【高中数学】05函数图像的对称变换
掌握函数像的平移伸缩反转与对称
掌握函数像的平移伸缩反转与对称掌握函数图像的平移、伸缩、反转与对称函数图像的平移、伸缩、反转与对称是数学中常见的概念，对于理解和应用函数具有重要意义。
在本文中，我们将探讨如何掌握函数图像的这些变化，并给出相应的例子。
一、平移在函数图像中，平移是指将函数沿水平或垂直方向进行移动，而不改变其形状。
平移可以向左、向右、向上或向下进行。
1. 水平平移水平平移是指将函数图像沿水平方向移动。
如果函数图像为f(x)，则将f(x)替换为f(x ± a)，其中a为平移的距离。
例如，考虑函数f(x) = x^2，如果我们要将其向右平移2个单位，则可以得到新的函数f(x-2) = (x-2)^2。
这样，原来的顶点(0,0)将被平移至(2,0)，整个图像向右移动了2个单位。
2. 垂直平移垂直平移是指将函数图像沿垂直方向移动。
如果函数图像为f(x)，则将f(x)替换为f(x) ± a，其中a为平移的距离。
举个例子，考虑函数f(x) = x^2，如果我们要将其向上平移3个单位，则可以得到新的函数f(x) = (x-3)^2。
这样，原来的顶点(0,0)将被平移到(0,3)，整个图像向上移动了3个单位。
二、伸缩在函数图像中，伸缩是指通过改变自变量或因变量的尺度来调整函数图像的形状和大小。
1. 水平伸缩水平伸缩是指通过改变自变量的尺度来调整函数图像的形状和大小。
如果函数图像为f(x)，则将f(x)替换为f(bx)，其中b为伸缩的因子。
例如，考虑函数f(x) = x^2，如果我们将x的尺度缩小为原来的1/2，即令x' = 2x，则可以得到新的函数f(x') = (2x)^2 = 4x^2。
这样，原来的图像被水平方向上收缩了一倍。
2. 垂直伸缩垂直伸缩是指通过改变因变量的尺度来调整函数图像的形状和大小。
如果函数图像为f(x)，则将f(x)替换为af(x)，其中a为伸缩的因子。
举个例子，考虑函数f(x) = x^2，如果我们将y的尺度扩大为原来的2倍，即令y' = 2y，则可以得到新的函数f(x) = (x^2) * 2 = 2x^2。
函数的对称与平移变换
函数的对称与平移变换在数学中，函数的对称和平移变换是一种常见的数学概念。
通过对函数进行对称和平移操作，我们可以改变其形状、位置和性质，从而更好地理解和分析函数的特点。
本文将介绍函数的对称和平移变换的基本概念、性质及其在数学中的应用。
一、对称变换对称变换是指将函数绕某个轴线进行镜像翻转，使得函数在轴线两侧呈现完全对称的形状。
常见的对称轴包括x轴、y轴和原点。
1. 沿x轴对称：当函数关于x轴对称时，称之为沿x轴对称函数。
这意味着当函数中的任意一点(x, y)在曲线上时，点(x, -y)也在曲线上。
沿x轴对称的函数形状上下对称。
2. 沿y轴对称：当函数关于y轴对称时，称之为沿y轴对称函数。
这意味着当函数中的任意一点(x, y)在曲线上时，点(-x, y)也在曲线上。
沿y轴对称的函数形状左右对称。
3. 原点对称：当函数关于原点对称时，称之为原点对称函数。
这意味着当函数中的任意一点(x, y)在曲线上时，点(-x, -y)也在曲线上。
原点对称的函数形状在四个象限上对称。
对称变换不仅能够反映函数的对称性，还能够帮助我们简化函数的分析。
通过观察函数的对称轴和对称点，我们可以得到关于函数的重要信息，如函数的奇偶性、极值点和图像的对称性。
二、平移变换平移变换是指将函数沿着坐标轴的方向上平移一定的距离，从而改变函数的位置和形状。
平移变换可以是水平方向的平移（横向平移）或垂直方向的平移（纵向平移）。
1. 横向平移：当我们将函数沿着x轴的方向上移动a个单位，函数的数学表达式变为f(x-a)。
这个平移过程会改变函数图像在水平方向上的位置。
如果a为正数，函数图像会向右移动；如果a为负数，函数图像会向左移动。
2. 纵向平移：当我们将函数沿着y轴的方向上移动b个单位，函数的数学表达式变为f(x)+b。
这个平移过程会改变函数图像在垂直方向上的位置。
如果b为正数，函数图像会向上移动；如果b为负数，函数图像会向下移动。
平移变换不改变函数的形状，只是改变了函数图像在平面坐标系上的位置。
运用“对称变换”的思想方法解题-解析版--高中数学
运用“对称变换”的思想方法解题在中学数学中，对称的问题主要有以下4种形式:1.中心对称:①点关于点的对称；②曲线关于点的对称。
2.轴对称:①点关于直线的对称；②曲线关于直线的对称。
3.平面对称:①点关于平面的对称；②曲线关于平面的对称。
4.多项式对称:①一般轮换对称；②顺序轮换对称。
几何中的轴(面)对称和中心对称是最直观的对称，平面图形绕其内一定点旋转2πnn ∈N *的变换，也是常见的对称变换。
典型例题1定理一:函数y =f x 满足f a +x =f a -x 的充要条件是y =f x 的图像关于直线x =a 对称。
定理二:函数y =f x 满足f a +x -b =b -f a -x 的充要条件是y =f x 的图像关于点a ，b 成中心对称。
