§2.1.1直线的倾斜角与斜率
：2.1.1 直线的倾斜角和斜率
解析几何初步
§1 直线与直线的方程
1.1 直线的倾斜角和斜率
第二章
解析几何初步
1．问题导航 (1)“直线的倾斜角就是这条直线与 x 轴的夹角”，这种说法正 确吗？ (2)任何一条直线都有倾斜角吗？倾斜角相同的直线是同一条 直线吗？不同的直线的倾斜角一定不相同吗？ (3)当直线与 x 轴或 y 轴平行时，斜率公式适用吗？
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第二章
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所以
3 7 A ，2，C ，n. 4 4
n－2 又 A、B、C 三点共线，所以 kAC＝tan 45°＝ ＝n－2＝1. 7 3 － 4 4 所以 n＝3. 3 即 m 与 n 的值分别为 和 3. 4
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第二章
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思想方法 数形结合思想在求直线的斜率和倾斜角中的应用
作这条直线的斜率
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第二章
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倾斜角 补充 规定 表示或记 法
斜 率
90° 当直线 l 和 x 轴平行或重合 倾斜角为_____ 的 0° 时，它的倾斜角为_____
α 直线没有斜率 k＝tan α
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第二章
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3.倾斜角与斜率的对应关系 图 示 0°<α <90° 90°<α <180°
解析几何初步
探究点一 求直线的倾斜角 直线 l1 的倾斜角为 α，l1⊥l2，则直线 l2 的倾斜角不可能 为( ) B．90°＋α D．180°－α
A．90°－α C．|90°－α|
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第二章
解析几何初步
[解析] (1)当 α＝0°时，l2 的倾斜角为 90°.(如图 1) (2)当 0°＜α＜90°时，l2 的倾斜角为 90°＋α.(如图 2) (3)当 α＝90°时，l2 的倾斜角为 0°.(如图 3) (4)当 90°＜α＜180°时，l2 的倾斜角为 α－90°.(如图 4)
2024-2025学年高中数学2.1.1倾斜角与斜率教案新人教A版选择性必修第一册
组织学生进行小组讨论，分享各自对倾斜角与斜率的理解，促进学生之间的互动。
第四环节：巩固练习与拓展（15分钟）
1.练习一：已知直线l的斜率为-3，求直线l的倾斜角α。
2.练习二：已知直线l的倾斜角为135°，求直线l的斜率k。
3.练习三：已知直线l与水平线的夹角为60°，求直线l的斜率k。
3.学生可能遇到的困难和挑战：在本节课的学习过程中，学生可能对倾斜角与斜率之间的关系产生困惑，难以理解斜率的性质及其在实际问题中的应用。此外，部分学生可能对正切函数的理解不够深入，导致在学习倾斜角与斜率时遇到困难。
为解决这些困难和挑战，教师在教学过程中应注重引导学生通过实际问题来理解倾斜角与斜率的概念及其关系，并通过讲解、练习、讨论等多种教学方法，帮助学生掌握斜率的性质及其应用。同时，教师应关注学生的个体差异，针对不同学生的学习需求进行针对性辅导，提高学生的学习效果。
(3)设计一道与倾斜角与斜率相关的数学小题目，与同学互相交换解答，并互相评价对方的解题思路和方法。
2.作业反馈：
(1)对学生的作业进行及时批改，给出明确的评分和评价，指出学生的错误和不足之处。
(2)在批改作业时，注意关注学生的解题思路和方法，给予积极的反馈和鼓励，以提高学生的自信心。
(3.对于学生存在的问题，给予针对性的指导和建议，帮助学生理解错误的原因，并指导学生如何改进和提高。
2.数学建模：培养学生运用数学知识解决实际问题能力，如计算直线与水平线的交点、求直线的倾斜程度等，从而提高学生的数学建模素养。
3.直观想象：通过观察直线与水平线的夹角和斜率的关系，培养学生直观想象能力，使学生能够形象地理解直线的倾斜程度。
4.数据分析：通过对斜率的性质及其应用的学习，培养学生分析数据、处理信息的能力，提高学生在实际问题中运用数据分析的核心素养。
2.1.1 倾斜角与斜率 教案 人教A版选修一
高中数学人教A版选修一2.1.1 倾斜角与斜率【教学目标】1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程。
2、通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。
3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面，刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想。
4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。
【教学重难点】重点：倾斜角、斜率、过两点的直线的斜率公式；难点：斜率。
【教学过程】（一）新知引入1.综合法与坐标法；2.解析几何相关内容介绍；（二）新课讲授问题1：直线是最简单的几何图形之一。
确定一条直线的几何要素是什么?师生活动：学生独立思考后回答，教师总结：一点+一个方向。
追问：观察以下过同一点A的直线，它们有何区别？你能找出一个量来区分它们吗？师生活动：对直线的方向进行规定后，引导学生观察这些直线与坐标系之间所蕴含的位置关系，为后续倾斜角的引出做铺垫。
明确定义：直线的倾斜角：当直线 l 与x 轴相交时，我们以x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上的方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角．规定：当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°追问：下图中哪些角是直线的倾斜角？想一想：直线的倾斜角的范围是什么？师生活动：通过两个问题，加强学生对直线的倾斜角这一概念的理解，并指出：任何一条直线都有一个倾斜角与之对应，直线的方向不同，直线的倾斜程度不同，倾斜角也不相等。
