解析式。
一次函数与不等式的关系
不等式可以看作一次函数图象上某一段的横坐标，表 示在这一段上函数的值大于或小于零。通过对不等式 的求解，我们可以找到一次函数图象上对应的区间。
一次函数与不等式的关系还表现在解决实际问题中， 如时间、速度、价格等问题，通过建立一次函数不等 式模型可以解决实际问题的最优解。
为截距。
当自变量取值为`x`时，函数值 计算公式为`y = kx + b`。
绘制点
根据计算出的函数值和自变量的取值，绘制散点图。
对于每个自变量值，计算其对应的函数值，并在坐标系中绘制一个点。
连接点
使用线段或曲线连接散点图中的点。
对于一次函数，通常使用直线连接点，因为一次函数的图像是一条直线。
03
一次函数的应用
一次函数在代数中的应用
求解方程
一次函数的图像和性质
课题 一次函数的图像与性质1、一次函数的图像的画法（1）画函数图像的三步：列表－描点－连线. （2）一次函数的图象是一条直线。
一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象是一条直线。
一次函数y=kx+b 也称为直线y=kx+b ，这时，我们把一次函数的解析式y=kx+b 称为这一直线的表达式。
（3）因为一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象是一条直线，根据“两点确定一条直线”的基本性质，画一次函数的图象时只需描出图象上的两个点，再作过这两点的直线即可。
2、一次函数的图像的性质（1）一次函数与x 轴交点的纵坐标为0，与y 轴交点的横坐标为0.（2）一次函数111(y k x b k =+、110b k ≠为常数，）与222(y k x b k =+、220b k ≠为常数，）的图像平行时，则12k k =。
反之，当12k k =时，两直线平行，且当12k k =，12b b =时，两直线重合。
（3）当一次函数111(y k x b k =+、110b k ≠为常数，）与222(y k x b k =+、220b k ≠为常数，）的图像的截距相同且不平行时，则12b b =，12k k ≠。
（4）一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）当k>0时函数值随着x 的增大而增大、减小而减小，即该函数为增函数；当k<0时函数值随着x 的增大而减小、减小而增大。
即该函数为减函数。
3、一次函数图像的平移一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象向上平移h 个单位后的函数解析式为y=kx+b+h;向下平移h 个单位后的函数解析式为y=kx+b-h 。
4、一次函数图像经过的象限示意图k 、b 的符号直线y=kx+b 经过的象限增减性一．基础练习：1.一次函数y=3x-6的图像是，它与x轴的交点坐标是，它与y轴的交点坐标是2.将直线y=x向下平移4个单位，得到直线3.将直线y=-3x-5向上平移4个单位，得到直线4.若直线y=3x-5与直线y=kx-4相互平行，则k=5.若直线y=-2x-5与直线y=6x+b相交于y轴上同一点，则b=6. 请你在不同的平面直角坐标系中画出下列函数的图像（1）y=2x+6 （2）1722 y x=+（3）4833y x=--（4）1344y x=--7,做一做：画出函数y=-2x+2 的图像，结合图象回答下列问题：（ 1 ）这个函数中，随着x 的增大，y 将增大还是减小？（ 2 ）当x 取何值时，y=0 ？当y 取何值时，x=0 ？（ 3 ）当x 取何值时，y>0 ？（ 4 ）函数的图像不经过哪个象限？8、完成下列各题：（1）下列函数中，y的值随着x的增大而减小的是（）A.y=2x-7B.y=0.5x+2C.y=(2-1)x+3D.y=-0.3x+1（2）函数y=4x-3中，y的值随着x值的增大而____（3）函数y=(2m-1)x+2的函数值随x的增大而减小，则m的值为______ （4）一次函数y=2x+4的图像上有两点A(3,a)，B(4,b)，请判断a与b的大小（5）y=x+5与y=2x-5的增减性（y 随着x 的增加而增加，还是随着x 的增加而减小）是否一样？（6）y=-2x+5与y=-2x-5的增减性是否一样？（7）A(a,6)和B(b,-2)在函数y=2x-5的图像上，请你判断a ，b 的大小关系 9、已知一次函数2(2)28y k x k =--+，分别根据下列条件求k 的值或k 的取值范围： （1）它的图像经过原点（2）它的图像经过点（0,－2）（3）它的图像与y 轴的交点在x 轴上方 （4）y 随着x 的增大而减小（5）这条直线经过一、二、三象限10、要使一次函数y=-3x+4的函数值大于4，求自变量x 的取值范围。