定理三:函数y =f x 满足F x =f x +a -f a 为奇函数的充要条件是y =f x 的图像关于点a ，f a 成中心对称(注:若a 不属于x 的定义域，则f a 不存在．依次解答如下问题:(1)设函数y =f x 的图像关于直线x =1对称，若x ≤1时，y =x 2+1，求x >1时y 的解析式；(2)若函数y =x 2+mx +1x的图像关于点0，1 中心对称，求m 的值；(3)已知函数f x 在-∞，0 ∪0，+∞ 上的图像关于点0，1 中心对称，且当x ∈0，+∞ 时f x =x 2+x +1。
根据定理二求出f x 在-∞，0 上的解析式；(4)设函数y =f x ，y =g x 在定义域R 上的图像都是关于点a ，b 中心对称，则对于函数y =f x +g x ，y =f x -g x ，y =f x ⋅g x 及y =f xg x ，指出其中一个函数的图像一定关于点成中心对称，再指出其中一个函数的图像可以不关于点中心对称，并分别说明理由；(5)讨论函数f x =x -23 x +53 +x -3 -2x -83的图像的对称性。
高中数学函数图象及其变换(动态图)
f ( x) x 2 x
2
知识点讲解
图像基本变换（翻折）
f ( x) y f ( x) y f ( x) f ( x)
f ( x) x2 2x
f ( x) 0 f ( x) 0
原图像x轴上侧不动，下侧的图像翻折到上侧
f ( x) x 2 2 x
f ( x) x2 2x
f ( x) x 2 2 x
知识点讲解
图像基本变换（对称）
y f ( x) y f ( x )
函数图像关于x轴对称
f ( x) x2 2x
f ( x) x 2 2 x
知识点讲解
图像基本变换（对称）
y f ( x) y f ( x)
图像与原图像关于y轴对称
y f ( x a)
f ( x
图像与原图像关于y轴对称
f ( x) sin( x)
2
) sin( x
2
)
知识点讲解
平移翻折变换
y f ( x) y f ( x a)(a 0) y f ( x a)
y sin x
知识点讲解
平移缩放变换（途径一） y f ( x) y f (kx a)(k , a 0)
纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍 图像向左平移a个单位 y f ( x) k y f ( x a) 1
y f (kx a)
纵坐标不变，横坐标变为原来的
1 倍 2
2
) sin(2x
2
)
知识点讲解
函数图像的变换(周期,平移,对称)
函数的变换（平移，对称，翻折，周期）【自主梳理】1．() (0)y f x a a =+>的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到．() (0)y f x a a =->的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到． 2．() (0)y f x b b =+>的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到．() (0)y f x b b =->的图象可由()y f x =的图象向 平移单位而得到． 3．() (0)y Af x A =>的图象可由()y f x =图象上所有点的纵坐标变为 ，不变而得到．4．() (0)y f ax a =>的图象可由()y f x =图象上所有点的横坐标变为 ，不变而得到． 【自我检测】1．若()f x 的图象过(0,1)点，则(1)f x +的图象过点 ． 2．函数2xy =的图象向右平移2个单位所得函数解析式为 ． 3．将函数lg()y x =-的图象 可得函数lg(1)y x =-+的图象．4．函数xy x a =-+的图象的对称中心为(1,1)--，则a = ． 5．将函数1cos 2y x =图象的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标扩大为原来的2倍，所得函数解析式为 ． 6．为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点向左平移 个单位长度，再向 平移个单位长度． 二、课堂活动： 【例1】填空题：（1）设函数()y f x =图象进行平移变换得到曲线C ，这时()y f x =图象上一点(2,1)A -变为曲线C 上点(3,3)A '-，则曲线C 的函数解析式为．（2）如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是．（3）要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos2y x =的图象． （4）若函数()2sin y x θ=+的图象按向量(,2)6π平移后，它的一条对称轴是4x π=，则θ的一个可能的值是．【例2】作出下列函数的图象．（1）12x y -= （2）211x y x +=-【例3】（1）函数()24log 12y x x =-+的图象经过怎样的变换可得到函数2log y x =的图象？（2）函数21cos cos 12y x x x =+⋅+的图象可由sin y x =的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【自主梳理】1．