算法与优化复习题补充
1.设X和Y都是n位二进制整数，若按普通乘法规则计算，要进行O(n2)步运
算才能得到XY的乘积，若用分治法来计算，可有效地降低其复杂性。简述采用分治法求解XY乘积的基本过程。
解：即为大整数的乘法（参照书上2.4节P29）：
2.扩展Hanoi塔问题：设a,b,c,d是4个塔座。开始时，在塔座a上有一叠共n
个圆盘，这些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。各圆盘从小到大编号为1,2,…,n，现要求采用递归算法将塔座a上的这一叠圆盘移到塔座d上，并仍按同样顺序叠置。
在移动圆盘时应遵守以下移动规则：
规则1：每次只能移动1个圆盘；
规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上；
规则3：在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至a,b,c,d中任一塔座上。
设计算法实现一种移动方案，并分析算法的时间复杂度。
解：书2.1节例2.6 (P23)
3.比较分治法、动态规划法和贪心算法的使用条件。
解：分治法和递归是紧密相联系的，分治法就是把大问题分解成小问题，然后大问题的解可以通过小问题的解得出来。小问题是相互独立的，可以递归解决。分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
（1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
（2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；
（3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
（4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。如下问题使用分治法解决：计算逆序，找出平面上最近的点，等等
经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。例如典型的Fibonacci数列的求解。两种动态规划算法：备忘录和迭代
贪心法是自然的方法，也是最直观的方法，贪心法的当前选择依赖于已经作出的所有选择，但不依赖于有待于做出的选择和子问题。因此贪心法自顶向下，一步
一步地作出贪心选择，但是该方法不能保证最后得出的解是最优的，需要反复选择策略，加以比较，有时候一些选择策略可以很巧妙的解决问题。贪心法主要有两种思想，即贪心算法领先和交换论证，用来证明所得的解是最优的，交换论证的思想为首先假设一个最优解和通过贪心法所得到的解，然后逐步修改最优解，但保持每步的最优性，最后使得最优解跟通过贪心法所得的解相同。
如下问题可用贪心法解决：区间调度，最小延迟调度，最短路径，最小生成树，聚类等等。
4.比较回溯法与分支限界法的区别。
解：分支限界法类似于回溯法，也是一种在问题的解空间树T上搜索问题解的算法。但在一般情况下，分支限界法与回溯法的求解目标不同。回溯法的求解目标是找出T中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出使某一目标函数值达到极大或极小的解，即在某种意义下的最优解。
分支限界法类似于回溯法，也是一种在问题的解空间树T上搜索问题解的算法。但在一般情况下，分支限界法与回溯法的求解目标不同。回溯法的求解目标是找出T中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出使某一目标函数值达到极大或极小的解，即在某种意义下的最优解。
由于求解目标不同，导致分支限界法与回溯法在解空间树T上的搜索方式也不相同。回溯法以深度优先的方式搜索解空间树T，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树T。分支限界法的搜索策略是：在扩展结点处，先生成其所有的儿子结点（分支），然后再从当前的活结点表中选择下一个扩展对点。为了有效地选择下一扩展结点，以加速搜索的进程，在每一活结点处，计算一个函数值（限界），并根据这些已计算出的函数值，从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间树上有最优解的分支推进，以便尽快地找出一个最优解。
分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。问题的解空间树是表示问题解空间的一棵有序树，常见的有子集树和排列树。在搜索问题的解空间树时，分支限界法与回溯法对当前扩展结点所使用的扩展方式不同。在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，那些导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被子加入活结点表中。此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所求的解或活结点表为空时为止。
有一些问题其实无论用回溯法还是分支限界法都可以得到很好的解决，但是另外一些则不然。也许我们需要具体一些的分析——到底何时使用分支限界而何时使用回溯呢？下表列出了回溯法和分支限界法的一些区别：
方法对解空间树
的搜索方式
存储结点
的常用数
据结构
结点存储特性常用应用
回深度优先搜堆栈活结点的所有可行子找出满足约束条件的
溯
法
索 结点被遍历后才被从栈中弹出 所有解 分
支
限
界
法
广度优先或最小消耗优先搜索 队列、优先队列 每个结点只有一次成为活结点的机会 找出满足约束条件的一个解或特定意义下的最优解
5. 概率算法分为哪几类？它们求得问题的解分别具有什么样的特点？ 解：1）数值概率算法：常用于数值问题的求解，得到的往往是近似解
（1）解的精度随计算时间的增加而提高（2）在许多情况下，计算出问题的精确解是不可能或没必要
2）蒙特卡罗算法：用于求解问题的准确解，可以求得问题的一个解，但该解未必正确
（1）求得正确解的概率依赖于算法的计算时间，多次执行蒙特卡罗算法，可以提高获得正确解的概率（2）无法有效判定所得到的解是否肯定正确。
3）拉斯维加斯算法：不会得到不正确的解
（1）有时找不到问题的解（2）找到正确解的概率随算法计算时间的增加而提高（3）用同一拉斯维加斯算法反复对问题实例求解足够多次，可使求解失败的概率任意小。
4）舍伍德算法：总能求解得到问题的一个解，而且所求得得解总是正确的。 将确定性算法引入随机性改造成舍伍德算法，可消除或减少问题对于好坏实例间的差别。
6. 给定非线性规划问题221221212min (2)..
