灰狼算法和粒子群算法

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粒子群算法原理

粒子群算法原理粒子群算法（ParticleSwarmOptimization，简称PSO）是一种基于群体智能的启发式算法，它由Ken Kennedy和James Kennedy在1995年发明，其目的是模拟物种在搜寻食物路线的过程。

PSO的思路同于生物群体中存在的社会行为，它根据所有参与计算的粒子（即搜索者）以及它们的历史经验进行搜索，以寻找最优解。

在这里，最优解是指可以满足我们的要求的最佳结果（给定的目标函数的最小值）。

PSO把一个群体看成一组搜索者，每个搜索者搜索有一个动态位置，每一步采用一个较优位置取代先前的位置，称之为粒子。

每个粒子都具有一个当前位置，一个速度，一个粒子最佳位置（全局最佳位置）和一个全局最佳位置（群体最佳位置）。

粒子群算法是一种迭代优化算法，它由以下4个步骤组成：1.始化粒子群：在此步骤中，使用随机算法给每个粒子分配初始位置和速度，通常使用均匀分布。

2.解目标函数：计算每个粒子的位置对应的目标函数值，并记录每个粒子的最佳位置以及群体最佳位置。

3.新粒子位置：根据群体最佳位置和每个粒子的最佳位置，更新每个粒子的位置以及速度，它们的新的位置和速度可以使用如下公式来计算：V(t+1)=V(t)+C1*rand(1)*(Pbest(t)-X(t))+C2*rand(2)*(Gbest(t) -X(t))X(t+1)=X(t)+V(t+1)其中，C1和C2是可调的引力系数，rand（1）和rand（2）是随机数，Pbest(t)和Gbest(t)分别表示每个粒子和群体中最佳位置。

4.复步骤2和3，直到收敛或者达到最大迭代次数。

由于粒子群算法有效而且简单，它已经在许多领域应用，比如多目标优化、复杂系统建模、神经网络训练等。

尽管PSO有许多优点，但它也有一些不足，比如，它可能不能收敛到全局最优解，可能会被局部最优解所困扰。

另外，由于其简单的搜索过程，它的计算速度很快，但是它的搜索效率可能不太高。

基于IAOA-PNN模型的天然气压缩因子计算方法研究

采输技术DOI ：10.3969/j.issn.1001-2206.2023.06.012基于IAOA-PNN 模型的天然气压缩因子计算方法研究孙玮中国石油华北油田分公司检验检测中心，河北任丘062552摘要：针对部分压气站未设置气相色谱分析仪，无法获取天然气压缩因子的现状，通过拉丁超立方抽样获取虚拟天然气组分样本，随后以准确度较高的GERG-2008方程为基础，计算天然气密度、热值和压缩因子，形成具有热力学性质的天然气数据库，最后搭建概率神经网络（PNN）模型用于数据的训练、验证和预测，并对预测模型结果进行现场验证。

结果表明，IAOA 算法在收敛速度、训练精度和稳定性上优于AOA 算法、PSO 算法和GWO 算法，证明了算法从种群初始化和密度因子方面进行优化的有效性和科学性；现场校验时本文模型的相对误差维持在-1%~2%之间，且对于组分含量和工况的变化不敏感，可适用于大部分管输气的工况条件；密度是影响算法精度的重要参数，在参数缺失的情况下，应优先保证现场具有监测温度、压力和密度的仪器设备。

关键词：压缩因子；AOA；PNN；GERG-2008方程；相对误差Research on the calculation method of natural gas compression factor based on IAOA-PNN modelSUN WeiInspection and Testing Center of Petrochina Huabei Oilfield Company,Renqiu 062552,ChinaAbstract：In response to the situation where some pressurized gas stations do not have gas chromatography analyzers and cannot obtain natural gas compression factors,this study used Latin hypercube sampling to obtain virtual natural gas component samples.Subsequently,based on the highly accurate GERG-2008equation,natural gas density,calorific value and compression factor of natural gas were calculated to create a thermodynamic natural gas database.Finally,a probabilistic neural network (PNN)model was built for data training,verification and prediction,and the results of the prediction model are verified on site.The results show that IAOA algorithm is superior to AOA algorithm,PSO algorithm and GWO algorithm in convergence speed,training accuracy and stability,which proves that the algorithm is effective and scientific in population initialization and density factor optimization.The relative error of this model is between -1%and 2%,and it is not sensitive to the change of component content and working conditions,making it suitable for most gas transmission conditions.Density is an important parameter that affects the accuracy of the algorithm,and in cases of missing parameters,it is important to prioritize the presence of equipment and instruments for monitoring temperature,pressure,and density on-site.Keywords：compression factor;AOA;PNN;GERG-2008equation;relative error天然气作为清洁能源，在我国实现“碳达峰”“碳中和”的目标中占有重要地位[1]。

基于粒子群灰狼混合算法的多目标约束优化问题求解

基于粒子群灰狼混合算法的多目标约束优化问题求解
黄星;卢宇;申亮;林兵
【期刊名称】《小型微型计算机系统》
【年(卷),期】2023(44)2
【摘要】近年来,多目标优化问题引起了广泛关注,其求解目标多、目标函数复杂,当前方法通常将所有目标加权后求解,但这些方法会造成解集缺乏准确性.针对上述情况,本文首先根据目标分解的框架:辅助目标和等价目标约束优化框架,该框架是将约束优化的问题分解为辅助目标和等价目标相结合的优化问题,同时动态调整所分解出的对应子问题的权值,使分解出的子问题求解趋向于等价目标求解.其次基于粒子群优化算法和灰狼优化算法的各自优势,提出参数自适应的粒子群灰狼混合算法,混合算法的优势集合了粒子群算法的收敛性快和灰狼算法的搜索过程多样性,从而提高粒子进化过程的准确性.通过IEEE CEC2017数据集测试的结果表明:在调参合适的情况下,获得的函数最优值个数多于乌鸦搜索、受约束的模拟退火、带约束的水循环等经典算法,在10D情况下,28个测试函数中11个测试函数表现最佳;在30D的情况下,12个测试函数表现最佳.
【总页数】12页(P288-299)
【作者】黄星;卢宇;申亮;林兵
【作者单位】福建师范大学物理与能源学院;福建师范大学协和学院;福建商学院;福建省信息网络重点实验室
【正文语种】中文
【中图分类】TP18
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一种求解最优潮流的改进灰狼优化算法