初中数学知识归纳一次函数的概念与性质
初中数学知识归纳一次函数的概念与性质一次函数是初中数学中的重要内容，它具有简单的形式和规律性的特点。
本文将围绕一次函数的概念和性质展开论述。
一、一次函数的概念一次函数是指函数的最高次数为1的函数，可以表示为y = kx + b的形式，其中k和b为常数，x为自变量，y为因变量。
在一次函数中，自变量x的系数k称为斜率，表示了函数图像的倾斜程度，斜率正负表示了直线的上升或下降趋势；而常数b称为截距，表示了函数图像与y轴的交点。
二、一次函数的性质1. 函数图像为直线：由于一次函数的形式为y = kx + b，故其图像为一条直线。
直线可以用来表示两个变量之间的线性关系，如时间和距离的关系、成本和产量的关系等。
2. 斜率代表变化率：一次函数的斜率k反映了函数图像的倾斜程度。
斜率的绝对值越大，说明函数图像越陡峭；斜率为正表示上升趋势，斜率为负表示下降趋势。
3. 截距代表初始值：一次函数的常数b即截距，表示了函数图像与y轴的交点。
截距决定了函数图像的起点和y轴的交点位置，也可以理解为函数在x=0处的函数值。
4. 变量之间的线性关系：一次函数表示了两个变量之间的线性关系。
斜率k表示了两个变量之间的变化率，而截距b表示了变量在某个初始值时的数值。
三、一次函数的图像特点一次函数的图像有以下几个特点：1. 函数图像为一条直线，呈现出一致的斜率和截距；2. 当斜率为正时，函数图像从左下方朝右上方倾斜；当斜率为负时，函数图像从左上方朝右下方倾斜；3. 当截距为正时，函数图像与y轴的交点在y轴的正半轴上；当截距为负时，函数图像与y轴的交点在y轴的负半轴上；4. 斜率的绝对值越大，函数图像越陡峭；5. 斜率为零时，函数图像平行于x轴，表示了一个常数函数；6. 一次函数的图像可以通过两个点确定，其中一个点可以是截距，另一个点可以通过斜率确定。
四、一次函数的应用举例一次函数广泛应用于日常生活和工作中的各个领域。
以下是一些具体的应用举例：1. 距离和时间的关系：假设一个汽车以固定速度行驶，那么汽车的行驶距离与时间的关系可以用一次函数来表示。
一次函数的性质
一次函数的性质一次函数y=kx+b (k≠0) k>0,b>0,则图象过1,2,3象限k>0,b<0,则图象过1,3,4象限k<0,b>0,则图象过1,2,4象限k<0,b<0,则图象过2,3,4象限当k>0时，y随x的增大而增大；图像经过一、三象限当k<0时，y随x的增大而减小；图像经过二、四象限二次函数y=ax^2+bx+ca>0开口向上a<0开口向下a,b同号，对称轴在y轴左侧，反之，再y轴右侧|x1-x2|=根号下b^2-4ac除以|a|与y轴交点为(0,c)b^2-4ac>0，ax^2+bx+c=0有两个不相等的实根b^2-4ac<0，ax^2+bx+c=0无实根b^2-4ac=0，ax^2+bx+c=0有两个相等的实根对称轴x=-b/2a顶点(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)顶点式y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a函数向左移动d(d>0)个单位，解析式为y=a(x+b/2a+d)^2+(4ac-b^2)/4a,向右就是减函数向上移动d(d>0)个单位，解析式为y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a+d,向下就是减正比例函数与反比例函数形如y=kx(k为常数，且k不等于0），y就叫做x的正比例函数.图象做法:1.带定系数2.描点3.连线图象是一条直线,一定经过坐标轴的原点性质:当k>0时,图象经过一,三象限,y随x的增大而增大当k<0时,图象经过二,四象限,y随x的增大而减小形如y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数的图像为双曲线。
它可以无限地接近坐标轴,但永不相交.性质:当k>0时,图象在一,三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小,当k<0时,图象在二,四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大.一次函数是有规律的：一、定义：如果y=kx+b(k、b是常数且k不等于0），那么y叫做x 的一次函数。
