1一次函数的性质
一次函数的性质
一次函数的性质一次函数，又称为线性函数，是数学中最简单的函数之一。
它的表达形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a不为零。
一次函数在数学和实际生活中都具有重要的应用，它的性质是研究一次函数的基础。
本文将从几个方面探讨一次函数的性质。
函数图像一次函数的图像是一条直线。
图像的斜率a决定了函数的增减趋势和斜率的大小，而常数b则决定了函数图像与y轴的焦点位置。
斜率表示函数的变化速率，是函数图像的直角坐标系中的斜率。
斜率为正值时，函数图像向上倾斜；斜率为负值时，函数图像向下倾斜；斜率为零时，函数图像为水平直线。
零点和截距一次函数的零点是使得f(x) = 0的x值。
根据一次函数的定义，当f(x)为零时，有ax + b = 0，解得x = -b/a。
这个零点也称为函数的根或解，它决定了函数与x轴的交点。
另外，一次函数的y截距是指函数图像与y轴的焦点位置，即当x为零时的值，即f(0) = b。
函数的性质一次函数的性质有以下几个重要的特点：1. 增减性：一次函数的增减性由斜率a决定。
当斜率为正值时，函数随着x的增加而增加；当斜率为负值时，函数随着x的增加而减小。
2. 奇偶性：一次函数通常是奇函数，这意味着它满足f(-x) = -f(x)。
即函数图像关于原点对称。
3. 对称轴：一次函数的对称轴是y轴，这是因为斜率同号的点关于y轴对称。
4. 单调性：一次函数在定义域上是严格单调的，即函数图像要么是递增的，要么是递减的。
5. 零点和截距：一次函数的零点决定了函数与x轴的交点，而截距则决定了函数图像与y轴的焦点位置。
6. 切线方程：一次函数的切线方程可以通过对函数的斜率和截距进行求解。
切线是函数图像在某个点上的切线，斜率等于函数在该点的导数。
一次函数的应用一次函数在数学和实际生活中都有广泛的应用。
在数学上，一次函数是代数中的基础概念，它为后续复杂的函数提供了基本的理论基础。
在实际生活中，一次函数可以用来描述线性关系，如经济学中的成本和收益，物理学中的速度和位移等。
一次函数的图像和性质
课题 一次函数的图像与性质1、一次函数的图像的画法（1）画函数图像的三步：列表－描点－连线. （2）一次函数的图象是一条直线。
一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象是一条直线。
一次函数y=kx+b 也称为直线y=kx+b ，这时，我们把一次函数的解析式y=kx+b 称为这一直线的表达式。
（3）因为一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象是一条直线，根据“两点确定一条直线”的基本性质，画一次函数的图象时只需描出图象上的两个点，再作过这两点的直线即可。
2、一次函数的图像的性质（1）一次函数与x 轴交点的纵坐标为0，与y 轴交点的横坐标为0.（2）一次函数111(y k x b k =+、110b k ≠为常数，）与222(y k x b k =+、220b k ≠为常数，）的图像平行时，则12k k =。
反之，当12k k =时，两直线平行，且当12k k =，12b b =时，两直线重合。
（3）当一次函数111(y k x b k =+、110b k ≠为常数，）与222(y k x b k =+、220b k ≠为常数，）的图像的截距相同且不平行时，则12b b =，12k k ≠。
（4）一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）当k>0时函数值随着x 的增大而增大、减小而减小，即该函数为增函数；当k<0时函数值随着x 的增大而减小、减小而增大。
即该函数为减函数。
3、一次函数图像的平移一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象向上平移h 个单位后的函数解析式为y=kx+b+h;向下平移h 个单位后的函数解析式为y=kx+b-h 。