第１４卷㊀第３期Ｖｏｌ．１４Ｎｏ．３㊀㊀智㊀能㊀计㊀算㊀机㊀与㊀应㊀用ＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔＣｏｍｐｕｔｅｒａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ㊀㊀２０２４年３月㊀Ｍａｒ．２０２４㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号：２０９５－２１６３（２０２４）０３－００４６－０８中图分类号：ＴＥ３４１文献标志码：Ａ一种求解最优潮流的改进灰狼优化算法王㊀恒，杨㊀婷（铜仁职业技术学院信息工程学院，贵州铜仁５５４３００）摘㊀要：最优潮流是电力系统最关键的问题之一，本文采用一种求解最优潮流的改进灰狼优化算法（ＬＭＧＷＯ）求解最优潮流（ＯＰＦ）问题，该算法引入算术优化算法（ＡｒｉｔｈｍｅｔｉｃＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＡｌｇｏｒｉｔｈｍ，ＡＯＡ）中的乘除算子，利用带透镜成像的反向学习策略增强最优个体的多样性，提高算法跳出局部最优的能力㊂通过与几种常用的算法进行对比实验表明：本文提出的ＬＷＧ⁃ＷＯ算法是有竞争力的，总体上优于对比算法；ＬＭＧＷＯ算法在最小化燃料成本㊁有功输电损耗和改善电压偏差方面更有效地找到了最优潮流（ＯＰＦ）问题的最优解㊂关键词：灰狼优化算法；最优潮流；算术优化算法；燃料成本；有功输电损耗ＡｎｉｍｐｒｏｖｅｄｇｒｅｙｗｏｌｆｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｏｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗＷＡＮＧＨｅｎｇ，ＹＡＮＧＴｉｎｇ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＴｏｎｇｒｅｎＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃＣｏｌｌｅｇｅ，Ｔｏｎｇｒｅｎ５５４３００，Ｇｕｉｚｈｏｕ，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｏｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗｉｓｏｎｅｏｆｔｈｅｍｏｓｔｃｒｉｔｉｃａｌｐｒｏｂｌｅｍｓｉｎｐｏｗｅｒｓｙｓｔｅｍ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ａｎｉｍｐｒｏｖｅｄＧｒｅｙＷｏｌｆＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＡｌｇｏｒｉｔｈｍ（ＬＭＧＷＯ）ｉｓｕｓｅｄｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗ（ＯＰＦ）ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｉｎｔｈｉｓａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎａｎｄｄｉｖｉｓｉｏｎｏｐｅｒａｔｏｒｓｉｎｔｈｅＡｒｉｔｈｍｅｔｉｃＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＡｌｇｏｒｉｔｈｍ（ＡＯＡ）ａｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ｔｈｅｒｅｖｅｒｓｅｌｅａｒｎｉｎｇｓｔｒａｔｅｇｙｗｉｔｈｌｅｎｓｉｍａｇｉｎｇｉｓｕｓｅｄｔｏｅｎｈａｎｃｅｔｈｅｄｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆｏｐｔｉｍａｌｉｎｄｉｖｉｄｕａｌｓａｎｄｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅａｂｉｌｉｔｙｏｆｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｔｏｊｕｍｐｏｕｔｏｆｔｈｅｌｏｃａｌｏｐｔｉｍａｌ．Ｔｈｒｏｕｇｈｃｏｍｐａｒａｔｉｖｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌａｎａｌｙｓｉｓｏｆｓｅｖｅｒａｌｃｏｍｍｏｎｌｙｕｓｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ，ｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄＬＷＧＷＯａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｃｏｍｐｅｔｉｔｉｖｅａｎｄｇｅｎｅｒａｌｌｙｓｕｐｅｒｉｏｒｔｏｒｅｃｅｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ．ＴｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔＬＭＧＷＯａｌｇｏｒｉｔｈｍｃａｎｆｉｎｄｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆＯＰＦｐｒｏｂｌｅｍｍｏｒｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙｉｎｔｅｒｍｓｏｆｍｉｎｉｍｉｚｉｎｇｆｕｅｌｃｏｓｔ，ａｃｔｉｖｅｐｏｗｅｒｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｌｏｓｓａｎｄｉｍｐｒｏｖｉｎｇｖｏｌｔａｇｅｄｅｖｉａｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｇｒｅｙｗｏｌｆｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｏｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗ；ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｆｕｅｌｃｏｓｔ；ａｃｔｉｖｅｐｏｗｅｒｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｌｏｓｓ基金项目：铜仁市科学技术局基础科学研究项目（铜市科研（２０２２）７２号）㊂作者简介：王㊀恒（１９８５－），男，博士研究生，讲师，主要研究方向：智能计算与混合系统㊁人工智能㊁故障诊断研究等㊂Ｅｍａｉｌ：ｗａｎｇｈｅｎｇ＿ｔｒｚｙ＠ｆｏｘｍａｉｌ．ｃｏｍ收稿日期：２０２３－０６－１６０㊀引㊀言最优潮流（ＯＰＦ）问题是电力系统运行过程中备受关注的焦点问题，旨在找到最优的运行方式，使得电力系统的运行成本最低，同时满足安全㊁稳定和环保等约束条件㊂ＯＰＦ问题的求解是在满足一系列物理㊁环境㊁实际和运行的约束条件下，通过优化特定的目标来确定电力系统的运行状态㊂在此之前，许多传统的优化技术的应用已获成功，包括基于梯度的方法㊁牛顿法㊁单纯形法㊁序列线性规划和内点法［１－５］㊂由于ＯＰＦ问题本质上是一个多极㊁多约束㊁非凸的复杂优化问题，使用传统的数值方法来求解，过程复杂㊁耗时且精度较差㊂近年来，元启发式算法的快速发展为解决ＯＰＦ问题提供了更多的选择㊂元启发式算法具有参数少㊁易于操作㊁不需要梯度信息等优点，能够在合理的时间内和高度复杂的约束条件下找到复杂问题的最优解㊂刘自发等学者［６］提出了一种基于混沌粒子群优化方法的电力系统无功最优潮流（ＯＰＦ）问题㊂Ｆａｒｈａｔ等学者［７］提出了一种基于邻域维度学习搜索策略的增强型黏液霉菌算法（ｅｎｈａｎｃｅｄｓｌｉｍｅｍｏｕｌｄａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ＥＳＭＡ）用于求解最优潮流（ＯＰＦ）问题等等㊂越来越多的元启发式算法被广泛用于解决电力系统优化相关问题［８－１３］㊂灰狼优化算法（ｇｒｅｙｗｏｌｆｏｐｔｉｍｉｚｅｒ，ＧＷＯ）是由Ｍｉｒｊａｌｉｌｉ等学者［１４］在２０１４年上提出的一种新的元启发式算法㊂灰狼优化算法（ＧＷＯ）原理简单㊁编程容易㊁需要调整的参数少，现已陆续应用于电力系统㊁自动控制㊁能源市场战略招标等领域［１５－１７］㊂然而，与许多元启发式优化算法一样，灰狼优化算法（ＧＷＯ）在求解复杂的非线性问题时容易陷入局部最优且收敛速度慢㊂针对原有灰狼优化算法在求解最优潮流（ＯＰＦ）问题时存在的不足，提出了一种改进的灰狼优化算法（ＬＭＧＷＯ算法）㊂基于镜头成像学习和乘除算子策略对原灰狼优化算法（ＧＷＯ）进行改进，主要有２点改进：（１）为了增强算法的全局探索能力，引入乘除算子策略，提高算法的收敛速度；（２）为增强最优个体的多样性，引入透镜成像修正反向学习策略，提高算法跳出局部最优的能力㊂１㊀最优潮流公式最优潮流（ＯＰＦ）问题是典型的多变量㊁多约束的非线性组合优化问题㊂最优潮流（ＯＰＦ）问题的求解过程是通过寻找最优的控制变量来获得最小的目标函数㊂数学模型定义如下：ｍｉｎＦ（ｕ，ｘ）ｓ．