数学平方根开方表
平方根的运算法则
平方根的运算法则平方根是数学上常见的概念，它可以帮助我们求解一些与平方相关的问题。
在运算中，平方根也遵循一些特定的法则，掌握这些法则可以更加高效地进行计算。
本文将介绍平方根的运算法则，并举例说明。
一、平方根的定义平方根是指对一个非负数 a，找出在非负数集合中的一个数 b，使得 b 的平方等于 a，表示为b = √a。
其中，a 称为被开方数，b 称为平方根。
二、平方根的运算法则平方根的运算法则主要包括以下几个方面：1. 同底数相乘的平方根等于各底数的平方根相乘即：√(a*b) = √a * √b例如：√(4*9) = √4 * √9 = 2 * 3 = 62. 同底数相除的平方根等于各底数的平方根相除即：√(a/b) = √a / √b例如：√(16/4) = √16 / √4 = 4 / 2 = 23. 求一个数的平方根后再进行平方，等于其绝对值即：(√a)^2 = |a|例如：(√9)^2 = |9| = 94. 平方根的乘方等于被乘方数即：(√a)^n = a^(1/n)例如：(√64)^3 = 64^(1/3) = 4^3 = 645. 同一数的乘方根可以转化为同一数的乘方即：√(a^n) = a^(n/2)例如：√(5^4) = 5^(4/2) = 5^2 = 25三、应用示例下面将通过示例来进一步说明平方根的运算法则。
示例1：求解√(9*16) = ?按照第一个法则，可以分别计算√9 和√16，然后再相乘：√(9*16) = √9 * √16 = 3 * 4 = 12因此，√(9*16) = 12。
示例2：求解(√144)^2 = ?根据第三个法则，先计算√144，再进行平方：(√144)^2 = |144| = 144因此，(√144)^2 = 144。
示例3：求解√(5^6) = ?根据第五个法则，可以转化为同一数的乘方：√(5^6) = 5^(6/2) = 5^3 = 125因此，√(5^6) = 125。
第六章 算术平方根
因为1.4142 1.999 396, 1.4152 2.002 225, 1.999 396 2 2.002 225，
1.414 2 1.415; ......
如此下去，可以得到 2 的更精确的近似值.
一、无限不循环得到
因此 100 10；
（2）由于
4 5
2=1265
，
因此
16 4 ；
25 5
（3）由于0.72=0.49，
不难看出：被 开方数越大， 对应的算术平 方根也越大.这 个结论对所有 正数都成立.
因此 0.49 0.7 .
例2 计算：
（1） 49 2 7 1 ； （2） 4 9 16 .
的小数点就向左移动 1 位.
当堂练习
1．估计 56 的大小应在(C )．
A．5～6 之间 B．6～7 之间 C．7～8 之间 D． 8～9 之间 2．利用规律计算：已知 2 1.414 ， 20 4.472 ，则 0.2 0_._4_4_7_2 . 3. 用计算器计算下列各式的值（精确到 0.01）.
当堂练习
1.填空：（看谁算得又对又快） (1) 一个数的算术平方根是3，则这个数是 9 . (2) 一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数 是_a_2_；和这个自然数相邻的下一个自然数是 a2+1 .
(3) 81 的算术平方根为 3 . 81 = 9 (4) 2的算术平方根为___2_.
2.求下列各数的算术平方根: （1）169； (2) 64 ； (3) 0.0001.
小丽不能裁出符合要求的纸片.
二 用计算器求算术平方根 在估计有理数的算术平方根的过程 中，为方便计算，可借助计算器求 一个正有理数a的算术平方根(或其 近似数).
