第二章对偶问题选做题答案
03.对偶问题
s.t
s.t
为其对偶问题，其中 为其对偶问题，其中yi (i=1,2,…,m) 称为对偶变量。 上述对偶问题称为对称型对偶问题。 原问题简记为(P)，对偶问题简记为 原问题简记为 ，对偶问题简记为(D)
17
例3：求线性规划问 ： 题的对偶规划
Max s.t
Z = 5x1 + 6x2 3x1 − 2x2 ≤ 7 4x1 + x2 ≤ 9 x , x ≥ 0 1 2
28
练习2 练习2答案
max z = x1 + 2 x2 + 3x3 + 4 x4 − x1 + x2 − x3 − 3 x4 = 5 6 x + 7 x + 3 x − 5 x ≥ 8 1 2 3 4 s.t. 12 x1 − 9 x2 − 9 x3 + 9 x4 ≤ 20 x1, x 2 ≥ 0; x3 ≤ 0; x 4无约束.
3
目标函数
Max Z= 40x1 +50x2 x1 + 2x2 ≤ 30 3x1 + 2x2 ≤ 60 2x2 ≤ 24 x1，x2 ≥ 0
约束条件
s.t
如果因为某种原因，不愿意自己生产， 如果因为某种原因，不愿意自己生产，而希 望通过将现有资源承接对外加工来获得收益， 望通过将现有资源承接对外加工来获得收益，那 么应如何确定各资源的使用价格？
Max
s.t
Z = 5x1 + 6x2 3x1 − 2x2 ≤ 7 − 3x + 2x ≤ −7 1 2 4x1 + x2 ≤ 9 x1, x2 ≥ 0
20
上式已为对称型对偶问题， 上式已为对称型对偶问题，故可写出它的对偶规划
运筹学习题答案(第二章)
0
-5/4
(j)
第二章习题解答
2.4 给出线性规划问题 写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题；(3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优解。
最优解是：y1=-8/5,y2=1/5,目标函数值-19/5。
01
由于 y1=-8/5,y2=1/5都不等于零，原问题中的约束取等号。又上面第4个约束不等号成立，故x4=0，令x3=0就可以得到最优解： x1=8/5,x2=1/5。
3
2
5
0
0
0
CB
基
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
2
X2
15-7/4
1/4
1
0
0
0
1/4
5
X3
30+
3/2
0
1
0
1/2
0
0
X4
3 /2-5
-1
0
0
1
-1/2
-1/2
Cj－Zj
-7
0
0
-1
-2
0
第二章习题解答
第二章习题解答
2.14 某厂生产A，B，C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表：
第二章习题解答
已知原问题最优解为X*=(2，2，4，0)，代入原问题，第4个约束不等式成立，故y4=0。有由于x1,x2,x3大于0，上面对偶问题前3个约束取等号，故得到最优解： y1=4/5, y2,=3/5, y3=1, y4=0
第二章习题解答
2.8 已知线性规划问题A和B如下：
01
01
02
2.6 已知线性规划问题
b第二章 对偶问题
第二章：对偶问题（1）
对偶问题的提出: 复习典型引例： 某工厂在计划期内安排甲，乙两种产品，已知生 产单位产品所消耗资源以及产生的利润如下表：
甲产品 设备 原材料A 原材料B 产生的利润 1 4 0 2元
乙产品 2 0 4 3元
资源量 8 台时 16公斤 12公斤
YA--Ys=C Y,Ys ≥0
则原问题单纯形表的松弛变量的检验数对应对偶问题的一个解
第二章：对偶问题（1）
性质1的证明： 求证: 对称性 对偶问题的对偶是原问题。
证明：原问题 ：
Max CX， AX ≤ b， X ≥0 对偶： Min Y b， YA ≥ C， Y ≥0 即 Max -Y b， -YA ≤ - C， Y ≥0 对偶问题的对偶： Min - CX， - AX ≥ - b， X ≥0
对偶性质的应用二例： 例1：用对偶理论证明线性规划无最优解 (p60) Max Z= X1 +X2
MaxZ=CX AX<=b X ≥0 Min w=Y b YA≥C Y ≥0
- X1+X2+X3 <=2
- 2X1+X2-X3 <=1 X1,X2,X3>=0 对偶:
思路：利用约束 条件的矛盾证明 线性规划无解
Y*Xs=0 和 YsX*=0 ， 当且仅当 X*.Y* 为最 优解。
（Y3 ， Y4 ， Y5 ， Y6 ， Y7 ）
第二章：对偶问题（2）
所以Y* 是使目标值最小的可行解，因此Y*是最优解
同理， X*是最优解
性质5 的证明：
对偶定理 若原问题有最优解，则对偶问题也有最优解，且 目标函数值相等。 证明：P58 设X* 是原问题最优解，B 是最优基，
运筹学习题集（第二章）
