数学文卷·2016届江苏省扬州中学高二质量检测(5月)(2015.05)

扬州中学高二(文科)数学试卷2015.5.29一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．若集合{1,2,3,4,5},{1,2},{2,3}U A B ===，则()U C A B = ▲ ．2．已知命题:,cos 1p x R x ∀∈≤, 则p ⌝： ▲ ．3．函数()()lg 1f x x =-的定义域为 ▲ ． 4．“函数()sin()f x x ϕ=+为奇函数” 是“0ϕ=”的 ▲ 条件．5．在复平面内，复数21iz i+=-对应的点位于第 ▲ 象限． 6．函数3y x =在点(1,1)处的切线方程为 ▲ ．7．如果函数()ln 3f x x x =+-的零点所在的区间是(,1)n n +，则正整数n = ▲ ． 8．若0.4444,0.4,log 0.4a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 ▲ ．（从大到小）9．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则角B = ▲ ． 10．如图所示的是函数sin(),(0,0,||)y A x A ωϕωϕπ=+>>< 图象的一部分，则其解析式y = ▲ ． 11．若1sin()64απ-=，则sin(2)6a π+的值为 ▲ ．12．已知2228x y x +=+（,x y R ∈），则2245x y +的最大值为 ▲ ．13．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足对任意x R ∈都有(4)()f x f x +=，且当[]2,0x ∈-时，1()()12x f x =-．若在区间(2,6)x ∈-内函数()()log (2)a g x f x x =-+有3个不同的零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14. 设函数()f x 的定义域为D ，若存在定义域[,]a b D ⊆，使得函数()f x 在[,]a b 上的值域也为[,]a b ，则称()f x 为“等域函数”。

已知函数()xf x a =，（1a >）为“等域函数”，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+-（1）求()f x 的最小正周期 及 单调增区间； （2）当[,]63x ππ∈-时，求函数)(x f 的值域.16．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4cos 5B =,6=b ， （1）当5=a 时，求角A ；（2）当ABC ∆的面积为27时，求c a +的值.17．（本小题满分14分）已知1tan(),cos 2αβα-==,其中(0,),(0,)2παβπ∈∈. （1）求tan β的值； （2）求2αβ-的值.18．（本小题满分16分）已知函数12()2x x m f x n+-+=+，(其中m 、n 为参数)（1）当1m n ==时，证明:)(x f 不是奇函数； （2）如果)(x f 是奇函数，求实数m 、n 的值；（3）已知0,0m n >>，在（2）的条件下,求不等式1(())()04f f x f +<的解集．19．（本小题满分16分）已知函数()cos f x a x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，其中a 为参数．（1）设t t 的取值范围，并把()f x 表示为t 的函数()g t ； （2）求函数()f x 的最大值（结果用a 表示）； （3）若对任意12,,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()()121f x f x -≤，求实数a 的取值范围． （不需要过程，直接写出a 的范围即可）20．（本小题满分16分） 已知函数()ln 1a f x x x =+-，其中a 为参数，2221()ln 2x g x e x e x e x =⋅+-， （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （2）当[]1,x e ∈时，求函数()f x 的最小值；（3）函数()g x 是否存在垂直于y 轴的切线？ 请证明你的结论论。