ｔ．ｇ（ｕ，ｘ）＝０ｈ（ｕ，ｘ）ɤ０{㊀㊀其中，Ｆ表示目标函数；ｘ表示控制变量；ｕ表示状态变量；ｇ（ｕ，ｘ）＝０是等式约束；ｈ（ｕ，ｘ）ɤ０是不等式约束㊂１．１㊀控制变量和状态变量最优潮流（ＯＰＦ）问题公式中的控制变量集合为：㊀㊀ｘ＝［ＰＧ２，，ＰＧＮＧ，ＶＧ１，，ＶＧＮＧ，Ｔ１，，ＴＮＴ，ＱＣ１，，ＱＣＮＣ］（１）其中，ＰＧ２，，ＰＧＮＧ为系统除松弛母线外的有功发电量；ＶＧ１，，ＶＧＮＧ为系统的电压幅值；Ｔ１，，ＴＮＴ为变压器分接设定值；ＱＣ１，，ＱＣＮＣ为并联无功补偿；ＮＧ㊁ＮＴ㊁ＮＣ分别为发电机个数㊁调节变压器个数㊁无功补偿器个数㊂最优潮流（ＯＰＦ）问题表述的状态变量集合为：ｕ＝［ＰＧ１，ＶＬ１，，ＶＬＮＬ，ＱＧ１，，ＱＧＮＧ，Ｓｌ１，，Ｓｌｎｌ］（２）其中，ＰＧ为空闲母线输出有功功率；ＶＬ为负载母线电压幅值；ＱＧ为各发电机组输出无功功率；Ｓｌ为输电线路负载㊂１．２㊀目标函数将燃油成本㊁有源输电损耗和电压偏差作为最优潮流（ＯＰＦ）问题的目标函数㊂各目标函数的数学模型定义如下㊂（１）燃料成本（ＦＣ）㊂描述发电成本的目标函数，可得数学建模如下：Ｆ１（ｘ，ｕ）＝ðＮｇｉ＝１（ａｉ＋ｂｉＰＧｉ＋ｃｉＰ２Ｇｉ）（３）㊀㊀其中，Ｎｇ为发电机个数；ａｉ，ｂｉ，ｃｉ为第ｉ台发电机组的燃料成本系数；ＰＧｉ为第ｉ台发电机组的实际发电量㊂（２）有功输电损耗（ＡＰＬ）㊂传输线的ＡＰＬ可表示为：㊀Ｆ２（ｘ，ｕ）＝ðｉ，ｊɪＮｌＧｉｊＶ２ｉ＋Ｖ２ｊ－２ＶｉＶｊｃｏｓ（θｉｊ）()（４）㊀㊀其中，Ｎｌ为输电线路数；Ｇｉｊ为线路ｉｊ的传递电导；Ｖｉ为第ｉ根母线的电压幅值；Ｖｊ为第ｊ根母线的电压幅值；θｉｊ为母线ｉ与ｊ之间的电压相角之差㊂１．３㊀约束条件在最优潮流（ＯＰＦ）问题中，等式约束和不等式约束是电力系统需要满足的约束，通常是每个节点的功率平衡约束，可以通过式（５）和式（６）进行定义：ＰＧｉ－ＰＤｉ＝ＶｉðＮｉ，ｊ＝１Ｖｊ（Ｇｉｊｃｏｓ（δｉ－δｊ）＋Ｂｉｊｓｉｎ（δｉ－δｊ））（５）ＱＧｉ－ＱＤｉ＝ＶｉðＮｉ，ｊ＝１Ｖｊ（Ｇｉｊｓｉｎ（δｉ－δｊ）－Ｂｉｊｃｏｓ（δｉ－δｊ））（６）其中，ＰＤｉ㊁ＱＤｉ分别为第ｉ台母线的有功㊁无功功率；ＰＧｉ和ＱＧｉ为第ｉ台发电机的无功发电量；Ｎ为母线个数；Ｇｉｊ和Ｂｉｊ分别为母线ｉ和ｊ之间的电导和电纳；Ｖｉ和Ｖｊ分别为母线ｉ和ｊ的电压幅值㊂２㊀改进的灰狼优化算法２．１㊀灰狼优化算法灰狼优化算法（ＧＷＯ）是模仿自然界灰狼群体社会等级和捕食行为而衍生的一种元启发式算法［１４］㊂灰狼群体的社会等级为α狼㊁β狼㊁δ狼和ω狼㊂狼的狩猎行为分为跟踪㊁包围和攻击猎物三个步骤㊂狼群包围猎物的数学模型定义为：Ｘ＝Ｘα（ｔ）－Ａ㊃｜Ｃ㊃Ｘα（ｔ）－Ｘ（ｔ）｜（７）㊀㊀其中，Ｘ和Ｘα分别表示狼个体和猎物个体的位置向量，ｔ表示当前迭代次数㊂系数向量Ａ和Ｃ定义为：Ａ＝２ａ㊃ｒ１－ａ（８）Ｃ＝２㊃ｒ２（９）㊀㊀其中，ｒ１和ｒ２是［０，１］之间的随机向量，ａ从２线性递减到０，其数学模型定义为：７４第３期王恒，等：一种求解最优潮流的改进灰狼优化算法ａ＝２－２㊃ｔＴｍａｘ（１０）㊀㊀其中，Ｔｍａｘ为最大迭代次数㊂包围猎物后，β狼和δ狼在α狼的带领下追捕猎物㊂在追捕过程中，狼群的个体位置会随着猎物的逃跑而发生变化㊂因此，灰狼群可以根据α㊁β㊁δ的位置Ｘα，Ｘβ，Ｘδ更新灰狼的位置：Ｘ１＝Ｘα（ｔ）－Ａ１㊃｜Ｃ１㊃Ｘα（ｔ）－Ｘ（ｔ）｜（１１）Ｘ２＝Ｘβ（ｔ）－Ａ２㊃｜Ｃ２㊃Ｘβ（ｔ）－Ｘ（ｔ）｜（１２）Ｘ３＝Ｘδ（ｔ）－Ａ３㊃｜Ｃ３㊃Ｘδ（ｔ）－Ｘ（ｔ）｜（１３）Ｘ（ｔ＋１）＝Ｘ１＋Ｘ２＋Ｘ３３（１４）㊀㊀其中，Ｘ（ｔ＋１）是当前个体的位置㊂２．２㊀改进ＧＷＯ算法的思路和策略２．２．１㊀算术乘除运算符策略２０２１年，Ａｂｕａｌｉｇａｈ等学者［１８］提出的一种新的元启发式算法，即算术优化算法（ＡｒｉｔｈｍｅｔｉｃＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＡｌｇｏｒｉｔｈｍ，ＡＯＡ），主要利用数学中的乘㊁除运算符以及加㊁减运算符四种混合运算㊂ＡＯＡ中的乘除算子具有较强的全局探索能力㊂灰狼种群在更新位置时侧重使用α狼㊁β狼和δ狼作为精英来引导搜索，具有较强的局部开发能力㊂引入算术乘除算子策略，提高ＧＷＯ算法的全局探索能力㊂算术乘除算子策略的数学模型定义为：Ｘｊｉ（ｔ＋１）＝Ｘｊｂｅｓｔː（ＭＯＰ＋ε）㊃［（ｕｂｊ－ｌｂｊ）㊃μ＋ｌｂｊ］，㊀ｒ３ɤ０．５ＸｊｂｅｓｔˑＭＯＰ㊃［（ｕｂｊ－ｌｂｊ）㊃μ＋ｌｂｊ］，㊀㊀㊀㊀ｒ３＞０．５{（１５）㊀㊀其中，Ｘｊｂｅｓｔ表示当前最优解的第ｊ个位置；ｒ３表示介于［０，１］之间的随机数；ε表示防止分母为０的整数；μ表示调节搜索过程的控制参数，μ的值在基本ＡＯＡ中为０．５；ｕｂｊ和ｌｂｊ分别表示第ｉ个位置的上下界㊂ＭＯＰ为概率函数，其数学模型描述为：ＭＯＰ＝１－ｔ１τＴ１τｍａｘ（１６）㊀㊀其中，τ＝５是一个敏感因子，定义了迭代的搜索精度㊂由式（１５）可知，ＡＯＡ可以带来高分布，借助乘除算子实现位置更新，可以大大提高算法的全局探索能力㊂本文设置阈值为０．３㊂２．２．２㊀基于透镜成像的反向学习策略根据灰狼的位置更新公式，由α狼㊁β狼和δ狼带领群体中的其他狼进行位置更新㊂如果α狼㊁β狼和δ狼都处于局部最优，则整个群体会聚集在局部最优区域，导致种群陷入局部最优㊂针对该问题，本文提出一种基于透镜成像原理的反向学习方法，将对立个体与当前最优个体相结合，生成新个体㊂假设在一维空间中，在轴区间［ｌｂ，ｕｂ］上有一个高度为Ｈ的个体Ｐ，其在ｘ轴上的投影为Ｘ（Ｘ为全局最优个体）㊂将焦距为Ｆ的镜头放置在基点位置Ｏ上（本文取基点位置为（ｌｂ＋ｕｂ／２））㊂个体Ｐ通过透镜，以获得高度为Ｈ的倒置图像Ｐ∗，在这点上，第一个倒置的个体ｘ通过透镜成像在Ｘ轴上产生㊂镜头图像的反向学习策略如图１所示㊂㊀㊀在图１中，全局最优个体Ｘ以Ｏ为基点找到其对应的逆个体Ｘ∗㊂因此，可以从透镜成像原理推导出数学模型，推得的公式为：（ｕｂ＋ｌｂ）／２－ＸＸ∗－（ｕｂ＋ｌｂ）／２＝ｈｈ∗（１７）㊀㊀设ｈ／ｈ∗＝ｋ，ｋ表示拉伸因子㊂通过推导式（１７），可以得到反转点Ｘ∗的计算公式：Ｘ∗＝ｕｂ＋ｌｂ２＋ｕｂ＋ｌｂ２ｋ－Ｘｋ（１８）xOh PXl bu b h*X *P*yF图１㊀基于镜头图像的反向学习策略Ｆｉｇ．１㊀Ｒｅｖｅｒｓｅｌｅａｒｎｉｎｇｓｔｒａｔｅｇｙｂａｓｅｄｏｎｌｅｎｓｉｍａｇｅ㊀㊀在算法搜索解时，使用拉伸因子ｋ作为微观调节因子，增强算法的局部开发能力㊂然而，在基本的透镜成像逆学习策略中，拉伸因子一般作为固定值使用，不允许算法探索解空间的全范围㊂为此，本文提出一种基于非线性动态递减的伸缩因子策略，在算法迭代初期可以得到较大的值，有助于算法在不同维度的区域进行更大范围的搜索，以提高种群的多样性㊂非线性动态拉伸因子定义为：㊀ｋ＝ｋｍａｘ－（ｋｍａｘ－ｋｍｉｎ）㊃［１－ｃｏｓ（πｔ２Ｔｍａｘ）］（１９）㊀㊀其中，ｋｍａｘ和ｋｍｉｎ分别表示最大和最小拉伸因子，Ｔｍａｘ表示最大迭代次数㊂可以将式（１８）扩展到Ｄ－维搜索空间，得到数学模型为：８４智㊀能㊀计㊀算㊀机㊀与㊀应㊀用㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第１４卷㊀Ｘ∗ｊ＝ｕｂｊ＋ｌｂｊ２＋ｕｂｊ＋ｌｂｊ２ｋ－Ｘｊｋ（２０）㊀㊀其中，Ｘｊ和Ｘ∗ｊ分别表示Ｘ和Ｘ∗的的第ｊ维向量，ｕｂｊ和ｌｂｊ分别表示决策变量的第ｊ维向量㊂基于透镜的反向学习策略虽然极大地提高了算法的求解精度，但无法直接判断生成的新反向个体是否优于原始个体㊂因此，本文引入贪心机制来比较新旧个体适应度值，从而筛选出最优个体㊂该方法不断获得更好的解，提高了算法的寻优能力㊂贪婪机制的数学模型描述如下：Ｘｎｅｗ（ｔ）＝Ｘ∗，㊀ｆ（Ｘ）＞ｆ（Ｘ∗）Ｘ，㊀ｆ（Ｘ）ɤｆ（Ｘ∗）{（２１）２．２．３㊀ＬＭＧＷＯ算法实现过程ＬＭＧＷＯ算法实现流程如图２所示㊂计算每只狼的适应度，从狼群中选出α狼、β狼和δ狼开始初始化狼群的位置t =t +1i f t ＜T m a x 结束运行式(19)~（22）执行基于透镜成像的反向学习策略i f r ＜0.3通过式(17）、式(18）执行算术乘除运算符策略通过式(13)~(16)更新狼群的位置计算适应度值更新向量α狼、β狼和δ狼图２㊀ＬＭＧＷＯ算法流程图Ｆｉｇ．