平 方 根 表(一)
平方根表（一）一、教学目标1．使学生了解平方根表的构造。
2．使学生会查平方根表求一个数的平方根，并会利用这个表求表外数的平方根。
3．使学生通过一些简单的查表及近似计算，提高类比思维及运算能力。
4．使学生通过利用平方根表求表外数的平方根的近似值的训练，进一步领会转化与化归的思想。
二、教学重点和难点1．使学生了解平方根表的构造，了解通过平方根表所能直接查到的数的平方根的范围。
2．使学生清楚被开方数小数点位置的变化与相应的算术平方根小数点位置的变化的关系，从而通过移动小数点的位置来实现用平方根表查表以外的数的平方根，这既是本节内容的重点，也是本节内容的难点。
三、教学过程由上一节的知识，我们知道，，，我们看到16、9、36的算术平方根为有理数，但我们也发现并非所有的有理数的平方根都是一个有理数，例如2的平方根，我们并不知道什么数的平方等于2，所以对于式子的值，我们只能求得它的任何精确度的近似值，如何求其近似值呢？由上节的内容，我们已经学到了平方与开平方运算是一为逆运算的。
我们看下面的计算：由此我们看到是一个在1.414和1.415之间的数，将上述运算继续下去，便可以得以更为精确的的近似值。
用这咱方法我们可以求得像、等这样式子的近似值，但显然这种方法十分麻烦，在实际解题过程中不易使用。
为了迅速求得一个数的平方根，我们一起来了解一下平方根表的结构，并学习如何利用这个表查得一些数的平方根。
我们先看表的左上角标有“N”，“N”所在的直列中的数是指被开方数的前两位数，“N”所在的横行中的数是被开方数的第三位数，表最右边的数叫做修正值。
表中间最头部分，是所求数的算术平方根，由四位有效数字的数构成它的第四位一般是四舍五入得到的。
由此我们可以清楚《平方根表》查得的平方根也是近似值，但我们在写结果时，仍用等号表示。
这个表中列出了从1.00至99.9的三个数位的数的算述平方根及其修正值，从中可以查到从1.000至99.99有四个有效数字的数的算术平方根的近似值。
平方根和立方根
即 0.0004 0.02 ；
解: ( 25) 25 ， 25 的平方根为
2 2
(25) 2 (4)
2
25 ,
即
25
2
25 ；
(5) 11
解：11的平方根是 11 .
总结：运用平方运算求一个非负数的平 方根是常 用的方法，如果被开方数是小数， 要注意小数点的位置，也可先将小数化为分 数， 再求它的平方根，如果被开方数是带分 数，先要把它化为假分数.
(1)64
解:
49 121
(8) 64 ， 64的平方根为 8 ,
2
即 64 8 ；
(2)
解:
7 2 49 7 49 ( ) ， 的平方根 , 11 121 121 11
49 7 即 121 11 ；
巩固新知
(3) 0.0004
解: (0.02) 0.0004 ， 0.0004的平方根为0.02 ,
注意要弄清 a ， a ， a 的意义，不能用 a 来表 示a的平方根，如：64的平方根不要写成 64 8 .
议一议 一个正数有几个平方根？它 们是什么关系？ 一个正数有两个平方根,它们是互 为相反数.
0的平方根有几个？
一个，0的平方根是0.
负数有平方根吗? 负数没有平方根.
想一想
3的平方等于9，那么9的算术平方根就是
2 5
3
2 5
的平方等于
4 25
4 ，那么 25 的算术平方根就是
展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长 7 米
4 问题：平方等于9， 25
，49的数还有吗？
3
平方根和立方根知识点总结
平方根和立方根知识点总结平方根和立方根是数学中非常重要的概念，它们在解决数学问题、理解数学规律以及实际应用中都有着广泛的用途。
接下来，让我们详细地了解一下平方根和立方根的相关知识。
一、平方根1、定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
用数学语言表达为：若 x²＝ a，则 x 叫做 a 的平方根，记作±√a 。
例如，因为 3²＝ 9，（－3)²＝ 9，所以 9 的平方根是 ±3，即±√9 ＝ ±3 。
2、性质（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
比如 4 的平方根是 ±2 。
（2）0 的平方根是 0 。
（3）负数没有平方根。
这是因为在实数范围内，任何数的平方都不可能是负数。
3、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a 。
0 的算术平方根是 0 。
例如，4 的算术平方根是 2 ，即√4 ＝ 2 。
4、开平方求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。
开平方与平方互为逆运算。
在进行开平方运算时，需要注意被开方数的取值范围，被开方数必须是非负数。
5、平方根的估算对于一些不是完全平方数的数，我们可以通过估算来确定其平方根的大致范围。
例如，估算√7 的值。
因为 4 ＜ 7 ＜ 9 ，所以 2 ＜√7 ＜ 3 。
二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
用数学语言表达为：若 x³＝ a，则 x 叫做 a 的立方根，记作³√a 。
例如，因为 2³＝ 8 ，所以 8 的立方根是 2 ，即³√8 ＝ 2 。
2、性质（1）正数的立方根是正数。
（2）负数的立方根是负数。
（3）0 的立方根是 0 。
也就是说，任意一个数都有且只有一个立方根。
3、开立方求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算。
三、平方根与立方根的区别1、个数不同平方根中，正数有两个平方根，0 的平方根是0 ，负数没有平方根；而立方根中，任何数都只有一个立方根。
数的开方