练习：说出如图所示直线的倾斜角问题2：直线l 的倾斜角从形的角度刻画了直线的方向，能否用代数的方法刻画直线方向？α与P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)两点的坐标有什么内在联系？1800<≤α探究：在平面直角坐标系中，设l 直线的倾斜角为α .（1）已知直线l 经过O (0,0), P (√3，1) ,α与O , P 的坐标有什么关系？ （2）类似地,若直线l 经过P 1(−1,1), P 2(√2,0) ,α与P 1, P 2的坐标又有什么关系？（3）一般地,若直线l 经过P 1(x 1,y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠ x 2) ,那么α与P 1,P 2的坐标有怎样的关系？问题3：这个关系式对任意给定的两点都适用吗？追问：这个关系式的意义是什么？联系生活实际想一想。
高中数学 2.1.1 直线的倾斜角和斜率课件 北师大版必修
(3)求经过两点 A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率． [思路分析] 利用斜率公式 k＝tanα 和 k＝yx22－ －yx11(x1≠x2)来 解决．
[规范解答] (1)k1＝tan30°＝ 33，k2＝tan45°＝1. (2)直线 AB 的斜率 kAB＝－1－ 4－23＝17； 直线 BC 的斜率 kBC＝0－－1－ －14＝－42＝－12； 直线 AC 的斜率 kAC＝2－3－－01＝33＝1. (3)当 a＝3 时，斜率不存在． 当 a≠3 时，直线的斜率 k＝3－4 a.
• 2．若直线x＝3的倾斜角为α，则α( )
• A．等于0°
B．等于45°
• C．等于90° D．不存在
• [答案] C
• [解析] ∵x＝3的斜率不存在，∴α＝90°，选C.
3．已知点 A(－1， 3)，B(1,3 3)，则直线 AB 的倾斜角是
() A．60°
B．30°
C．120°
D．150°
• [答案] A
[解析] k＝31－3－－13 ＝ 3，则直线 AB 的倾斜角是 60°.
• 4．正三角形的一条高线在y轴上，则三边所在直线的倾斜角 分别为__________．
• [答案] 0°，60°，120°
• [解析] 根据正三角形(高线、中线、角平分线)合一的性质 可知两条腰所在直线的倾斜角分别为60°和120°，底边所 在直线与x轴平行或重合，故倾斜角为0°.
• 直线的倾斜角和斜率的关系
a 为何值时，过点 A(2a,3)，B(2，－1)的直线的 倾斜角是锐角？钝角？直角？
• [思路分析] 根据倾斜角与斜率的关系解决本题．若直线的 倾斜角是锐角，则k>0，若为钝角，则k<0，若为直角，则 斜率不存在．
2.1.1 倾斜角与斜率(解析版)..
第二章《直线和圆的方程》2.1直线的倾斜角与斜率2．1.1倾斜角与斜率知识梳理知识点一直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.知识点二直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k ＝0k >0不存在k <03．过两点的直线的斜率公式过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.题型探究题型一、直线的倾斜角1．直线的倾斜角前提条件直线l 与x 轴_________定义以_________作为基准，x 轴_________与直线l _________的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角特殊情况当直线l 与x 轴_________或_________时，规定它的倾斜角为_________取值范围__________________【答案】相交x 轴正向向上平行重合00180α≤≤2．（多选）设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为（）A ．45α+B ．45α-o C ．135α-D ．135α-【答案】AC【详解】直线倾斜角α的取值范围为0180α≤<，∴当0135α≤<时，旋转45后得到1l 的倾斜角为：45α+；当135180α<<时，旋转45后得到1l 的倾斜角为：45180135αα+-=-.故选：AC.3．分别写出下列直线的倾斜角：(1)垂直于x 轴的直线；(2)垂直于y 轴的直线；(3)第一、三象限的角平分线；(4)第二、四象限的角平分线．【答案】(1)90；(2)0；(3)45；(4)135【详解】(1)当直线垂直于x 轴时，直线的向上方向与x 轴正方向形成的夹角为90，所以所求直线的倾斜角为90.(2)当直线垂直于y 轴时，此时，直线与x 轴平行或重合，所以所求直线的倾斜角为0.(3)当直线为第一、三象限的角平分线时，直线的向上方向与x 轴正方向形成的夹角为45，所以所求直线的倾斜角为45.(4)当直线为第二、四象限的角平分线时，直线的向上方向与x 轴正方向形成的夹角为135所以所求直线的倾斜角为135.4．当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的倾斜角为______．【答案】2π【详解】当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的倾斜角为2π故答案为：2π题型二、直线的斜率1．若直线l 的倾斜角为120︒，则直线l 的斜率为________.【答案】3-【详解】因为直线l 的倾斜角为120︒，则tan1203k =︒=-.故答案为：3-.2．经过两点()()1,,1,4A m B m +的直线的倾斜角为45，则m =___________.【答案】2【详解】因为过两点()()1,,1,4A m B m +的直线的倾斜角为45，所以4tan 45111AB mk m -===+-，解得2m =，故答案为：2.3．根据下列直线的倾斜角α，判断直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率的值：(1)0α=︒；(2)60α=︒；(3)90α=︒；(4)150α=︒．【答案】(1)存在，且斜率为0(2)存在，且斜率为3(3)不存在(4)存在，且斜率为33-【详解】(1)0α=︒，斜率存在，且斜率为tan00︒=.(2)60α=︒，斜率存在，且斜率为tan 603︒=.(3)90α=︒，斜率不存在.(4)150α=︒，斜率存在，且斜率为3tan1503︒=-.4．