２㊀ＦｌｏｗｃｈａｒｔｏｆＬＭＧＷＯａｌｇｏｒｉｔｈｍ３㊀实验３．１㊀实验环境及参数设置在Ｉｎｔｅｌ（Ｒ）Ｃｏｒｅ（ＴＭ）ｉ７－ｉ７－６５００ＵＣＰＵ㊁２．５０ＧＨｚ频率㊁８ＧＢ内存㊁Ｗｉｎｄｏｗｓ１０（６４ｂｉｔ）操作系统上进行仿真实验，编程软件为ＭａｔｌａｂＲ２０１８ａ㊂采用９个基准测试函数，包括５个单峰函数Ｆ１Ｆ５和４个非线性多峰函数Ｆ６Ｆ９，见表１㊂参与对比的灰狼优化算法（ＧＷＯ）［１４］㊁算术优化算法（ＡＯＡ）［１８］㊁正弦余弦算法（ＳＣＡ）［１９］㊁猩猩优化算法（ＣｈＯＡ）［２０］㊁鲸鱼优化算法（ＷＯＡ）［２１］㊁ＬＭＧＷＯ的参数设置见表２㊂表１㊀基准测试函数Ｔａｂｌｅ１Ｂｅｎｃｈｍａｒｋｆｕｎｃｔｉｏｎｓ函数编号名称维度范围最优值Ｆ１Ｓｐｈｅｒｅ３０［－１００，１００］０Ｆ２Ｓｃｈｗｅｆｅｌ．２．２２３０［－１０，１０］０Ｆ３Ｓｃｈｗｅｆｅｌ．１．２３０［－１００，１００］０Ｆ４Ｓｃｈｗｅｆｅｌ．２．２１３０［－１００，１００］０Ｆ５Ｑｕａｒｔｉｃ３０［－１．２８，１．２８］０Ｆ６Ｒａｓｔｒｉｇｉｎ３０［－５．１２，５．１２］０Ｆ７Ａｃｋｌｅｙ３０［－３２，３２］０Ｆ８Ｃｒｉｅｗａｎｋ３０［－６００，６００］０Ｆ９Ａｐｌｉｎｅ３０［－１０，１０］０９４第３期王恒，等：一种求解最优潮流的改进灰狼优化算法表２㊀算法参数设置Ｔａｂｌｅ２㊀Ｐａｒａｍｅｔｅｒｓｅｔｔｉｎｇｓｏｆａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ算法名称参数设置ＳＣＡ［１９］Ｍ＝２ＣｈＯＡ［２０］ｆｍａｘ＝２．５，ｆｍｉｎ＝０ＷＯＡ［２１］ａｍａｘ＝２，ａｍｉｎ＝０，ｂ＝１ＡＯＡ［１８］ＭＯＰ＿Ｍａｘ＝１，ＭＯＰ＿Ｍｉｎ＝０．２，α＝５，μ＝０．４９９ＧＷＯ［１４］ａｍａｘ＝２，ａｍｉｎ＝０ＬＭＧＷＯａｍａｘ＝２，ａｍｉｎ＝０３．２㊀算法性能对比分析为了验证了ＬＭＧＷＯ算法的有效性和优越性，将ＬＭＧＷＯ算法与灰狼优化算法（ＧＷＯ）［１４］㊁算术优化算法（ＡＯＡ）［１８］㊁正弦余弦算法（ＳＣＡ）［１９］㊁猩猩优化算法（ＣｈＯＡ）［２０］㊁鲸鱼优化算法（ＷＯＡ）［２１］在９个不同特性的基准测试函数上进行仿真实验㊂在各个算法的测试环境相同的条件下，种群规模Ｎ＝３０，空间维度Ｄｉｍ＝３０，最大迭代次数Ｔｍａｘ＝５００㊂采用均值和标准差作为实验的评价指标，均值和标准差越小，表明算法的性能越好㊂６种算法对９个基准函数的求解结果见表３㊂表３㊀各算法在基准函数上的优化性能比较Ｔａｂｌｅ３㊀Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｅａｃｈａｌｇｏｒｉｔｈｍｏｎｔｈｅｂｅｎｃｈｍａｒｋｆｕｎｃｔｉｏｎ函数编号指标ＳＣＡＣｈＯＡＷＯＡＡＯＡＧＷＯＬＭＧＷＯＦ１Ｍｅａｎ均值２．８２ˑ１０１５．４５ˑ１０－６２．２０ˑ１０－７２１．５７ˑ１０－７１．８４ˑ１０－２７０Ｓｔｄ标准差７．１５ˑ１０１３．３４ˑ１０－６１．３４ˑ１０－７１４．３６ˑ１０－７２．３５ˑ１０－２８０Ｆ２Ｍｅａｎ均值６．４８ˑ１０－２５．４８ˑ１０－５５．５５ˑ１０－５１４．０８１．０２ˑ１０－１６０Ｓｔｄ标准差３．４５ˑ１０－２５．０２ˑ１０－５９．５４ˑ１０－５１５．１１４．６１ˑ１０－１７０Ｆ３Ｍｅａｎ均值１．２５ˑ１０４６．４５ˑ１０２１．０２ˑ１０４９．６１ˑ１０３５．２１ˑ１０－５０Ｓｔｄ标准差３．１６ˑ１０３８．６４ˑ１０２６．３２ˑ１０４３．２２ˑ１０２１．１７ˑ１０－４０Ｆ４Ｍｅａｎ均值２．７７ˑ１０１９．１５ˑ１０－１４．１１ˑ１０１１．２１１．０４ˑ１０－６０Ｓｔｄ标准差５．６８ˑ１０１５．４７ˑ１０－１２．１９ˑ１０１１．３９１．４７ˑ１０－６０Ｆ５Ｍｅａｎ均值３．２７ˑ１０－２７．６４ˑ１０－３２．４５ˑ１０－３５．１３ˑ１０－１２．３０ˑ１０－３２．４５ˑ１０－５Ｓｔｄ标准差５．９８ˑ１０－２５．１６ˑ１０－３３．０９ˑ１０－３３．１８ˑ１０－２１．７０ˑ１０－３２．０４ˑ１０－５Ｆ６Ｍｅａｎ均值３．０２ˑ１０１８．９９ˑ１０１６．１１ˑ１０－１５４．６７ˑ１０１４．２８０Ｓｔｄ标准差６．４８ˑ１０１１．０２ˑ１０１１．９８ˑ１０－１４２．１３ˑ１０１５．４４０Ｆ７Ｍｅａｎ均值５．５１４．０７ˑ１０１１．１１ˑ１０－１５２．４５ˑ１０－１２．０５ˑ１０－１３８．８８ˑ１０－１６Ｓｔｄ标准差１．８４５．１１ˑ１０－２７．１６ˑ１０－１５４．４１１．１７ˑ１０－１４０Ｆ８Ｍｅａｎ均值３．６５３．４７ˑ１０－２６．３９ˑ１０－２２．５８ˑ１０－２４．６８ˑ１０－３０Ｓｔｄ标准差２．００ˑ１０－１５．１９ˑ１０－２４．７７ˑ１０－２８．１２ˑ１０－２７．５５ˑ１０－３０Ｆ９Ｍｅａｎ均值４．５５ˑ１０－２５．４０ˑ１０－３５．４９ˑ１０－３９４．１１ˑ１０６．７９ˑ１０－４０Ｓｔｄ标准差１．３６ˑ１０－２１．２４ˑ１０－２２．３３ˑ１０－３８２．２８ˑ１０１．１７ˑ１０－４０㊀㊀由表３可以看出，在基准测试中，对于Ｆ１Ｆ４㊁Ｆ６㊁Ｆ８和Ｆ９函数，对比算法均未能找到最优解，而ＬＭＧＷＯ算法达到１００％的求解精度㊂在求解Ｆ５和Ｆ８函数时，ＬＭＧＷＯ的求解精度优于其他５种对比算法，但也与其他算法一样容易陷入局部最优㊂基于以上分析说明ＬＭＧＷＯ算法比其他算法具有更高的求解精度和稳定性，证明了其有效性和优越性㊂３．３㊀ＬＭＧＷＯ算法在高维条件的性能分析为了进一步验证ＬＭＧＷＯ求解高维优化问题的性能，以算法解的均值和平均变化率为评价指标，对９个函数在１００５００维增量下进行测试，将本文提出的ＬＭＧＷＯ算法与原始ＧＷＯ算法独立运行３０次，并记录其均值，实验结果见表４㊂由表４可知，随着维数的增加，ＬＭＧＷＯ的均值基本保持不变，Ｆ１㊁Ｆ２㊁Ｆ３㊁Ｆ４㊁Ｆ６㊁Ｆ９函数的ＬＭＧＷＯ均值保持为０㊂随着维数的增加，ＧＷＯ均值呈现增加趋势㊂在测试函数Ｆ５上，ＬＭＧＷＯ算法的均值基本保持不变，而ＧＷＯ算法的均值变化明显大于ＬＭＧＷＯ算法；在测试函数Ｆ８上，ＬＭＧＷＯ算法的平均变化率均为０，远低于ＧＷＯ算法的平均变化率㊂０５智㊀能㊀计㊀算㊀机㊀与㊀应㊀用㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第１４卷㊀表４㊀ＬＭＧＷＯ与ＧＷＯ在不同维度下优化函数均值的比较Ｔａｂｌｅ４㊀ＣｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆＬＭＧＷＯａｎｄＧＷＯｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅａｎｖａｌｕｅｓｉｎｄｉｆｆｅｒｅｎｔｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ函数编号算法名称维数１００２００３００４００５００平均变化率／％Ｆ１ＧＷＯ１．４６ˑ１０－１２１．４３ˑ１０－７５．７９ˑ１０－５８．０８ˑ１０－４１．７９ˑ１０－３４．４８ˑ１０－４ＬＭＧＷＯ００００００Ｆ２ＧＷＯ５．３５ˑ１０－８３．２５ˑ１０－５６．７９ˑ１０－４３．３４ˑ１０－３１．１２ˑ１０－２２．８０ˑ１０－３ＬＭＧＷＯ００００００Ｆ３ＧＷＯ７．３１ˑ１０２２．０２ˑ１０４９．１１ˑ１０４１．９４ˑ１０５３．０９ˑ１０５７．７１ˑ１０４ＬＭＧＷＯ００００００Ｆ４ＧＷＯ８．８２ˑ１０－１２．６１ˑ１０１４．７１ˑ１０１６．０３ˑ１０１６．４８ˑ１０１１．６０ˑ１０１ＬＭＧＷＯ００００００Ｆ５ＧＷＯ７．０３ˑ１０－３１．２６ˑ１０－２３．４９ˑ１０－２６．６３ˑ１０－２９．４６ˑ１０－２２．１９ˑ１０－２ＬＭＧＷＯ３．４１ˑ１０－５３．８７ˑ１０－５４．０５ˑ１０－５４．７２ˑ１０－５６．３９ˑ１０－５７．４５ˑ１０－６Ｆ６ＧＷＯ９．２９２．４２ˑ１０１３．９１ˑ１０１５．０２ˑ１０１７．２０ˑ１０１１．５７ˑ１０１ＬＭＧＷＯ００００００Ｆ７ＧＷＯ６．７７ˑ１０－７２．２２ˑ１０－５５．７４ˑ１０－４９．０９ˑ１０－４２．０２ˑ１０－３５．０５ˑ１０－４ＬＭＧＷＯ８．８８ˑ１０－１６８．８８ˑ１０－１６８．８８ˑ１０－１６８．８８ˑ１０－１６８．８８ˑ１０－１６０Ｆ８ＧＷＯ８．０５ˑ１０－３１．４５ˑ１０－２２．１４ˑ１０－２７．５３ˑ１０－２９．４６ˑ１０－２２．１６ˑ１０－２ＬＭＧＷＯ００００００Ｆ９ＧＷＯ２．８１ˑ１０－３１．１３ˑ１０－２２．５９ˑ１０－２４．５４ˑ１０－２１．６９ˑ１０－１４．