4、一次函数图像经过的象限示意图k 、b 的符号直线y=kx+b 经过的象限增减性一．基础练习：1.一次函数y=3x-6的图像是，它与x轴的交点坐标是，它与y轴的交点坐标是2.将直线y=x向下平移4个单位，得到直线3.将直线y=-3x-5向上平移4个单位，得到直线4.若直线y=3x-5与直线y=kx-4相互平行，则k=5.若直线y=-2x-5与直线y=6x+b相交于y轴上同一点，则b=6. 请你在不同的平面直角坐标系中画出下列函数的图像（1）y=2x+6 （2）1722 y x=+（3）4833y x=--（4）1344y x=--7,做一做：画出函数y=-2x+2 的图像，结合图象回答下列问题：（ 1 ）这个函数中，随着x 的增大，y 将增大还是减小？（ 2 ）当x 取何值时，y=0 ？当y 取何值时，x=0 ？（ 3 ）当x 取何值时，y>0 ？（ 4 ）函数的图像不经过哪个象限？8、完成下列各题：（1）下列函数中，y的值随着x的增大而减小的是（）A.y=2x-7B.y=0.5x+2C.y=(2-1)x+3D.y=-0.3x+1（2）函数y=4x-3中，y的值随着x值的增大而____（3）函数y=(2m-1)x+2的函数值随x的增大而减小，则m的值为______ （4）一次函数y=2x+4的图像上有两点A(3,a)，B(4,b)，请判断a与b的大小（5）y=x+5与y=2x-5的增减性（y 随着x 的增加而增加，还是随着x 的增加而减小）是否一样？（6）y=-2x+5与y=-2x-5的增减性是否一样？（7）A(a,6)和B(b,-2)在函数y=2x-5的图像上，请你判断a ，b 的大小关系 9、已知一次函数2(2)28y k x k =--+，分别根据下列条件求k 的值或k 的取值范围： （1）它的图像经过原点（2）它的图像经过点（0,－2）（3）它的图像与y 轴的交点在x 轴上方 （4）y 随着x 的增大而减小（5）这条直线经过一、二、三象限10、要使一次函数y=-3x+4的函数值大于4，求自变量x 的取值范围。
一次函数的定义及性质
一次函数的定义及性质一次函数，也被称为线性函数，是数学中最简单且最常见的函数之一。
它可以用以下一般形式表示：f(x) = ax + b，其中a和b是常数，且a ≠ 0。
在本文中，我们将深入探讨一次函数的定义及其性质。
一、定义一次函数是指形式为f(x) = ax + b的函数，其中a和b为常数，a ≠ 0。
其中，x是自变量，f(x)是函数的值，a称为一次函数的斜率，b称为一次函数的截距。
二、性质一次函数具有以下性质：1. 斜率：一次函数的斜率表示了函数图像在每单位自变量变化时的纵坐标的变化量。
斜率可以通过函数的解析式中的a来确定。
当a>0时，函数图像呈现上升的趋势；当a<0时，函数图像呈现下降的趋势；当a=0时，函数呈现一条水平线。
2. 截距：一次函数的截距是函数图像与y轴的交点，可以通过函数的解析式中的b来确定。
截距表示了当自变量为0时，函数取得的值。
3. 增减性：根据斜率的正负来判断一次函数的增减性。
当斜率a>0时，函数随着自变量的增大而增加；当斜率a<0时，函数随着自变量的增大而减小。
4. 零点：一次函数的零点是指函数图像与x轴的交点，即f(x) = 0的解。
根据一次函数的形式，当ax + b = 0时，可以求得x = -b/a，这就是一次函数的零点。
5. 定义域和值域：一次函数的定义域是所有实数集合R，即函数对于任意实数都有定义。
值域取决于斜率a的正负情况，当a>0时，值域为区间(-∞, +∞)；当a<0时，值域为区间(-∞, +∞)。
6. 对称性：一次函数具有x轴的对称性，即对于函数图像上任意一点(a, b)，如果(a, -b)也在图像上，则函数具有对称性。
7. 线性关系：一次函数表示了两个变量之间的线性关系，其中x是自变量，f(x)是因变量。
当自变量的增加导致因变量的相应增加时，我们可以说这两个变量呈正相关的线性关系。
总结：一次函数是一种简单但重要的数学函数，具有直线的特点。
一次函数的性质及应用
一次函数的性质及应用一次函数，也称为线性函数，是数学中较为简单而重要的函数类型之一。
它的一般形式可以表示为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，a 表示直线斜率，b 表示直线与 y 轴的截距。
一次函数在数学中有着广泛的应用，本文将介绍一次函数的性质及其在实际问题中的应用。
1. 一次函数的性质一次函数的性质主要包括直线斜率和截距的关系，直线的特殊情况以及函数图像的特点。
1.1 直线斜率和截距的关系在一次函数 y = ax + b 中，直线的斜率 a 决定了直线的倾斜程度，截距 b 决定了直线在 y 轴上的位置。
当 a > 0 时，直线向右上方倾斜；当 a < 0 时，直线向左上方倾斜；当 a = 0 时，直线平行于 x 轴。