求经过下列两点的直线的斜率与倾斜角(1)()2,3A ，()3,4B (2)()2,3C ，()3,3D (3)()2,3E ，()2,4F (4)()2,3G ，(),4H a 【答案】(1)1AB k =，倾斜角为4π(2)0CD k =,倾斜角为0(3)斜率不存在，倾斜角为2π(4)见解析【详解】(1)43132AB k -==-，所以AB 的倾斜角为4π；(2)33032CD k -==-，所以CD 的倾斜角为0；(3)因为点,E F 的横坐标相等，所以直线EF 的斜率不存在，倾斜角为2π；(4)当2a =时，直线GH 的斜率不存在，倾斜角为2π，当2a ≠时，43122GH k a a -==--，若2a >，倾斜角为1arctan2a -；若2a <，倾斜角为1arctan2a π+-.题型三、倾斜角和斜率的应用1．已知直线l 经过(2,1)A 、2(1,)B m （R m ∈）两点，求直线l 的倾斜角的取值范围.【答案】ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【详解】∵直线l 过(2,1)A ，2(1,)B m (R)m ∈两点，∴直线l 的斜率为2211112m k m -==-≤-，设直线l 的倾斜角为α，则[)0,πα∈，且tan 1α≤，解得π04α≤≤或ππ2α<<∴直线l 的倾斜角α的取值范围是ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.2．过点(0,1)P -的直线l 与以(3,2)A 、(2,3)B -为端点的线段AB 有交点，求直线l 的倾斜角α的取值范围．【答案】30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【详解】如图所示，因为(0,1)P -，(3,2)A ，(2,3)B -，可得12(1)130l k --==-，13(1)120l k ---==--，要使得直线l 与以(3,2)A 、(2,3)B -为端点的线段AB 有交点，设直线l 的倾斜角为α，其中[0,)π，则满足tan 1α≤或tan 1α≥-，解得04πα≤≤或34παπ≤<，即直线l 的倾斜角α的取值范围30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故答案为：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.3．已知直线1l 的斜率为12，直线2l 的倾斜角是直线1l 倾斜角的2倍，求直线2l 的斜率.【答案】43【详解】由题意，设直线1l 的倾斜角为α，则直线2l 的倾斜角为2α，由已知得11tan 2k α==，所以直线2l 的斜率为222tan 4tan 21tan 3k ααα===-.4．设点()2,3A -，()3,2B ，若直线ax +y +2=0与线段AB 有交点，则a 的取值范围是（）A ．54,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．45,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．54,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．45,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D【详解】∵直线20ax y ++=过定点(0,2)C -，且52AC k =-，43BC k =，由图可知直线与线段AB 有交点时，斜率a -满足43a ≤-或52a -≤-，解得45,,32a ⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣∈⎥⎭，故选：D跟踪训练1．确定一条直线的条件确定一条直线的条件是_________和一个_________．规定水平直线的方向_________，其他直线_________的方向为这条直线的方向．【答案】一点方向向右向上2．已知直线1l 的倾斜角115α=︒，直线1l 与2l 的交点为A ，直线1l 和2l 向上的方向之间所成的角为120︒，如图所示，求直线2l 的倾斜角.【答案】135︒【详解】设直线2l 的倾斜角为2α，结合图形及三角形外角与内角的关系可得2112012015135αα=︒+=︒+︒=︒，故直线2l 的倾斜角为135︒.3．直线0y =倾斜角为____________.【答案】0【详解】直线0y =即为x 轴，该直线的倾斜角为0.故答案为：0.4．如图所示，直线l 的倾斜角为()A ．60︒B ．150︒C ．0︒D ．不存在【答案】B【详解】由图可知：该直线的倾斜角为150°故选：B5．直线1l 与直线2:2l x =所成的锐角为30°，则直线1l 的倾斜角为______．【答案】60°或120°．【详解】如图，直线1l 的倾斜角为60°或120°﹒故答案为：60°或120°﹒6．函数1y =表示的直线的倾斜角大小为___________.【答案】0【详解】由题设，1y =平行于x 轴，即斜率为0，若倾斜角为[0,)θπ∈，则tan 0θ=，故0θ=.故答案为：07．判断正误（1）倾斜角为135︒的直线的斜率为1．()（2）直线斜率的取值范围是(),-∞+∞．()【答案】×√【详解】（1）倾斜角为135︒的直线的斜率为-1（2）直线斜率的取值范围是(),-∞+∞8．过点(1,2)(1,0)-、A B 的直线的倾斜角为（）A ．45︒B ．135︒C ．1D ．1-【答案】A【详解】过A 、B 的斜率为2011(1)k -==--，则该直线的倾斜角为45︒，故选：A ．9．求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角.(1)(2,0)P 、()1,3Q ；(2)(1,2)P 、(,0)Q a ，其中实数a 是常数.【详解】(1)经过(2,0)P ､()1,3Q 两点的直线的斜率30312k -==--，设直线PQ 的倾斜角为θ，则0πθ≤<，又tan 3θ=-，则2π3θ=(2)设直线PQ 的倾斜角为θ，则0πθ≤<，当1a =时，直线PQ 的斜率不存在，倾斜角π2θ=；当1a ≠时，21k a=-，则2tan 1a θ=-①若1a <，则2arctan1aθ=-；②若1a >，则2πarctan1aθ=+-.10．设直线l 的倾斜角为θ，若原点在直线l 上的射影为(2,1)-，则sin 2θ的值为______．【答案】45【详解】由原点在直线l 上的射影为(2,1)-知过原点和(2,1)-的直线和直线l 垂直，过原点和(2,1)-的直线斜率为12-，故直线l 的斜率为2，即tan 2θ=，故2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15θθθθθθθ===++.故答案为：45.11．已知直线斜率为k ，且13k -≤≤，那么倾斜角α的取值范围是（）．A ．