一、 数的开方1、平方根 ：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作x=±a ，其中a 叫被开方数.（1）任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数.如正数a 的平方根是±，其中＋与－恰是一对相反数；（2）零的平方根是零，即=0；（3）负数没有平方根.平方根的性质（4）正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根.平方根与算术平方根的区别及联系 区别：（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根”；“非负数a 的非负平方根叫做a 的算术平方根”.（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.（3）表示方法不同：正数a 的平方根表示为±，正数a 的算术平方根表示为.（4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数；正数的平方根则一正一负，两数互为相反数. 联系：（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种．（2）存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有．（3）0的平方根、算术平方根均为0.平方根的符号有三种形式：±，，－，它们的意义分别是：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平方根，非负数a 的负平方根.要特别注意. 公式（a ≥0）表明：一个非负数的算术平方根的平方还是等于这个数.这个式子反过来也可以写成：a=（a ≥0）.它表明：一个非负数可以写成它的算术平方根的平方.的非负性，即当a ≥0时，≥0，非负数的算术平方根一定是非负数； 例17 16的算术平方根是_________；64271-=__________；立方等于-64的数是 ． 例18 若a -是有理数，则a 一定是 ．2 立方根立方根的概念：如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根．(也称数a 的三次方根)用数学式表示为：若x3=a ，则x 叫做a 的立方根，或称x 叫做a 的三次方根．立方根的表示方法： 类似于平方根德表示方法，数a 的立方根我们用符号 来表示.读作“三次根号下a”，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数，注意，平方根的表示方法说过当根指数为2时可以省略不写，现在是立方根了，这个根指数3是绝对不可省的，否则就会与平方根混淆了，例如表示125的立方根，而则表示125的算术平方根. 立方根的性质： 任何一个正数的立方根是一个正数，即a>0时，>0； 任何一个负数的立方根是一个负数，即a<0时，<0；零的立方根仍是零，即a=0时，=0. 立方根的被开方数中的负号可以直接从根号内移至根号外，即.因此，求负数的立方根，可以转化为求其相反数的立方根. 例19 的立方根是 ．若 ，则 的值是（ ）．例20 （1）计算： + ．（2）解方程：3、开平方和开立方 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方，开平方与平方互为逆运算 .求一个数的立方根的运算叫做开立方.开立方与立方互为逆运算.例21（1）（5-26）2 （2）(512)2-(13)2 （3）226.36- （4）3000343.0- （4）原式=-3307.0=-0.07 例22如果745.302.14=则=140200 ；如果=325.5 1.738则300525.0= 被开方数的小数点移动两位时，平方根的小数点向相同方向移动一位；被开方数的小数点移动三位时，立方根的小数点向相同方向移动一位.例23 解方程(1)x3=0.125；(2)3(x-4)3-1536=0．练习题：一、填空题：1、的立方根是_________；125的立方根是_________；2)5(-的算术平方根是；81的平方根是；的立方根为________；的平方根为________；的立方根为________ .．2、若某数的立方等于－0.027，则这个数的倒数是____________．3、已知，则．4、若，，则．5、平方根是它本身的数是__ _；立方根是其本身的数是__ __；算术平方根是其本身的数是________ ；一个自然数的算术平方根是a，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是____________；立方根是____________．6、若a=3，b=30，则7.2等于．（用含有ａ，ｂ的式子表示）二、选择题7、下列判断中，错误的是( )A、两个实数之间有无数个实数B、两个有理数之间有无数个有理数C、两个无理数之间有无数个无理数D、两个整数之间有无数个整数8、若，则化简的结果是（）A、0B、-2aC、2aD、±2a9、8．设，则（）A、xy=1B、x=yC、x>yD、x<y10、下列说法：①绝对值最小的实数是零；②带根号的数是无理数；③无理数是开方开不仅的数；④无论x 为任何实数， 都有意义。
数学自学指南 实数之平方根、立方根