（1）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于 对称； （2）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于对称；（3）函数()y f x =--与()y f x =的图像关于 对称． 2．奇函数的图像关于对称，偶函数图像关于对称．3．若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()()f a x f b x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称． 4．对0a >且1a ≠，函数xy a =和函数log a y x =的图象关于直线对称．5．要得到()y f x =的图像，可将()y f x =的图像在x 轴下方的部分以为轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．6．要得到()y f x =的图像，可将()y f x =，[)0,x ∈+∞的部分作出，再利用偶函数的图像关于的对称性，作出(),0x ∈-∞时的图像．3．函数y e =-的图象与函数 的图象关于坐标原点对称．4．将函数1()2x f x +=的图象向右平移一个单位得曲线C ，曲线C '与曲线C 关于直线y x =对称，则C '的解析式为 ．5．设函数()y f x =的定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像的关系为关 于 对称． 6．若函数()f x 对一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，且方程()0f x =恰好有四个不同实根，求这些实根之和为 ． 二、课堂活动：（1（2）对于定义在R 上的函数()f x ，有下列命题，其中正确的序号为．①若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；②若对x R ∈，有(1)(1)f x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线1x =对称；③若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 是偶函数；④函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称．（3）将曲线lg y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到曲线C ．如果曲线C '与C 关于原点对称，则曲线C '所对应的函数式是．【例2】作出下列函数的图象：（1）12log ()y x =-；（2）12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）2log y x =；（4）21y x =-．【例3】（1）将函数12log y x =的图象沿x 轴向右平移1个单位，得图象C ，图象C '与C 关于原点对称，图象C ''与C '关于直线y x =对称，求C ''对应的函数解析式； （2）已知函数()y f x =的定义域为R ，并且满足(2)(2)f x f x +=-．①证明函数()y f x =的图象关于直线2x =对称；②若()f x 又是偶函数，且[]0,2x ∈时，()21f x x =-,求[]4,0x ∈-时()f x 的表达式．一.周期函数的定义：设函数y=f(x)的定义域为D ，若存在常数T ≠0，使得对一切x ∈D ，且x+T ∈D 时都有f(x+T)=f(x)，则称y=f(x)为D 上的周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期。
高中数学中的函数与图像对称性质与图形变换
高中数学中的函数与图像对称性质与图形变换在高中数学中，函数与图像的对称性质以及图形的变换是非常重要的概念。
这些概念不仅有助于我们理解数学中的抽象概念，还有助于我们解决实际问题。
本文将探讨函数与图像的对称性质以及图形的变换，并分析其在数学中的应用。
函数与图像的对称性质是指函数图像在某个特定操作下的不变性。
常见的对称性质包括轴对称和中心对称。
轴对称是指函数图像关于某条直线对称，而中心对称是指函数图像关于某个点对称。
这些对称性质在数学中的应用非常广泛。
例如，在解方程时，我们可以利用函数图像的对称性质来简化问题。
另外，在几何学中，对称性质也是研究图形性质的重要工具。
图形的变换是指将一个图形按照一定规则进行移动、旋转、翻转等操作，从而得到一个新的图形。
常见的图形变换包括平移、旋转和翻转。
平移是指将图形沿着平行于坐标轴的方向进行移动，旋转是指将图形按照一定角度进行旋转，翻转是指将图形关于某条直线进行镜像。
这些图形变换在数学中有着广泛的应用。
例如，在几何学中，我们可以利用图形变换来证明两个图形是否全等。
此外，在计算机图形学中，图形变换也是生成动画和模拟现实世界的重要工具。
函数与图像的对称性质和图形变换之间存在着密切的联系。
例如，我们可以利用函数图像的对称性质来进行图形变换。
具体而言，如果一个函数图像关于某条直线对称，那么我们可以通过将函数图像沿着该直线进行翻转来得到一个新的函数图像。