ππ3π0,,324⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．ππ3π0,,624⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．π3π0,,π64⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】B【详解】由题意，直线l 的倾斜角为α，则[)0,πα∈，因为13k -≤≤，即1tan 3α-≤≤，结合正切函数的性质，可得π3π0,,π34α⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：B ．12．当直线l 的倾斜角2,,4223ππππθ⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦时，则直线l 的斜率的取值范围为______．【答案】[)(1,,3⎤+∞⋃-∞-⎦【详解】当直线l 的倾斜角2,,4223ππππθ⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦时，则直线l 的斜率的取值范围为[)(2tan ,,tan 1,,343ππ⎡⎫⎛⎤⎤+∞⋃-∞=+∞⋃-∞-⎪ ⎢⎥⎦⎣⎭⎝⎦，故答案为：[)(1,,3⎤+∞⋃-∞-⎦﹒13．求经过(,3)A m （其中m 1≥）、(1,2)B 两点的直线的倾斜角α的取值范围．【答案】090α<≤︒【详解】由题意，当1m =时，倾斜角90α=︒，当1m >时，321tan 011m m α-==>--，即倾斜角α为锐角；综上得：090α<≤︒．高分突破1．如图，设直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则1k ，2k ，3k 的大小关系为（）A ．123k k k <<B ．132k k k <<C ．213k k k <<D ．321k k k <<【答案】A【详解】由斜率的定义可知，123k k k <<.故选：A ．2．直线m 过点()()0012O A ，，，，其倾斜角为α，现将直线m 绕原点O 逆时针旋转得到直线'm y kx =：，若直线'm 的倾斜角为2α，则k 的值为（）A ．22B ．22-C ．2D ．-2【答案】B【详解】由题，tan 2OA k α==，直线'm 的倾斜角为2α，故()222tan 22tan 2221tan 12k ααα====---故选：B3．已知过点()2,m ，()4,6的直线的倾斜角为45︒，则实数m =（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【详解】由6tan 45142m-︒==-，解得4m =.故选：B ．4．设直线l 的斜率为k ，且31k -<≤，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（）A ．π2π0,,π43⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭B ．π3π0,,π64⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．π2π,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π3π,34⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A【详解】因为直线l 的斜率为k ，且31k -<≤，3tan 1α∴-<≤，因为[0,π)α∈，2ππ,π0,34α⎛⎫⎡⎤∴∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故选：A.5．直线l 的斜率为33，则l 的倾斜角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】A【详解】因为直线l 的斜率为33，所以l 的倾斜角为30°.故选：A.6．(多选)如果直线l 过原点(0，0)且不经过第三象限，那么l 的倾斜角α可能是（）A ．0°B ．120°C ．90°D ．60°【答案】ABC【详解】依题意，直线l 过原点，且不经过第三象限，则0α=︒或90180α︒≤<︒，所以ABC 选项符合，D 选项不符合.故选：ABC7．（多选）下列四个命题中，错误的有（）A ．若直线的倾斜角为θ，则sin 0θ>B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤<C ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θD ．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ【答案】ACD【详解】因为直线的倾斜角的取值范围是[)0,p ，即[)0,θπ∈，所以sin 0θ≥，当2πθ≠时直线的斜率tanθk =，故A 、C 均错误；B 正确；对于D ：若直线的斜率4tan33k π==，此时直线的倾斜角为3π，故D 错误；故选：ACD 8．若直线12,l l 的倾斜角分别为12,αα，且12l l ⊥，则有()A ．1290αα-=︒B ．2190αα-=︒C ．2190αα-=︒D ．12180αα+=︒【答案】C 【详解】根据两条直线垂直，可知|α2−α1|=90°，故选：C9．已知直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是()A ．2B ．1 C.12D ．0【答案】A【详解】如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k ∈[0,2]．故直线l 的斜率k 的最大值为2.10．下列命题中，错误的是______．（填序号）①若直线的倾斜角为α，则(0,)απ∈；②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大；③若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α．【答案】①②③【详解】对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为α，则[0,)απ∈，所以①错误；对于②中，当倾斜角[0,)2πα∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，且0k >；当倾斜角(,)2παπ∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，但0k <，所以②错误；对于③中，根据直线斜率的概念，可得当[0,)απ∈且2πα≠时，直线的斜率为tan k α=，所以③错误.