0 0x x s t x x x x ⎧-+⎪-≥⎨⎪-+≥⎩
，验证下列两点(1)(2)01, 01x x ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
是否为K-T 点?
解：参照群共享，最新刘伟整理的第3题。
7. 简述无约束最优化问题的最优性条件。
解：参照群共享，最新刘伟整理的第6题。
8. 给定非线性规划问题22
121222112122121231214122min (,)(3)(2)..(,)50(,)240(,)0(,)0f x x x x s t g x x x x g x x x x g x x x g x x x ⎧=-+-⎪⎪=+-≤⎪⎨=+-≤⎪=-≤⎪⎪=-≤⎩
，验证下列两点(1)(2)20, 10x x ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
是否为K-T 点?
解：参照群共享，最新刘伟整理的第2题。
9. 矩阵连乘问题可以采用动态规划法求得最少的数乘次数和最优的加括号方
式，试证明该问题具有最优子结构性质。
解;参照书3.1节，3.1矩阵连乘问题， 1.分析最优解的结构，在吹点牛B P63页。
10. 设1:,1,2,n i g R R i m →=和m m i R R h n i ,1,:1+=→都是线性函数，证明下
面的约束问题是凸规划问题。
解：参照群共享，最新刘伟整理的第1题。
11. 背包问题可以采用贪心算法求得最优解，证明该问题满足贪心选择性质。 解：参照群共享，旧的刘伟整理的第3题（后半段证明不要了）
12. 以下为最小顶点覆盖问题的近似算法，其中cset 用来存储顶点覆盖中的各顶
点，初始为空，不断从边集e1中选取一边(u,v)，将边的端点加入cset 中，并将e1中已被u 和v 覆盖的边删去，直至cset 已覆盖所有边。证明该算法的性能比为2。
VertexSet approxVertexCover (Graph g){
cset=∅；e1=g.e ；
while (e1!=∅){
从e1中任取一条边(u,v)；
cset=cset ∪{u,v}；
从e1中删去与u 和v 相关联的所有边；
}
return cset;
}
解：参照PPT 第九章
13. 二维0-1背包问题:给定n 种物品和一背包。物品i 的重量是wi ，体积是bi ，
其价值为vi ，背包的容量为c ，容积为d 。问应如何选择装入背包中的物品，
使得装入背包中物品的总价值最大？在选择装入背包的物品时，对每种物品i 只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i 装入背包多次，也不能只装入部分的物品i 。试设计一个解决此问题的动态规划算法，并分析算法的计算复杂性。
解：参照群共享，旧的刘伟整理的第2题
14. 旅行售货员问题：设G 是有n 个顶点的有向图,设计一带有上界函数的算法,
提高原算法的效率.
解：参照群共享，旧的刘伟整理的第14题
15. 皇后控制问题:在一个n*n 个方格组成的棋盘上的任一方格中放置一个皇后,
该皇后可以控制所在的行,列以及对角线上的所有方格.对于给定的自然数n,在n*n 个方格组成的棋盘上最少要放置多少个皇后才能控制棋盘上的所有方格,且放置的皇后互不攻击.
解：参照群共享，旧的刘伟整理的第15题
16. 给定两个大整数u 和v,它们分别有m 和n 位数字,且m<<=n.设计计算时间低
于O(mn) 的算法.
解：参照群共享，旧的刘伟整理的第1题
17. 用DFP 算法求解无约束最优化问题：
其中12[]T X x x =，，
取60[1,1]10T X ε-==，。 解：参照群共享，最新的刘伟整理的第5题
18. 用外点罚函数法求解约束最优化问题，取610ε-=：
解：参照群共享，最新的刘伟整理的第7题
19. 解顶点覆盖问题的一个启发式算法如下：每次选择具有最高度数的顶点，然
后将与其相关联的所有边删去。举例说明该算法的性能比将大于2。 解：参照群共享，旧版的刘伟整理的第6题
20. 给定两个大整数u 和v,它们分别有m 和n 位数字,且m<=n.设计计算时间低于
O(mn) 的算法.