运筹学习题集（第二章）判断题判断正误，如果错误请更正第二章线形规划的对偶理论1.原问题第i个约束是<=约束,则对偶变量yi>=0.2.互为对偶问题,或则同时都有最优解,或则同时都无最优解.3.原问题有多重解,对偶问题也有多重解.4.对偶问题有可行解,原问题无可行解,则对偶问题具有无界解.5.原问题无最优解,则对偶问题无可行解.6.设X,Y分别为｛minZ=CX｜AX>=b,X>=0｝和｛maxw=Yb｜YA<=C,Y>=0｝的可行解,则有(1)CX<=Yb;(2)CX是w的上界;(3)当X,Y为最优解,CX=Yb;(4)当CX=Yb 时,有YXs+YsX=0;(5)X为最优解且B是最优基时,则Y=C B B-1是最优解;(6)松弛变量Ys的检验数是λs,则X=-λs是基本解,若Ys是最优解, 则X=-λs是最优解.7.原问题与对偶问题都可行,则都有最优解.8.原问题具有无界解,则对偶问题可行.9.若X,Y是原问题与对偶问题的最优解.则X=Y.10.若某种资源影子价格为0,则该资源一定有剩余.11影子价格就是资源的价格.12.原问题可行对偶问题不可行,可用对偶单纯形法计算.13.对偶单纯形法比值失效说明原问题具有无界解.14.对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种解法.15.减少一个约束,目标值不会比原来变差.16.增加一个约束,目标值不会比原来变好.17增加一个变量, 目标值不会比原来变差.18.减少一个非基变量, 目标值不变.19.当Cj(j=1,2,3,……，n)在允许的最大范围内同时变化时，最优解不变。
选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第二章线性规划的对偶理论1.如果决策变量数列相等的两个线规划的最优解相同，则两个线性规划A约束条件相同B目标函数相同C最优目标函数值相同D以上结论都不对2.对偶单纯形法的最小比值规则是为了保证A使原问题保持可行B 使对偶问题保持可行C逐步消除原问题不可行性D逐步消除对偶问题不可行性3.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系A若最优解存在，则最优解相同B原问题无可行解，则对偶问题也无可行解C对偶问题无可行解，原问题可能无可行解D一个问题无界，则另一个问题无可行解E一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解4.已知规范形式原问题（max）的最优表中的检验数为（λ1，λ2，……λn），松弛变量的检验数为（λn+1,λn+2,……λn+m）,则对偶问题的最优解为A—（λ1，λ2，……λn）B （λ1，λ2，……λn）C —（λn+1,λn+2,……λn+m）D （λn+1,λn+2,……λn+m）5.原问题与对偶问题都有可行解，则A原问题有最优解，对偶问题可能没有最优解B原问题与对偶问题可能都没有最优解C可能一个问题有最优解，另一个问题具有无界解D原问题与对偶问题都有最优解计算题线性规划问题和对偶问题2.1 对于如下的线性规划问题min z = 3x1 + 2x2 +x3s.t. x1 + x2+ x3 ≤ 15 (1)2x1 - x2+ x3≥ 9 (2)-x1 + 2x2+2x3≤ 8 (3)x1 x2x3 ≥ 01、写出题目中线性规划问题的对偶问题；2、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解答：1、写出题目中线性规划问题的对偶问题；解：max w = 15y1 + 9y2 + 8y3s.t. y1 + 2y- y3 ≤ 3 (1)y1 - y2+ 2y3≤ 2 (2)y1 + y2+ 2y3≤ 1 (3)y1≤0、y2 ≥0、y3 ≤02、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解：先将原问题化成以下形式，则有mi n z = 3x1 + 2x2 + x3s.t. x1 + x2+ x3+ x4= 15 (1)-2x1 + x23+ x5= -9 (2)-x1 + 2x2+2x3+x6= 8 (3)原始问题的最优解为（X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6）=（2，0，5，8，0，0），minz=11 对偶问题的最优解为（y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6）=（0，7/5，-1/5，0，19/5，0），maxw=112.2 对于以下线性规划问题max z = -x 1 - 2x 2s.t. -2x 1 + 3x 2 ≤ 12 (1) -3x 1 + x 2 ≤ 6 (2) x 1 + 3x 2 ≥ 3 (3) x 1 ≤ 0，x 2 ≥ 01、写出标准化的线性规划问题；2、用单纯形表求出这个线性规划问题的最优解和最优的目标函数值；3、写出这个（极大化）线性规划问题的对偶问题；4、求出对偶问题的最优解和最优解的目标函数值；5、第（2）个约束右端常数b 2=6在什么范围内变化，最优解保持不变。
