高考复数知识点精华总结
数学复数高考知识点总结
数学复数高考知识点总结一、复数的概念和表示方法1.1 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
1.2 复数的表示方法复数可以用直角坐标系和极坐标系表示。
在直角坐标系中，复数z=a+bi可以表示为有序数(a,b)，其中a为实部，b为虚部；在极坐标系中，复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。
1.3 复数的加减法复数的加减法与实数的加减法类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
1.4 复数的乘法复数的乘法可利用分配律和i²=-1进行计算，即(a+bi)×(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i。
1.5 复数的除法复数的除法需要将除数与被除数同时乘以共轭复数，然后利用分配律进行计算。
1.6 复数的共轭复数z=a+bi的共轭是z的实部不变，虚部取负数，即z的共轭为a-bi。
1.7 复数的模和幅角复数z=a+bi的模是z距离原点的长度，又可以表示为|z|=√(a²+b²)；复数z的幅角是z与正实轴之间的夹角，一般取在-π<θ≤π的区间内。
1.8 二次根式对于复数z=a+bi，其二次根式为±√z=±(√r)(cos(θ/2)+isin(θ/2))，其中r为z的模，θ为z 的幅角。
二、复数的应用2.1 复数的几何意义复数可以表示平面上的点，实部代表横坐标，虚部代表纵坐标；复数的模代表点到原点的距离，复数的幅角代表点与正实轴之间的夹角。
2.2 解析式解析式是指利用复数形式的代数式表示函数值，在一些复杂的数学问题中，可以利用复数的解析式简化计算。
2.3 需解方程部分方程的解需要引入复数，如一元二次方程的解可能为复数，解方程时需考虑复数根的情况。
2.4 矩阵计算在一些特定矩阵的计算中，可能出现复数，需要利用复数的运算规则进行计算。
高考关于复数知识点
高考关于复数知识点复数是英语语法中一项基本的知识点，它在高考中也是一个必考内容。
掌握了复数的规则和用法，能够帮助我们更准确地表达和理解英语。
下面将介绍一些高考常考的复数知识点。
一、名词复数的基本规则1. 大多数名词的复数形式是在词尾加-s，例如：books, desks。
2. 以-s, -sh, -ch, -x结尾的名词，在词尾加-es，例如：buses, dishes。
3. 以辅音字母+y结尾的名词，将y改为i，再加-es，例如：ladies。
4. 以-o结尾的名词，加-es或-s，要根据具体的情况决定，例如：tomatoes, pianos。
5. 一些名词的复数形式是不规则的，需要记住，例如：children, men。
二、名词复数的特殊情况1. 以-f或-fe结尾的名词，通常将-f或-fe变为-v，再加-es，例如：wives, knives。
2. 以-us或-is结尾的名词，复数形式变为-i，例如：cacti, fungi。
3. 以-y结尾的名词，如果y的前面是元音字母，则直接加-s，如果y的前面是辅音字母，则将y改为i，再加-es，例如：keys, boys。
三、不可数名词不可数名词是指表示一种物质、抽象概念或者整体的名词，它们没有复数形式。
常见的不可数名词有：water, milk, money等。
在表达数量时，可以使用量词来修饰不可数名词，例如：a bottle of water, a cup of milk。
四、名词复数用法的注意事项1. 复数名词作主语时，其后面的谓语动词要用复数形式，例如：Books are my best friends.2. 复数名词作定语时，要放在被修饰名词的前面，例如：three cars.3. 复数名词前面可以有数词、限定词或形容词修饰，例如：many students, a few apples, beautiful flowers.五、名词复数的用途1. 表示数量和集体，例如：There are many trees in the park.2. 表示一类事物或人，例如：The apples here are very delicious.3. 表示多次或重复的动作，例如：He took the books and put them on the shelf.六、动词与名词复数的一致当主语是复数名词时，谓语动词要用复数形式；当主语是不可数名词时，谓语动词要用单数形式，例如：Ten students are playing football. Water is essential for life.总结：掌握名词复数的基本规则、特殊情况和用法，能够在高考英语中正确使用复数，充分展示语言的准确性和流利性。
高三复数的知识点归纳总结
高三复数的知识点归纳总结一、复数的概念复数是指由一个实数和一个虚数共同构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a和b为实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
在复数中，实部为a，虚部为b。
二、复数的表示方法1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：z=r(cosθ + i sinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的辐角3. 指数形式：z=re^(iθ)，其中r为复数的模，e为自然对数的底三、复数的加减乘除1. 加减法：复数相加或相减，实部和虚部分别相加或相减2. 乘法：使用分配律相乘，然后利用i^2=-1进行计算3. 除法：将分母有理化后，再进行乘法的逆运算四、复数的几何意义1. 复数在平面直角坐标系中的表示2. 复数在极坐标系中的表示3. 复平面上的旋转五、共轭复数1. 共轭复数的定义2. 共轭复数的性质3. 共轭复数的几何意义六、模与辐角1. 复数的模的定义2. 复数的模的性质3. 复数的辐角的定义4. 复数的辐角的性质七、欧拉公式1. 欧拉公式的表达式2. 欧拉公式的几何意义3. 欧拉公式的重要性八、复数的方程1. 一元一次复数方程2. 一元二次复数方程3. 复数方程的解法及应用九、复数的应用1. 复数在电学中的应用2. 复数在力学中的应用3. 复数在信号处理中的应用十、复数的常见问题解析1. 关于共轭复数的应用问题2. 关于复数模和辐角的应用问题3. 复数方程的解法与应用十一、复数的图示通过在复数平面上显示几何图形，如复数的绝对值和幅角，显示虚数、复数和实数，这将有助于进一步理解这一主题。