解：同16题一样的
21. 有一个背包，背包容量是M=120。共有7个物品如下表，物品可以是任意大
小。要求：尽可能让装入背包中的物品总价值最大，但不能超过总容量。请设计该问题的贪心算法，写出算法思想，求得问题的最优解，并证明该问题
满足贪心选择
性质。 22. 用共轭梯度法求解无约束最优化问题：
其中12[]T X x x =，， 选初始点60[22]10T X ε-==，，。
解：参照群共享，最新的刘伟整理的第4题 物品
A B C D E F G 重量
30 20 60 25 40 10 20 价值 10 20 30 50 10 40 30
优化设计复习题(原)
word 教育资料 优化设计复习题 一、单项选择题(在每小题列出的选项中只有一个选项是符合题目要求的) 1.多元函数F(X)在点X *附近偏导数连续， F ’(X * )=0且H(X * )正定，则该点为F(X)的（ ） ①极小值点 ②极大值点 ③鞍点 ④不连续点 2.F(X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的（ ） ①凸函数 ②凹函数 3.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ） ①0.382 ②0.186 ③0.618 ④0.816 4.在单峰搜索区间[x 1,x 3](x 1 1.假设某算法在输入规模为n时的计算时间为T(n)=3*2n,在某台计算机上实现并完成该算法的时间为t秒。现有另一台计算机，其运行速度是第一台的64倍，那么在新机器上用同一算法在t秒内能解输入规模为多大的问题。 2.若上述算法的计算时间改进为t(n)=n2,其余条件不变，则新机器上用t秒能解问题的规模。 3. 若上述算法的计算时间改进为t(n)=8,其余条件不变，则新机器上用t秒能解问题的规模。 ?N+6 ?8*n ?任意规模 6 ?61到n平方的累加和 ?2）基本语句：s=s+i*i； ?3）执行次数：n次 ?4）效率类型：时间复杂度为线性阶 ?5）利用数学公式进行改进：s=n*(n+1)*(2*n+1)/6 ?时间效率为O（1） 7 ?） ?T(n)=3T(n-1) ?=3(3T(n-2))=32*T(n-2) ?=…… ?=3k T(n-k) ?设n-k=1，则k=n-1 ?T(n)=3n-1*T(1)=4*3n-1=O（3n） 8 ?8. Int Q(int n) ?{ ?If(n==1) return 1; ?Else return Q(n-1)+2*n-1; ?} ?1)求n2 ?2) n=3 Q(3)=Q(2)+2*3-1 ?=（Q(1)+2*2-1）+5 ?=（1+4-1）+5=9 ?3）Q(n)=Q(n-1)+2*n-1 ?=(Q(n-2)+(2*(n-1)-1)）+2*n-1=Q(n-2)+2(2n-2) ?=Q(n-3)+3(2n-3)=….=Q(n-k)+k(2n-k) ?设n-k=1 则k=n-1 ?Q(n)=1+(n-1)(2n-n+1)=1+n2-1=n2 ?4)非递归算法: return n*n; 1.设X和Y都是n位二进制整数，若按普通乘法规则计算，要进行O(n2)步运 算才能得到XY的乘积，若用分治法来计算，可有效地降低其复杂性。简述采用分治法求解XY乘积的基本过程。 解：即为大整数的乘法（参照书上2.4节P29）： 2.扩展Hanoi塔问题：设a,b,c,d是4个塔座。开始时，在塔座a上有一叠共n 个圆盘，这些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。各圆盘从小到大编号为1,2,…,n，现要求采用递归算法将塔座a上的这一叠圆盘移到塔座d上，并仍按同样顺序叠置。 在移动圆盘时应遵守以下移动规则： 规则1：每次只能移动1个圆盘； 规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上； 规则3：在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至a,b,c,d中任一塔座上。 设计算法实现一种移动方案，并分析算法的时间复杂度。 解：书2.1节例2.6 (P23) 3.比较分治法、动态规划法和贪心算法的使用条件。 解：分治法和递归是紧密相联系的，分治法就是把大问题分解成小问题，然后大问题的解可以通过小问题的解得出来。小问题是相互独立的，可以递归解决。分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征： （1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； （2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质； （3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解； （4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。 上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。如下问题使用分治法解决：计算逆序，找出平面上最近的点，等等 经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。例如典型的Fibonacci数列的求解。两种动态规划算法：备忘录和迭代 贪心法是自然的方法，也是最直观的方法，贪心法的当前选择依赖于已经作出的所有选择，但不依赖于有待于做出的选择和子问题。因此贪心法自顶向下，一步 附录5 《最优化方法》复习题 1、设n n A R ?∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，求1()2 T T f x x Ax b x c =++在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵． 解 2(),()f x Ax b f x A ?=+?=． 2、设()()t f x td ?=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求()t ?''． 解 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ??'''=?+=?+． 