九年级数学上册_6.2_反比例函数的图象与性质(第1课时)学案
反比例函数的图像与性质学案
课时1反比例函数的图像与性质学习目标1．进一步熟悉用描点法作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象.（重点） 2．通过画函数图像能认识反比例函数的图象特点.（重点）3．体会函数的三种表示方法及相互转换，对函数进行认识上的整合，提升对数形结合思想的认识.（难点）预习导航1.任意写一个在第二象限的点的坐标：_________.2.直线y=-x+3经过第___________象限.3.已知矩形的面积为4，则它的长y 与宽x 之间的函数关系式为_____________,y 是x 的__________函数.4.若函数m x y 2=是反比例函数，则m=________.5.反比例函数xy 4=，经过点（1，__）. 知识点二 反比例函数图像的特点 【探究】观察函数x y 4=和xy 4-=的图像,他们有什么相同点和不同点?师生小结：(1) 函数x y 4=的两支曲线分别位于第象限内.函数xy 4-=的两支曲线分别位于第象限内.(2)反比例函数x ky =的图像在哪两个象限,由的值而确定.【猜想】反比例函数xky =的图像是由组成的.当k ＞0时，两支曲线分别位于第象限内，当k ＜0时，两支曲线分别位于第象限内.范例剖析例2反比例函数xy 5=的图象大致是（ ） A B C Dx分析：函数xy 5=的k 的值等于，根据反比例函数图像的特点可以判断此题的答案为。
跟踪训练2.（龙岩中考）函数y x m =+与(0)my m x=≠在同一坐标系内的图象可以是（ ）知识梳理课后反馈练习1．已知反比例函数的图象经过点(1，2)，则它的图象也一定经过（ ） A ． (1-，2-) B. (1-，2) C. (1，2-) D. (2-，1) 2．如图1—84，反比例函数ky x=的图象经过点A ， 则k 的值是（ ）A ． 2 B. 1.5 C. 3- D. 32-3．反比例函数 2k y x= (0≠k )的图象的两个分支分别位于 （ ）xA ．xB ．xC ．xD ． 反比例函数的图象与性质反比例函数图象的画法：列表、描点、连线反比例函数图象的特点①反比例函数ky x=的图象是由两支曲线组成的②当k ＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内； 当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。
九年级数学反比例函数的图像与性质(一)学案1
反比例函数的图象与性质导学案〔一 〕学习目标：使学生会作反比例函数的图象，并能理解反比例函数的性质。
学习重点:作反比例函数的图象 学习难点：理解反比例函数的性质。
学习过程：一、学习准备：1.任意写一个在第二象限的点的坐标：_________.2、反比例函数的表达方式有 、 、 .3、假设函数m x y 2=是反比例函数，则m=________.4、反比例函数xy 4=，经过点〔1， 〕. 5、函数有 种表示方法？它们分别是 、 、 。
6、作函数图像的一般步骤是 、 、 。
7、正比例函数y=kx (k ≠0)图像是经过 的 。
〔1〕当k > 0时，直线过 象限.， y 的值随x 值的增大而 。
(2) 当k < 0时，直线过 象限.， y 的值随x 值的增大而 。
二、教材解读：1、作反比例函数y=4x 的图象：列表：X－8－4－3－2－1－12…1212348y= 4x…描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点。
连线：用光滑的曲线顺次连结各点，即可得到函数y=4x的图象（1）〔2〕2、通过以上过程，你认为作反比例函数图象在列表、描点、连线时应注意什么问题？3、在〔2〕中作反比例函数y= －4x 的图象。
4、观察思考：函数y=4x 和y=－4x 的图象，它们有什么相同点和不同点？归纳得到：反比例函数y=kx 的图象是由 组成的。
〔1〕当k >0时，两支曲线分别位于第 象限.，在 内，y 的值随x 值的增大而 ，随x 值的减小而 。
(2)当k <0时，两支曲线分别位于第 象限.，在 内，y 的值随x 值的增大而 ，随x 值的减小而 。
三、过关练习：1、 (20xx 湖南邵阳)以下四个点中，在反比例函数y = －6x 的图象上的是( 〕A ．(3，－2)B ．(3，2)C ．(2，3)D ．(－2，－3)2、函数y=kx (k ≠0)的图象经过点A(7,2)，那么图象应分别在第____、___象限，k 的值是___。
反比例函数的图象和性质学案
汇报人：XXX
汇报时间：2024-01-22
目录
• 反比例函数基本概念 • 反比例函数图象绘制 • 反比例函数性质探讨 • 反比例函数在实际问题中应用举例
目录
