6.2 图的术语

6.2.3 一些特殊的简单图
轮图：对n ≥ 3，给圈图Cn添加一个顶点，并把这个
新顶点与Cn 里n个顶点逐个连接就得到轮图Wn 。
6.2.3 一些特殊的简单图
n立方体图Qn：用顶点表示������������ 个长度为n的位串的
图。两个顶点相邻，当且仅当它们所表示的位串恰 恰有一位不同。
6.2.3 一些特殊的简单图
求所给无向图的顶点的度，指出所有的孤立点和悬挂点。
d是孤立点，c是悬挂点。
d、f是孤立点
6.2.2 基本术语
定理1
握手定理 设G = (V,E) 是有e条边的无向图，则 ������������ = ������∈������ ������������������⁡ (������)。即顶点的度之和是边数的2倍。
6.2.4
二分图
图H是不是二分图？
1.找出图中是否存在彼此间无连线的点 {a,c}，之后再添加点到此集合中就会发现都与这两 个顶点有连线。 2.检验{b,d,e,f}之间是否有边，发现有，所以不是 二分图。
6.2.4 二分图
决定图是否为二分图的有用准则： 定理4
一个简单图是二分图，当且仅当能够对图 中的每个顶点赋以两种不同的颜色，而不 让相邻接的顶点被赋以相同的颜色。
不存在从工作 集合到员工集 合的完全匹配。
需求 架构 实现 测试
上图中为每个工作分配一个员工以保证每个工作 都有员工做，且没有员工分配的工作多于一个， 是不可能的。 因为只有X、Z两个员工受过3个工作的培训，无法 把3个工作分配给3个不同的员工且每个工作都能 分配一个受过相关培训的员工。
6.2.5 特殊类型图的应用

包含最多边数的一个匹配称为最大匹配。 如果一个二分图的顶点划分为(������������ ,������������ ),若������������ 中的 每个顶点都是匹配中的边的端点或|M|=|������������ |(M中 的边数等于������������ 中的顶点数)，则称M是从������������ 到������������ 的 完全匹配。
正则图？ Kn Wn
Cn
Qn
6.2.4 二分图
定义5
把简单图G的顶点集分成两个不相交的非空集合V1和V2 ， 使得图里的每一条边都连接着V1 里的一个顶点和V2里 的一个顶点，则称G为二分图。(即G里没有边是连接 着V1 里的两个顶点或V2 里的两个顶点。) (V1，V2)称为G的顶点集的一个二部划分
例：一个具有10个顶点且每个顶点的度都为6的图， 有多少条边？ 解：顶点的度之和为10×6=60，而 ������������ =60，所以e=30。
同时，定理1还说明了：无向图顶点的度之和为偶数。
6.2.2 基本术语
定理2
无向图有偶数个奇数度顶点。
e
偶数度顶点的度之和 偶数的形式 奇数度顶点的度之和 每个顶点都是偶数度，所以和也为偶数 所以此项也为偶数
6.2.3 一些特殊的简单图
完全图：n个顶点的完全图(记为Kn )是在每对不 同顶点之间都恰有一条边的简单图。
6.2.3 一些特殊的简单图
圈图：记为Cn (n ≥ 3) ，由n个顶点v1, v2 ,⋯ , vn和边
{v1, v2}, {v2, v3} ,⋯ , {vn-1, vn}, {vn, v1}组成 。
6.2 图的术语
几种特殊的图
6.2.2 基本术语
定义1
若u和v是无向图G中的一条边的端点，则称两个顶点u 和v在G里邻接。 若e和{u,v}相联系，则边e关联顶点u和v。 在无向图里顶点的度是与该顶点关联的边的数目。 顶点上的环为顶点的度做出双倍贡献。 顶点v的度记为deg(v)
定义2
在H里: deg(a)=4，deg(b)=6， deg(c)=1，deg(d)=5， deg(e)=6
6.2.4 二分图
K3是不是二分图？
K3不是二分图，因为把K3的顶点集分为两个不 相交的集合，两个集合之一必然包含两个顶点。若 此图为二分图则同一顶点集中的两个顶点间就无边 连接，而此图中的每个顶点都有边连接。
6.2.4 二分图
图G是不是二分图？
1.找出图中彼此间无连线的点 先找到{a,b,d}彼此无连线，从而确定另一个顶点集 合{c,e,g,f} 2.检验{c,e,g,f}顶点之间是否有边连接，发现无边， 所以是二分图。
可以从Qn来构造Qn+1。方法:
建立Qn的两个副本，在第一个副本的顶点标记前加0，
第二个副本的顶点标记前加1，再将只有第一位标
记不同的顶点连线成边。比如从Q2 构造Q3：
Kn 、Cn 、Wn 、Qn 分别有多少个顶点和多少条边？
若简单图中的每个顶点的度都相等，则这个图称为
正则的。对哪些n值来说， Kn 、Cn 、Wn 、Qn是
6.2.5 二分图和匹配
任务分配 一个小组有m个雇员，n个不同的任务需要完成(每个 雇员都可以完成n个任务中的一个或多个)，m≥n
雇员与任务都用 顶点表示，边表 示雇员可以完成 的任务。 需求 架构 实现 测试 这个图是二分图，划分是(E,J),其中E是员工的集合，J是 工作的集合。
需求
架构
实现
6.2.2 基本术语
在G里: deg(g)=0， deg(d)=1
度为0的顶点称为孤立的。(孤立点不与任何顶点相邻)
度为1的顶点是悬挂的。(悬挂点恰与1个其它顶点相邻)
6.2.2 基本术语
例：栖息地重叠图中一个顶点 的度表示什么意义？哪些顶点 是悬挂的，哪些是孤立的？ 解：该图中两个顶点之间有边 表示两种动物之间有竞争。 所以一个顶点的度表示生态系 统里与此顶点代表的物种存在 竞争的物种数目。 老鼠是悬挂顶点，没有孤立的 顶点。
子图
6.2.6 从旧图到新图
定义7
两个简单图G1 = (V1, E1) 和 G2 = (V2, E2) 的并图是 带有顶点集V1 ⋃⁡V2 和边集E1 ⋃⁡E2的简单图。G1和 G2 的并图记为G1 ⋃⁡G2.