自学资料一、平方根【知识探索】1．如果一个正数x的平方等于a，即，如果x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根（arithmetic square root）．a的算术平方根记为“”，读作“根号a”，a叫做被开方数．【说明】规定：0的算术平方根是0．2．开平方与平方互为逆运算．【说明】（1）一个正数的平方根的平方等于这个数；（2）一个正（负）数的平方的正平方根等于这个数（这个数的相反数）．3．正数a的两个平方根可以用“”表示，其中“”表示a的正平方根（又叫算数平方根），读作“根号a”；“”表示a的负平方根，读作“负根号a”．零的平方根记作“”，．【总结】（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根．【说明】负数没有平方根，或者说负数不能进行开平方运算，这个结论只是在实属范围内正确．【错题精练】例1．若（k是整数），则k=（）第1页共10页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D例2．已知m的平方根是a+3与2a﹣15，求m的值．【答案】解：当a+3与2a﹣15是同一个平方根时，a+3+2a﹣15=0，解得a=4，此时，m=49．例3．已知（2x+y）2+=0，求x﹣2y的平方根．【答案】例4．一个正偶数的算术平方根是a，那么与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（）A. a+2B.C.D.【答案】C例5．求下列式子中的x28x2-63=0．第2页共10页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】±【举一反三】1．下列计算正确的是（）A.B. =﹣2C.D. （﹣2）3×（﹣3）2=72【解答】A、根据算术平方根的定义即可判定；B、根据立方根的定义即可判定；C、根据立方根的定义即可判定；D、根据乘方运算法则计算即可判定．【答案】B2．一个正方形的面积是9平方单位，则这个正方形的边长是（）长度单位A. 3B.C. ±D. ±【答案】A3．下列判断正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则第3页共10页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【答案】B4．的平方根是（）A.B.C.D.【答案】A5．已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是A. a是无理数B. a是方程x2﹣8=0的解C. a是8的算术平方根D. a满足不等式组【答案】D6．9的平方根是__________ ，9的算术平方根是__________【答案】±3|37．求x值：（x﹣1）2=25【答案】x=6，或x=﹣48．已知，则a﹣b的值是__________ ．第4页共10页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【解答】【答案】9．观察数表：根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第8个数是__________ ．【解答】【答案】二、立方根【知识探索】1．任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根．（1）正数的立方根是一个正数；（2）零的立方根是零；（3）负数的立方根是一个负数．2．一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（cube root）或三次方根．即，如果x3＝a，那么x就叫做a的立方根．用“”表示，读作“三次根号a”．中的“a”叫做被开方数，“3”叫做根指数．【错题精练】例1．我们知道a+b=0时，a3+b3=0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；第5页共10页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训（2）若与互为相反数，求的值．【解答】【答案】见解析例2．一个正方体木块的体积是125cm3，现将它锯成8块同样大小的正方体小木块，求每个小正方体木块的表面积。
求平方根的万能公式
求平方根的万能公式平方根的万能公式是数学中的一种公式，它可以用来求解任意数的平方根。
平方根是指一个数的平方等于另一个数，即求解被开方数的正根（或者负根）的数值。
平方根的万能公式的推导和证明非常复杂，属于高等数学中的内容之一、在这里，我们将为您提供平方根的万能公式，并简要介绍其推导过程。
平方根的万能公式如下：对于任意实数a和非零实数b，且a不为负数，平方根的万能公式为：√a=±(√[(a+√(a^2-b^2))/2]-√[(a-√(a^2-b^2))/2])其中，±代表正根和负根的取值。
这个公式可以被用来求解任意实数的平方根，无论是正数还是负数。
在使用这个公式之前，我们需要明确一些限制条件：1.被开方数a必须为实数，并且不为负数。
因为在实数范围内，负数的平方根无意义。
2.需要满足a^2-b^2大于或等于零，即a^2不小于b^2、否则，将无法使用上述公式来求解平方根。
现在，让我们来推导平方根的万能公式。
假设我们要求解√a的平方根，其中a是一个非负实数。
我们可以将其表示为√a=x，其中x是一个未知数。
将等式两边平方，我们得到等式a=x^2根据二项式定理，我们可以展开a和x^2的差值：a-x^2=0对于方程a-x^2=0，我们可以求解出x，其中x可以是正根或负根，即x=±√a。
现在，假设我们要使用平方根的万能公式来求解平方根。
我们将a-x^2重新表示为a-(y+z)^2，其中y和z是两个未知数。
展开(a-(y+z)^2)，我们得到：a - (y + z)^2 = a - y^2 - 2yz - z^2为了使得(a - y^2 - 2yz - z^2)为0，我们需要求解y和z。
根据公式的性质，我们可以将y和z表示为a和b的函数。
假设a和b是两个非零实数，我们可以将y和z表示为：y=√[(a+√(a^2-b^2))/2]z=√[(a-√(a^2-b^2))/2]将y和z代入公式，我们得到：a - (y + z)^2 = a - y^2 - 2yz - z^2 = 0从而证明了公式的正确性。