离散可分离剪切波变换(DSST)及其数值计算

离散可分离剪切波变换及其数值计算1、离散可分离剪切波变换DSSTWang-Q Lim 在2010年提出了离散可分离剪切波变换（Discrete Separable Shearlet Transform ，DSST ），其中一个主要特征就是可以选择可分离的尺度函数()22L φ∈R 及剪切波生成函数()(0)22L ψ∈R （ ()(1)22L ψ∈R ），即函数可表示为()()()1212,x x x x φφφ=，()()()(0)121112,x x x x ψψφ=，()()(1)(0)1221,,x x x x ψψ=下面将在水平锥0C 上构造可分离剪切波生成函数()22L ψ∈R 以及与之相关的尺度函数()22L φ∈R ，垂直锥1C 同理。

令()2L φ∈R 是一维紧支撑尺度函数，并选择某个相适的滤波器h （所需条件将在后面讨论）使其满足：1111111()()2(2)n x h n x n φφ∈=-∑Z（1）如果与之相关的一维紧支撑小波函数()2L ψ∈R ，可用相适的滤波器g 表示为：1111111()()2(2)n x g n x n ψφ∈=-∑Z（2）那么，此剪切波生成函数可表示为()()()121112,x x x x ψψφ= （3）尺度函数可表示为()()()121112,x x x x φφφ= （4）对于固定的J > 0，假设函数()22f L ∈R 可表示为()()()1122222,2JJJ Jn f x f n x n x n φ∈=--∑Z （5）这是一个数字实现的常规假设，尺度系数可被看做f 的抽样值，事实上，通过选择合适的φ可使()()2J J f n f n -=。

由上面的讨论，可知剪切波系数(),,,0,1j k mf j J ψ=-可通过下式计算()()(),,2,0,2,,j k m j j m kf f S ψψ-=⋅⋅ （6）若2j 不为整数，则需选取22j j ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦或。

式（6）显示了剪切波系数,,,j k mf ψ的离散化方法：首先应用与各向异性抽样矩阵2j A 相关联的离散可分离小波变换计算()()22j kf S-⋅。

与式（5）定义的假设形式f 相比，要求()()22j k f S -⋅包含在以下尺度空间中()(){}2121222,2:,J J J J V n n n n φ=⋅-⋅-∈Z由上式很容易看出，如果剪切系数22j k -为非整数，则剪切矩阵22j kS -不能将规则网格22J -Z 保留在V J 中，即()2222j kS-≠Z Z为了解决这个问题，定义一个新的尺度空间()()(){}4222,121222,2:,k J j J j J J j J k V S n n n n φ+++=⋅-⋅-∈Z可以看出由仿射规则网格22J -Z 沿着水平方向以22j 为因子，可得到尺度空间2,k J j J V +。

基于这种改变，新网格222J j J ---⨯Z Z 在剪切算子22j kS -下是不变的，由于22222222222()2(())(22)J j J J j J j k J j Jj kQ Q S S-----------⨯===⨯Z Z Z Z Z Z其中，Q=diag （2,1）。

因此，对于式（6）中()()22j kf S-的表示我们有如下引理。

引理 1 保留本部分的符号和定义。

令22j ↑表示以22j 为因子的一维上采样算子，*1表示沿水平方向的一维卷积算子，21()j h n 是三角多项式的傅里叶系数21221121101()()j k i n j n k H h n e πξξ--∈==∑∏Z（7）可得()()()422112222()22,2J j J j J j J k k kn f Sx f S n x n x n φ++-∈=--∑Z其中，()()()2122()j J J j f n f h n ↑=*此引理的证明需要以下结论，它来自小波理论的级联算法命题1 假定()2L ψ∈R 和()2L φ∈R 分别满足等式(3)和(4)，对正整数12j j ≤，有221121121111112112(2)(2)2(2)j j j j j j j j d x n hd n x d φφ--∈-=--∑Z（8）和2211211211111112112(2)(2)2(2)j j j j j j j j d x n gd n x d ψφ--∈-=--∑Z（9） 其中，j h 和j g 分别是三角多项式j H 和j G 的傅里叶系数，j H 的定义如式（7）所示。

对固定的j>0，j G 的定义为2122221111111011()()()j k j i n i n j n n k G h n e g n e πξπξξ----∈∈=⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∏Z Z引理1的证明：令12,2j J j J j ==+，将其带入式（8），有2224211121111112(2)(2)2(2)J J j J j J j J j d x n hd n x d φφ++-∈-=--∑ （10）由于φ是一个二维可分离函数，即()()()121112,x x x x φφφ=，因此有()()()()221211112221,2222J JJ J J n n f x f n n x n x n φφ∈∈⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑Z Z由式（10）可得()()422()22J j J j J n f x f n Q x n φ+∈=-∑其中，Q=diag （2,1）。

