虚数知识点课件
虚数高中课件
向量的加、减、乘、除等运算可以用 于复数的运算，有助于理解复数的几 何意义。
复数的模与辐角
模的定义
复数z=a+bi的模定义为√(a^2+b^2)，表示向量起点到终点的长 度。
辐角的定义
复数z=a+bi的辐角定义为arctan(b/a)，表示向量与实数轴之间的 夹角。
模与辐角的关系
每个复数z=a+bi都对应一个模和辐角，模表示向量的长度，辐角 表示向量与实数轴之间的夹角。
虚数高中课件
• 虚数简介 • 虚数的几何意义 • 虚数的运算 • 虚数在实际中的应用 • 虚数与复数的关系
01
虚数简介
虚数的定义
01
虚数的定义
02
03
虚数与实数的区别
虚数的应用
虚数是实数的扩展，它包括负数 、正数和零的平方根，表示为i（ 其中i^2 = -1）。
虚数与实数在形式上不同，实数 在坐标系中对应于x轴，而虚数 则对应于y轴。
02
交流电的功率和能量可以通过复数计算，虚数部分 表示无功功率。
03
交流电机和变压器的设计也需要用到虚数，以计算 电感和电容的影响。
在量子力学中的应用
量子力学中的波函数通常用复数 表示，虚数部分表示波函数的振
幅。
量子力学中的能量和动量也常常 用复数表示，虚数部分表示能量
和动量的虚部。
虚数在量子力学中还用于描述自 旋和角动量等物理量。
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虚数是复数的一种特殊形式，表示为i 或-i，其中i是虚数单位，满足i^2=-1 。虚数不能表示为实数，但可以与实 数结合形成复数。
复数是实数和虚数的组合，形式为 a+bi，其中a和b是实数，i是虚数单 位。复数可以表示为平面上的点或向 量。
新教材高中数学第5章复数1复数的概念及其几何意义 复数的几何意义课件北师大版必修第二册
z1，z2 对应的点之间的距离．
思考2：复数模的几何意义是什么？ 提示：复数z在复平面内对应的点为Z,r表示一个大于0的常数,则满足 条 件 |z| ＝ r 的 点 Z 的 轨 迹 为 以 原 点 为 圆 心 , r 为 半 径 的 圆 , |z|<r 表 示 圆 的 内 部,|z|>r表示圆的外部．
C．(0,0)
D．(－1,－1)
3．向量a＝(－2,1)所对应的复数是
A．z＝1＋2i
B．z＝1－2i
C．Z＝－1＋2i
D．z＝－2＋i
(A ) (D )
4．已知复数 z＝1＋2i(i 是虚数单位)，则 z ＝___1_－__2_i _.
[解析] 因为 z＝1＋2i，所以 z ＝1－2i.
5．已知复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点位于第二象限，则实数 m 的范围为__(_1_，___2_)_.
[分析] 根据复数与点、复数与向量的关系求解．
[解析] (1)两个复数对应的点分别为 A(10,7)，B(－6，1)，则 C(2,4)．故 其对应的复数为 2＋4i.
(2)①由复数的几何意义知： O→A＝(1,0)，O→B＝(2,1)，O→C＝(－1,2)， 所以A→B＝O→B－O→A＝(1,1)，A→C＝O→C－O→A＝(－2,2)，B→C＝O→C－O→B＝ (－3,1)，所以A→B，A→C，B→C对应的复数分别为 1＋i，－2＋2i，－3＋i.
[解析] 因为复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点(m2－2，m－1)位于 第二象限，所以 m2－2<0，且 m－1>0，所以 1<m< 2.
虚数知识点总结图
虚数知识点总结图一、虚数的基本概念1.1 复数与虚数复数是由实数和虚数构成的数，形如a+bi的数称为复数，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，且i²=-1。
当虚部b不为0时，该复数称为虚数。
1.2 虚数的定义虚数是实数与虚数单位i乘积得到的数，虚数单位i满足i²=-1。
虚数可以表示为bi，其中b为实数，被称为虚部。
虚数的实部为0。
1.3 虚数的表示虚数可以表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部。
或者用复数形式表示为z=0+bi。
1.4 虚数的实部和虚部对于复数z=a+bi，实部为a，虚部为b，即Re(z)=a，Im(z)=b。
二、虚数的性质2.1 虚数单位的性质虚数单位i的平方为-1，即i²=-1。
2.2 虚数的加法性质对于两个虚数z1=a+bi和z2=c+di，它们的和为z1+z2=(a+c)+(b+d)i。
2.3 虚数的乘法性质对于两个虚数z1=a+bi和z2=c+di，它们的乘积为z1*z2=(a*c-b*d)+(a*d+b*c)i。
2.4 虚数的幂运算虚数i的幂运算规律为i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1，i⁵=i，……依此类推。
虚数单位i的幂运算结果具有周期性。
2.5 虚数的共轭对于复数z=a+bi，其共轭复数z的定义为z*=a-bi，即虚部的符号取反。
2.6 虚数的模对于复数z=a+bi，其模的定义为|z|=(a²+b²)^(1/2)。
2.7 虚数的辐角对于复数z=a+bi，其辐角的定义为φ=arctan(b/a)。
2.8 虚数的除法对于两个虚数z1=a+bi和z2=c+di，它们的商可以通过乘以分子的共轭并除以分母的模得到：z1/z2=(a+bi)/(c+di) = (a+bi)*(c-di)/(c²+d²)。
2.9 虚数的指数形式虚数可以用指数形式表示为z=a+bi=|z|*e^(iφ)，其中|z|为模，φ为辐角。
复数的运算 课件
C.－1＋i
√D.－1－i
解析 因为1－z i2＝1＋i， 所以 z＝11－＋ii2＝－1＋2ii＝－2i21－i＝－1－i.