截距 b 则表示直线与 y 轴的交点在 y 轴上的位置，当 b > 0 时，交点在 y 轴上方；当 b < 0 时，交点在 y 轴下方；当 b = 0 时，交点位于原点。
1.2 直线的特殊情况一次函数中存在两种特殊的情况，即水平和竖直线。
当直线平行于 x 轴时，斜率 a = 0，此时直线呈水平姿态。
水平直线的一般形式为 y = b，其中 b 为直线与 y 轴的交点在 y 轴上的位置。
当直线平行于 y 轴时，斜率不存在，此时直线呈竖直姿态。
竖直直线的一般形式为 x = c，其中 c 为直线与 x 轴的交点在 x 轴上的位置。
1.3 函数图像的特点一次函数的图像呈现直线的形式。
根据直线的性质，我们可以得出以下结论：a) 当a ≠ 0 时，直线是无限延伸的；b) 当 a = 0 时，直线是水平的，长度可能有限也可能无限；c) 当 b = 0 时，直线经过原点。
2. 一次函数的应用一次函数在实际问题中有着广泛的应用，其中包括数学、物理、经济等各个领域。
2.1 数学领域在数学中，一次函数常用于解决线性方程组的问题。
线性方程组可以通过一次函数的表示转化为直观易懂的图像，从而得出解的意义和解的性质。
一次函数的图象和性质(提高)知识讲解
= 300 −900
所以 s2 ＝300 t －900(6<t≤10)．
(2)李明返回时所用的时间为 (2100－900)÷(900÷6)＋900÷[(2100－900)÷(10－6)]＝8＋3＝11(分钟)． 因此，李明返回时所用的时间为 11 分钟．
【总结升华】从图象中获得点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．注意放学途中上 坡路程和下坡路程分别是上学时下坡路程和上坡路程．
在直线 l2 上，点 P2 (x2 , y2 ) 为直线 l1 、 l2 的交点．其中 x2 < x1 ， x2 < x3 则（ ）
A． y1 < y2 < y3 B． y3 < y1 < y2 C． y3 < y2 < y1 D． y2 < y1 < y3
【答案】A； 提示：由于题设没有具体给出两个一次函数的解析式，因此解答本题只能借助于图象．观察直
全体实数
过（0， b ）和（ − b ，0）点的一条直线 k
k >0
k <0
b>0
b<0
b>0
b<0
经过一、二、三 经过一、三、四 经过一、二、四 经过二、三、四
位置
象限
象限
象限
象限
趋势
从左向右上升
从左向右下降
函数 变化规律
y 随 x 的增大而增大
y 随 x 的增大而减小
3. k 、 b 对一次函数 =y kx + b 的图象和性质的影响：
∴k + b =1.
∴当 k = 1 时， b = 2 ， A(−2, 0) ；
3
3
当 k = − 1 时， b = 4 ， A(4, 0) .
中考复习-第13课时 一次函数的图象和性质
一 次 函 数
不等式： ③kx+b>0, ④kx+b<0.
豫考探究
► 类型之一 一次函数的图象与性质
命题角度： 1．一次函数的概念 2．一次函数的图象与性质
①③ 例1 在下列函数中，y是x的一次函数的有_____________. （填写序号）
5 ①y=2x; ②y= ; ③y=-3x+1; ④y=x2. x
y x b<0 y O x
一次 函数 y=kx+b (k≠0)
y O
图象经过一、 图象经过一、 二、三象限 三、四象限
性质
图象经过一、 二、四象限
图象经过二、 三、四象限
y随x的增大而增大
y随x的减小而减小
【注意】(1)正比函数性质只与k值有关，与b的取值无关．图象 过一、三象限k>0；图象过二、四象限k<0. (2)一次函数y=kx+b的图象可由正比例函数y=kx的平移 得到，b>0时，上移b个单位； b<0时，上移∣b∣个单位.
b , 0）的一条直线；正比例函数y=kx的图象是经过原点 点(0,b)，和点（ k
（0,0）和（1，k）的一条直线。 【注意】因为一次函数的图象是一条直线，所以由两点确定一条直线 可知画一次函数图象时，只要取两个点即可．
2．一次函数的性质
图象 K>0
正比例 函数 y=kx (k≠0)
K<0
y O b>0 x b<0 y x O x O b>0 y x O
坐标．
[解析] (1)将 x＝2，y＝－3 代入 y＝kx－4，用待定系数法求 解．(2)向上平移 6 个单位，即将(1)中的函数解析式中的常数项加 6.