运筹学作业2(清华版第二章部分习题)答案
运筹学作业2（第二章部分习题）答案2．1 题 （P . 77） 写出下列线性规划问题的对偶问题：（1）123123123123123m ax 224..34223343500,z x x x s t x x x x x x x x x x x x =++⎧⎪++≥⎪⎪++≤⎨⎪++≤⎪≥≥⎪⎩无约束，；解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为：123123123123123m ax 235..223424334,0,0w y y y s t y y y y y y y y y y y y =++⎧⎪++≤⎪⎪++≤⎨⎪++=⎪≥≤≤⎪⎩（2）1111m in ,1,,,1,,0,1,,;1,,m n ij ij i j n ij ij i j nij ij j j ij z c x c x a i m c x b j nx i m j n====⎧=⎪⎪⎪==⎪⎨⎪⎪==⎪⎪≥==⎪⎩∑∑∑∑ 解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为：11m ax 1,,;1,,m n i i j ji j i j ij i w a u b v u v c i m j n u ==⎧=+⎪⎪⎪+≤⎨⎪==⎪⎪⎩∑∑ j 无约束，v 无约束2．2判断下列说法是否正确，为什么？（1） 如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； 答：错。
因为：若线性规划的原问题存在可行解，且其对偶问题有可行解，则原问题和可行问题都将有最优解。
但，现实中肯定有一些问题是无最优解的，故本题说法不对。
例如原问题1212212m ax 31..30,0z x x x x s t x x x =++≥⎧⎪≤⎨⎪≥≥⎩有可行解，但其对偶问题1211212m in 33..10,0w y y y s t y y y y =+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≥⎩无可行解。
（2） 如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解；答：错，如（1）中的例子。
运筹学第二章对偶问题
DUAL PRICES
1.500000 0.125000 0.000000
影子价格 （对 偶问题的解）
迭代（旋转）次数 NO. ITERATIONS= 2
用软件分析
目标不变下要素的变化范围 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
目标系数的变化范围
VARIABLE
CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 y6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy7
i
M y5 2 1 4 0 1 1 0 0
M y7 3 2
0 [ 4] 0
0 1 1
3/4
83M 164M 124M M 0
M0
8 16 12 0 M 0 M
CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7
i
M y5 2 1
4 0 1 1 0 0
M0
3 M－3
8 16 12 0 M 0 M
CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7
i
M y5 2
1 [ 44 ] 0 1 1
0 0 1/2
12 y3 3/4 1/2 0 1
0 0 1/4 1/4 －
2-M 16-4M 0
M0
3 M－3
8 16 12 0 M 0 M
CB XB b y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7
两边乘以“1”
5x1 3x2 + x3 200 5x1 3x2 + x3 200
Max z = 3x1 +4x2 +6x3 St. 2x1 +3x2 +6x3 440 6x1 +4x2 + x3 100 对偶 5x1 3x2 + x3 200 5x1 +3x2 x3 200 x1 ，x2 ，x3 0
第2章 对偶理论和灵敏度分析-习题
理解原问题与对偶问题的关系. 论述对偶问题的基本性质并证明. 掌握对偶单纯形法. 掌握灵敏度分析及参数线性规划.
应用灵敏度分析原理讨论管理实践中的经 济决策问题.
