选修2-2导数及其应用优质课件：定积分的简单应用
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(人教)高中数学选修2-2课件1.7.2定积分的简单应用
1.7.2定积分在物理中的应用预习导引重点难点1・变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程S,等于其速度函数v=v(O(v(O三0)在时间区间00］上的定积分，即思考:利用定积分求变速直线运动物体的路程和位移时，如何区分位移和路程？一物体在恒力F(单位:N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s(单位:m),则力F所做的功为____ :.(2)变力F(Q的做功公式如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从兀="移动到x=b(“vb),那么变力F(x)所做的功为厂______ :课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE交流2 思考:求变力做功问题的关键是什么?课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 问题导学当堂检测一、求变速直线运动的路程E2活动与探究求变速直线运动的物体在时间区间由，切上的路程S课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU 时尸广v(r)d?课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 问题导学当堂检测正确吗?课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU当堂检测______ I例1 一质点在直线上从时刻QO(s)开始以速度v=r-4r+3(m/s)运动,求点在匸4 s时的位置及经过的路程.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测又\v(r)=r2-4r+3=(M)(r-3),/在区间［0,1 ］及［3,4］上的v(t)三0, 在区间［1,3］上，叩）W0. ••在t=4 s时的路程为(几4丫+3)&+|『t2-4t+3)dt| +『(t2-4t+3)dt =f^ (?-4z+3)dr-J13 (r-4z+3)d?+J^ (r-4r+3)dr =4(m).课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIUS3迁移与应用若某一物体以速度v(0=4-r2做直线运动,求它在t=l到?=4这段时间内的路程.问题导学当堂检测------------- 名師修津----------------物体做变速直线运动的速度叫等于加速度函数a=a(t)在时间妝切上的定积分;物体做变速直线运动经过的位移s,等于其速度函数v= v(r) 在时间区间［"0］上的定积分.用定积分解决简单的物理问题时，关键是要结合物理学中的相关内容，将物理意义转化为用定积分解决.问题导学当堂检测二、求变力做功吧活动与探究当力F的方向与运动方向夹角为0时，怎样求力F所做的功?课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUEKETANG HEZUO TANJIU----- 例2由胡克定律知，把弹簧拉长所需要的力与弹簧的伸长 量成正比，现知2 N 的力能使一个弹簧伸长3 eg 试求要把弹簧拉伸0.4 m 所做的功.当堂检测问题导学当堂检测唸迁移与应用1・已知弹簧拉长0.02 g需要98 N的力，则把弹簧拉长到0.1 m所做的功为（）A.24.5 JB.23.5 JC.22.5 JD.25.0 J问题导学当堂检测2•在原点O有一个带电量为+g的点电荷，它所产生的电场对周围电荷有作用力•现有一个单位正电荷从距离为0处沿着射线方向移至距O点为b@<b）的地方，求电场力做的功.（电场力F = /c・卷（k为常数））问题导学当堂检测------------- 名師❷障---------------- 由于力F的大小随物体的位置变化而变化,因此将其记为F(Q,F(Q 在［G0］上所做的功W=f^ F(x)(k・要解决好变力做功问题,必须熟悉相关问题导学当堂检测的物理知识，正确写出被积函数.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 当堂检测2问题导学1 •物体以速度v(?)=3?-2r+3做直线运动，它在t=0到匸3这段时间内的位移是()A.9B.18C.27D.362•物体以速度v(?)=2-f 做直线运动，则它在t=l 到t=3这段时间的路程为 ()问题导学3•做直线运动的质点在任意位置兀处，所受的力F(x)=l+e^则质点沿着 与F(x)相同的方向，从点x 1=0处运动到点x 2=l 处，力F(x)所做的功是 () 1A. 1+eB.eC -D.e-1问题导学4•如果1 N 力能拉长弹簧1 cm,为了将弹簧拉长6 eg 所耗费的功为问题导学5•质点做直线运动,其速度叩）=汽2丫+1（单位:凶3）・则它在第2秒内所走 的路程为 ・问题导学£_© _________。
高中数学选修2-2定积分在物理中的应用课件
4、 一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，底半径为3米，池内盛满了水全部吸出，需作多少功？
解：建立坐标系如图
取x为积分变量，x [0,5]
取任一小区间[ x, x dx],
这一薄层水的重力为 9.8 32 dx
功元素为 dw 88.2 x dx,
5
w 0 88.2 x dx
88.2
所对应的薄层的体积用圆柱体体积代替,得到
0 x
x dx
Ry
x
新知探究
dV = πy2dx = π(R2 - x2 )dx.