十二、复数的补充知识点1. 复数的讨论2. 复数的等价3. 虚数单位i的应用和推理十三、复数的实际应用举例通过真实问题的应用案例，加深对复数知识点的理解和理论的实际应用。
在高三的数学学习中，复数是一个非常重要的内容。
它不仅是数学知识的一个重要部分，也是物理、工程和其他领域的基础。
掌握复数的知识对于学生继续深入学习数学和其他相关科学领域都有着非常重要的意义。
高中复数复习知识点(整理)
复数知识点总结一；复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且时的复数a + b i 为纯虚数（2）幂运算：（3）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（4）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；（5）两个复数相等的定义：（6）复数的基本运算:设111z a b i =+，222z a b i =+1)加法：()()121212z z a a b b i +=+++；2)减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；3)乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
注：两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]若，则.（√）②若，则是的必要不充分条件.（当R b a ∈，1i 2-=0≠b 0≠b 1,,1,,143424142=-=-==-=+++n n n n i i i i i i i )(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且21,z z 1021 z z +21z z - 21,z z 221z z 021 z z -C c b a ∈,,0)()()(222=-+-+-a c c b b a c b a ==，时，上式成立）（7）除法：c di z a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解 (8)共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；注：1）共轭复数的性质：，（a + b i ）（） 2）注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]3） ①复数的乘方： ②对任何，及有以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.在实数集成立的. 当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.③常用的结论：22)(i b a =-0)(,1)(22=-=-a c c b z z =2121z z z z +=+a z z 2=+i 2b z z =-=z 22||||z z z z ==⋅2121z z z z -=-2121z z z z ⋅=⋅2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02≠z n n z z )(=)(...+∈⋅⋅=N n z z z z z nnz 21,z z C ∈+∈N n m ,n n n n m n m n m n m z z z z z z z z z 2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+1,142=-=i i 11)(212142===i i 11=-2||x x =x 2||x x ≠i i i i i i i i -=+-=-+±=±11,11,2)1(2二． 例题分析【例1】已知()14z a b i =++-，求（1） 当,a b 为何值时z 为实数（2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数（3） 当,a b 为何值时z 为虚数（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
高考复数知识点总结
高考复数知识点总结一、复数的概念1. 定义：在数学中，复数是由一个实数和一个虚数单位i构成的数，表示为a+bi，其中a 和b都是实数，而i是虚数单位，满足i²=-1。
2. 实部和虚部：复数a+bi中，a称为实部，bi称为虚部，其中a和b都是实数。
二、复数的表示形式1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。
3. 指数形式：re^(iθ)，其中e^(iθ)为指数函数。
三、复数的运算1. 加法与减法：实部相加，虚部相加2. 乘法：根据分配律和虚数单位i的性质计算3. 除法：乘以共轭复数，然后根据除法的定义计算4. 幂运算：通过指数形式进行计算四、复数的性质1. 共轭复数：a+bi的共轭复数是a-bi2. 模：复数a+bi的模是√(a²+b²)3. 幅角：复数a+bi的幅角是θ=tan^(-1)(b/a)五、复数的应用1. 代数方程式：一元二次方程的解2. 三角函数：通过复数的幅角形式可以求解三角函数的和差角公式3. 电路学：用复数解决交流电路中的问题六、复数的解析几何1. 复数的几何意义：复平面上的点2. 复数的模和幅角：向量的模和方向3. 复数的乘法和除法：向量的缩放和旋转七、复数的解1. 一元二次方程的解：通过求根公式得到解2. 复数的根：开方运算的应用总结：复数是数学中的一个重要概念，它由一个实部和一个虚部构成，可以通过代数形式、幅角形式和指数形式进行表示。