故答案为：①②③.11．直线l 的斜率为3，将直线l 绕其与x 轴交点逆时针旋转60所得直线的斜率是______．【答案】3-【详解】设直线l 的倾斜角为α，)0,180α⎡∈⎣，因为直线l 的斜率为3，所以tan 3α=，所以60α=，所以将直线l 绕其与x 轴交点逆时针旋转60所得直线的倾斜角为6060120+=，所以所得直线的斜率是tan1203=-，故答案为：3-.12．若过两点(0,)A y 、(23,3)B -的直线的倾斜角为60°，则y ＝______．【答案】－9【详解】过两点(0,)A y 、(23,3)B -的直线的倾斜角为60°则有3tan 603230y --==-，解之得9y =-故答案为：－913．若直线l 的倾斜角α的正弦值为35，则它的斜率为___________.【答案】34±【详解】由题设，3sin 5α=，而α∈[0,)π，则4cos 5α=±，所以3tan 4α=±，即斜率为34±.故答案为：34±14．若三点A (3,1)，B (－2，k )，C (8,1)能构成三角形，则实数k 的取值范围为________．【答案】(－∞，1)∪(1，＋∞)【详解】k AB ＝k －1－2－3＝1－k 5，k AC ＝1－18－3＝05＝0.要使A ，B ，C 三点能构成三角形，需三点不共线，即k AB ≠k AC ，∴1－k 5≠0，∴k ≠1.15．已知直线l 过第一象限的点(,)m n 和(1,5)，直线l 的倾斜角为135°，求14m n +的最小值．【答案】32【详解】由题意，可得0m >，0n >，且5tan13511n m-==--︒，即6m n +=，又由()14114141435526662n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4n m m n =时，即24n m ==时，等号成立，所以14m n +的最小值为32．16．已知直线l 经过两点()22,A a a ､(0,1)B -，求直线l 的倾斜角的取值范围.【答案】3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】设直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ.当0a =时，k 不存在，2πθ=；当0a ≠时，211222a a k a a+==+：若0a >时，则12122a k a ≥⋅=，,42ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；若0a <时，则12()()122ak a ≤--⋅-=-，3,24ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；综上，3,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.17．已知直线l 的斜率的绝对值为33，求这条直线的倾斜角．【答案】30°或150°【详解】由题意知直线的斜率k ＝33或k ＝－33，且倾斜角的范围为0180α︒≤<︒，所以直线的倾斜角的大小为30°或150°.18．已知直线1l 的斜率为1-，直线2l 的倾斜角比直线1l 的倾斜角小30°，求直线2l 的斜率．【答案】23--【详解】因为直线1l 的斜率为1-，所以直线1l 的倾斜角为135︒，又直线2l 的倾斜角比直线1l 的倾斜角小30°，所以直线2l 的倾斜角为105︒，所以()tan 45tan 6013tan105tan 4560231tan 45tan 60113°+°+°=°+°===---鞍-´，所以直线2l 的斜率为23--．19．（1）若直线l 的倾斜角,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求直线l 斜率k 的范围；（2）若直线l 的斜率[]1,1k ∈-，求直线l 倾斜角α的范围.【答案】（1）3,33k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.【详解】（1）因为tan k α=，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3tan 63π=，tan 33π=，结合正切函数在[)0,p 的单调性得3,33k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（2）直线l 的斜率[]1,1k ∈-，tan 14π=，3tan 14π=-，结合正切函数在[)0,p 的单调性得30,,44ππαπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.20．经过点()0,1P -作直线l ，且直线l 与连接点()1,2A -，()2,1B 的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α和斜率k 的取值范围．【答案】30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭;11k -≤≤.【详解】因为2(1)110PA k ---==--，1(1)120PB k --==-，由l 与线段AB 相交，所以PA PB k k k ≤⇒≤11k -≤≤，所以0tan 1α≤≤或1tan 0α-≤<，由于tan y x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭及,2ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦均为增函数，所以直线l 的倾斜角α的范围为：30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故倾斜角的范围为30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，斜率k 的范围是11k -≤≤.21．已知坐标平面内两点M(m ＋3,2m ＋5)，N(m －2,1).(1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？(2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？(3)直线MN 的倾斜角可能为直角吗？【答案】(1)m>－2.(2)m<－2.(3)不可能为直角.【详解】(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，即k ＝()25132m m m +-+--＝245m +>0，解得m>－2.