由于将这一薄层水吸出是这一薄层水的重力在作功，设水的比重为 γ = 1, 所以功的元素为
dW = γπx(R2 - x2 )dx
(3) 求定积分：将满池水全部抽出所作的功为
W = R γπx(R2 - x2 )dx = π R x(R2 - x2 )dx = π R4
答：克服弹力所作的功为
. 1 kl2(J) 2
Q
l
F
新知探究
万有引力定律
两个质量分别为 m1 , m2 ，相距为 r 的质点间的引力
F
k
m1m2 r2
若要计算一细长杆对一质点的引力，此时由于细杆上各点与质点的距离是变化的，所以不能直接 利用上述公式计算.
新知探究
例3
设有一长为 l 质量为 M 的均匀细杆，另有一质量为 m 的质点和杆在一条直线上，它到杆
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用
定积分在物理中的应用
课前导入
定积分的物理应用包括作功、水压力和引力等问题。本节仅给出作功、水压力和引力问题的例子. 定积分的物理应用包括变速直线运动作功、水压力和引力等.本节仅给出变速直线运动作功、水 压力和引力问题的例子.
4.2.2 定积分的简单应用 课件(北师大版选修2-2)
【解析】根据定积分的几何意义可知 D 正确.
导.学. 固. 思
2
由 y=x2,x=0 和 y=1 所围成的平面图形绕 x 轴旋转所 得的旋转体的体积可以表示为( B ).
A.V=π 0 ( ������ ) ������������ B.V=π C.V=π D.V=π
1 2 2 2 [ 1 -(������ ) ]������������ 0 1 2 2 ( ������ ) ������������ 0 1 2 2 ( 1 ������ )������������ 0 1 2
������
导.学. 固. 思
问题3
如图,当 x∈[a,b]时,若 f(x)>g(x)>0 时,由直线 x=a,x=b(a≠b)和曲线 y=f(x),y=g(x)所围成的平面 ������ 图形的面积 S= ������ [ ������(������)-������(������)]������������..
x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲 ������ 边梯形的面积 S= ������ (������)������������ .
������
问题2 当 x∈[a,b]时,若 f(x)<0,由直线
x=a,x=b(a≠b),y=0 ������和曲线 y=f(x)所围成的曲 边梯形的面积 S= ������ (������)������������ .
4.2.2
定积分的简单应用
导.学. 固. 思
1.会根据定积分的几何意义建立求简单平面图形面积的
数学模型,并能利用积分公式表进行计算.
2.会根据定积分概念形成过程中的基本思想分析求简单 旋转体的体积问题,建立它的数学模型,并能利用积分公式表 进行计算. 3.通过积分方法解决实际问题的过程,体会到微积分把
2020版人教A版数学选修2-2___第一章 导数及其应用 定积分在几何中的应用
的函数的差的定积分.
知识梳理
【做一做2】 用S表示图中阴影部分的面积,则S的值是 ( )
A. B.
������ ������ ������ ������
������(x)dx f (x)d������
C.
������ ������
������(x)dx+
������ ������
������(x)dx
S=S(t)
=
4 3
������3-������2
+
13,0<t<1,
则
S'(t)=4t2-2t,解方程
4t2-2t=0,得
t1=0(舍去),������2
=
1.
2
当t变化时,S'(t)与S(t)的变化情况如下表:
1
1
1
t
0, 2
2
2 ,1
S'(t)
-
0+
S(t)
↘
1 ↗
4
由表知,当
t=
1 2
时,S(t)取极小值
曲线
y=x2(x≥0)以及
x
轴所围成的图形面积为
1 12
,
试求切点A
的坐
标以及过切点A的切线方程.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:如图,设切点A(x0,y0),
由y'=2x,则过点A的切线方程为y-y0=2x0(x-x0),
即 y=2x0x−������02.
令 y=0,得 x= ������0 , 即������ ������0 ,0 .
由 y2=8x(y≥0)可得 y= 8������,
高中数学选修2-2定积分在几何中的应用课件
的交点为 (0, 0)
取x为积分变量, 则 x [0, 3].
所求的几何图形的面积表示为
A 3 ( x2 3x)dx 0
A 3 ( x2 3x)dx 9.
0
2
= 2
2
3
x2
3
4 0
+
2
2 3
3
x2
8 4
-
1 2
x-4 2
8 4
= 40 3
新知探究
例3
计算由曲线 y = x3 6x 和 y = x2 所围成的图形的面积.