复数的运算包括加法、减法、乘法、除法和幂运算，通过这些运算可以得到复数的性质如共轭复数、模和幅角。
复数还具有广泛的应用，包括代数方程式、三角函数和电路学等方面。
此外，复数还可以通过解析几何的方式进行理解，它在平面上对应着一个点，并且具有向量的性质。
复数的解可以用于一元二次方程的求解以及复数的根的求解。
通过学习和掌握复数的知识，可以更好地理解数学中的各种概念和问题，并且对于后续的学习和应用具有重要的意义。
新高考复数知识点总结归纳
新高考复数知识点总结归纳一、名词的复数形式名词的复数形式通常有以下几种情况：1. 一般情况下，在名词末尾加-s：book→books, dog→dogs。
2. 以-s, -sh, -ch, -x结尾的名词，在末尾加-es：dish→dishes,box→boxes。
3. 以辅音字母+y结尾的名词，将y改为i，再加-es：city→cities, baby→babies。
4. 以-f或-fe结尾的名词，将f或fe改为v，再加-es：wolf→wolves, knife→knives。
5. 一些特殊名词的复数形式需要单独记忆：child→children,man→men, woman→women。
二、不可数名词与可数名词1. 不可数名词是指不能用数目进行计数的名词，一般用单数形式。
常见的不可数名词有：water, milk, bread, information等。
2. 可数名词是指可以进行数目上的计数的名词，可以有复数形式。
常见的可数名词有：book, cat, dog, apple等。
3. 有些名词可以既作不可数名词，又作可数名词，表示不同的意思。
比如：glass可以表示"玻璃杯"，是可数名词；也可以表示"玻璃"，是不可数名词。
三、复数名词的用法1. 表示一般复数概念：They have three cats.2. 表示某些事物的一部分：I ate two slices of pizza.3. 表示一种人或一类东西：The Chinese are good at math.4. 表示许多或一定数量的人或物：Many students go to school by bus.5. 表示两种东西：I want both apples and oranges.四、不规则名词的复数形式有一些名词的复数形式是不规则的，需要单独记忆。
下面列举一些常见的不规则名词的复数形式：1. child→children2. man→men3. woman→women4. tooth→teeth5. foot→feet6. goose→geese7. mouse→mice8. ox→oxen九、对不可数名词进行量化对不可数名词进行量化时，可以使用以下方法：1. 使用量词或数量短语来修饰：a bottle of water, a piece of cake。
高三数学知识点复数
高三数学知识点复数复数是数学中的一个重要概念，在高三数学学习中也占有重要地位。
它不仅在代数中有广泛的应用，还在很多实际问题中起着关键的作用。
本文将就高三数学中的复数知识点进行详细介绍，包括定义、运算、表示方法等内容。
一、复数的定义1. 复数的概念在数学中，复数是由实数和虚数的和组成的数。
其中实数部分可以为任意实数，虚数部分为实数乘以虚数单位 i。
i 的定义为 i^2 = -1，其中 i 即为虚数单位。
2. 复数的表示方法一般来说，复数可用 a+bi 表示，其中 a 为实部，b 为虚部。
二、复数的运算1. 加法运算复数加法满足交换律和结合律。
若有两个复数 z1 = a+bi，z2 = c+di，则它们的和为 z = (a+c) + (b+d)i。
2. 减法运算复数减法可以看作加法的逆运算。
若有两个复数 z1 = a+bi，z2 = c+di，则它们的差为 z = (a-c) + (b-d)i。
3. 乘法运算复数乘法也满足交换律和结合律。
若有两个复数 z1 = a+bi，z2 = c+di，则它们的乘积可以通过展开得到：z = (a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i。
4. 除法运算复数除法是乘法的逆运算。
若有两个复数 z1 = a+bi，z2 = c+di，则它们的商可以通过乘以共轭复数并进行化简得到：z = (a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = (ac+bd) / (c^2+d^2) + (bc-ad)i / (c^2+d^2)。
三、复数的性质1. 共轭复数对于复数 z = a+bi，其共轭复数可以用 z* 表示，即 z* = a-bi。
共轭复数实际上是对复数的虚数部分取负。
2. 模和辐角复数的模表示复数到原点的距离，可以用 |z| 表示。
模的计算公式为|z| = √(a^2+b^2)。
高考复数的知识点总结
高考复数的知识点总结复数是英语语法中一个非常重要的概念，常常出现在高考的考试题目中。
在此，我将对高考所涉及的复数知识点进行总结，希望对同学们备考有所帮助。
一、复数的基本规则1. 名词一般通过在词尾加-s表示复数形式，如books、pens等。
2. 以s、x、ch、sh等结尾的词，复数形式在词尾加-es，如buses、boxes。
3. 以辅音字母+y结尾的词，将y变为i，再加-es，如ladies、stories。
4. 以-o结尾的词，一般在词尾加-es，如potatoes、tomatoes。
但也有例外，如photos、pianos。
二、不规则复数形式1. 有些名词的复数形式完全不规则，需记忆，如child—children、man—men、woman—women等。