一次函数概念、图象与性质
描点法步骤：首先确定两个点， 然后通过这两点绘制直线。通常 选择函数与坐标轴的交点作为描
点。
一次函数与x轴交点为(-b/k, 0)， 与y轴交点为(0, b)，其中k为斜
率，b为截距。
斜率对图象影响
斜率k决定了直线的倾斜程度。当k>0时，直线向右上方倾斜；当k<0时，直线向右 下方倾斜。
|k|的大小决定了直线的倾斜角。|k|越大，倾斜角越大，直线越陡峭；|k|越小，倾斜 角越小，直线越平缓。
边际收益分析
利用一次函数描述收益与 销量之间的关系，分析边 际收益。
边际利润决策
根据边际成本和边际收益， 确定最优产量和价格策略。
物理学中运动规律描述
匀速直线运动
通过一次函数表示位移与时间的 关系，描述匀速直线运动规律。
匀变速直线运动
利用一次函数表示速度与时间的关 系，分析匀变速直线运动过程。
自由落体运动
线性关系判断
判断方法
通过观察数据点是否大致分布在一条直线上来判断两个变量之间是否存在线性 关系。
线性关系特点
若两个变量之间存在线性关系，则它们的变化趋势是一致的，即当一个变量增 加时，另一个变量也相应地增加或减少。
02 一次函数图象绘制
直角坐标系中通过在直角坐标系中描点法绘
截距和斜率共同决定了直线的 位置和方向。不同的截距和斜 率组合可以得到不同的直线方 程和图象。
03 一次函数性质分析
单调性
一次函数在其定义域内具有单调性。具体来说，当一次函数的斜率k>0时，函数 在整个定义域内单调递增；当k<0时，函数在整个定义域内单调递减。
一次函数的单调性可以通过其图象直观地反映出来。在平面直角坐标系中，当 k>0时，函数的图象是一条从左下方到右上方的直线，表示函数值随x的增大而 增大；当k<0时，函数的图象是一条从左上方到右下方的直线，表示函数值随x 的增大而减小。
一次函数的性质
一次函数的性质一次函数是数学中一种基本的函数类型，也称为线性函数。
它的特点是函数图像为一条直线，表现出一种简单而直接的变化规律。
一次函数通常以 y = ax + b 的形式表示，其中 a 和 b 都是常数。
一次函数的性质有很多，接下来我们将逐一介绍。
1. 变化趋势：一次函数的图像为一条斜率恒定的直线，斜率的值决定了函数图像的变化趋势。
当斜率 a > 0 时，函数图像为上升的直线；当斜率 a < 0 时，函数图像为下降的直线；当斜率 a = 0 时，函数图像为水平直线。
2. 截距：一次函数的图像在 x 轴上与 y 轴相交的点分别称为 x 轴截距和 y 轴截距。
x 轴截距为负数的情况下，函数的图像位于 y 轴的左侧；x 轴截距为正数的情况下，函数的图像位于 y 轴的右侧。
3. 定义域和值域：一次函数的定义域是所有实数，即该函数对于任意实数值的 x 都有定义。
一次函数的值域是所有实数，即该函数可以取到任意实数值的 y。
4. 求解交点：一次函数与 x 轴的交点称为根，也就是函数图像与 x轴的交点；与 y 轴的交点称为解，也就是函数图像与 y 轴的交点。
求解根的方法是令 y = 0，并解出 x 的值；求解解的方法是令 x = 0，并解出 y 的值。
5. 判断与关系：对于两个不同的一次函数 f(x) = ax + b 和 g(x) = cx + d，若 a = c 且 b = d，则两个函数是相等的；若 a = c 且b ≠ d，则两个函数是平行的，它们的图像永远不会相交；若a ≠ c，则两个函数是相交的，它们会有一个交点。
6. 性质推广：一次函数的性质可以推广到更高维度的情况。
对于二维空间中的直线，它可以表示为三个一次函数形式的方程组，其中每个方程都有两个变量。
对于三维空间中的平面，它可以表示为三个一次函数形式的方程组，其中每个方程都有三个变量。
在实际应用中，一次函数常常被用于描述变化的趋势和规律。
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√
√
3.已知一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5，当m是什么数时，
函数值y随x的增大而增大？
解：∴由当题m意 12得时：，2函m-数1>值0，y随解x得的m增＞大12而增大. 4.已知一次函数y＝(1-2m)x＋m-1，若函数的图象经
过二、三、四象限，求m的取值范围.