首先画出草图，并设法把所求图形的面积问题转化为求两部分的面积问题.其次，确定被积函数 和积分的上、下限.
新知探究
由图可知，我们需要把所求图形的面积分成两部分 S1和S2 .需要求出曲线 y = x3 - 6x 、曲 线 y = x2 两个交点.
n
i =1 b
F = lim f λ →0 i=1
ξi Δxi =
f
a
x dx
新知探究
平面图形的面积 直角坐标系 设平面图形由上下两条曲线y=f上(x)与y=f下(x)及左右两 条直线x=a与x=b所围成.
新知探究
在点x处面积增量的近似值为 [f上(x)-f下(x)]dx, 它也就是面积元素. 因此平面图形的面积为
极坐标方程的情形
设由曲线 r = φθ 及射线 θ = α、θ = β 围成一曲边扇形， 求其面积.这里 φθ 在 α，β 上连续，且 φθ≥0 .
曲边扇形面积元素 dA = 1 [φ(θ)]2 dθ 2
d
r ( )
d
曲边扇形的面积公式 A = β 1[j(θ)]2 dθ. α2
o x
2016-2017学年人教A版选修2-2 1.7 定积分的简单应用课件(26张)
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第一章
导数及其应用
名师一号 ·新课标A版数学 ·选修2-2
∴在t＝4s时的路程为
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第一章
导数及其应用
名师一号 ·新课标A版数学 ·选修2-2
题型三
求变力所做的功
例3 设有一长为25cm的弹簧，若加以100N的力，则弹 簧伸长到30cm，求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功． 分析 因为弹簧的力是一个变力，所以不能用常规的方 法求解，需用定积分去求解．
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第一章
导数及其应用
名师一号 ·新课标A版数学 ·选修2-2
解 由已知得
1 49 答：物体在[ ，0)时间段内的运动路程为 . 2 4
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第一章
导数及其应用
名师一号 ·新课标A版数学 ·选修2-2
题型二 利用定积分解实际问题 例2 设A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B 站，电车开出ts后到达途中C点，这一段加速度为1.2m/s2， 到C点速度达24 m/s.从C点到B站前的D点以等速行驶，从D
规律技巧 积分是位移．
加速度函数的定积分是速度，速度函数的定
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第一章
导数及其应用
名师一号 ·新课标A版数学 ·选修2-2
变式训练1 一物体作变速直线运动，其速度函数为 1 2t，2≤t≤1， v(t)＝2，1<t≤3， 1 t＋1，3<t≤6. 3 1 求该物体在[2，6]时间段内的运动路程．
b S＝ v(t)dt，需根据题意写出函数v(t)．
a
解
(1)设A到C经过t1s，由1.2t1＝24，
定积分在几何中的应用课件(共42张PPT)高二下学期数学人教A版选修2-2第一章导数及其应用
S=
1
(x
0
x2 )dx
(1 2
x2
1 3
x3)
1 0
1. 6
答案: 1
6
【解题策略】 求不分割图形面积的一般方法
【补偿训练】 如图所示,f(x)=1+sin x,则阴影部分的面积是________.
【解析】所求面积为
0
(1 sin
x)dx
(x
cos
x)
0
2.
答案:π+2
类型二 分割型图形面积的求解(直观想象、数学运算) 【典例】计算由直线y=x-4,曲线y= 2x 以及x轴所围图形的面积S. 【思路导引】根据已知方程画出所围图形,选择恰当的分割线,分别计算面积.
的面积为 S 2 1( 3 x x3)dx 0
2( 3 4
4
x3
1 4
x4)
1 0
1.
(4)√.利用定积分可得,阴影部分的面积S=
(ex
ex
)
1 0
e
1 e
2.
1(ex ex )dx 0
2.如图,阴影区域是由函数y=cos x的一段图象与x轴围成的封闭图形,那么这 个阴影区域的面积是 ( )
A.1
B. 2
C.2
D.2 2
2.如图所示,求曲线y=x2和直线x=0,x=1及y= 1 所围成的图形(阴影部分)的面
4
积.
【解析】1.选D.由图形以及定积分的意义,得到所求阴影部分面积等价于
5
5
4
(sin
x
cos
x)dx
(cos
x
sin
x)
4
2
2.