１５ˑ１０－２ＬＭＧＷＯ００００００㊀㊀２种算法在不同维度下均值的变化情况如图３所示㊂在９个函数中，ＧＷＯ的均值随着维度变大而显著增加，ＬＭＧＷＯ的均值保持不变㊂这表明维数的不断增加对ＬＭＧＷＯ的寻优能力影响不大，与ＧＷＯ相比寻优性能更加突出，进一步验证了本文所提算法的优越性㊂1.61.41.21.00.80.60.40.20100150200250300350400450500F u n c t i o n d i m e n s i o nA v e r a g e o p t i m i z a t i o n v a l u e /10-3G WO L M G WO(a )F 1变化曲线605040302010100150200250300350400450500F u n c t i o n d i m e n s i o nA v e r a g e o p t i m i z a t i o n v a l u eG WOL M G WO(d )F 4变化曲线2.01.81.61.41.21.00.80.60.40.20100150200250300350400450500F u n c t i o n d i m e n s i o nA v e r a g e o p t i m i z a t i o n v a l u e /10-3G WO L M G WO(g )F 7变化曲线100150200250300350400450500F u n c t i o n d i m e n s i o nA v e r a g e o p t i m i z a t i o n v a l u e G WOL M G WO(h )F 8变化曲线0.090.080.070.060.050.040.030.020.01100150200250300350400450500F u n c t i o n d i m e n s i o nA v e r a g e o p t i m i z a t i o n v a l u eG WOL M G WO(e )F 5变化曲线0.0100.0080.0060.0040.002100150200250300350400450500F u n c t i o n d i m e n s i o nA v e r a g e o p t i m i z a t i o n v a l u eG WOL M G WO(b )F 2变化曲线0.090.080.070.060.050.040.030.020.01100150200250300350400450500F u n c t i o n d i m e n s i o nA v e r a g e o p t i m i z a t i o n v a l u eG WOL M G WO (i )F 9变化曲线0.160.140.120.100.080.060.040.020100150200250300350400450500F u n c t i o n d i m e n s i o nA v e r a g e o p t i m i z a t i o n v a l u eG WOL M G WO (f )F 6变化曲线706050403020100100150200250300350400450500F u n c t i o n d i m e n s i o nA v e r a g e o p t i m i z a t i o n v a l u e /105G WOL M G WO(c )F 3变化曲线3.02.52.01.51.00.5图３㊀基于函数维数变化曲线的函数优化Ｆｉｇ．３㊀Ｆｕｎｃｔｉｏｎｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｃｕｒｖｅｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎｄｉｍｅｎｓｉｏｎｃｈａｎｇｅ１５第３期王恒，等：一种求解最优潮流的改进灰狼优化算法４㊀求解最优潮流（ＯＰＦ）问题为了验证ＬＭＧＷＯ算法的有效性和可行性，在标准ＩＥＥＥ－３０总线测试系统模型上对算法进行了测试㊂该系统包括６台发电机㊁４台变压器㊁９台分流器和４１条支路㊂ＩＥＥＥ３０母线系统单线如图４所示㊂图４中母线１为平衡母线，母线２㊁５㊁８㊁１１㊁１３为电压控制（ＶｏｌｔａｇｅＣｏｎｔｒｏｌ）和无功功率（ＲｅａｃｔｉｖｅＰｏｗｅｒ）母线，其余为有功功率（ＡｃｔｉｖｅＰｏｗｅｒ）和无功功率（ＲｅａｃｔｉｖｅＰｏｗｅｒ）母线㊂本文假设变压器比及无功补偿输出为连续变量，最大迭代次数设置为２００次，种群规模为４０，ＯＰＦ问题维度为２４㊂231314121615181920212210911262524292730286431257817图４㊀ＩＥＥＥ３０总线测试系统单线图Ｆｉｇ．４㊀ＳｉｎｇｌｅｌｉｎｅｄｉａｇｒａｍｏｆＩＥＥＥ３０ｂｕｓｔｅｓｔｓｙｓｔｅｍ４．１㊀案例１：燃料成本（ＦＣ）最小化最小化燃料成本是指通过各种手段和方法，将燃料成本控制在最低水平，以提高经济效益，同时也能够减少对环境的影响㊂将ＬＭＧＷＯ算法与灰狼优化算法（ＧＷＯ）［１４］㊁算术优化算法（ＡＯＡ）［１８］㊁正弦余弦算法（ＳＣＡ）［１９］㊁猩猩优化算法（ＣｈＯＡ）［２０］㊁鲸鱼优化算法（ＷＯＡ）［２１］算法进行对比实验，实验结果见表５㊂由表５可知，优化后的ＬＭＧＷＯ算法燃油成本为７９９．３９４４Ɣ／Ｈ㊂与初始情况相比，燃料成本降低了１１．３７％，具有更加优越的性能㊂表５㊀不同算法在案例１上的比较结果Ｔａｂｌｅ５㊀ＣｏｍｐａｒｉｓｏｎｒｅｓｕｌｔｓｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｉｎＣａｓｅ１算法名称燃油成本／（Ɣ㊃ｈ－１）ＧＷＯ７９９．９６２４ＡＯＡ７９９．９２１７ＳＣＡ８０１．９７００ＣｈＯＡ８００．１８５３ＷＯＡ８００．１０１８ＬＭＧＷＯ７９９．３９４４４．２㊀案例２：有功功率损耗（ＡＰＬ）最小化有功功率损耗（ＡＰＬ）是指电路中有功电流通过负载时所产生的功率损耗㊂有功功率损耗会导致电能转换效率降低，增加能源消耗和运营成本㊂因此，对于电力系统设计和运行来说，减小有功功率损耗是非常重要的㊂将ＬＭＧＷＯ算法与灰狼优化算法（ＧＷＯ）［１４］㊁算术优化算法（ＡＯＡ）［１８］㊁正弦余弦算法（ＳＣＡ）［１９］㊁猩猩优化算法（ＣｈＯＡ）［２０］㊁鲸鱼优化算法（ＷＯＡ）［２１］算法进行对比实验，实验结果见表６㊂根据表６的实验结果，本文提出的ＬＭＧＷＯ算法以有功功率损耗（ＡＰＬ）最小为目标，优于其他用于求解最优潮流（ＯＰＦ）问题的对比算法㊂表６㊀不同算法在案例２上的比较结果Ｔａｂｌｅ６㊀ＣｏｍｐａｒｉｓｏｎｒｅｓｕｌｔｓｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｉｎＣａｓｅ２算法名称有功功率损耗／ＭＷＧＷＯ３．０２６４ＡＯＡ３．１２３２ＳＣＡ３．８２３９ＣｈＯＡ３．１６００ＷＯＡ３．５１６５ＬＭＧＷＯ２．９６９１５㊀结束语本文提出了一种改进的灰狼优化算法（ＬＭＧＷＯ），针对原始ＧＷＯ算法在求解ＯＰＦ问题时的性能进行了２方面的改进㊂将修正反向学习策略与透镜成像学习策略和乘除算子策略相结合，对９个具有不同特性的基准函数进行测试，并与现有元启发式算法进行对比实验㊂实验结果表明，ＬＭＧＷＯ比其他算法具有更好的稳定性和寻优性能㊂在实际应用案例中，将ＬＭＧＷＯ算法和其他对比算法在ＩＥＥＥ３０节点标准测试系统模型上进行对比测试㊂实验结果表明，ＬＭＧＷＯ算法具有较好的性能㊂在未来的工作中，将使用ＬＭＧＷＯ算法解决更困难的最优潮流（ＯＰＦ）问题㊂参考文献［１］ＳＡＬＧＡＤＯＲ，ＢＲＡＭＥＬＬＥＲＡ，ＡＩＴＣＨＩＳＯＮＰ．Ｏｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗｓｏｌｕｔｉｏｎｓｕｓｉｎｇｔｈｅｇｒａｄｉｅｎｔｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ．Ｐａｒｔ１：Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｂａｓｉｓ［Ｊ］．ＩＥＴＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓＣ（Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ，ＴｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎａｎｄＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ），１９９０，１３７（６）：４２４－４２８．［２］ＴＩＮＮＥＹＷＦ，ＨＡＲＴＣＥ．ＰｏｗｅｒｆｌｏｗｓｏｌｕｔｉｏｎｂｙＮｅｗｔｏｎᶄｓｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＰｏｗｅｒＡｐｐａｒａｔｕｓａｎｄＳｙｓｔｅｍｓ，１９６７（１１）：１４４９－１４６０．