一次函数图像性质
一次函数图像性质
一次函数图像性质
1.y=kx时(即b等于0，y与x成正比，此时的图象是一条经过原点的直线)
当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;
当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
2.y=kx+b(k,b为常数，k≠0)时：
当k>0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，三象限;
当k>0,b<0,这时此函数的图象经过一，三，四象限;
当k<0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，四象限;
当k<0,b<0,这时此函数的图象经过二，三，四象限。
当b>0时，直线必通过一、二象限;
当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图象。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。
当k<0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。
3.直线y=kx+b中k、b的关系
k>0,b>0：经过第一、二、三象限
k>0,b<0：经过第一、三、四象限
k>0,b=0：经过第一、三象限(经过原点)
结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。
k<0b>0：经过第一、二、四象限
k<0,b<0：经过第二、三、四象限
k<0,b=0：经过第二、四象限(经过原点)
结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。
一次函数的基本概念与性质解析
一次函数的基本概念与性质解析一次函数，也称为线性函数，是数学中的基础概念之一。
它是一个关于自变量x的一次多项式的函数，通常可以表示为f(x) = ax + b，其中a和b是常数。
在本文中，我们将通过分析一次函数的基本概念和性质来深入了解它的特点和应用。
一、一次函数的定义一次函数是指函数的最高次数为1的多项式函数。
它的一般形式为f(x) = ax + b。
其中，a称为斜率，代表了函数图像的斜率大小和方向；b称为截距，代表了函数图像与y轴交点的位置。
二、一次函数的图像特征1. 直线特征：一次函数的图像通常是一条直线，斜率a决定了直线的斜率大小和方向，当a>0时，图像呈正斜率（向上）；当a<0时，图像呈负斜率（向下）；当a=0时，图像平行于x轴。
2. 截距特征：截距b决定了直线与y轴的交点，也就是函数图像在y轴上的纵坐标。
3. 增减性特征：当斜率a>0时，随着自变量x的增加，函数值f(x)也随之增加；当斜率a<0时，随着自变量x的增加，函数值f(x)则减小。
三、一次函数的性质1. 直线的斜率：一次函数的斜率a可以通过直线上两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值计算得到。
2. 直线与坐标轴的交点：斜率为a，截距为b的直线与x轴的交点为(-b/a, 0)，与y轴的交点为(0, b)。
3. 直线的平行与垂直关系：两条直线平行的条件是它们的斜率相等；两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
4. 自变量与函数值之间的关系：对于一次函数，自变量x的取值决定了函数值f(x)的取值，可以通过给定x的值来推算出对应的函数值。
5. 零点的求解：一次函数的零点即为满足f(x) = 0的x值，通常可以通过解方程ax + b = 0来求解。
四、一次函数的应用一次函数在实际应用中具有广泛的用途，例如经济学中的成本函数和收入函数、物理学中的速度和位移关系、工程学中的线性拟合等。
通过对一次函数的分析和运用，可以帮助我们处理和解决实际问题。
一次函数的性质
书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
今天的努力是为了明天的幸福一次函数的性质
【编者按】快乐学习尽在初中频道（点点试试）函数性质：
1.y 的变化值与对应的x 的变化值成正比例，比值为k.K 为常数.