4
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用 1.5.3定积分的概念 精品
这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分，记
作∫baf(x)dx，即∫baf(x)dx＝
n
i＝1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b－n af(ξi)，这里，a
与
b
分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间， 函数 f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被 积式．
2．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒 有 f(x)≥0，那么定积分∫baf(x)dx 表示由直线 x＝a，x＝b， y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．
2．定积分∫baf(x)dx 的几何意义是：介于 x＝a，x＝b 之间，x 轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中 x 轴上方部分的面积为正，x 轴下方部分的面积为负．
3．定积分的性质主要涉及定积分的线性运算，这是 解决定积分计算问题的重要工具．注意这些性质的正用、 逆用以及变形使用．
答案：16
归纳升华 用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是： (1)准确画出各曲线围成的平面区域； (2)把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注 意 x 轴下方有没有区域； (3)解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限； (4)根据积分的性质写出结果．
[类题尝试] 如图所示，阴影部分的面积分别以 A1， A2，A3 表示，则定积分∫baf(x)dx＝________．
(2)已知 f(x)＝45－－2 xx，，xx∈∈[[23，，35）]，，求 f(x)在区间[0， 5]上的定积分．
解：(1)由定积分的几何意义得：∫3－3 9－x2dx＝π·2 32 ＝92π，∫3－3x3dx＝0，由定积分性质得∫3－3( 9－x2－x3)dx ＝∫3－3 9－x2dx－∫3－3x3dx＝92π.
人教版高中数学选修2-2第一章 导数及其应用 夯实基础第五节定积分的概念(共32张PPT)教育课件
•
•
学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。
答案
1.A 【解析】 由于路程是速度关于时间的函数的积分,由定积分的几何意义,知速度曲线与t轴及直线t=t1所围成 图形的面积即t1时刻车子走过的路程,由题图可知曲线v甲与t轴及直线t=t1所围成图形的面积比较大,所以t1时刻甲车 在乙车的前面,故选A.
答案
2.C 【解析】 ①中,所得面积仅为实际面积的一半,①错误;②中,根据定积分的几何意义及性质知②正确;③中,所 得面积为0,③错误;显然④⑤正确.
我
没
有
耐
心
不
过
我
对
演
员
还
是
很
有
耐
心
。
但
是
当
我
拍
完
一
个
镜
头
，
下
一
个
镜
头
试
完
镜
后
我
希
望
很
快
就
可
以
拍
。
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
1.7 定积分的简单应用 课件-高中数学人教A版选修2-2第一章 导数及其应用
下沿坐标平面内x轴的正方向由x＝8处运动到x＝18处，求
力F(x)在这一过程中所做的功． 解：由题意得力 F(x)在这一过程中所做的功为 F(x)在[8,18] 上的定积分，从而
18
W＝18F(x)dx＝－36x－1
8
8
＝(－36×18－1)－(－36×8－1)
＝(－2)－－92＝52(J)．
从而可得力 F(x)在这一过程中所做的功为52 J.
0
0
3
3
xdx－ 2 sin xdx＝－cos x ＋cos x 2 ＝3.
0
(4)上下之差：
若在区间[a，b]上 f(x)＞g(x)，则曲线 f(x)与 g(x)所围成
的图形的面积 S＝b[f(x)－g(x)]dx. a 例（2）：求由曲线 y2＝x，y＝x3 所围图形的面积 S.
解：作出曲线 y2＝x，y＝x3 的草图， 如右图所示，所求面积为图中阴影部分
A．46 m
B．46.5 m
C．87 m
D．47 m
解析：s＝6 3
(3t＋2)dt＝32t2＋2t 6
3
＝(54＋12)－227＋6＝46.5(m). 答案：B
3．由y＝x2，y＝14x2及x＝1围成的图形的面积S＝________. 解析：图形如右图所示，
S＝1x2dx－114x2dx
0
0
＝134x2dx 0
a
问题3：如何求阴影的面积S? 提示：S＝S1－S2.
[导入新知]
平面图形的面积
由两条曲线y＝f(x)，y＝g(x)和直线x＝a，x＝b(b>a)所围
图形的面积．
(1)如图①所示，f(x)>g(x)>0，所以所求面积 b[f(x)－g(x)]dx
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[对点训练]
求曲线 y＝ex，y＝e x 及直线 x＝1 所围成的图形的面积．
－
解：
x y＝e ， 如图，由 －x y ＝ e ，
解得交点为(0,1)，
1 0
－x －x x 1 x 所求面积为 S＝ )d x ＝ (e ＋ e ) (e －e 0
1 ＝e＋ －2. e
[对点训练]
一质点在直线上从时刻 t＝0(s)开始以速度 v＝t2－4t＋3(m/s)运 动，求点在 t＝4 s 时的位置及经过的路程．
解：在 t＝4 s 时该点的位移为
4
4 1 3 (t2－4t＋3)dt＝3t －2t2＋3t 0 0
4 ＝ (m)． 3
4 即在 t＝4 s 时该点距出发点 m. 3
b
பைடு நூலகம்f(x)<0
－ f(x)dx S＝___________ a
(2)一般地， 如图， 如果在公共的积分区间[a， b]上有 f(x)>g(x)， 那么直线 x＝a，x＝b 与曲线 y＝f(x)，y＝g(x)
[f(x)－g(x)]dx 围成的平面图形的面积为 S＝ ______________.