1 写出下列线性规划问题的对偶问题
max Z = 5 x1 + 6 x 2 + 3x 3 x1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 5 x1 + 5 x 2 x3 ≥ 3 s.t. 4 x1 + 7 x 2 + 3x 3 ≤ 8 x1无约束,x 2 ≥ 0, x3 ≤ 0
b
1 2
x1 1 0 0
-3-2+λ -5+-4λ -1+λ-
σ j′ = (c j z j )′ = C j′ C B′ B 1 Pj
= C j ′ C B ′ P j′
3 2 5 + 1 +λ
令=0
+λ
≤0 ≤0
4λ ≤ 0
-5/4≤λ≤1, 故 3/4≤c1≤3
令λ=0 -1≤≤5, 故 2≤c2≤8
b
1/3 2
X 故最优解为: * = (0, 2, 0, 0, 0,1/ 3)
(5) 增添一个新的约束 x1+2x2+x3 ≤4
Cj CB 2 3 0 XB x1 x2 x6 b
1 2 4
2 x1 1 0 1 0
3 x2 0 1 2 0
1 x3 -1 2 1 -3
0 x4 4 -1 0 -5
0 x5 -1 1 0 -1
(1)求线性规划的最优解.(20分) (2)写出对偶问题并求出对偶问题的最优解.( 5分) (3)当△b3=-150时最优基是否发生变化?为什 么?(5分) (4)求c2的灵敏度变化范围.(5分) (5)如果x3的系数由[1,3,5]变化到[1,3,2]最 优基是否改变?若改变求新的最优解.(5分)
运筹学_第2章_对偶理论习题
第二章线性规划的对偶理论2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题max z=2x1+2x2－4x3x1 + 3x2 + 3x3 ≤304x1 + 2x2 + 4x3≤80x1、x2，x3≥0解：其对偶问题为min w=30y1+ 80y2y1+ 4y2≥23y1 + 2y2 ≥23y1 + 4y2≥－4y1、y2≥02.2 写出下列线性规划问题的对偶问题min z=2x1+8x2－4x3x1 + 3x2－3x3 ≥30－x1 + 5x2 + 4x3 = 804x1 + 2x2－4x3≤50x1≤0、x2≥0，x3无限制解：其对偶问题为max w=30y1+80 y2+50 y3y1－y2 + 4 y3≥23y1+5y2 + 2y3≤8－3y1 + 4y2－4y3 =－4y1≥0，y2无限制，y3≤02.3已知线性规划问题max z=x1+2x2+3x3+4x4x1 + 2x2 + 2x3 +3x4≤202x1 + x2 + 3x3 +2x4≤20x1、x2，x3，x4≥0其对偶问题的最优解为y1*=6/5，y2*=1/5。
试用互补松弛定理求该线性规划问题的最优解。
解：其对偶问题为min w=20y1+ 20y2y1 + 2y2≥1 （1）2y1 + y2 ≥2 （2）2y1 +3y2≥3 （3）3y1 +2y2≥4 （4）y1、y2≥0将y1*=6/5，y2*=1/5代入上述约束条件，得（1）、（2）为严格不等式；由互补松弛定理可以推得x1*=0，x2*=0。
又因y1*>0，y2*>0，故原问题的两个约束条件应取等式，所以2x3*+3x4* = 203x3* +2x4* = 20解得x3* = x4* = 4。
故原问题的最优解为X*=（0，0，4，4）T2.4用对偶单纯形法求解下列线性规划min z=4x1+2x2+6x32x1 +4x2 +8x3 ≥244x1 + x2 + 4x3≥8x1、x2，x3≥0解将问题改写成如下形式max（－z）=－4x1－2x2－6x3－2x1－4x2 －8x3 + x4=－24－4x1－x2－4x3+x5 =－8x1、x2，x3，x4，x5≥0显然，p4、p5可以构成现成的单位基，此时，非基变量在目标函数中的系数全为负数，因此p4、p5构成的就是初始正侧基。
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对偶问题习题
● 证明题(选做)
1． 证明下面的线性规划问题要么无解，要么最优目标函数值为零，其中C 为n 维向量，b 为m 维向量，A 为m n ⨯矩阵。
min ..0,0yb cx
Ax b
s t yA c x y -≤⎧⎪
≥⎨⎪≥≥⎩
证明 把问题拆成两个问题
(A)
max ..0
z cx
Ax b s t x =≤⎧⎨≥⎩ 和 (B)
min ..0
w yb
yA c s t y =≥⎧⎨
≥⎩
显然两个问题为原问题和对偶问题，分四种情形讨论：
情形1 如果两个问题都有可行解，那么两个问题都有最优解，且最优目标函数值相等。
根据对偶理论，由于有cx yb ≤，因此0yb cx -≥。
而*
*
y b cx -=0，因而该情形下有解，且最优解为0。
情形2 如果问题A 有解但为无穷解，那么B 问题一定无解，也就是yA c ≥不成立，从而该情形下无解。
情形3 如果问题B 有解但为无穷解，那么A 问题一定无解，也就是Ax b ≤不成立，从而该情形下无解。
情形4 如果问题A 和问题B 均无解，那么Ax b ≤和yA c ≥都不成立，从而该情形下也无解。
综合上述，根据对偶理论只可能有如上情形，从而命题成立。
2． 设线性规划问题1是
1
1
max ..0(1)n
j j
j n
ij j
i j j
z c x a x b s t x j n 1== =⎧≤⎪⎨⎪≥≤≤⎩∑∑ 其中***
12(,,,)m y y y L 是其对偶问题的最优解。
又设线性规划问题2是
1
1
max ..0(1)n
j j
j n
ij j
i i j j
z c x a x b k s t x j n 2== =⎧≤+⎪⎨⎪≥≤≤⎩∑∑ 其中i k 是给定的常数，求证
*211
max()max()m
i i
i z z k y
=≤+∑
证明 问题1的对偶问题为
11221
min ...,1,2,...,..0m m
m
ij i j i i
w b y b y b y a y c j n
s t y = =+++⎧≥=⎪⎨⎪≥⎩∑
问题2的对偶问题为
1112221
min ()()...(),1,2,...,..0m m m
m
ij i j i i
w b k y b k y b k y a y c j n
s t y = =++++++⎧≥=⎪⎨⎪≥⎩∑
既然***
12(,,,)m y y y L 是问题1的对偶问题最优解，那么必有 ***
11122max()...m m z b y b y b y =+++
又由于***
12(,,,)m y y y L 是问题1的对偶问题的可行解，那么有
***
2111222******11221122***11122max()()()...() ...(...) max()(...)