［３］ＬＥＶＩＶＡ，ＮＥＤＩＣＤＰ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗｍｏｄｅｌｉｎｐｏｗｅｒｓｙｓｔｅｍｅｄｕｃａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＰｏｗｅｒ２５智㊀能㊀计㊀算㊀机㊀与㊀应㊀用㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第１４卷㊀Ｓｙｓｔｅｍｓ，２００１，１６（４）：５７２－５８０．［４］ＯＬＯＦＳＳＯＮＭ，ＡＮＤＥＲＳＳＯＮＧ，ＳÖＤＥＲＬ．Ｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｂａｓｅｄｏｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗｕｓｉｎｇｓｅｃｏｎｄｏｒｄｅｒｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｉｅｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＰｏｗｅｒＳｙｓｔｅｍ，１９９５，１０：１６９１－１６９７．［５］ＤＩＮＧＸｉａｏｙｉｎｇ，ＷＡＮＧＸｉｆａｎ，ＳＯＮＧＹｏｎｇｈｕａ，ｅｔａｌ．Ｔｈｅｉｎｔｅｒｉｏｒｐｏｉｎｔｂｒａｎｃｈａｎｄｃｕｔｍｅｔｈｏｄｆｏｒｏｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗ［Ｃ］／／ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＰｏｗｅｒＳｙｓｔｅｍＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ．Ｋｕｎｍｉｎｇ，Ｃｈｉｎａ：ＩＥＥＥ，２００２，１：６５１－６５５．［６］刘自发，葛少云，余贻鑫．基于混沌粒子群优化方法的电力系统无功最优潮流［Ｊ］．电力系统自动化，２００５，２９（７）：５３－５７．［７］ＦＡＲＨＡＴＭ，ＫＡＭＥＬＳ，ＡＴＡＬＬＡＨＡＭ，ｅｔａｌ．ＥＳＭＡ－ＯＰＦ：Ｅｎｈａｎｃｅｄｓｌｉｍｅｍｏｕｌｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｏｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｓｕｓｔａｉｎａｂｉｌｉｔｙ，２０２２，１４（４）：２３０５．［８］ＡｔｔｉａＡＦ，ＥｌＳｅｈｉｅｍｙＲＡ，ＨａｓａｎｉｅｎＨＭ．ＯｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗｓｏｌｕｔｉｏｎｉｎｐｏｗｅｒｓｙｓｔｅｍｓｕｓｉｎｇａｎｏｖｅｌＳｉｎｅ－Ｃｏｓｉｎｅａｌｇｏｒｉｔｈｍ［Ｊ］．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｏｆＥｌｅｃｔｒｉｃａｌＰｏｗｅｒ＆ＥｎｅｒｇｙＳｙｓｔｅｍｓ，２０１８，９９：３３１－３４３．［９］ＷＡＲＩＤＷ．ＯｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗｕｓｉｎｇｔｈｅＡＭＴＰＧ－Ｊａｙａａｌｇｏｒｉｔｈｍ［Ｊ］．ＡｐｐｌｉｅｄＳｏｆｔＣｏｍｐｕｔｉｎｇ，２０２０，９１：１０６２５２．［１０］ＷＡＲＩＤＷ，ＨＩＺＡＭＨ，ＭＡＲＩＵＮＮ，ｅｔａｌ．ＯｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗｕｓｉｎｇｔｈｅＪａｙａａｌｇｏｒｉｔｈｍ［Ｊ］．Ｅｎｅｒｇｉｅｓ，２０１６，９（９）：６７８．［１１］ＡＢＤＥＳ，ＫＡＭＥＬＳ，ＥＢＥＥＤＭ，ｅｔａｌ．Ａｎｉｍｐｒｏｖｅｄｖｅｒｓｉｏｎｏｆｓａｌｐｓｗａｒｍａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｏｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．ＳｏｆｔＣｏｍｐｕｔｉｎｇ，２０２１，２５：４０２７－４０５２．［１２］ＮＧＵＹＥＮＴＴ．Ａｈｉｇｈｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｓｏｃｉａｌｓｐｉｄｅｒｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｏｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗｓｏｌｕｔｉｏｎｗｉｔｈｓｉｎｇｌｅｏｂｊｅｃｔｉｖｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｅｎｅｒｇｙ，２０１９，１７１：２１８－２４０．［１３］ＡＢＤＥＬ－ＲＡＨＩＭＡＭＭ，ＳＨＡＡＢＡＮＳＡ，ＲＡＧＬＥＮＤＩＪ．Ｏｐｔｉｍａｌｐｏｗｅｒｆｌｏｗｕｓｉｎｇａｔｏｍｓｅａｒｃｈｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｃ］／／２０１９ＩｎｎｏｖａｔｉｏｎｓｉｎＰｏｗｅｒａｎｄＡｄｖａｎｃｅｄＣｏｍｐｕｔｉｎｇＴｅｃｈｎｏｌｏｇｉｅｓ（ｉ－ＰＡＣＴ）．Ｖｅｌｌｏｒｅ，Ｉｎｄｉａ：ＩＥＥＥ，２０１９，１：１－４．［１４］ＭＩＲＪＡＬＩＬＩＳ，ＭＩＲＪＡＬＩＬＩＳＭ，ＬｅｗｉｓＡ．Ｇｒｅｙｗｏｌｆｏｐｔｉｍｉｚｅｒ［Ｊ］．ＡｄｖａｎｃｅｓｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＳｏｆｔｗａｒｅ，２０１４，６９：４６－６１．［１５］ＮＵＡＥＫＡＥＷＫ，ＡＲＴＲＩＴＰ，ＰＨＯＬＤＥＥＮ，ｅｔａｌ．Ｏｐｔｉｍａｌｒｅａｃｔｉｖｅｐｏｗｅｒｄｉｓｐａｔｃｈｐｒｏｂｌｅｍｕｓｉｎｇａｔｗｏ－ａｒｃｈｉｖｅｍｕｌｔｉ－ｏｂｊｅｃｔｉｖｅｇｒｅｙｗｏｌｆｏｐｔｉｍｉｚｅｒ［Ｊ］．ＥｘｐｅｒｔＳｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１７，８７：７９－８９．［１６］ＰＲＥＣＵＰＲＥ，ＤＡＶＩＤＲＣ，ＰＥＴＲＩＵＥＭ．Ｇｒｅｙｗｏｌｆｏｐｔｉｍｉｚｅｒａｌｇｏｒｉｔｈｍ－ｂａｓｅｄｔｕｎｉｎｇｏｆｆｕｚｚｙｃｏｎｔｒｏｌｓｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈｒｅｄｕｃｅｄｐａｒａｍｅｔｒｉｃｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＩｎｄｕｓｔｒｉａｌＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ，２０１７，６４（１）：５２７－５３４．［１７］ＳＡＸＥＮＡＡ，ＫＵＭＡＲＲ，ＤＡＳＳ．β－ｃｈａｏｔｉｃｍａｐｅｎａｂｌｅｄｇｒｅｙｗｏｌｆｏｐｔｉｍｉｚｅｒ［Ｊ］．ＡｐｐｌｉｅｄＳｏｆｔＣｏｍｐｕｔｉｎｇ，２０１９，７５：８４－１０５．［１８］ＡＢＵＡＬＩＧＡＨＬ，ＤＩＡＢＡＴＡ，ＭＩＲＪＡＬＩＬＩＳ，ｅｔａｌ．Ｔｈｅａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ［Ｊ］．ＣｏｍｐｕｔｅｒＭｅｔｈｏｄｓｉｎＡｐｐｌｉｅｄＭｅｃｈａｎｉｃｓａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０２１，３７６：１１３６０９．［１９］ＭＩＲＪＡＬＩＬＩＳ．ＳＣＡ：Ａｓｉｎｅｃｏｓｉｎｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ－ｂａｓｅｄＳｙｓｔｅｍｓ，２０１６，９６：１２０－１３３．［２０］ＫＨＩＳＨＥＭ，ＭＯＳＡＶＩＭＲ．Ｃｈｉｍｐｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ［Ｊ］．ＥｘｐｅｒｔＳｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０２０，１４９：１１３３３８．［２１］ＭＩＲＪＡＬＩＬＩＳ，ＬＥＷＩＳＡ．Ｔｈｅｗｈａｌｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍ［Ｊ］．ＡｄｖａｎｃｅｓｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＳｏｆｔｗａｒｅ，２０１６，９５：５１－６７．３５第３期王恒，等：一种求解最优潮流的改进灰狼优化算法。