解： 由题意得:
1-2m＜0 m-1＜0
2
这种现象?
观察与思考
x从小到大， y也从小到
大
y 2x4 y 1 x1 3
y x2
y 1 x 1 2
x从小到大， 而y从大到小
上升
下降 b决定与y轴的交点位置 k决定图象的上升或下降 观察这四条直线，你能说出直线y=kx+b的性质吗？
知识要点 一次函数y＝kx＋b的性质
当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左 到右上升；
当一个点在直线 y 1 x 1 上从左向右移动时， 3
自变量x与函数值y怎样变化？
点从左往右移动时，
y 2x 4
y 1 x 1 自变量x从小到大， 3 点的位置也在逐步从低
到高，函数y的值也从
●
小变到大
问：函数y＝2x－4是否也有这
种现象?
问题2 在同一直角坐标系中，画出函数 y＝ -x＋2 和函数
y y 3x 2 3
y 2 x 1 3
2
1
-3 -2 -1 O 1 2 3 x -1 -2
当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左 到右上升；
例2 画出直线 y x 2 和 y 3 x 1的图象，并分析图象的
特征.
2
y
4
3 y减少
2
思考：k,b的值跟图象 有什么关系？
1 x增大
k>0，b>0
k>0，b=0
k>0，b<0
k<0，b>0
k<0，b=0
k<0，b<0
课后作业
见《学练优》本课时练习
① b>0时，直线经过 一、二、四象限； ② b<0时，直线经过二、三、四象限.
当堂练习
1.某一个一次函数的图象位置大致如图所示，试分别确
定k和b的符号。
y
y
y
o
x
o
x
o
x
k < 0，b > 0
k >0，b< 0 k < 0，b = 0
2.若一个一次函数的图象经过第一、三、四象限，试
确定k和b的符号。 K>0，b<0
，解得
1 m1 2
∴ m的取值范围为 1 m 1
2
5.已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m图象与 y轴交点在x轴下 方，且y随x的增大而减小，其中m为整数，求m的值 .
解: 由题意得
3m 1 m
8 0
0，解得
1 m 8 3
又∵m为整数, ∴m＝2
课堂小结
一次函数的性质 1.一次函数的性质： 当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升； 当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降. 2.k决定图象的上升或下降，b决定图象与y轴的交点位置 3.一次函数的六种图象
-3 -2 -1 O 1 2 3 x -1
y x 2
-2
y 3 x 1 2
当k＜0时，y随x的增大而__减_小__，这时函数的图象从左 到右__下__降_．
归纳总结 一次函数y=kx＋b中，k的正负对函数图象有什么影响？
当k＞0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐上升，y随x的增大 而增大.
① b>0时，直线经过一、二、三象限； 当②k＜b0<时0时，，直直线线y=经kx过＋一b由、左三到、右四逐象渐限下. 降，y随x的增大 而减小.
当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到 右下降.
一次函数的图象
·
K>0
K > 0，b > 0
K > 0，b = 0
K > 0，b < 0
·
K<0
K < 0，b > 0
K < 0，b =0
K < 0，b < 0
典例精析
例1
画出直线
y
2 3
x
1
和 y 3x 2 的图象，
并分析图象的特征.
y
1 x 1 2
的图象
x 02 20
y=-x+2
x
0 -2
y 1 x 1 -1 0
2
y x 2
y 1 x 1 2
·
·
·
·
当一个点在直线 y=-x+2上从左向右移动时，自变量x与
函数值y怎样变化？
y x 2
●
y 1 x 1 2
点的位置在逐步从高到 低，函数y的值也从大变
到小
问：函数 y 1 x 1是否也有
优翼 课件
学练优八年级数学下（HS） 教学课件
第17章 函数及其图象
17.3 一次函数
3.一次函数的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.掌握一次函数的性质,理解k，b的符号与直线y=kx+b位 置之间的联系（重点）； 2.能应用一次函数的图象与性质解决有关问题（难点）.
导入新课
复习引入
1. 一次函数的一般式： y=kx+b（k，b为常数，k≠0）
2. 一次函数的图象是什么? 一条直线
讲授新课
一 一次函数的性质
问题1
在同一直角坐标系中，画出函数 y
1 x 1 3
和
函数y＝2x－4的图象.
y 2x 4
x 0 -3
y 1 x 1 3
1
0
x
02
y 1 x 1 3
Y=2x-4 -4 0