• 典型例题解析与思路点拨 • 课堂小结与课后作业布置
01
反比例函数基本概念
定义与表达式
01
反比例函数定义
对称性及其证明过程
对称性
反比例函数的图象关于原点对称。即，如果点$(x, y)$在反比 例函数的图象上，那么点$(-x, -y)$也在图象上。
证明过程
设反比例函数为$y = frac{k}{x}$（$k neq 0$），对于任意 点$(x, y)$，有$y = frac{k}{x}$。则对于点$(-x, -y)$，有$-y = -frac{k}{x} = frac{k}{-x}$，即点$(-x, -y)$也满足反比例函 数的定义，因此图象关于原点对称。
在某些工程问题中，力与距离之间可能存在反比关系。例如，在弹性力
学中，弹簧的伸长量与所受的力成反比。因此，可以利用反比例函数建
立力与距离之间的关系模型进行求解。
05
典型例题解析与思路点拨
典型例题选讲及思路分析
01
例题1
已知反比例函数 $y = frac{k}{x}$（$k neq 0$），当 $x = 2$ 时，$y = 3$，求该反
图象关于原点对称。
03
反比例函数性质探讨
增减性与单调性判断
增减性
反比例函数在其定义域内不具备单调性。当$x$从负无穷大增加到0，函数值从负 无穷大增加到正无穷大；当$x$从0增加到正无穷大，函数值从正无穷大减小到0 。
单调性判断
反比例函数的图像与性质一
1、反比例函数的图象是由两支组成。当 时，两支曲线分别位于第象限内，当 时，两支曲线分别位于第象限。
2、反比例函数的图象既是对称图形，又是对称图形。
四、巩固练习A组
1、下列反比例函数的图象位于第一、三象限的有：；
图象位于第二、四象限的有：；
①、 ②、 ③、 ④、 （k为常数）
2、如图：函数的图象大致是（）；若x＞0,则选（）
课后反思
3、若反比例函数的图象过点（4，-7）,则此函数的图象位于第__象限。
4、如图：这是某个同学画反比例函数图象时，列的表格，你通过表格能判断出此函数的图像位于第象限。
X
……
-2
-0.5
2
18
……
……
3
12
- 3
……
(巩固练习B组)
1、若反比例函数的图象位于第一、三象限，则m的取值范围。
2、已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则a=。
九年级数学教学案——6.2反比例函数的图象与性质（第一课时）授课人：王玲玲
教学目标：
1、经历探索反比例函数图像的过程
2、理解K值的正负与反比例函数图像位、、。
二、 新课讲授：
例1、作反比例函数的图象
…
-8
-4
-3
-2
-1
…
…
1
2
3
4
8
…
…
…
针对练习：（见练习题答题纸）
3、若函数的图象过点（-5，2）（1，m）则m=
函数的图象位于第象限。
4、反比例函数的图象，位于第二、四象限，
则k的取值范围为。
课后作业：
必做题：《新课堂》第124—126页1—11题
9.2反比例函数图像和性质(1)学案
§9.2.1反比例函数的图像及其性质(1)班级__________姓名_________学号_________基础与巩固1． 一般，反比例函数()0k y k x=≠的图像由_____________组成，叫做__________.2． 画反比例函数的图像用_______法.步骤为：_______、______、________. 3． 反比例函数()0k y k x=≠的图像必经过点__________和点____________. 4．当k >0时，函数k y x=的图像在第_________象限；当k <0时，函数k y x=的图像在第_________象限；5．下列图像中可能是反比例函数k y=的图像的有几个（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、0个 61)7．分别在坐标系中画出它们的函数图象。
（1）2y x= （2）12y x=-xyOxyO拓展与延伸 8．（1）反比例函数21k y x+=的图像位于第_____________象限。
(2) 反比例函数1a y x-=的图像位于第一、三象限，那么常数a ___________。
9.已知圆柱体的侧面积为80πcm 2,若圆柱底面半径为r(cm),高线长为h(cm),则h 关于r 的函数的图象大致是 ( )的函数，根据表格所给信息完成下列问题： ② 这个函数是什么函数； ③ 画出该函数的图像。
11．已知直角三角形的面积为24c 2m ,两条直角边的长分别为x(cm)与y(cm).①写出y(cm)与x(cm)之间的函数关系式；②结合实际情况，请写出自变量的x 的取值范围； ③画出该函数的图象.④当x 等于多少时，该直角三角形是等腰直角三角形。
xyOAo h rBo h rCo h rDo h rxyO。
九年级数学上册 5.2 反比例函数的图象与性质(第一课时)教学设计 (新版)北师大版