(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，即k ＝()25132m m m +-+--＝245m +<0，解得m<－2.(3)当直线MN 垂直于x 轴时直线的倾斜角为直角，此时m ＋3＝m －2，此方程无解，故直线MN 的倾斜角不可能为直角.22．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围．【详解】y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2,5]，∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)．∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y ＋1x ＋1≤53.∴y ＋1x ＋1的取值范围为－16，53.。
直线的倾斜角与斜率 高中数学新教材人教A版
l
l
B
A
A
我们知道，两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一
条直线
设A，B为直线上的两点，则AB就是这条直线的方向向量.
所以，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条
直线.
y
l
O
x
倾斜角与斜率
在平面直角坐标系中，经过一点”P可以作无数条直线l1，l2, l3，…，它
解析：(1)因为C(18，8)，D ( 4， − 4)，所以直线CD的斜率 =
8− −4
18−4
由 >0,可知其倾斜角为锐角.
(2)因为P(0，0)，Q (− 1，3)，所以直线PQ的斜率 =
< 0,可知其倾斜角为钝角.
3−0
−1−0
= −3，由
6
1
= ，
例题精讲 ——例1
时，与A，B两点的顺序有关吗?
解析:(1)计算直线AB的斜率时﹐与A,B两点的顺序无关，可以写为
k=
b2 −a2
或k
b1 −a1
=
a2 −b2
,a
a1 −b1 1
≠ b1 ;
思考2 (2)当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？
解析:(2)当直线平行于y轴或与y轴重合时,上述公式不适用﹐此时,两
一般地，如图，当向量P1 P2 ,的方向向
上时，P1 P2 =(x2 − x1 , y2 − y1 )．平移向量
P1 P2 到OP，则点P的坐标为(x2 − x1 , y2 −
y1 )，且直线OP的倾斜角也是α，由正切
y2 −y1
函数的定义，有tan α =
课件2：2.1.1 倾斜角与斜率
所以直线 l2 的倾斜角为 90°.
答案：(1)D (2)90°
方法规律 1．解答本题应注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答. 2．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出 图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
探究题 3 解析：直线的斜率是由直线的倾斜角决定的，
k＝tan α(a≠90°)．当 0°≤α<90°时，倾斜角越大，斜率越大； 当 90°<α<180°时，斜率是负的，倾斜角越大，斜率也越大. 先通过图形判断出直线的倾斜角在 0°≤α<90°范围内．
根据“直线的倾斜角越大，斜率越大”可知 k1<k2<k3.
倾斜 准，x 轴_正__向___与直线 l__向__上__的方向之间所
α 角 成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x
轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0°
定义
表示或记法
斜率 一条直线的倾斜角 α 的__正__切___值_____
k＝tan α
(2)倾斜角与斜率的对应关系
图示
倾斜角 (范围) 斜率 (范围)
α＝0° __k_＝__0_
0°<α<90° α＝_9__0_°__
__k_>_0__
斜率 不存在
90°<
α<180°
_k_<_0___
由上表可知直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是__0_°___≤__α__<_1_8_0_°__，斜率 k 的
取值范围是_(_－__∞__，__＋__∞__)______.
当 135°≤α<180°时，倾斜角为 α－135°
【数学】2.1.1 直线倾斜角和斜率 课件(北师大必修2)
思考?日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
如图3.1-3，日常生活中，我们经常用“升高量与前进量 的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即
D
C 升
设直线的倾斜程度为K
AB k AC AC BD k AD AD
tan
tan
A
前进量
高 量
B
1、直线斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角 用小写字母 k 表示，即：
直线BC的斜率 kBC 直线CA的斜率 kCA
0 (8) 8 2
C
∵ k AB 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ kBC 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角
2 (2) 4 1 40 4
三、小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围： 180 0 2、直线的斜率定义： k tan a (a 90 ) 3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
3 tan30 3
a 0 k tan0 0
当a 90时 k ?
y
o
x
思考：当直线与 x 轴垂直时， 直线的倾斜角是多少？
a 90 tana(不存在)
即k不存在
3、探究：由两点确定的直线的 斜率 k tan
锐角
y
y2
y1
能不能构造 一个直角三 如图，当α为锐角时， 角形去求？ P2 ( x2 , y2 )
P1 P1
P2
思考？
1、当直线平行于y轴，或与y轴重合时， k不存在 上述公式还适用吗？为什么？
90 , tan90 (不存在)
倾斜角与斜率
B.1
C.－1
D.－2
2－3 由题意知，tan 45°＝1－m，得 m＝2.