m m m
m m m m m m z b k y b k y b k y b y b y b y k y k y k y z k y k y k y ≤++++++=+++++++=++++ 3． 设线性规划问题1是
1
1
min (1)..0(1)n
j j
j n
ij j
i j j
z c x a x b i m s t x j n 1== =⎧=≤≤⎪⎨⎪≥≤≤⎩∑∑ 又设线性规划问题2是
*
1
1
min ()(1,)..0(1)n
j k kj j
j n
ij j
i j j
z c y a x a x b i m i k s t x j n 2== =-⎧≤≤≤≠⎪⎨⎪≥≤≤⎩∑∑ 设***12(,,,)n x x x L 是线性规划问题1的最优解，***
12(,,,)m y y y L 为其对偶问题的最优解，请证明***12(,,,)n x x x L 也是问题2的最优解。
证明 问题1的对偶问题如下
1
1
max (1)..1m
i i
i m
ij i j
i i
w b y a y c j n s t y i n 1== =⎧≤≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩∑∑无约束, 问题2的对偶问题如下
111111*
11(1)1(1)1max ............(1)..1k k k k m m
j k j k k j k mj m j k kj i w y b y b y b y b a y a y a y a y c y a j n s t y i n 2--++--++ =+++++⎧+++++≤-≤≤⎪⎨
≤≤⎪⎩无约束,
既然***12(,,,)n x x x L 是线性规划问题1的最优解，***
12(,,,)m y y y L 为其对偶问题的最优解，
那么必有
********1112211221()()n n m m z c x c x c x b y b y b y w =+++=+++=L L
很容易验证***
12(,,,)n x x x L 是线性规划问题2的可行解。
下面验证****
111(,,,,)k k m y y y y -+L 是线性规划问题2的对偶问题的可行解。
如果对于任意的j 均能够证明下式的式(1)成立，那么即可证明****
111(,,,,)k k m y y y y -+L 是问题2的对偶问题的可行
解：
*****
1(1)1(1)1......j k k j k k j k mj k j k kj a y a y a y a y c y a --+-+++++ ≤- （1）
由于***12(,,,)m
y y y L 是问题1的对偶问题的最优解，因而总有
*1
(1)m
ij
i j i a
y c j n =≤≤≤∑成
立，也就是上面的式(1)成立，也就是****
111(,,,,)k k m y y y y -+L 是线性规划问题2的对偶问题的可
行解。
下面只需证明：
******
111222*
***1111
11
()()()()
k k k k n k kn n
k k k k m m
c y a x c y a x c y a x b y b y
b y
b y --++-+-++-=+++++L L L
就能够证明***
12(,,,)n x x x L 是线性规划问题2的最优解。
由于
******
111222*
******11221122 ()()()()()
k k k k n k kn n
n n k k k kn n
c y a x c y a x c y a x c x c x c x y a x a x a x -+-++-=+++-+++L L L
****111111****1122 ()k k k k m m
m m k k
b y b y b y b y b y b y b y b y
--+++++++=+++-L L L
根据线性规划问题1，***
1122k k kn n a x a x a x +++L =k b
又根据******
11221122()n n m m c x c x c x b y b y b y +++=+++L L ，从而
******
111222*
***1111
11
()()()()
k k k k n k kn n
k k k k m m
c y a x c y a x c y a x b y b y
b y
b y --++-+-++-=+++++L L L
成
立
，
命
题
得
证。