扬州中学高二（文科）数学答案2015.5.291． {}4,5 2．,cos 1x R x ∃∈> 3．(1,2] 4． 必要不充分 5．一 6．32y x =- 7． 2 8．a b c >> 9．3π 10．2sin(2)3x π+11．1718- 12． 64 13．)2 14．1(1,)ee15．解：⑴()2cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+ --------------4分∴()f x 的最小正周期为22T ππ==， --------------6分令222,()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，可得,()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴函数()f x 的单调增区间为[,],()36k k k Z ππππ-+∈；------------8分 ⑵∵[,]63x ππ∈-∴52666x πππ-≤+≤ ∴1sin(2)126x π-≤+≤ ∴函数)(x f 的值域为[]1,2- ------------14分 16．.解：（1）∵54cos =B ，∴ 53sin =B 由正弦定理B b A a sin sin =可得1sin 2=A ……………………3分 又∵ 56=<=a b∴<A B ∴ o30=A ……………………7分（2）∵ 1sin 2S ac B =，53sin =B ，∴ 32710=ac ，即90=ac .由余弦定理B ac c a b cos 2222-+= 得22228361445=+-=+-a c ac a c ，即22180+=a c . ……………………11分 所以222()2180180360+=++=+=a c a c ac ，所以，+=a c . ……………………14分17． 解：(1) ∵cos α=(0,)2πα∈∴1tan 3α= ∵tan tan 1tan()1tan tan 2αβαβαβ--==+⋅，而1tan 3α=∴解得1tan 7β=-……6分 (2) tan()tan tan(2)tan()11tan()tan αβααβαβααβα-+-=-+==-- ……9分∵1tan 07β=-<，(0,)βπ∈∴(,)2πβπ∈ 又∵1tan 13α=<，(0,)2πα∈∴(0,)4πα∈∴2(,0)αβπ-∈- ∴324παβ-=-……14分注：多一解扣2分18．解：（1）1212)(1++-=+x x x f ， ∴511212)1(2-=++-=f ，412121)1(=+-=-f ，∵)1()1(f f -≠-，∴)(x f 不是奇函数； ……4分（2）∵)(x f 是奇函数时 ∴)()(x f x f -=-，即112222x x x x m mn n--++-+-+=-++对定义域内任意实数x 成立．化简整理得关于x 的恒等式2(2)2(24)2(2)0x x m n mn m n -⋅+-⋅+-=， ∴20,240m n mn -=⎧⎨-=⎩ 即12m n =-⎧⎨=-⎩或12m n =⎧⎨=⎩． ……10分(注：少一解扣2分)（3）由题意得1,2m n ==∴12112()(1)22221x x x f x +-+==-+++ ，易判断()f x 在R 上递减，∵1(())()04f f x f +< ∴11(())()()44f f x f f <-=-1()4f x ∴>-23x ∴< 2log 3x ∴<，即0)(>x f 的解集为2(,log 3)-∞ ……16分19．解：（1）22222cos t x ==+=+，又∵,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴cos 0,x ≥ ∴[]222cos 2,4t x =+∈， 又∵0t >，∴2t ⎤∈⎦， -------3分 ∵21cos 12x t =-，∴()212g t at t a =+-，2t ⎤∈⎦． -------5分 （2）即求()212g t at t a =+-，2t ⎤∈⎦的最大值． 当0a =时，()g t t =在2t ⎤∈⎦上递增，∴()()max 22g t g == ；当0a >时，()221211222a g t a t t a t a a a a⎛⎫⎛⎫=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,对称轴为1t a =-．()g t在2t ⎤∈⎦上递增，∴()()max 22g t g a ==+ ； -------7分当0a <时，()221211222a g t a t t a t a a a a⎛⎫⎛⎫=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,对称轴为1t a =-．若1a -≤2a ≤-时，()max g t g ==；12a <-<，即122a -<<-时，()max 112g t g a a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭； 若12a -≥，即102a -≤<时，()()max 22g t g a ==+； -------10分 综上得，当2a ≤-时，()max f x g ==；当122a -<<-时，()max 112f x g a a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭； 当12a ≥-时，()()max 22f x g a ==+． ------ 11分 （3）要使得()()121f x f x -≤对区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的任意12,x x 恒成立，只需()()max min 1f x f x -≤．也就是要求()()max min 1g t g t -≤对2t ⎤∈⎦成立因为当1a -≤，即当2a ≤时，()()min 22g t g a ==+；当122a +->20a <<时， ()min g t g ==结合问题（2）需分四种情况讨论：①12a ≥-时，()()max min 21g t g t a -=+成立，所以112a -≤<；122a <<-时()()max min 112g t g t a a -=---，即1102a a ++≥，注意到函数()12p a a a =+122a <<-上单调递减，故()11312 2 2p a p ⎛⎫>-=--=- ⎪⎝⎭，于是1311022a a +>-+>成立，所以122a <<-③22a -<≤时()()max min 1212g t g t a a a -=----≤，即12302a a ++≥，注意到函数()122q a a a =+在22a -<≤上单调递增，故()22q a q ⎛>-=- ⎝⎭，∴1623022a a -++>>成立，∴22a -<≤；④a ≤时，()()max min 21g t g t a -=-≤，即3a ≥，3a ≤≤；综上得，实数a 的取值范围是1⎤⎦． ………………16分 20． 解：（1）1a =时，22111'()x f x x x x-=-= ，定义域为(0,)+∞， 令'()0f x =，得 1x =，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：f 的单调递增区间为，单调递减区间为；4分（2）221'()a x af x x x x-=-= ，[]1,x e ∈ 当0a ≤时，'()0f x >，所以()f x 在区间[]1,e 上单调递增，所以，()f x 在区间[]1,e 上的最小值为(1)1f a =-，当0a >时，令'()0f x =，则x a = ，① 若a e >，则'()0f x <对[]1,x e ∈成立，则()f x 在区间[]1,e 上单调递减， 所以，()f x 在区间[]1,e 上的最小值为()af e e=， ② 若1a e ≤≤，则有所以在区间上的最小值为，③若1a <，则'()0f x >对[]1,x e ∈成立，所以()f x 在区间[]1,e 上单调递增， 所以，()f x 在区间[]1,e 上的最小值为(1)1f a =-，综上得： min(1)1,(1)()()ln ,(1)(),()f a a f x f a a a e af e a e e ⎧⎪=-<⎪==≤≤⎨⎪⎪=>⎩…………………10分 （3）即考虑方程()0g x '=有没有解，求导得21()(ln )(1)xg x x e e x x'=++-，令()0g x '=，则21(ln )(1)0x x e e x x ++-=，即21(1)ln xe x x x e -+=下面分别研究左右两个函数的值域，∵由（1）得1a =时()f x 的最小值为(1)0f = ∴1()ln 1(1)0f x x f x =+-≥=，即1ln 1x x+≥， 令2(1)()x e x h x e -=，则2(2)()xe x h x e -'=，∴()h x 在(,2)-∞上递增，在(2,)+∞上递减，∴max ()(2)1h x h ==又∵等号不能同时取到，∴方程21(1)ln xe x x x e-+=无解， 即函数()g x 不存在垂直于y 轴的切线。