2. 有些名词的复数形式与单数形式相同，需通过上下文来判断，如fish、sheep等。
三、复数形式与动词一致1. 当主语为复数形式时，谓语动词需用复数形式，如The students are studying.2. 当主语为两者或多者共同进行的动作时，谓语动词也可使用复数形式，如The dog and the cat are playing.四、复数名词的所有格1. 在复数名词的结尾加-apostrophe，如girls'、birds'。
2. 若复数名词已以-s结尾，则只需要在词尾加-apostrophe，如students'、teachers'。
五、部分复数形式1. 一些名词既有单数形式，又有复数形式，含义不同，如news、means。
2. 一些名词无单数形式，只有复数形式，如scissors、trousers。
六、可数名词与不可数名词的复数形式1. 不可数名词没有复数形式，如water、milk。
2. 可数名词和不可数名词均可以表示复数概念，如two coffees、three books。
七、高考常见考点1. 单复数一致：在句子中主语与谓语动词需要保持单复数一致。
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复 数1．复数的概念：（1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)；（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。
2．复数集整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。
应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。
4．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ，（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ；（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ；（3）乘法：z1〃z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
（6）特殊复数的运算：① n i (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ；③ 若ω=-21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.5．共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).（2）复数z=a+bi 的模|Z|=22a b +, 且2||z z z ⋅==a 2+b 2.6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨=⎩. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
4．复数a+bi 的共轭复数是a －bi ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。
若b=0，则实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。
如(a+bi)(a －bi)= a 2+b 26．复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi ≠0)的复数x+yi 叫做复数a+bi 除以复数c+di 的商。
由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即22()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c di c di c di c d ++-++-==++-+.7．复数a+bi 的模的几何意义是指表示复数a+bi 的点到原点的距离。
（二）典型例题讲解1．复数的概念例1．实数m 取什么数值时，复数z=m+1+(m －1)i 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应的点Z 在第三象限？解：复数z=m+1+(m －1)i 中，因为m ∈R ，所以m+1，m －1都是实数，它们分别是z 的实部和虚部，∴ （1）m=1时，z 是实数； （2）m ≠1时，z 是虚数；（3）当1010m m +=⎧⎨-≠⎩时，即m=－1时，z 是纯虚数；（4）当1010m m +<⎧⎨-<⎩时，即m<－1时，z 对应的点Z 在第三象限。
例2．已知(2x －1)+i=y －(3－y)i ，其中x, y ∈R ，求x, y.解：根据复数相等的意义，得方程组211(3)x y y -=⎧⎨=--⎩，得x=25, y=4.例4．当m 为何实数时，复数z ＝2223225m m m ---+(m2+3m －10)i ；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．（1）z 为实数，则虚部m2+3m －10=0，即223100250m m m ⎧+-=⎨-≠⎩， 解得m=2，∴ m=2时，z 为实数。