3、设方向n d R ∈是函数()f x 在点x 处的下降方向，令 ()()()()() T T T T dd f x f x H I d f x f x f x ??=--???， 其中I 为单位矩阵，证明方向()p H f x =-?也是函数()f x 在点x 处的下降方向． 证明 由于方向d 是函数()f x 在点x 处的下降方向，因此()0T f x d ?<，从而 ()()()T T f x p f x H f x ?=-?? ()()()()()()()() T T T T T dd f x f x f x I f x d f x f x f x ??=-?--???? ()()()0T T f x f x f x d =-??+?<， 所以，方向p 是函数()f x 在点x 处的下降方向． 4、n S R ?是凸集的充分必要条件是12122,,,,,,,,m m m x x x S x x x ?≥?∈L L 的一切凸组合都属于S ． 证明 充分性显然．下证必要性．设S 是凸集，对m 用归纳法证明．当2m =时，由凸集的定义知结论成立，下面考虑1m k =+时的情形．令1 1k i i i x x λ+==∑， 其中,0,1,2,,1i i x S i k λ∈≥=+L ，且1 1 1k i i λ+==∑．不妨设11k λ+≠（不然1k x x S +=∈， 结论成立），记11 1k i i i k y x λλ=+=-∑ ，有111(1)k k k x y x λλ+++=-+， 1.一个算法就是一个有穷规则的集合，其中之规则规定了解决某一特殊类型问题的一系列运算，此外，算法还应具有以下五个重要特性:_________,________,________,__________,__________。 2.算法的复杂性有_____________和___________之分，衡量一个算法 好坏的标准是______________________。 3.某一问题可用动态规划算法求解的显著特征是 ____________________________________。 4.若序列X={B,C,A,D,B,C,D}，Y={A,C,B,A,B,D,C,D}，请给出序列X 和Y的一个最长公共子序列_____________________________。 5.用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间，问题的解空间至少应包含___________。 6.动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干____________，先求解___________，然后从这些____________的解得到原问题的解。 7.以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为_____________。 8.0-1背包问题的回溯算法所需的计算时间为_____________,用动态规划算法所需的计算时间为____________。 9.动态规划算法的两个基本要素是___________和___________。 10.二分搜索算法是利用_______________实现的算法。 二、综合题（50分） 1.写出设计动态规划算法的主要步骤。 2.流水作业调度问题的johnson算法的思想。 一。选择题 1、二分搜索算法是利用（ A ）实现的算法。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 2、下列不是动态规划算法基本步骤的是（ B ）。 A、找出最优解的性质 B、构造最优解 C、算出最优解 D、定义最优解 3、最大效益优先是（ A ）的一搜索方式。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 4、在下列算法中有时找不到问题解的是（ B ）。 A、蒙特卡罗算法 B、拉斯维加斯算法 C、舍伍德算法 D、数值概率算法 5. 回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（B ）。 A、子集树 B、排列树 C、深度优先生成树 D、广度优先生成树6．下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（ B ）。 A、备忘录法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 7、衡量一个算法好坏的标准是(C）。 A 运行速度快 B 占用空间少 C 时间复杂度低 D 代码短 8、以下不可以使用分治法求解的是（D）。 A 棋盘覆盖问题 B 选择问题 C 归并排序 D 0/1背包问题 9. 实现循环赛日程表利用的算法是（ a ）。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 10、下列随机算法中运行时有时候成功有时候失败的是（） A 数值概率算法 B 舍伍德算法 C 拉斯维加斯算法 D 蒙特卡罗算法 11．下面不是分支界限法搜索方式的是（ D ）。 A、广度优先 B、最小耗费优先 C、最大效益优先 D、深度优先12．下列算法中通常以深度优先方式系统搜索问题解的是（ D ）。 A、备忘录法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 13.备忘录方法是那种算法的变形。（ B ） A、分治法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法14．哈弗曼编码的贪心算法所需的计算时间为（ B ）。 A、O（n2n） B、O（nlogn） C、O（2n） D、O（n） 程序部分选择题复习答案 1.下列各组控件都具有Caption属性的是C A.窗体、文本框 B.标签、定时器 C.窗体、标签 D.文本框、定时器 2. 下面关于算法的错误说法是B A)算法必须有输出B)算法必须在计算机上用某种语言实现 C)算法不一定有输入D)算法必须在有限步执行后能结束 答案：B 分析：算法就是解决某一特定类型问题的有限运算序列。一个算法必须是在执行有限步之后结束；算法中的每一步必须有确切定义；一个算法有0个或多个的输入，也必然有一个或多个的输出。算法不等同于程序，一个程序，譬如一个操作系统，只要不关机，它就不会结束。算法的设计可以避开具体的计算机和程序设计语言，也可以借助程序设计语言中提供的数据类型及运算在具体的层次上实现。