九年级数学上册 5.2 反比例函数的图象与性质（第一课时）教学设计（新版）北师大版一、学生知识状况分析学生在学习本节课之前已经学习过一次函数，具备了研究函数的基本技能，了解了研究函数的一般过程。
一次函数的图象是线性的，并且是无间断连续的，学生在本节课将遇到作非线性函数的图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成，需要考虑自变量的取值范围，在理解上有一定的困难。
二、教学任务分析本节课的内容是反比例函数的图象与性质，旨在进一步熟悉作函数图象需要注意的问题。
理解函数的三种表示方法及相互转换，逐步明确研究函数的一般要求，反比例函数的图象具体展现了反比例函数的整体直观形象，为学生探索反比例函数的性质提供了思维活动的直观工具，通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数自身的规律，在相互交流中锻炼从图象中获取信息的能力，同时可以使学生更牢固地掌握由他们自己发现的反比例函数的主要性质.（一）知识目标：1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象.2.体会函数的三种表示方法的互相转换.对函数进行认识上的整合.3.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质.（二）能力训练目标通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力；通过观察图象，概括反比例函数的有关性质，训练学生的概括、总结能力.（三）情感与价值观目标让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲.教学重点：画反比例函数的图象；并从函数图象中获取信息，探索并研究反比例函数的主要性质. 教学难点：反比例函数的图象特点及性质的探究.教学方法：引导发现法、讨论法.教具准备：多媒体课件、幻灯片三、教学过程分析本节课设计了八个教学环节：第一环节：设疑激思复习引入；第二环节：合作探究发现问题；第三环节：巩固新知夯实基础；第四环节：观察思考再探新知；第五环节活学活用巩固提高；第六环节挑战自我能力提升；第七环节分层达标课后延伸；第八环节归纳总结纳入系统.第一环节：设疑激思复习引入教师幻灯片展示下列问题：1.当初我们从哪些方面研究了一次函数？2.画一次函数图象的步骤是什么？3.借助图象我们研究了一次函数的哪些性质？目的：通过对上面问题的回答，使学生回顾研究一次函数的过程，类比研究一次函数的思路，来研究反比例函数.效果：通过对问题的回答，激起学生对函数研究的兴趣.第二环节：合作探究发现问题教师引导学生类比着画一次函数图象的过程来尝试画出反比例函数4yx的图象.教学策略：小组内交流：教师在巡视过程中，当发现大部分学生完成时，让同学们先在小组内进行互查、互批，让小组长汇总各小组出现的问题或不足；全班交流：小组代表发言，谈一下各小组内在画图过程中存在哪些问题，教师组织、指导学生对各组情况和问题进行汇总。
反比例函数的图像和性质全章学案
17.1.2 反比例函数的图象与性质（第1课时）【学习目标】1．了解反比例函数图象的意义 2．能用描点的方法画出反比例函数的图象 【教学过程】（一）自主学习，完成练习1.复习：画函数图象的一般步骤有哪些？应注意什么？ 、 、2.反比例函数图象是 例2 画出反比例函数xy 6=和x y 6-=的图象.解:列表表示几组x 与y 的对应值(填表)注意：（1）列表取值时，x ≠0，因为x ＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y 值（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线（4）由于x ≠0，k ≠0，所以y ≠0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴。
（四）巩固练习 1、画出反比例函数4y x =和4y x=-的图象总结反比例函数的图像与性质： 的取值范围的增大而增大 5.已知y 与x+2成反比例函数，当x=4时，y=1.（1）求这个函数的解析式；（2）当x=0时，求y 的值。
（五）课堂小结描点连线：17.1.2 反比例函数的图象与性质（第2课时）【学习目标】通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质 【教学过程】（一）自主学习，完成练习1、复习：正比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象是什么？其性质有哪些？一次函数呢？2、归纳（1）反比例函数xky =（k 为常数，0≠k ）的图像是 ； （2）当0>k 时，双曲线的两支分别位于第 象限，在每个象限内y 值随x 的增大而 ； （3）当0<k 时，双曲线的两支分别位于第 象限，在每个象限内y 值随x 的增大而 。