求变速直线运动的路程、位移
[典例] 有一动点 P 从原点出发沿 x 轴运动，在时刻为 t 时的
速度为 v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与 x 轴正方向一致)．求 (1)t＝6 时，点 P 离开原点后运动的路程和点 P 的位移； (2)经过时间 t 后又返回原点时的 t 值．
[解] (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0 得 0≤t≤4， 即当 0≤t≤4 时，P 点沿 x 轴正方向运动， 当 t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动． 故 t＝6 时，点 P 离开原点后运动的路程 s1＝ (8t－2t )dt－ (8t－2t2)dt
法一：选 x 为积分变量，变化区间为[0,8]， 将图形分割成两部分(如图)，则面积为 S＝S1＋S2＝2
2
2 0
2xdx＋
8
2
2x－x＋4dx
8
2 2 3 1 4 2 3 2 ＝ x ＋ x － x ＋ 4 x ＝18. 3 20 3 2 2 2 法二：选 y 作积分变量，则 y 的变化区间为[－4,2]，如图得
＝0.
(2)依题意， (8t－2t2)dt＝0， 23 即 4t － t ＝0，解得 t＝0 或 t＝6， 3
2
因为 t＝0 对应于点 P 刚开始从原点出发的情况， 所以 t＝6 为所求.
(1) 用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题 时，将物理问题转化为数学问题是关键． (2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要 先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使 速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计 算失误．
b a
2．变速直线运动的路程 做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v＝
v(t)dt v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即 s＝_______.
3．力做功 (1)恒力做功：一物体在恒力 F(单位：N)的作用下做直线运动， 如果物体沿着与 F 相同的方向移动了 s，则力 F 所做的功为 W＝Fs. (2)变力做功：如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动，并且 物体沿着与 F(x)相同的方向从 x＝a 移动到 x＝b(a<b)， 那么变力 F(x)
定积分的简单应用
【知识梳理】
1．定积分与平面图形面积的关系 (1)已知函数 f(x)在[a，b]上是连续函数，由直线 y＝0，x＝a， x＝b 与曲线 y＝f(x)围成的曲边梯形的面积为 S.
f(x)的符号 f(x)≥0 平面图形的面积与定积分的关系
b
f(x)dx S＝___________ a
b a
b a
F(x)dx 所做的功为 W＝___________.
【常考题型】
利用定积分求平面图形的面积
[典例] 形的面积．
[解]
2 y ＝2x， y＝－x＋4，
求抛物线 y2＝2x 和直线 y＝－x＋4 所围成的图
先求抛物线和直线的交点，解方程组 求出交点坐标为 A(2,2)和 B(8，－4)．
3 t3 － 3 －2t2＋3t 1
＋
4 t3 －2t2＋3t 3 3
＝4(m).
求变力做功
[典例] 一物体在变力
2x＋4，0≤x≤2， F(x)＝ 2 x ＋2x，2≤x≤5，
所求的面积为
2 y 2 4－y－ dy S＝ 2
－4
y2 y3 ＝4y－ 2 － 6
2 －4
＝18.
利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解 题步骤 (1)画出图形． (2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确 定积分上限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下 列因素： ①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积 分上限和积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式． (5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的 面积．
又因为 v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)， 所以在区间[0,1]及[3,4]上的 v(t)≥0，在区间[1,3]上，v(t)≤0. 所以在 t＝4 s 时的路程为 s＝ (t －4t＋3)dt－ (t2－4t＋3)dt ＋
4 3 1 0
2
3 1
1 t3 (t2 － 4t ＋ 3)dt ＝ 3 －2t2＋3t 0
4 0
2
6 4
4 23 2 ＝ 4t －3t 0
6 23 2 － 4t －3t 4 6
128 ＝ . 3
当 t＝6 时，点 P 的位移为 (8t－2t2)dt
0
6 2 ＝4t2－3t3 0 t 0