12345
4.如果 z＝1－2i，那么 z100＋z50＋1＝___i__. 解析 z2＝1－2i2＝i， 则z100＋z50＋1＝(z2)50＋(z2)25＋1 ＝i50＋i25＋1＝－1＋i＋1＝i.
反思 感悟
(1)有关复数z及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质： ①设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·z＝a2＋b2.②z∈R⇔z＝z . (2)紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问 题是解决本题的关键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础.
跟踪训练 已知 z∈C， z 为 z 的共轭复数，若 z·z －3i z ＝1＋3i，求 z.
知识点二 复数的乘法运算
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd) ＋(ad＋bc)i. 2.乘法运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝_z_2_z1_
结合律
(z1z2)z3＝_z_1(_z_2_z3_)_
解 1＋i＋i2＋…＋i2 018＋i2 019＋i2 020＋i2 021＝1＋i2 021 ＝1＋i.
(2)(1＋i)2 020＋(1－i)2 020.
解 (1＋i)2 020＋(1－i)2 020 ＝(1＋i)2 020＋[(1－i)2]1 010 ＝(2i)1 010＋(－2i)1 010 ＝21 010·i2＋21 010i2＝－21 011.
反思 感悟
复数加减运算法则的记忆方法 (1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. (2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项.
高中数学第7章复数章末知识梳理课件新人教A版必修第二册
所以a的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．
(4)依题设(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0，所以a＝2.
对点练习❶ (1)复数1－1 3i的虚部是( D )
A．－130
B．－110
C．110
D．130
(2)设z是复数，则下列命题中的假命题是( C )
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
典例 3 复数 z 满足|z＋3－ 3i|＝ 3，求|z|的最大值和最小值． [解析] |z＋3－ 3i|＝ 3表示以－3＋ 3i 对应的点 P 为圆心，以 3为 半径的圆，如图所示，则|OP|＝|－3＋ 3i|＝ 12＝2 3， 显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋ 3＝3 3，|z|min＝|OB|＝|OP|－ 3＝ 3.
(1)求z1； (2)若复数z2＝a＋bi(a，b∈R)，且z2＋az＋b＝1－i，求|z1－z2|.
[解析] (1)由已知复数 z＝1＋i2－2＋i 3－i＝2i＋2－3－i i ＝32＋ －ii＝23－＋ii22＋＋ii＝1＋i，
因为复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它们实部互 为相反数，虚部相等，
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
[解析] (1)因为1－1 3i＝1－13＋i13＋i 3i＝110＋130i， 所以复数1－1 3i的虚部是130. (2)设 z＝a＋bi(a，b∈R)， 则 z2＝a2－b2＋2abi，若 z2≥0，则aab2－＝b02，≥0，
即 b＝0，故 z 是实数，A 正确；若 z2<0，则aab2－＝b02，<0， 即ab＝≠00，， 故 B 正确；若 z 是虚数，则 b≠0，z2＝a2－b2＋2abi 无法与 0 比较大小， 故 C 是假命题；若 z 是纯虚数，则ab＝≠00，， z2＝－b2<0，故 D 正确.
高中数学第五章复数3.1复数的三角表示式3.2复数乘除运算的几何意义课件北师大版必修第二册
π
6
,于是
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
复数三角形式的乘法运算
例2计算下列各式
(1) 2 cos
π
12
π
+ isin
π
· 3 cos
12
π
(2)3 cos 4 + isin 4 ·7 cos
π
π
(3) 2 cos 3 + isin 3
4
;
(4)(cos 36°+isin 36°)5.
3π
4
5π
且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
π
3π
显然当a>0时,arg a=0,arg(-a)=π,arg(ai)=2 ,arg(-ai)= 2 .
如果z=0,那么与它对应的向量 缩成一个点(零向量),它的方向是
任意的,所以复数0的辐角也是任意的.
激趣诱思
知识点拨
名师点析(1)复数的三角形式的特征:
6
i= 2 -1 −
2
2
3
2
i = 2(-cos 60°-isin 60°)
= 2(cos 240°+isin 240°).将绕点 O 按顺时针方向旋转 120°,
然后将所得向量的模伸长到 2 倍,则所得向量对应的复数为:
1
2(cos 240°+isin 240°)÷2(cos 120°+isin 120°)
=3(0+i)=3i;
(2)原式=9(cos 360°+isin 360°)=9(1+0)=9.