Pascal语言的发明人沃斯提出一个精辟论点：算法+数据结构=程序。 3.下列每个控件都具有的属性是A https://www.360docs.net/doc/4919224681.html, B.Caption C.Font D.Interval 4.下列运算结果中，值最大的是D A.3\4 B.3/4 C.4 mod 3 D.3 mod 4 〖/表示除,\表示整除,mod表示求余数〗 5.以下哪个是合法的变量名D A．Len B．Test@qw C．6cost_1 D．count2s 6.在Visual Basic代码中，将多个语句合并在一行上的并行符是B A. 撇号（'） B. 冒号（：） C. 感叹号（！） D. 问号（?） 7.下列语句中，可以表示输入语句的有C D ，输出语句的有 A B E 表示赋值语句的有 A D F G (多选) A.text1.text=str(a) B.msgbox(a) C.inputbox() D.P=val(text5.text) E.print a F. a=a*b+c G.ads=309 8．下列控件中可设置滚动条的是 C （即具有ScrollBars属性的对象） A.计时器B．标签C．文本框D．按钮 9．下面程序执行的结果是C Private Sub Form_Click() A = "123": B = "456" C = Val(A) + Val(B) 〖val是把字符转化为数值的函数〗 msgbox (C \ 100) End Sub A.123 B.3 C.5 D.579 11．下列逻辑运算结果为"true"的是C A.flase or not true B.flase and not true C. true or not true D.true and not true 12．下列控件中可用于接受用户输入文本，又可用于显示文本的是B A．Label 控件 B. TextBox 控件 C. Timer 控件 D. CommandButton 控件 13.以下程序段执行后，整型变量n 的值为D year=2001 n=year\4+year\400-year\100 [n=500-5-20] 最优化理论与算法习题答案 最优化理论与算法习题答案 最优化理论与算法是应用数学中的一个重要分支，它研究如何在给定的约束条 件下，找到一个使目标函数取得最优值的解。在实际应用中，最优化问题广泛 存在于各个领域，如经济学、管理学、物理学等。本文将回答一些与最优化理 论与算法相关的习题，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。 1. 什么是最优化问题？ 最优化问题是指在给定的约束条件下，寻找一个使目标函数取得最优值的解。 其中，目标函数是需要最大化或最小化的函数，约束条件是对解的限制条件。 最优化问题可以分为无约束最优化和有约束最优化两种情况。 2. 什么是凸优化问题？ 凸优化问题是指目标函数和约束条件均为凸函数的最优化问题。凸函数具有良 好的性质，例如局部最小值即为全局最小值，因此凸优化问题的求解相对容易。常见的凸优化问题有线性规划、二次规划等。 3. 什么是拉格朗日乘子法？ 拉格朗日乘子法是一种求解有约束最优化问题的方法。它通过引入拉格朗日乘子，将有约束最优化问题转化为无约束最优化问题。具体地，对于一个有约束 最优化问题，我们可以构造拉格朗日函数，然后通过求解无约束最优化问题来 获得原问题的解。 4. 什么是线性规划？ 线性规划是一种特殊的最优化问题，其中目标函数和约束条件均为线性函数。 线性规划在实际应用中非常广泛，例如在生产计划、资源分配等方面都有重要 的应用。线性规划可以使用单纯形法等算法进行求解。 5. 什么是整数规划？ 整数规划是一种最优化问题，其中变量需要取整数值。与线性规划相比，整数规划的求解更加困难，因为整数约束条件使得问题的解空间变得离散。常见的整数规划问题有旅行商问题、装箱问题等。 6. 什么是非线性规划？ 非线性规划是一种最优化问题，其中目标函数或约束条件为非线性函数。非线性规划的求解相对复杂，通常需要使用迭代算法进行求解，例如牛顿法、拟牛顿法等。非线性规划在实际应用中非常广泛，例如在经济学、工程学等领域都有重要的应用。 7. 什么是梯度下降法？ 梯度下降法是一种常用的优化算法，用于求解无约束最优化问题。该算法通过迭代的方式，不断沿着目标函数的负梯度方向更新解，直至达到收敛条件。梯度下降法的收敛性和速度与初始解的选择、步长的选取等因素密切相关。 8. 什么是牛顿法？ 牛顿法是一种常用的优化算法，用于求解无约束最优化问题。该算法通过利用目标函数的二阶导数信息，构造二次近似模型，并通过求解该模型的最小值来更新解。牛顿法具有快速收敛的特点，但在某些情况下可能会出现不收敛或收敛到局部最优解的问题。 总结起来，最优化理论与算法是应用数学中的一个重要分支，涉及到最优化问题的建模和求解。通过合理选择合适的算法，我们可以在给定的约束条件下找到使目标函数取得最优值的解。无论是线性规划、整数规划还是非线性规划， 算法与程序设计复习题 算法与程序设计复习题 一、选择题： 1、用计算机解决问题的步骤一般为( D ) ①编写程序②设计算法③分析问题④调试程序 A．①②③④B．③④①②C．②③①④D．③②①④ 2、以下问题最适用于计算机编程解决的是( D ) 。 A．制作一个表格B．计算已知半径的圆的周长 C．制作一部电影D．求2到10000之间的所有素数 5、计算机程序语言的发展阶段不包括( A ) 。 A．自然语言发展阶段B．机器语言发展阶段 C．汇编语言发展阶段D．高级语言发展阶段 7、任何复杂的算法都可以用三种基本结构组成，下列不属于基本结构的是(C ) A．顺序结构B．选择结构C．层次结构D．循环结构 9、流程图中表示判断框的是B。 A．矩形框B．菱形框C．平行四边形框D．椭圆形框 10、Visual Basic中以rem开头一行文字称为注释，它对程序的运行( D ) A．起一定作用B．不起任何作用，但是必须的 C．有时候起作用D．不起任何作用，但能增加程序的可阅读性 11、要使命令按钮显示文字“三角形”，正确的设置是把该命令按钮的(C ) A．Font属性设置为“三角形”B．ForeColor属性设置为“三角形” C．Caption属性设置为“三角形”D．BorderStyle属性设置为“三角形” 12、在VB中，表达式Rnd*10+10的值所在区间是（ C ） A．[10,20] B．(10,20] C．[10,20) D．