1234
3.已知A(－1，－2)，B(2,1)，C(x,2)三点共线，则x＝___3__，直线AB的倾 π
斜角为__4___.
因为A(－1，－2)，B(2,1)，C(x,2)三点共线， 1＋2 2－1
所以 kAB＝kBC，即2＋1＝x－2， 解得 x＝3，设直线 AB 的倾斜角为 θ，由 tan θ＝1 得 θ＝π4， 所以直线 AB 的倾斜角为π4.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.已知点 A( 3，1)，B(3 3，3)，则直线 AB 的倾斜角 θ 是
A.60°
√B.30°
C.120°
D.150°
kAB＝3
3－1 3－
＝ 3
33，
∴tan θ＝ 33且 0°≤θ＜180°，
∴θ＝30°.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1234
4.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是__0_°<__α_≤__9_0_°__. (其中m≥1)
当m＝1时，倾斜角α＝90°； 3－2
当 m>1 时，tan α＝m－1>0， ∴0°<α<90°. 故0°<α≤90°.
1234
五
课时对点练
基础巩固
1.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是 A.(4,2)与(－4,1) B.(0,3)与(3,0) C.(3，－1)与(2，－1)
反思感悟
倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系. (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解.
2.1.1倾斜角与斜率
变式练习
1.经过A( 2,0), B( 5,3)两点的直线的倾斜角 （ ）. A．45° B．135° C．90 ° D．60 °
2.过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于13
D.1 或 4
课堂小结
1、空间直角坐标系的概念． 2、空间直角坐标系中的点和向量的坐标的求法． 3、空间直角坐标系中具有特殊位置的点和向量的 坐标的一般形式． 4、空间直角坐标系中的点的对称性．
课后作业
课时作业（四）A 组：基础巩固1-6 B组：综合运用7-9 C组：11、12
tan y1 y2 y2 y1
x1 x2 x2 x1
我们把倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.即k=tanα
tan y2 y1 (或 tan y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
注意：(1) 斜率与两点的顺序无关; (2) 直线上任意两点可以表示斜率,不需要求出倾斜角； (3) 倾斜角是90°的直线没有斜率
α
P
x
例题与练习
下列四图中，表示直线的倾斜角正确的是( A)D
y
y
x x
o
a A
y
o
Ca
x
o
B
a
y
a
o
D
x
问题三、生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，对于 斜坡的倾斜程度，可以用什么量来反映？
探 究
在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α （1）已知直线l经过O(0,0)，P( 3 ,1)，α与O,P的坐标有什 么关系？
（2）类似地，如果直线l经过P1(-1,1)，P2( 2 ，0)，α与P1 ，P2的坐标又有什么关系？
（3）一般地，如果直线l经过P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，α与P1， P2的坐标又有什么关系？
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Y
p
O
. .
0 0 90 0 Y
p
K>0
. .
90 0 180 0
K<0
X （1）
O （2） Y
X
Y
90
K不存在 X
p
O
p
O
0
K=0 X
（3）
（4）
例题讲解 例1 求过已知两点的直线的斜率 （1） 直线PQ过点P（2,3），Q（6,5）； （2） 直线AB过点A（-3,5），B（4，-2）.
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )
tan tan(180 )
Q( x2 , y1 )
P ( x1 , y1 ) 1
o
x2
x1
x
y2 y1 y2 y1 k tan x1 x2 x2 x1
tan 在RtP2QP中 1 y2 y1 P2Q tan x1 x2 PQ 1
Y
p
O
. .
Y
p
0 0 90 0
X
O
.
90 0 180 0
X
（2）
（1）
Y Y
p 90
O X O
ห้องสมุดไป่ตู้
p 0
X
.
（3）
（4）
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
升 高 量 前进量
铅直高度 坡度 水平长度
结论：坡度越大，楼梯越陡．
直线的斜率定义
倾斜角不是 90 的直线，它的倾斜角的正
（1）＝0； （2）＝30；
（3）＝45;
（5）＝120; （7）＝150;
（4）＝60;
（6）＝135; （8）＝90.
特殊角的三角函数值
如果给定直线的倾斜角，我们可以直接根据斜率 的定义 k ＝tanα求出直线的斜率； 如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜 角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直 线的斜率呢？ 探究： 已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2）， 求直线P1P2的斜率?