同样地，如果一个函数图像关于某个点对称，那么我们可以通过将函数图像沿着该点进行旋转180度来得到一个新的函数图像。
这些图形变换不仅可以帮助我们理解函数与图像的对称性质，还可以帮助我们解决实际问题。
除了函数与图像的对称性质和图形变换，高中数学中还涉及到其他一些与对称性质和图形变换相关的概念。
例如，我们可以通过函数的奇偶性来判断函数图像的对称性质。
具体而言，如果一个函数满足$f(-x)=-f(x)$，那么它是奇函数，其图像关于原点对称；如果一个函数满足$f(-x)=f(x)$，那么它是偶函数，其图像关于y轴对称。
高中数学函数图象的4种简单变换知识点总结(平移、对称、翻折、伸缩)
高中数学函数图象的简单变换知识点总结 高中阶段，函数图象的简单变换有：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换。
一、函数图象的平移变换①左右平移变换：()y f x =与()y f x a =+()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向左平移个单位时，向右平移个单位 如：1y x =+的图象可由y x =的图象向右平移一个单位得到； 1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
②上下平移变换()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向上平移个单位时，向下平移个单位 如：1y x =+的图象可由y x =的图象向上平移一个单位得到。
1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。
【注】变换的口诀为：“上加下减，左加右减”。
二、函数图象的对称变换①()()y y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象②()()x y f x y f x =−−−−−−−−−→=-作关于轴对称的图象 ③()()y f x y f x =−−−−−−−−−→=--作关于原点对称的图象 如：（i ）()sin sin y x y x ϕ=→=+①0ϕ>时，把sin y x =的图象向左平移ϕ个单位得到； ②0ϕ<时，把sin y x =的图象向右平移ϕ个单位得到；（ii ）已知()2f x x x =-，则()()2g x f x x x =-=+的图象可由()2f x x x =- 的图象做关于y 轴对称的图象得到；函数()h x ()2f x x x =-=-+的图象可由 ()2f x x x =-的图象作关于x 轴对称后的图象得到；函数()()u x f x =--= 2x x --的图象可由()2f x x x =-的图象做关于坐标系原点对称的图象得到。
05函数图像的对称变换
函数图像的对称变换函数y=f(x)与y=-f(x)、y=f(-x)及y=-f(-x)的图象分别关于x 轴、y 轴、原点对称例1、设xx f 1)(= (x>0)作出y=-f(x)、y=f(-x)及y=-f(-x)的图象。
横坐标不变，纵坐标取相反数 纵坐标不变，横坐标取相反数 横坐标与纵坐标都取原来相反数图象关于x 轴对称 图象关于y 轴对称 图象关于原点对称定理：y=f(m-x)由函数y=f(-x)向右平移m 个单位得到。
证明：由于y=f(m-x)=f[-(x-m)]，故可得知。
定理：y=f(m-x)与y=f(x-m)的图象关于直线x=m 对称。
证明：y=f(m-x ）由函数y=f(-x)向右平移m 个单位得到；y=f(x-m)由函数y=f(x)向右平移m 个单位得到，而y=f(x)与y=f(-x)关于y 轴对称，故y=f(m-x)与y=f(x-m)的图象关于直线x=m 对称。
1.设函数y=f （x ）定义在实数集R 上，则函数y=f （1﹣x ）与y=f （x ﹣1）的图象关于（ D ）A ．直线y=0对称B ．直线x=0对称C ．直线y=1对称D ．直线x=1对称2.若函数y=f （x ）的图象如图所示，则函数y=f （1﹣x ）的图象大致为（ A ） yA．B．C．D．3.已知函数f（x）的值域是[﹣2，3]，则函数f（x+2）的值域是（ D ）A．[﹣4，1] B．[0，5] C．[﹣4，1]∪[0，5] D．[﹣2，3]4.关于函数y=f（x）与函数y=f（x+1）的叙述一定正确的是（C ）A．定义域相同B．对应关系相同C．値域相同D．定义域、値域、对应关系都可以不相同5.函数y=1+的图象是（ A ）A． B．C．D．6.已知函数y=f（x）的图象与函数y=的图象关于原点对称，则f（x）=（B ）A．B．C．﹣D．﹣7.若函数y=f（x）的图象过点（1，1），则函数f（4﹣x）的图象一定经过定点（ C ）A．（1，3）B．（﹣5，1）C．（3，1）D．（1，﹣5）8.为了得到函数y=f（﹣2x）的图象，可以把函数y=f（1﹣2x）的图象适当平移，这个平移是（B ）A．沿x轴向右平移1个单位B．沿x轴向右平移个单位C．沿x轴向左平移1个单位D．沿x轴向左平移个单位9.已知函数f（x）=ax2+x（a为常数），则函数f（x﹣1）的图象恒过点（ D ）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，1）D．（1，0）10.函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y=e x关于y轴对称，则f（x）=（D ）A．e x+1B．e x﹣1C．e﹣x+1D．e﹣x﹣1由函数y=f(x)的图象作出y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象例2、作出函数y=|x2-2x-1|及y=|x|2-2|x|-1的图象。