粒子群算法

智能优化计算
1 粒子群算法的基本原理
1.1 粒子群算法的提出 ➢ 五年后，在国际上逐步被接受，并有大批不同领域的学者投入该算法相关研究，目前已经成为智能优化领域研究的热门
➢ 2003年，《控制与决策》第二期刊登国内第一篇 PSO论文——综述文章
8
历年发表论文的数目
2500
2328
2000
1500
xikd
)
c2 ra n d( ) ( p gbest
xikd )
xk 1 id
xikd
vk 1 id
i 1,2,, m; d 1,2,, D
惯性权重(续)
通过调节w值，可以控制PSO的全局探索和局部开发能力：
• w≥1：微粒速度随迭代次数的增加而增加，微粒发散。
• 0<w<1 ：微粒减速，算法的收敛性依靠惯性权重c1和 c2 。
共性
（1）都属于仿生算法；（2）都属于全局优化方法；（3）都属于随机搜索算法；（4）都隐含并行性；（5）根据个体的适配信息进行搜索，因此不受函数约束条件的限制，如连续性、可导性等；（6）对高维复杂问题，往往会遇到早熟收敛和收敛性能差的缺点，都无法保证收敛到最优点。
PSO就是对鸟群或鱼群寻找食物这种群体行为的模拟。
单个鸟整个鸟群
单个微粒
由多个微粒组成的微粒群
一个微粒代表问题的一个解
每个微粒都有一个由被优化函数值决定的适应值
鸟群寻找食物的飞行策略
鸟群行为
微粒位置和速度的更新策略
PSO
13
每个微粒通过跟踪自身找到的最好位置以及邻域内其它微粒找到的最好位置，完成对整个搜索空间的搜索
最大化问题

自动驾驶汽车路径规划算法研究

自动驾驶汽车路径规划算法研究摘要：路径规划是自动驾驶汽车的重要研究内容，也是当前自动驾驶汽车领域研究的热点之一，其目的是在一定场景下利用所选定的评价指标获得一条连接起始点与目标点的最优无碰撞路径。

将当前常用的路径规划算法分为传统算法、智能仿生学算法、强化学习算法3类，按照路径规划算法的不同类别，对各类算法在路径规划领域中的应用进行了阐述，可为研究者提供一定的参考和借鉴。

关键词：自动驾驶汽车；路径规划；智能仿生学算法；强化学习算法引言自动驾驶汽车使用传感器感知环境，并依照合理的算法在复杂环境中实现自主运动，使其能在道路上安全、高校地行驶。

作为自动驾驶汽车研究地一个重要环节，路径规划就是根据给定地环境模型，在一定地约束条件下，利用路径规划算法规划出一条连接车辆当前位置和目标位置的无碰撞路径。

1路径规划算法分类自动驾驶汽车的路径规划问题，基于研究对象对所行驶环境信息掌握程度的不同，可分为2类。

第1类是已知行驶环境信息的全局路径规划，属于静态规划；第2类是利用车载传感器实时获取环境信息的局部路径规划。

全局路径规划问题实质上是在已掌握的所有环境信息的前提下，规划出从起点到目标点的路径生成问题。

通常是基于数字地图，根据周围环境的路网模型来选择路径。

当因环境或者其他因素导致规划的路径无法继续通行时，则需要重新启动全局规划,以得到更新后的可行路径。

局部路径规划需要车载传感器实时采集车辆周围的环境信息，充分了解周围环境地图信息以准确定位出车辆当前位置及周围障碍物分布，从而顺利规划出从当前节点到下一子目标节点的最优路径。