(10,20) 13、表达式Abs(-4.5)*sqr(100)的值是（D ） A．- 450 B．- 45 C．450 D．45 14、窗体的ForeColor属性用于设置窗体的（ B ） A．宽度B．前景色C．高度D．背景色 15、运行下列语句组a=6：a=4：a=a+5后a的值（D ） A．2 B．4 C．5 D．9 16、在VB中，若要将变量N定义为整型数据，则下列表示方法中正确的是（C ）A．Dim N as String B．Dim N as Single C．Dim N as Integer D．Dim N as Long 18、将文本框Text2内输入的数据送到数值型变量n 中，则应使用的语句是__D_______。A．n = text B．n = text2.text C．n = val(text2) D．n = val(text2.text) 19、下列合法的变量名是（ B ）。 A．End B．scoreclass2 C．a.8 D．35as 20、下列常量说明中，符合语法的是（ D ）。 A．CONST color=green B．CONST const=56.9 C．CONST xl：=56.9 D．CONST color="green" 22、下列能正确表示“x、y、z全是负数”的VB逻辑表达式是（ B ） A．x < 0，y < 0，z < 0 B．（x<0）and（y<0）and（z<0）C．not((x<0)and(y<0)and(z<0)) D．（x<0）or（y<0）or （z<0） 24、VB中工程文件的扩展名为（A ） A、.vbp B、.bas C、.frm D、.bs 25、下列赋值语句中，错误的是（ C ） A、x=x*5 B、x=x/y C、x+y=x 最优化算法期末试题及答案 一、单项选择题 1. 最优化问题是指 A. 求解最大或最小值的问题 B. 求解平均值的问题 C. 求解所有可能解的问题 D. 求解线性方程组的问题 答案：A 2. 线性规划是一种 A. 非线性优化方法 B. 动态规划方法 C. 整数规划方法 D. 数值优化方法 答案：A 3. 如果一个函数在某个点的某个方向的导数存在且小于零，那么该点是一个局部最小值点。 A. 正确 B. 错误 答案：A 4. 梯度下降法是一种常用的最优化算法，其思想是 A. 沿函数的梯度方向进行搜索求解最优点 B. 随机选择点进行搜索求解最优点 C. 寻找函数的驻点作为最优点 D. 对目标函数进行二分法搜索找到最优点 答案：A 5. 遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，其基本操作包括 A. 选择、交叉、变异 B. 排序、选择、交叉 C. 选择、突变、淘汰 D. 选择、交叉、淘汰 答案：D 二、填空题 1. __________ 是一种求解最优化问题的常用方法。 答案：梯度下降法 2. 梯度下降法中的学习率决定了每一次迭代中参数更新的步幅，选择合适的学习率可以使算法收敛更快，但过大或过小的学习率可能导致算法无法收敛或收敛速度过慢。 答案：学习率 3. 遗传算法的基本操作中，通过选择操作从种群中选择适应度较高的个体作为下一代的父母。 答案：选择 4. 最优化问题可以分为连续型和______________两种类型。 答案：离散型 5. 在线性规划中，目标函数和约束条件都是线性的。 答案：是 三、问题解答题 1. 简述梯度下降法的原理及步骤。 答案：梯度下降法是一种常用的最优化算法，其原理是通过沿着函数的负梯度方向进行搜索，以找到函数的最小值点。其步骤如下： 1) 初始化参数：选择初始点作为搜索的起点。 2) 计算梯度：计算当前点的梯度，即对目标函数求偏导。 3) 更新参数：根据梯度和学习率更新参数，即进行一次梯度下降操作。 一、选择题 1. 通俗地讲，算法是指解决问题的一种方法或一个过程，描述算法的方式有很多，如（ ）。 A 、自然语言方式 B 、表格方式 C 、程序设计语言 D 、程序设计语言与自然语言相结合 算法的描述方式（常用的） 算法描述 自然语言 流程图 特定的表示算法的图形符号 伪语言 包括程序设计语言的三大基本结构及自然语言的一种语言 类语言 类似高级语言的语言，例如，类PASCAL 、类C 语言 2.算法的复杂性依赖于（ ）。 A 、要解决问题的规模 B 、算法的输入 C 、算法本身的函数 D 、设计者的学术水平 3. 以下描述是有关算法设计的基本步骤： ①问题的陈述 ②算法分析 ③模型的拟制 ④算法的实现 ⑤算法的详细设计 ⑥文档的编制，应与其它环节交织在一起 其中正确的顺序是（ ）。 A 、①②③④⑤⑥ B 、①③⑤②④⑥ C 、②④①③⑤⑥ D 、⑥①③⑤②④ 4.对于含n 个元素的子集树问题，最坏情况下解空间的叶结点数目为（ ）。 A 、n! B 、2^n C 、2n+1-1 D 、1!/!n i n i =∑ 5. 对于给定的问题，考虑算法复杂性的意义在于（ ）。 A 、设计出复杂性尽可能低的算法 B 、若该问题已有多种算法时，选择其中复杂性低的求解问题 C 、提高算法设计的学术水平层次 D 、判断算法的正确性 6.符号Ω在算法复杂度描述中表示（ ）。 A 、紧渐近上界 B 、渐近上界 C 、紧渐近下界 D 、渐近下界 7. 设()f n 、()g n 是定义在正数集上的正函数，如果存在正的常数C 和自然数0n ， 使得当0n n ≥时有()()f n Cg n ≤，则称函数()f n 当n 充分大时有上界()g n ，记作 ()(())f n O g n =，即()f n 的阶（ ）()g n 的阶。 A 、不高于 B 、不低于 C 、等价于 D 、逼近 8. 回溯法在解空间树T 上的搜索方式是（ ）。 A 、深度优先 B 、广度优先 C 、最小耗费优先 D 、活结点优先 9. 下面关于动态规划和备忘录方法的叙述中正确的是（ ）。 A 、备忘录方法是自顶向下的递归方式 B 、动态规划自底向上的，其最优值的计算不能递归定义 C 、当一个问题的所有子问题都至少需要求解一次时，用动态规划方法较好 D 、当子问题空间的部分子问题可不必求解时，用备忘录方法则较有利 10.一个四城市的旅行售货员问题，其解空间的深度为（ ）。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 11. 分支限界法与回溯法都是在问题的解空间树上搜索问题的解，二者（ ）。 A 、求解目标不同，搜索方式相同 B 、求解目标不同，搜索方式也不同 C 、求解目标相同，搜索方式不同 D 、求解目标相同，搜索方式也相同 12. 