即：y=kx+b(k，b 为常数，k≠0)，
∵当x 增加m，k(x+m)+b=y+km,km/m=k。
2.当x=0 时，b 为函数在y 轴上的点,坐标为(0，b)。
3 当b=0 时(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
4.在两个一次函数表达式中：
当两一次函数表达式中的k 相同，b 也相同时，两一次函数图像重合;
当两一次函数表达式中的k 相同，b 不相同时，两一次函数图像平行;
当两一次函数表达式中的k 不相同，b 不相同时，两一次函数图像相交;
当两一次函数表达式中的k 不相同，b 相同时，两一次函数图像交于y 轴上的同一点(0，b)。
若两个变量x,y 间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b 为常数，k 不等于0)则称y 是x 的一次函数
图像性质
1.作法与图形：通过如下3 个步骤：
(1)列表.
(2)描点;[一般取两个点,根据两点确定一条直线”的道理，也可叫两点法”。
一般的y=kx+b(k≠0)的图象过(0，b)和(-b/k，0)两点画直线即可。
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过坐标原点的一条直线，一般取(0,0)和。
一次函数的图象和性质知识讲解
一次函数的图象和性质知识讲解一次函数是数学中最简单的函数之一，通常表示为y = ax + b，其中a和b都是实数且a ≠ 0。
一次函数也被称为线性函数，因为它的图像是一条直线。
1.找到x轴和y轴的交点，并标记为(x1,0)和(0,y1)。
2.连接两个点，得到直线。
如果x1等于0，则直线与y轴平行；如果y1等于0，则直线与x轴平行；如果两个轴的交点都不是原点，则直线会穿过原点。
1.斜率：一次函数的斜率是直线的倾斜程度。
斜率可以通过直线上的两个点计算得出，斜率等于纵坐标的变化量除以横坐标的变化量。
在一次函数中，斜率等于a。
2.y轴截距：一次函数在y轴上的截距是直线与y轴的交点的纵坐标。
在一次函数中，截距等于b。
3.x轴截距：一次函数在x轴上的截距是直线与x轴的交点的横坐标。
在一次函数中，截距等于-x1/a（如果存在）。
4.定义域和值域：一次函数的定义域是所有实数，因为对于任何实数x，一次函数都有对应的y值。
一次函数的值域也是所有实数，因为直线可以无限延伸。
5.单调性：如果a大于0，则一次函数是增函数，意味着随着x的增加，y值也增加。
如果a小于0，则一次函数是减函数，意味着随着x的增加，y值减少。
6.对称性：一次函数的图像在直线y=x/2上对称，这意味着如果一个点(x,y)在一次函数的图像上，则另一个点(y,x)也在图像上。
7.平移：通过改变常数b的值，可以使一次函数的图像平移。
当b大于0时，图像向上平移；当b小于0时，图像向下平移。
8.相关性：一次函数的系数a和b的值决定了直线的斜率和截距。
更具体地说，a决定了直线的倾斜程度，而b决定了直线与y轴的交点的纵坐标。
总结：一次函数是数学中最简单的函数之一，其图像是一条直线，由斜率和截距决定。
一次函数具有很多重要的性质，如斜率、截距、定义域、值域、单调性、对称性、平移和相关性。
熟悉这些性质可以帮助我们更好地理解和分析一次函数的特征和行为。
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华东师大版八年级（下）
17.3.3一次函数的性质
教学目标：
知识技能目标
1.掌握一次函数y＝kx＋b(k≠0)的性质。
2.能根据k与b的值说出函数的有关性质。
过程性目标
1.经历探索一次函数图象的过程，感受一次函数中k与b的值对函数性质的影响；