2路径规划算法传统路径规划算法包括A*算法、人工势场法、模糊逻辑算法、禁忌搜索算法等。

文章仅对最常见的前两种算法做详细说明。

2.1.1 A*算法A*算法[1]是一种典型的启发式搜索算法，它也是静态路网中求解最短路径最有效的直接搜索算法。

A*算法通过一个估价函数来引导和决定搜索方向，从起点开始向周围进行扩展搜索，利用估价函数来获取周围每个节点的价值，并从获取的周围节点中选择代价最小的节点作为下一个扩展节点，不断循环重复这一过程直到到达目标点，结束搜索，从而生成最终路径。

粒子群算法基本原理

粒子群算法基本原理粒子群算法（Particle Swarm Optimization, PSO）是一种基于群体智能的优化算法，模拟了鸟群或鱼群等生物群体在自然界中求解问题的行为。

粒子群算法是一种无约束优化算法，可以用于求解各种优化问题。

粒子群算法的基本原理是通过模拟粒子在解空间中的过程来寻找最优解。

每个粒子表示了一个潜在的解，其位置和速度表示了解的状态和速度。

整个粒子群可以看作是一个多维解空间中的群体，每个粒子都具有一个解向量和速度向量，通过不断调整速度和位置来寻找最优解。

1.初始化粒子群：根据问题的维度和约束条件，随机初始化粒子的位置和速度。

其中位置表示解向量，速度表示方向和速度。

2.计算粒子适应度：根据问题的定义，计算每个粒子的适应度。

适应度函数根据问题的不同而变化，可以是目标函数的取值或其他综合评价指标。

3.更新粒子速度和位置：通过利用粒子当前的位置、速度和历史最优解来更新粒子的速度和位置。

速度的更新过程包括两部分，第一部分是加速度项，其大小与粒子所处位置与个体最优解、群体最优解的距离有关；第二部分是惯性项，保持原有的速度方向并控制的范围。

位置的更新通过当前位置和速度得到新的位置。

4.更新个体最优解和群体最优解：将每个粒子的适应度与其历史最优解进行比较并更新。

个体最优解是粒子自身到的最优解，群体最优解是所有粒子中的最优解。

5.判断停止条件：根据预定的停止条件判断是否终止算法。

停止条件可以是达到最大迭代次数、适应度值达到一定阈值或范围满足一定条件等。

6.返回最优解：将群体最优解或个体最优解作为最终结果返回。

粒子群算法通过不断地更新粒子的速度和位置，通过粒子之间的信息交流和协作来找到最优解。

在算法的早期阶段，粒子的范围较大，有较高的探索性；随着的进行，粒子逐渐聚集在最优解周围，并逐渐减小范围，增强了局部的能力。

这种全局和局部的结合使得粒子群算法能够更好地求解多峰优化问题。

粒子群算法的优点是简单易实现、全局能力强，对于非线性、非凸性、多峰性问题有很好的适应性。

AI人工智能的几种常用算法概念

一、粒子群算法粒子群算法，也称粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization），缩写为PSO，是近年来发展起来的一种新的进化算法(（Evolu2tionary Algorithm - EA）。

PSO 算法属于进化算法的一种，和遗传算法相似，它也是从随机解出发，通过迭代寻找最优解，它也是通过适应度来评价解的品质，但它比遗传算法规则更为简单，它没有遗传算法的交叉(Crossover) 和变异(Mutation) 操作，它通过追随当前搜索到的最优值来寻找全局最优。

这种算法以其实现容易、精度高、收敛快等优点引起了学术界的重视，并且在解决实际问题中展示了其优越性。

优化问题是工业设计中经常遇到的问题,许多问题最后都可以归结为优化问题.为了解决各种各样的优化问题,人们提出了许多优化算法,比较著名的有爬山法、遗传算法等.优化问题有两个主要问题:一是要求寻找全局最小点,二是要求有较高的收敛速度.爬山法精度较高,但是易于陷入局部极小.遗传算法属于进化算法(EvolutionaryAlgorithms)的一种,它通过模仿自然界的选择与遗传的机理来寻找最优解.遗传算法有三个基本算子:选择、交叉和变异.但是遗传算法的编程实现比较复杂,首先需要对问题进行编码,找到最优解之后还需要对问题进行解码,另外三个算子的实现也有许多参数,如交叉率和变异率,并且这些参数的选择严重影响解的品质,而目前这些参数的选择大部分是依靠经验.1995年Eberhart博士和kennedy博士提出了一种新的算法;粒子群优化(ParticalSwarmOptimization-PSO)算法.这种算法以其实现容易、精度高、收敛快等优点引起了学术界的重视,并且在解决实际问题中展示了其优越性.粒子群优化(ParticalSwarmOptimization-PSO)算法是近年来发展起来的一种新的进化算法(Evolu2tionaryAlgorithm-EA).PSO算法属于进化算法的一种,和遗传算法相似,它也是从随机解出发,通过迭代寻找最优解,它也是通过适应度来评价解的品质.但是它比遗传算法规则更为简单,它没有遗传算法的交叉(Crossover)和变异(Mutation)操作.它通过追随当前搜索到的最优值来寻找全局最优二、遗传算法遗传算法是计算数学中用于解决最佳化的，是进化算法的一种。

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灰狼算法和粒子群算法
灰狼算法和粒子群算法是两种常用的进化计算算法，它们在优化问题中具有广泛的应用。

本文将分别介绍灰狼算法和粒子群算法的原理和特点，并通过比较它们的优缺点，探讨其适用的场景。

1. 灰狼算法
灰狼算法是由灰狼群体的行为和特性启发而来的一种群体智能算法。

灰狼群体中的每只狼都有一个适应度值，适应度值越高表示狼的位置越好。

算法的核心思想是模拟灰狼群体中的寻食行为，通过迭代更新每只狼的位置，最终找到最优解。

灰狼算法的具体步骤如下：
1）初始化灰狼群体的位置和适应度值；
2）通过适应度值的大小确定群体中的Alpha狼、Beta狼和Delta 狼；
3）根据Alpha狼的位置和其他狼的位置，更新每只狼的位置；
4）更新每只狼的适应度值；
5）重复步骤3和4，直到满足停止条件。

灰狼算法的优点是简单易实现，收敛速度快，适用于解决复杂的非线性优化问题。

然而，灰狼算法在处理高维优化问题时，容易陷入局部最优解。

2. 粒子群算法
粒子群算法是一种模拟鸟群觅食行为的群体智能算法。

算法中的每个粒子都有一个位置和速度，通过更新粒子的速度和位置，最终找到最优解。

粒子群算法的核心思想是通过个体和群体的交互合作来搜索最优解。

粒子群算法的具体步骤如下：
1）初始化粒子群体的位置和速度；
2）根据粒子的适应度值，更新局部最优解；
3）根据局部最优解和全局最优解，更新粒子的速度和位置；
4）更新粒子的适应度值；
5）重复步骤2、3和4，直到满足停止条件。

粒子群算法的优点是容易实现，具有较好的全局搜索能力，适用于解决多峰优化问题。

然而，粒子群算法在处理高维优化问题时，易陷入局部最优解。

3. 算法比较与适用场景
灰狼算法和粒子群算法都是基于群体智能的优化算法，它们在某些方面具有相似之处，但也存在一些差异。

灰狼算法与粒子群算法相比，优点是收敛速度快，适用于解决复杂的非线性优化问题；缺点是在处理高维优化问题时，容易陷入局部最优解。

粒子群算法与灰狼算法相比，优点是具有较好的全局搜索
能力，适用于解决多峰优化问题；缺点是在处理高维优化问题时，易陷入局部最优解。

根据算法的特点和适用场景，我们可以选择合适的算法来解决不同类型的优化问题。

如果问题比较复杂，且维度较低，可以选择灰狼算法；如果问题具有多个局部最优解，或者维度较高，可以选择粒子群算法。

灰狼算法和粒子群算法都是常用的进化计算算法，在优化问题中具有广泛的应用。

通过对比它们的原理和特点，我们可以根据问题的类型和要求选择合适的算法，从而得到更好的优化结果。