下列哪些问题不可以用贪心算法求得最优解（ ）。 A 、哈夫曼编码 B 、活动安排问题 C 、0-1背包问题 D 、单源最短路径 13. 在对问题的解空间树进行搜索的方法中，一个活结点最多有一次机会成为活结点 的是（ ）。 A 、回溯法 B 、分支限界法 C 、回溯法和分支限界法 D 、回溯法求解子集树问题 14.分支限界法在解空间树T 上的一种搜索方式是（ ）。 A 、深度优先 B 、广度优先 C 、活结点优先 D 、长度优先 15. 以下关于判定问题难易处理的叙述中正确的是（ ）。 A 、可以由多项式时间算法求解的问题是难处理的 B 、需要超过多项式时间算法求解的问题是易处理的 C 、可以由多项式时间算法求解的问题是易处理的 D 、需要超过多项式时间算法求解的问题是不能处理的 计算机算法与设计复习题（含答案） 1、一个算法的优劣可以用（时间复杂度）与（空间复杂度）与来衡量。 2、回溯法在问题的解空间中，按（深度优先方式）从根结点出发搜索解空间树。 3、直接或间接地调用自身的算法称为（递归算法）。 4、记号在算法复杂性的表示法中表示（渐进确界或紧致界）。 5、在分治法中，使子问题规模大致相等的做法是出自一种（平衡(banlancing)子问题）的思想。 6、动态规划算法适用于解（具有某种最优性质）问题。 7、贪心算法做出的选择只是（在某种意义上的局部）最优选择。 8、最优子结构性质的含义是（问题的最优解包含其子问题的最优解）。 9、回溯法按（深度优先）策略从根结点出发搜索解空间树。 10、拉斯维加斯算法找到的解一定是（正确解）。 11、按照符号O的定义O(f)+O(g)等于O(max{f(n),g(n)})。 12、二分搜索技术是运用（分治）策略的典型例子。 13、动态规划算法中，通常不同子问题的个数随问题规模呈（多项式）级增长。14、（最优子结构性质）和（子问题重叠性质）是采用动态规划算法的两个基本要素。 15、（最优子结构性质）和（贪心选择性质）是贪心算法的基本要素。 16、（选择能产生最优解的贪心准则）是设计贪心算法的核心问题。 17、分支限界法常以（广度优先）或（以最小耗费(最大效益)优先）的方式搜索问题的解空间树。 18、贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列（局部最优）的选择，即贪心选择达到。 19、按照活结点表的组织方式的不同，分支限界法包括（队列式 (FIFO)分支限界法）和（优先队列式分支限界法）两种形式。 20、如果对于同一实例，蒙特卡洛算法不会给出两个不同的正确解答，则称该蒙特卡洛算法是（一致的）。 21、哈夫曼编码可利用（贪心法）算法实现。 22概率算法有数值概率算法，蒙特卡罗（Monte Carlo）算法，拉斯维加斯（Las Vegas）算法和舍伍德（Sherwood）算法23以自顶向下的方式求解最优解的有（贪心算法） 24、下列算法中通常以自顶向下的方式求解最优解的是（C）。A、分治法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法 25、在对问题的解空间树进行搜索的方法中,一个活结点有多次机会成为活结点的是（回溯法） 26、旅行售货员问题不能用（）解决可以用回溯法解决，分支限界法，NP完全性理论与近似算法 27、贪心算法不能解决（0-1背包问题N 皇后问题）。可以解决背包问题 28、投点法是（概率算法）的一种。 29、若线性规划问题存在最优解，它一定 不在（可行域内部） 30、n皇后问题可以用（回溯法）解决。 31、若L是一个NP完全问题，L经过多项 式时间变换后得到问题l，则l是( P类问 题). 32、算法与程序在性质上有所不同，下列 性质中，程序可以不满足哪个性质：（）。 有限性！算法的四个性质：输入；输出； 确定性；有限性； 33、回溯法在解空间树T上的搜索方式：（分 支限界法） 34、动态规划算法的基本步骤不包括下列 哪一步：（）包括：划分阶段：选择状态确 一、选择题 1、衡量一个算法好坏的标准是（ C ）。 （A）运行速度快（B）占用空间少（C）时间复杂度低（D）代码短 2、记号O的定义正确的是（A）。 （A）O(g(n)) = { f(n) | 存在正常数c和n0使得对所有n≥n0有：0≤ f(n) ≤ cg(n) }；（B）O(g(n)) = { f(n) | 存在正常数c和n0使得对所有n≥n0有：0≤ cg(n) ≤ f(n) }；（C）O(g(n)) = { f(n) | 对于任何正常数c>0，存在正数和n0 >0使得对所有n≥n0有：0 ≤f(n) 一、选择题 1、二分搜索算法是利用（ A ）实现的算法。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 2、下列不是动态规划算法基本步骤的是（ A ）。 A、找出最优解的性质 B、构造最优解 C、算出最优解 D、定义最优解 3、最大效益优先是（ A ）的一搜索方式。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 4、在下列算法中有时找不到问题解的是（ B ）。 A、蒙特卡罗算法 B、拉斯维加斯算法 C、舍伍德算法 D、数值概率算法 5. 回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（ A ）。 A、子集树 B、排列树 C、深度优先生成树 D、广度优先生成树6．下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（ B ）。 A、备忘录法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 7、衡量一个算法好坏的标准是（ C ）。 A 运行速度快 B 占用空间少 C 时间复杂度低 D 代码短 8、以下不可以使用分治法求解的是（ D ）。 A 棋盘覆盖问题 B 选择问题 C 归并排序 D 0/1背包问题 9. 实现循环赛日程表利用的算法是（ A ）。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 10、下列随机算法中运行时有时候成功有时候失败的是（ C ） A 数值概率算法 B 舍伍德算法 C 拉斯维加斯算法 D 蒙特卡罗算法 11．下面不是分支界限法搜索方式的是（ D ）。 A、广度优先 B、最小耗费优先 C、最大效益优先 D、深度优先 12．下列算法中通常以深度优先方式系统搜索问题解的是（ D ）。 