2.观察、分析图象，体会一次函数k、b的取值和直线位置的关系，提高学生数形结合意识，培养数形结合能力。
教学重点：掌握一次函数图象的性质。
教学难点：掌握一次函数图象的特点。
教学过程：
一、温故知新
1、正比例函数的一般式是 y=kx（k≠0），它的图象是经过点（ 0，0 ），
（ 1，k ）的一条直线。
2、一次函数一般式是 y=kx+b（k≠0）它的图象是经过点（ 0 ， b ），
（ -b/k， 0 ）的一条直线。
图象与x轴的交点是（-b/k， 0），
与y轴的交点是（ 0 ， b ）。
3、画一次函数图象只需两点，一般取图象与 x轴、 y轴的交点。
二、新课讲授
1、在坐标系1中画一次函数y = x + 1的图象，并观察分析、讨论下
列问题。
坐标系1
（1）从函数解析式看，当自变量由小变大时，函数值如何变化
（2）从图象上看，当一个点在直线上从左到右移动（自变量X从小变大）时，点的位置（函数Y的值）是上升还是下降
（3）由此可得到，该函数中自变量与函数值变化有何规律
（4）在同一直角坐标系中画函数y = 3x - 2的图象，是否也具有这种现象
2、在坐标系2中画函数y = - x + 1与y = - 3x - 2的图象并观
察思考：
坐标系2
（1）研究它们是否也具有相应的性质，与前两个函数有什么不同
（2）这四个函数图象分别经过哪几个象限
（3）四个函数图象从左到右哪些是上升趋势哪些是下降趋势
（4）上升趋势的直线的函数关系式中系数k有什么共同特点下降趋势的直线的函数关系式中系数K有什么共同特点
（学生分组讨论，发表意见，教师评析并归纳）
3、归纳概括
一次函数y=kx+b(k≠0)有下列性质：
（1）当k>0时，y随x的增大而增大,函数的图象从左到右是上升趋势。
（2）当k<0时，y随x的增大而减小,函数的图象从左到右是下降趋势.
三、拓展提升
根据表格中的一次函数图象的草图填空
表1
表2
由上述两表可得出：
（1）当k＞0时，一次函数的图象必经过第一、三象限；
当k＜0时，一次函数的图象必经过第二、四象限。
（2）当b＞0时，一次函数的图象必经过第一、二象限；
当b＜0时，一次函数的图象必经过第三、四象限。
四、课堂练习
1、一次函数y = - 3x - 4的图象经过第象限，y随x的增大而。
2、函数y = （m-3）x -1,当m 时，图象从左到右上升，y随x的增大而；
当m 时，图象从左到右，y随x的增大而减小。
3、已知点（x1，y1）和（x2，y2）都在直线y = - 3x + 2上，若x1＜ x2 ，则y1y2 。
4、画出函数y = - 2x + 2的图象，结合图象回答下列问题：
（1）这个函数中，随着自变量x的增大，函数值y是增大还是减小它的图象从左到右怎样变化
（2）当x取何值时，y＝0
（3）当x取何值时，y＞0
5、已知点（-1，a）和（1, b）都在直线y = 2/3x + 3上，试比较a和b的大小。
你能想出几种判断的方法
五、课堂小结
一次函数y=kx+b(k≠0)的性质
六、板书设计
17.3.3 一次函数的性质
一次函数y=kx+b(k≠0)的性质例题
七、课后反思
对于一次函数性质的教学，着眼于一次项项数k的变化设计了四个一次函数，让学生先画出它们的图象，再观察相应图象的变化趋势，并类比正比例函数的性质，进而归纳出一次函数的性质。
通过这种注重过程和体验的再设计、凸显本节课的教学重点，最后在练习和作业中，设计了五个习题，加深学生对本节知识的理解和应用。
这节课立足于学生的已有知识，把教学重点分解为一系列富有探究性的问题，让学生在解决问题的过程中，经历知识的发生、发展、形成的过程，把知识的发现权交给学生，让他们在获取知识的过程，体验成功的喜悦，真正体现学生是学习的主人，而老师只是学习的参与者、合作者、引导者，在教学活动中，老师重点是关注学生的实践能力，探究精神和交流合作意识，强调过程性评价。