激趣诱思
知识点拨
微练习2
2
设 z=- 2 −
《复数基础知识》课件
02
计算方法：利用三角函数的加Байду номын сангаас公式 和减法公式可以计算出复数的乘积和 商。
03
应用：复数的乘除运算是复数运算的 基本法则之一，它们在解决实际问题 中具有广泛的应用。
03
复数的应用
在电路分析中的应用
总结词
利用复数表示交流电的各种参数，如电压、电流、阻抗等，简化计算过程。
详细描述
在电路分析中，许多参数如电压、电流、阻抗等都是时间的函数，具有频率和相 位。利用复数表示这些参数，可以将实数和虚数部分合并，方便进行计算和比较 。通过复数运算，可以快速得到电路的响应，简化计算过程。
在信号处理中的应用
总结词
利用复数进行信号的频谱分析和滤波器设计。
详细描述
在信号处理中，频谱分析和滤波器设计是常见的任务。复数可以用于表示信号的频谱，使得频谱分析变得简单直 观。同时，利用复数进行滤波器设计，可以方便地实现低通、高通、带通等不同类型的滤波器。通过复数运算， 可以快速得到滤波器的响应，提高信号处理的效率。
利用复数的模和辐角，可以将任意复 数转换为三角形式。
复数的模与辐角
定义
复数的模定义为 $sqrt{a^2 + b^2}$， 辐角定义为 $arctan(frac{b}{a})$， 当$a > 0$时，辐角在 第一象限；当$a < 0$ 时，辐角在第三象限。
计算方法
利用勾股定理和反正切 函数可以计算出任意复 数的模和辐角。
控制工程
在控制工程中，系统的传递函数和 稳定性分析通常需要用到复数，以 描述系统的动态特性。
05
复数与实数的关系
复数与实数的转化关系
实数轴上每一个点都 可以对应一个复数， 反之亦然。
第七章 复数 小结课件(共27张PPT)
z1 z2 =2 2(cos
sin
12
12
i sin
12
， (3)z1 z2
6 2
4
)= 3+1+( 3 1)i
求：
例2.已知 z1 1+ 3i
解：
z2 1 i
z2
1 i
(1 i )(1 3i )
=
z1 1+ 3i (1+ 3i )(1 3i )
(2) |z|＝_x001A__x001B_a2＋2_x001B_为z的模.
例1.已知z＝m－2＋(m＋1)i，试求实数m的取值，使得
(1) z是纯虚数;
(2) z是实
数；
(3) ҧ 在复平面内对应的点位于第三象限.
(4) |ҧ |=3
例1.已知z＝m－2＋(m＋1)i，试求实数m的取值，使得
1
1
1
2
2
得－2sin θ＝－2，即 sin θ＝4，所以 sin θ＝±2.
2
1
π 5π
又因为 θ∈(0，π)，所以 sin θ＝2，所以 θ＝6或 6 .
总结
我们一起总结一下本节课的复习内容
两大内容：复数的概念，复数的运算
“复数的概念”的重难点是复数的几何意义
“复数的运算”的重难点是复数的代数运算
解：
2 z1 z2 2(1 3i ) 1 i 3 (2 3 1)i
求：
例2.已知 z1 1+ 3i
z2 1 i
， (2) z1 2 z2
解：
z1 2 z2 1 3i 2(1 i ) 1 ( 3+2)i
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虚数知识点课件
什么是虚数？
在数学中，虚数是指不带有数字部分的数，以字母“i” 来表示。
虚数是一个特
殊类型的复数，它的平方值为负数。
与虚数相对的是实数，它们是我们日常生活中常见的数字。
虚数的定义和表示
虚数定义为一个实数乘以虚数单位“i”。
虚数单位“i” 定义为满足等式 i^2 = -1
的数。
这样的定义使得虚数在数学运算中起到了重要的作用。
虚数可以用 a + bi 的形式表示，其中“a” 为实部，“b” 为虚部。
例如，复数 3 +
2i 中，实部为 3，虚部为 2i。
虚数的性质和运算
1.虚数单位的平方为 -1，即 i^2 = -1。
2.虚数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
3.虚数的乘法满足交换律和结合律。
4.虚数与实数可以进行运算，结果仍为复数。
虚数的应用
虚数在数学和物理中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：
1.电路分析：虚数常用于描述交流电路中的电压和电流。
2.量子力学：虚数常用于描述量子力学中的波函数。
3.控制系统：虚数在控制系统中用于描述系统的稳定性和频率响应。
4.信号处理：虚数在信号处理中用于频域分析和滤波。
总结
虚数是数学中的重要概念，它是复数中的一种特殊形式。
虚数由实数乘以虚数
单位“i” 得到，其中“i” 是满足 i^2 = -1 的数。
虚数具有一些特殊的性质，可以进行
各种运算。
虚数在电路分析、量子力学、控制系统和信号处理等领域有广泛的应用。
希望这份虚数知识点课件能够帮助大家更深入地理解虚数的概念和应用。
如果
有任何问题，欢迎讨论和交流！。