53 1 ; 解：(1) 直线PQ的斜率 k 62 2
2 (5) 1 (2) 直线AB的斜率 k 4 (3)
例题讲解
（1）已知两点坐标求直线斜率
例2 经过下列两点的直线斜率是否存在， 若存在，请求出，若不存在说明理由。 （1）（1, 1），（-1，-2） （2）（1，-1），（-2, 4） （3）（2, 2），（10, 2） （4）（-2，-3），（-2, 3）
分析：根据过同一点的两条直线，若它们的斜率相 等，则两条直线必重合，证明三点共线.
证明：k AB yB y A 25 3 xB x A 0 1 yC y A 85 3 xC x A 2 1
k AC
k AB k AC , 又过同一点A，
A, B, C三点共线.
例题讲解
（3）斜率的简单应用
例3 已知直线ι经过两点A(-1，m), B(m,1),问：当m为何值时， （1）直线ι与x轴平行. （2）直线ι与y轴平行.
（3）直线ι的斜率为
练习：P35变式探究2
1 3
例题讲解
（4）利用斜率判定三点共线
例4 求证：A(1,5),B(0,2),C(2,8)三点共线.
y A
(1)直线向上的方向 (2)与 x 轴正方向
B
O
1 1 x
(3)最小正角
直线的倾斜角定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向上 的方向与 x 轴正向所成的最小正角 叫做这 条直线的倾斜角．
y A
规定：当直线和x轴平行或
重合时，它的倾斜角为0°
1 x
B
O
1
倾斜角的范围：0≤<180
解：设P( x,0) 因为入射角等于反射角
y
K MP K PN
2 3 2x 8 x
N(-8,3)
2 -2
M(2,2)
2
解得 x 2
O P
x
反射点 P ( 2 ,0 )
1．直线的倾斜角
2．直线的斜率：
定义 范围 0 180
k＝tan （≠90）
y2 y1 斜率公式 k （其中x1 x2） x2 x1
当直线与坐标轴平行或重合时,上述公 式还适用吗？
P ( x1 , y1 ) y 1
P2 ( x2 , y2 )
o
l x
y2 y1 k 0 x2 x1
能用吗？
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )
P ( x1 , y1 ) 1
y2 y1 k x2 x1
答：斜率不存在, 因为分母为0。
切值叫做这条直线的斜率，通常用 k 表示，即
k＝tan
（1）当= 0时，K=0.
（2）当= 90时,K不存在. （3）当0＜ ＜ 90时， K＞0. 越大，K越大。 （4）当90＜ ＜ 180时，K＜0. 越大，K越大。
练习一
已知直线的倾斜角，求对应的斜率 k ：
y
y2
y1
P2 ( x2 , y2 )
如图，α为锐角
P ( x1 , y1 ) 1
Q( x2 , y1 )
P2 P Q, 1
在RtP2 PQ中 1
QP2
o
y2 y1 k tan tan P2 P1Q P1Q x2 x1
x1
x2
x
如图α为钝角，
180 ,
练习：P34变式探究1
例题讲解
（2）直线的斜率
（1）已知点B(4,0),C(-2,1),若直线CD经过点 A(0,2),且直线CD与线段CB相交，求直线 CD的斜率。 （2）已知点A(0,2)，B(4,0),C(-2,1)若直线ι过 点C与线段AB相交，且交点在第一象限， 求直线ι的斜率k的取值范围。 （3）已知点A(0,2)，B(4,0),C(-2,1)若直线ι过 点B与线段AC相交，求直线ι的斜率k的取值 范围。
圆
直线
直线 圆
2.1.1 直线的倾斜角与斜率
y A
1．由一点能否确定一条直线？ 2．观察并回答问题：
B C 1
在图中，直线 AB，AC 都经过哪一点？
它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗？
O
1
x
直线的倾斜角定义
一般地，平面直角坐标系内，直线向上 的方向与 x 轴正方向所成的最小正角 叫做 这条直线的倾斜角．
例题讲解
点评：斜率是反映直线相对于X轴正方向的倾斜
程度的，直线上任意两点所确定的方向不变， 即在同一直线上任何不同两点所确定的斜率相 等。这正是利用斜率可证三点共线的道理。
练习：P36变式探究
例5 从 M ( 2 , 2 )射出一条光线, 经过 x 轴反射 后过点 N( 8 , 3 ) , 求反射点 P 的坐标
3. 利用斜率判定三点共线
作业：P76页1，2，3
再见！
王新敞 特级教师 源头学子小屋
wxckt@
新疆奎屯
·2007·
王新敞
奎屯
新疆
o
x
3.斜率公式 经过两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 的直线的斜率公式 1
y2 y1 k ( x1 x2 ) x2 x1
公式的特点:
(1) 与两点的顺序无关;
(2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两 点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角; (3) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=900.