使用2222j j j k k Q S S Q -=，()()22j kf S-最终可表示为()()()()()()4222222422422()22()22()2(2)J j J j j J j kkn J j J j J k k n J j J j J k n f Sx f n Q Sx n f n S Q x S n f n S Q x n φφφ+--∈+-∈+∈=-=-=-∑∑∑证明完毕。

式（6）的第二步数字化是剪切波本身的离散化，由命题1可得到如下的结论。

引理2 保留此部分的符号和定义。

24,,112222()(2)(2)2(2)J j J j J j J j k m J jJ j d x gd m h d m x d ψφ--+--∈=---∑如前所述，充分应用与各向异性抽样矩阵2j A 相关联的离散可分离小波变换，对与12,0j j >，()2c l ∈Z ，定义线性变换(),12c j j W()()()()212,121122121212122,(2)(2),,,j j j j j j m W c n n gm n h m n c m m n n ∈=--∈∑Z Z （11）引理1和2共同完成了剪切波系数,,,j k m f ψ的离散化算术实现。

因此，有如下定理：定理1 保留此部分的符号和定义。

令22j ↑表示以2j/2为因子的一维上采样算子，*1表示沿水平方向的一维卷积算子，剪切波系数,,,j k m f ψ可化为()()()(),,,21222,()j k m J j J j J k k j j f W f S h m ψ--↓=*Φ*其中()()()()()()22121,,k k j j n S n n h n h n φφΦ=⋅⋅-∈=-Z图1（a ）显示了剪切波变换的步骤。

使用定理1计算剪切波系数时，限制与抽样矩阵2j A 相关的可分离小波变换的尺度系数为()()()()()()22212222:()d j J J k k j J j kS f n f S h n f l -↓=*Φ*∈Z （12）在详细描述实现步骤之前，先进一步研究尺度系数()22d j J k S f -。

()22d j J k S f -可以看做是通过数字剪切操作22d j k S -在整数格2Z 上对J f 的采样。

图1（b ）给出了2214j k -=-时22d j k S -的基本过程。

图1 （a ）计算剪切波系数的步骤：沿水平轴细化（上行），与剪切矩阵相关的重采样（中间）和可分离小波变换（下行）；（b ）4j =，1k =时的水平方向细化过程事实上，对于任意剪切系数k ，式（12）中的滤波器系数()k n Φ都可以很容易预先计算得到。

在实际计算中经常假设(0,0)k χΦ=，有时甚至可以跳过这一卷积步骤。

离散可分离剪切波变换（DSST ）的计算方法可通过如下步骤表示： ● Step 1：在精细尺度j J =以2j/2为因子对其给定的数据J f 一维上采样。

● Step 2：在精细尺度j J =，计算上采样后的数据J f 和一维低通滤波器2j h 的一维卷积，得到J f 。

● Step 3：在精细尺度j J =，根据剪切抽样矩阵k S 重采样J f 得到(())J k f S n 。

由于整数格在剪切矩阵k S 下是不变的，因此重采样的步骤也很简单。

● Step 4：在精细尺度j J =，以2j/2为因子对2j h 一维下采样后与(())J k f S n 进行一维卷积。

● Step 5：应用可分离小波变换,2J j J j W --遍历尺度0,1,,1j J =-。

2、冗余度分析实用性要求的主要问题之一就是可控的冗余。

为了能够定量的分析冗余离散剪切波变换的冗余度，假设输入数据f 是一个由二维尺度函数φ转换的有限的线性组合，在尺度J 表示如下：21210012()(2)J J Jnn n f x d x n φ--===-∑∑上式满足式（5）的假设。

为了使结果更具普遍性，在变换中使用任意的抽样矩阵12(,)c M diag c c =，剪切元素的形式如下所示34,,2()2()j j k m k j c S M m ψψ⋅=A ⋅-那么可以得到如下结论：命题2 离散可分离剪切波变换（DSST ）的冗余度为12413c c ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭证明：首先考虑在固定尺度{0,.1}j J ∈-水平域的剪切元素，观查可知，剪切指数k 有212j +个，与尺度矩阵2jA和抽样矩阵c M 相关的变换指数有211222()j j c c -个。

因此，在水平域表示f 需要211122()j c c +-个剪切元素。

同理，在垂直域也需要相同个数的剪切元素。

最后，在最粗糙尺度0j =尺度函数φ需要21c -个变换。

遍历所有尺度所需必要剪切元素的个数为212012124422213J J j j c c c c -=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 冗余度为此数据与原始系数个数的比值，J →∞时得证。