x3、函数30y x =-的图象在第________象限，在每一象限内，y 随x 的增大而_________.4、函数y xπ=，当x>0时,图象在第________象限，y 随x 的增大而_________.5、已知反比例函数xky -=3，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围 （1）函数图象位于第一、三象限。
6.2.2 反比例函数的图像和性质
课题：6.2.2 反比例函数的图象与性质课型：新授课年级：九年级教学目标：1．会画出反比例函数的图象，能根据图象探索并理解反比例函数的主要性质．2．提高观察和归纳分析能力，体验数形结合和分类讨论的数学思想．会运用数形结合的思想方法解决反比例函数的有关问题．教学重点与难点：重点：探索反比例函数的主要性质.难点：理解反比例函数性质的探索过程，从“数”和“形”两方面综合考虑问题．课前准备：多媒体课件、三角板．教学过程：一、感悟导入活动内容：回答下列问题.问题1.下列函数中，哪些是反比例函数？问题3. 你知道反比例函数的图象还有哪些特点吗？反比例函数还有其它的性质吗？处理方式：问题1由学生口答,并说出理由，借以复习反比例函数的定义；问题2让学在具体问题中加深对反比例函数定义以及图象的再认知．师及时给予指导纠错，再通过问题3引入本节课的内容．设计意图：反比例函数的定义以及函数图象的特点，是继续进行本节内容学习的重要知识储备．本环节避免单纯的复习定义以及对知识的简单复述，力图通过具体问题，让学生在解决问题的过程中加深对知识本身的理解，培养学生的空间想象能力和对知识的实际运用能力．二、自主探究活动内容1：探究反比例函数图像的增减性（k＞0）观察反比例函数2yx=，4yx=，6yx=的图象，你能发现它们的共同特征吗?（1）函数图象分别位于哪几个象限内？（2）在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？处理方式：让学生课前预习并画好函数图像，课上由教师展示，让学生自主观察所画图像，并结合问题探究得出反比例函数性质.学生有可能总结为：当k＞0时, y的值随x值的增大而减小.这时教师可以提示：这样不够严谨，应强调“在每一个象限内”这个前提条件.然后动画演示几何画板课件,并总结结论: 当k＞0时,图象的两个分支分别在第一、三象限内，在每一象限内，y的值随x的增大而减小．（借助于下图进行说明）设计意图: 学生通过观察比较，总结出三个反比例函数图象的共同特征,在活动中放手让学生去观察，去类比，去感受，去总结，实现学生主动参与，探究新知的目的,培养学生“以图识性、以性画图”的能力；及时的小结有助于理清思路，培养学生的归纳能力和语言表达能力.活动内容2：探究反比例函数图像的增减性（k<0）处理方式：前面已经对0k >时，反比例函数图象的特征进行了分析，此处可以完全放手给学生，让学生观察课前预习时画好的函数图像，通过类比，分析、归纳、概括出0k <时图象的共同特征，教师只需进行适时的点拨．由于上面在总结k ＞0时的性质时，强调了“在每一象限内”，所以在总结k ＜0的性质时，学生比较容易想到“在每一象限内”.设计意图:通过对0k <时反比例函数图像特征的探究，培养学生利用数形结合探究问题的意识，发展学生类比分析问题的能力，使学生在知识上更加完善，在能力上逐步提高．活动内容3：归纳性质从具体问题的分析进一步上升到理性的概括、归纳．教师要鼓励学生大胆表述自己的想法，语言即使不规范、不完整，教师也要给以充分的肯定、表扬，在讨论、交流的基础上使语言更加完善．最后由教师板书：当k ＞0时,在每一象限内，y 的值随x 值的增大而减小；当k ＜0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而增大.设计意图：本环节主要是将知识进行系统的归纳、概括，通过讨论、交流，形成完整、规范的结论，可以培养学生的语言表达能力和对知识的归纳、概括能力．三、巩固新知活动内容：做一做.y 随x y 随x2. 的增大而增大，则m 的取值范围3.点1,1()A x y ，2,2()B x y 1,2y y 的大处理方式：让学生独立完成，然后小组交流，再选派代表进行讲解，力争让所有学生都积极地投入到知识的学习中．设计意图：通过几个小题目的练习，及时运用、巩固所学的知识，使学生加深对反比例函数性质的理解．问题3是一道易错题，不仅考察了性质中的“在每一象限内”这一条件，并且还蕴含着分类讨论思想，可以拓展学生思维的广度和深度．课堂上以小组合作讲解的形式，让每个学生都融入到表达与倾听中，可以调动每个学生的主观能动性．四、合作竞学活动内容：探究k 的几何意义 (课件展示问题)问题1. 