求给定简单图的对的并图(假设带有相同端点的边是 相同的)
在带有向边的图里，顶点v的入度(记为������������������− (v))是以 v作为终点的边数。顶点v的出度(记为������������������+ (v))是以v 作为起点的边数。
环对顶点的入度和出度的贡献都是1
例.求下图每个顶点的入度和出度
deg−(a) = 2, deg−(b) = 2, 入度： deg−(c) = 3, deg−(d) = 2, deg−(e) = 3, deg−(f) = 0. deg+(a) = 4, deg+(b) = 1, 出度： deg+(c) = 2, deg+(d) = 2, deg+ (e) = 3, deg+(f) = 0.
用定理4的方法判断G图是否为二 分图： 1.为a点赋以红色 2.寻找a的邻接点赋以绿色：cefg 3.与cefg邻接的点都必须为红色 4.赋色完成，发现相邻接的点都 是不同颜色，则图G为二分图。
6.2.4
二分图
用定理4的方法判断H图是否为二分图： 1.为a点赋以红色 2.寻找a的邻接点赋以绿色：bef 3.至此已经发现bef三个顶点都是邻接的，而被赋以了 相同的颜色，所以图H不是二分图。
判断以下图形是否为二分图：
是。 {a,b,c,d} {e}
否。 先找{a,f}， 剩下的之 间有连线。
否。 先找{b,c}， 剩下的之 间有连线。
6.2.4 二分图
完全二分图Km,n 是顶点集分成分别含有m和n个顶点 的两个子集的图。两个顶点之间有边当且仅当一个 顶点属于第一个子集，另一个顶点属于第二个子集。
在数据通信和并行处理模型中的应用 局域网 星形拓扑结构使用 完全偶图K1,n 表示 混合拓扑结构使 用轮图Wn 表示
环形拓扑结构使 用圈图Cn 表示
6.2.6 从旧图到新图
有时解决问题只需要图的一部分，将图中不涉及解 题内容的顶点和边删除，得到的图称为原图的子图。
定义6
图G=(V,E)的子图是图H=(W,F)，其中WV， F E
6.2.2 基本术语
设G=(V,E)是带有向边的图，于是
定理3
即：在带有向边的图里，所有顶点的入度和等于出 度和，且这两个和都等于图的边数。 底图：忽略边的方向后得出的无向图。
求每个顶点的入度和出度：
-
在电话呼叫图中，顶点的入度和出度表示什么？ 在这个图的无向图版本中，顶点的度表示什么？ 顶点的入度表示v收到的呼叫次数，出度表示v 发出的呼叫次数。 在这个图的无向图版本中，顶点的度表示v收到 或发出的呼叫次数。
而此项又为所有奇数的和，所以必须有偶数项它们的和才为 偶数。因而得到结论：无向图有偶数个奇数顶点。
是否存在一个有15个顶点而且每个顶点的度 都为5的简单图？ 否。顶点的度之和不可能是奇数。
6.2.2 基本术语
定义3 定义4
当(u,v)是带有有向边的图G的边时，说u邻接到v，v从 u邻接。顶点u称为(u,v)的起点，v称为(u,v)的终点。
测试
为了完成此项目，需要为每个工作分配一个员工以保证每 个工作都有员工做并且没有员工分配的工作多于一个。 红线即为实际的工作分配情况。 这种要把所有的工作都分配给员工的情况，就是要求一个 从工作集合到员工集合的完全匹配。这也是一个最大匹配。
匹配：匹配M就是图G=(V,E)中边集E的子集，该子集 中没有两条边关联相同的顶点。