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函数图像的对称变换
函数y =f (x )与y =-f (x )、y =f (-x )及y =-f (-x )的图象分别关于x 轴、y 轴、原点对称 例1、设x
x f 1)(= (x >0)作出y =-f (x )、y =f (-x )及y =-f (-x )的图象。
横坐标不变，纵坐标取相反数 纵坐标不变，横坐标取相反数 横坐标与纵坐标都取原来相反数
图象关于x 轴对称 图象关于y 轴对称 图象关于原点对称
定理：y =f (m -x )由函数y =f (-x )向右平移m 个单位得到。
证明：由于y =f (m -x )=f [-(x-m )]，故可得知。
定理：y =f (m -x )与y =f (x-m )的图象关于直线x=m 对称。
证明：y =f (m -x ）由函数y =f (-x )向右平移m 个单位得到；y =f (x-m )由函数y =f (x )向右平移m 个单位得到，而y =f (x )与y =f (-x )关于y 轴对称，故y =f (m -x )与y =f (x-m )的图象关于直线x=m 对称。
1.设函数y=f （x ）定义在实数集R 上，则函数y=f （1﹣x ）与y=f （x ﹣1）的图象关于（ D ）
A ．直线y=0对称
B ．直线x=0对称
C ．直线y=1对称
D ．直线x=1对称 2.若函数y=f （x ）的图象如图所示，则函数y=f （1﹣x ）的图象大致为（ A ） y
A．B．C．D．
3.已知函数f（x）的值域是[﹣2，3]，则函数f（x+2）的值域是（D）A．[﹣4，1] B．[0，5] C．[﹣4，1]∪[0，5]D．[﹣2，3]
4.关于函数y=f（x）与函数y=f（x+1）的叙述一定正确的是（C）
A．定义域相同B．对应关系相同C．値域相同D．定义域、値域、对应关系都可以不相同
5.函数y=1+的图象是（A）
A． B．C． D．
6.已知函数y=f（x）的图象与函数y=的图象关于原点对称，则f（x）=（B）A．B．C．﹣D．﹣
7.若函数y=f（x）的图象过点（1，1），则函数f（4﹣x）的图象一定经过定点（C）A．（1，3）B．（﹣5，1）C．（3，1）D．（1，﹣5）
8.为了得到函数y=f（﹣2x）的图象，可以把函数y=f（1﹣2x）的图象适当平移，这个平移是（B）
A．沿x轴向右平移1个单位B．沿x轴向右平移个单位
C．沿x轴向左平移1个单位D．沿x轴向左平移个单位
9.已知函数f（x）=ax2+x（a为常数），则函数f（x﹣1）的图象恒过点（D）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，1）D．（1，0）
10.函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y=e x关于y轴对称，则f（x）=（D）
A．e x+1B．e x﹣1C．e﹣x+1D．e﹣x﹣1
由函数y=f(x)的图象作出y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象
例2、作出函数y=|x2-2x-1|及y=|x|2-2|x|-1的图象。
y=|x2-2x-1|的图象。
分以y轴为对称轴向左翻折，即得
y=|x|2-2|x|-1的图象。
小结： 将y =f (x )的图象，x 轴上方部分不变，下方部分以x
轴为对称轴向上翻折
即得y =|f (x )|的图象；
将y =f (x )的图象，y 轴右方部分不变，以y 轴为对称轴将右方部分向左翻折即得y =f (|x |)的图象。
例3、如图为y =f (x )的图象，求作y = -f (x )，y =f (-x )， y =|f (x )|，y =f (|x |)的图象。
()y f x = )(x f y -= )(x f y -= )(x f y = )(x f y =
11.作出下列函数的图象：
（1）.22y x x =
+ （2）.322--=x x y
12若函数y=f （x ）的图象如图①所示，则图②对应函数的解析式可以表示为（ C ）A ．y=f （|x|） B ．y=|f （x ）| C ．y=f （﹣|x|） D ．y=﹣f （|x|） y x O x O x O x O x O
13.已知函数f （x ）的定义域为[a ，b]，函数y=f （x ）的图象如下图所示，则函数f （|x|）的图象是（ B ）
A ．
B ．
C ．
D ．
14.画出函数 |13|-=x y 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程 k x =-|13|无解？有一解？有两解？
K <0 K ≥1 0<K<1。