如图1，在反比例函数xy 2=的图象上任取一点P ，过点P 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为多少?图1 图2问题2. 如图2， 在反比例函数xk y =的图象上任取一点P ，过点P 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为多少?图3 图4问题3. 如图3，在反比例函数xk y =图象上任取两点P 、Q ，过点P 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为1S ；过点Q 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为2S ，1S 与2S 有什么关系? 为什么?问题4. 如图4，在反比例函数xk y =的图象上任取点P ，过点P 作PF ⊥x 轴于F ，△OPF 的面积又是多少呢? 为什么?处理方式：（1）鼓励学生先独立思考,然后以小组为单位,讨论分析,动手计算，总结小组成果.教师一边巡视,一边加入到各个小组的学生讨论中. 四个问题层层推进，让不同层次的学生都有事可干．（2）充分讨论后可由学生讲解，教师进行方法的总结和点拨．在探究的基础上，对于一般的反比例函数xk y =，充分利用小组成员间的合作，探究、归纳出一般性的结论——矩形面积总等于k ，三角形的面积总等于k 21．（3）利用几何画板软件通过拖动改变P 点位置（如下图），直观感受所得结论的正确性．可以发现矩形与三角形的面积是一个定值，加深学生对所得规律的理解．设计意图: 课本中只给出了问题3. 考虑到如果直接探究函数xk y =，对于有些学生来说有一定的困难，所以为了突破这一难点，我先给出简单的反比例函数xy 2=，在探究了这个具体函数的基础上，再由特殊到一般，进一步探究xk y =，符合学生的认知规律．最后通过几何画板的动画演示，让学生更直观地理解矩形和三角形的面积与比例系数K 的对应关系，向学生渗透数形结合的思想方法.五、反思总结活动内容：本节课你学到了反比例函数的哪些新知识?你有哪些感悟和收获？你还有什么困惑？处理方式：先由学生自由发言，畅谈收获．师引导学生对自己的学习过程进行提炼、反思，从知识上和方法上进行总结．最后课件展示以下表格，通过对比形式，引导学生小结正比例函数、反比例函数的性质．设计意图：小结能使学生养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．小结还能引导学生关注数学的学习过程，通过交流、反思，倾听其他同学的感悟和收获，可以取长补短，共同提高．六、布置作业必做题：课本157页，习题6.3第1题、第2题、第3题．。
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③ 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到函数 y =
x 4
的图象。
6.2 反比例函数的图像与性质（1）学案
准备知识：
1. 下列函数中哪些是反比例函数？
① y=3x-1 ② y=2x 2
③ y=
x 1 ④ y=3
2x ⑤ y=3x ⑥ y= -x 1 ⑦ y=x 31 ⑧ y=x
23
2. 一次函数的一般形式是 （ k 0），其图像是 。
反比例函数的一般形式是 （ k 0）.
3. 作函数图象的一般步骤是 ， ， 。
自学提示： 1. 作反比例函数 y =x
4
的图象 解①列表
② 描点
思考：
① 反比例函数图象是什么形状？
② 画反比例函数图象应该注意的问题是什么？
解：① 列表
②
③
思考：观察y=
x 4
和y= x
- 的图象的形状和位置，有什么相同点和不同点？ 3. 作反比例函数 6
y x
= 的图象
解：① 列表
②
③
解：① 列表
② ③
5．思考： 看图象想一想：反比例函数图象是中心对称图形吗？如果是，请找出对称中心.反比例函数图
象是轴对称图形吗?如果是，请指出它的对称轴.
巩固练习：
1. 下列四个点，在反比例函数6
y x
=
图象上的是（ ） A ．(1，6-) B ．（2，4） C ．（3，2-） D ．（6-，1-)
2. 下列函数中，图象位于第一、三象限的有 . （填序号）
①x y 21=
②x y 1.0= ③x y 2-= ④x y 1007
-= 3. 函数x k
y =的图象经过点(1，2)，则k 的值为____________．
4. 若x
k
y =的图象分别位于第二、第四象限，则k 的取值范围是 .
5. 已知反比例函数x m y 2
3-=，当______m 时，其图象的两个分支在第一、三象限内；
6. 若反比例函数x
k y 3
-=的图象位于一、三象限内，正比例函数x k y )92(-=过二、四象限，则k 的整数
值是________。
6.。