A、备忘录法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 13.备忘录方法是那种算法的变形。（ B ） A、分治法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法14．哈弗曼编码的贪心算法所需的计算时间为（ B ）。 A、O（n2n） B、O（nlogn） C、O（2n） D、O（n）15．分支限界法解最大团问题时，活结点表的组织形式是（ B ）。 A、最小堆 B、最大堆 C、栈 D、数组16．最长公共子序列算法利用的算法是（ B ）。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法17．实现棋盘覆盖算法利用的算法是（ A ）。 A、分治法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 18.下面是贪心算法的基本要素的是（ C ）。 A、重叠子问题 B、构造最优解 C、贪心选择性质 D、定义最优解 19.回溯法的效率不依赖于下列哪些因素（ D ） A.满足显约束的值的个数 B. 计算约束函数的时间 C. 计算限界函数的时间 D. 确定解空间的时间 20.下面哪种函数是回溯法中为避免无效搜索采取的策略（ B ） A．递归函数 B.剪枝函数C。随机数函数 D.搜索函数 21、下面关于NP问题说法正确的是（ B ） A NP问题都是不可能解决的问题 天津大学《最优化方法》复习题（含答案） 第一章 概述(包括凸规划) 一、 判断与填空题 1 )].([arg )(arg min max x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{}.:)(m in :)(m ax n n R D x x f R D x x f ⊆∈-=⊆∈ ⨯ 3 设.:R R D f n →⊆ 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的全局最优解. ⨯ 4 设.:R R D f n →⊆ 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切 )(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的严格局部最 优解. ⨯ 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ⊆为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ⊆为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ⨯ 9 函数R R D f n →⊆:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →⊆:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈∀，有).()()()(***-∇≤-x x x f x f x f T ⨯ 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法， 则对{} ,2,1,0∈∀k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ . 13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。 14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。 √ 15 函数R R D f n →⊆:在点k x 沿着迭代方向}0{\n k R d ∈进行精确一维线搜索的步长k α，则其搜索公式为 . 16 函数R R D f n →⊆:在点k x 沿着迭代方向}0{\n k R d ∈进行精确一维线搜索的 天津大学《最优化方法》复习题〔含答案〕 第一章 概述(包括凸规划) 一、 判断与填空题 1 )].([arg )(arg min max x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{} .:)(m in :)(m ax n n R D x x f R D x x f ⊆∈-=⊆∈ ⨯ 3 设.:R R D f n →⊆ 假设n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题 )(min x f D x ∈的全局最优解. ⨯ 4 设.:R R D f n →⊆ 假设D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切 )(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的严格局部最 优解. ⨯ 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ⊆为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ⊆为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ⨯ 9 函数R R D f n →⊆:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →⊆:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈∀，有).()()()(***-∇≤-x x x f x f x f T ⨯ 11 假设)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法， 则对{} ,2,1,0∈∀k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ .算法期末复习重点及答案
算法与优化复习题补充
《最优化方法》复习题(含答案)
算法设计与分析考试题及答案
算法分析复习题目及答案
算法与程序部分复习题答案
最优化理论与算法习题答案
算法与程序设计复习题
最优化算法期末试题及答案
算法-复习题【选择题】
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