（2）z 为虚数，则虚部m2+3m －10≠0，即223100250m m m ⎧+-≠⎨-≠⎩， 解得m ≠2且m ≠±5. 当m ≠2且m ≠±5时，z 为虚数．22223203100250m m m m m ⎧--=⎪+-≠⎨⎪-≠⎩，解得m=－21, ∴当m=－21时，z 为纯虚数．诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求．例5．计算：i ＋i2＋i3+ (i2005)解：此题主要考查in 的周期性．或者可利用等比数列的求和公式来求解（略） 诠释：本题应抓住in 的周期及合理分组．例8．使不等式m2－(m2－3m)i ＜(m2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m ＝ . 解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．∵ m2－(m2－3m)i ＜(m2－4m ＋3)i ＋10, 且虚数不能比较大小，∴2221030430m m m m m ⎧<⎪-=⎨⎪-+=⎩，解得||100或33或1m m m m m <⎧⎪==⎨⎪==⎩，∴ m=3.当m ＝3时，原不等式成立．诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。
例9．已知z=x ＋yi(x ，y ∈R)，且222log 8(1log )x y i x y i ++-=-，求z ． 解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法．∵ 222log 8(1log )x y i x y i ++-=-，∴22280log 1log x y x y +⎧-=⎨=-⎩，∴32x y xy +=⎧⎨=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩或12x y =⎧⎨=⎩, ∴ z ＝2＋i 或z ＝1＋2i ．诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）例10．已知x 为纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y)i ，求x 、y 的值．解：本题主要考查复数的有关概念，实数与i 的运算，复数相等的充要条件，方程组的解法． 设x ＝ti (t ∈R ，且t ≠0），则2x －1＋i ＝y －(3－y)i 可化为2ti －1＋i ＝y －(3－y)i ，即(2t ＋1)i －1=y －(3－y)i ，∴21(3)1t y y +=--⎧⎨-=⎩, ∴y=－1, t=－25, ∴ x=－25i.2．复数的四则运算例1．计算：（1）22(1)(1)(1)nn i i -+-，n ∈N+；（2）若ω=－21+23i ，ω3=1，计算6633()()22i i +-++；（3）2(32)(52)(53)(23)(25)i i i i i +++--；（4）S=1+2i+3i2+4i3+ (100i99)解：（1）22(1)(1)(1)n n i i -+-=2212(1)2[](1)()(2)(1)2(1)2n n n i i i i i i i ++⋅-=⋅-=-⋅-- =221,22,i n k k N i n k k N ++⎧=-∈⎨-=∈⎩.=－2.（3）由于3223i i i +=-, 5225i ii +=-,∴2(32)(52)(53)(23)(25)i i i i i +++--=222|(53)||(53)|(53)i i i i ⋅⋅+=+=+ =8.（4）S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+……+(97i96+98i97+99i98+100i99) =(1+2i －3－4i)+(5+6i －7－8i)+……+(97+98i －99－100i)=25(－2－2i)=－50－50i.例2．已知复数z 满足|z －2|=2，z+4z ∈R ，求z.解：设z=x+yi, x, y ∈R ，则 z+4z =z+22222244()44()z x yi x y x yi x y i zzx y x y x y -=++=++-+++， ∵ z+4z ∈R ，∴224y y x y -+=0， 又|z －2|=2, ∴ (x －2)2+y2=4, 联立解得，当y=0时, x=4或x=0 (舍去x=0, 因此时z=0)，当y ≠0时, 13x y =⎧⎪⎨=±⎪⎩, z=1±3, ∴ 综上所得 z1=4，z2=1+3i ，z3=1－3i.例3．设z 为虚数，求证：z+1z 为实数的充要条件是|z|=1.证明：设z=a+bi (a, b ∈R ，b ≠0)，于是 z+1z =(a+bi)+2222221()()a bi a b a bi a b i a bi a b a b a b -=++=++-++++,所以b ≠0, (z+1z )∈R ⇔b －22ba b +=0⇔a2+b2=1⇔|z|=1.例4．复数z 满足(z+1)(z +1)=|z |2，且11z z -+为纯虚数，求z.解：设z=x+yi (x, y ∈R)，则 (z+1)(z +1)=|z |2+z+z +1=|z |2，∴ z+z +1=0，z+z =－1，x=－21.11z z -+=22(1)(1)||1(1)(1)|1|z z z z z z z z -++--=+++=2221|1|x y x yi x yi z +++-+-+为纯虚数，∴ x2+y2－1=0, y=±23, ∴ z=－21+23i 或z=－21－23i.整理得(4x －12y)－(8x+2y)i=4－34i.∴ 41248234x y x y -=⎧⎨+=⎩, 解得41x y =⎧⎨=⎩, ∴ z=4+i.例6．设z 是虚数，ω=z+1z 是实数，且－1<ω<2，（1）求|z|的值及z 的实部的取值范围；（2）设u=11zz -+，求证u 为 纯虚数；（3）求ω－u2的最小值。
解：（1）设z=a+bi (a, b ∈R, b ≠0)，则ω=2222()()a b a b i a b a b ++-++，由于ω是实数且b ≠0，∴ a2+b2=1， 即|z|=1，由ω=2a, －1<ω<2, ∴ z 的实部a 的的取值范围是(－21, 1).（2）u=11z z -+=222211221(1)1a bi a b bi bi a bia b a -----==-+++++，由于a ∈(－21, 1), b ≠0， ∴ u 是纯虚数。