shearlet 剪切波的构造

剪切波的构造
Shearlet 是一类新的多尺度几何分析方法，该方法通过对基本函数的膨胀、剪切和平移变换来构造，体现了函数的几何和数学特性，如近几年来许多领域的研究学者所强调的函数的方向性、尺度和振荡等。

Shearlet 可以在广义多分辨率分析的框架中研究，这样就可以获得像小波一样的迭代算法，并推广到经典的级联算法。

因此Shearlet 变换作为一种新型的多尺度几何分析工具为图像处理领域的研究人员所广泛接受。

1、 Shearlet 及其变换的定义
函数f(x)的连续Shearlet 变换为：
,,(,,),f a s t SH a s t f ψ= （1.1）
其中，
3/411,,()(())a s t x a A B x t ψψ---=- （1.2）
为剪切波函数，a +∈R 为尺度参数，s ∈R 为剪切参数，2t ∈R 为平移参数，
()12,0;0,a a A =是各向异性膨胀矩阵， ()1,;0,1s B =是剪切矩阵。

对任何21
2
1
ˆ(,),0R
ξξξξ=∈≠，令ψ满足 2
1121
ˆˆˆ()()()ξψ
ξψξψξ= （1.3） 其中，ˆψ
为,,a s t ψ的傅里叶变换，1ψ为连续小波函数，1ˆψ∞∈R C ()，[][]1ˆ54,1414,54ψ∈--⋃supp ，2ψ为bump 函数，2ˆψ∞∈R C ()，[]2ˆ1,1ψ
∈-supp ，在区间[]1,1-上20ψ>且21ψ=。

由以上定义可得,,()a s t x ψ的傅里叶变换为
()()32122,,1121ˆˆˆi t
a s t a e a a s πξξψ
ξψξψξ--⎛⎫
⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
显然，剪切波的几何性质在频域上更为直观。

由1ˆψ和2ˆψ的支撑条件很容易看到,,ˆa s t ψ
有如下的频域支撑： ()
,,121212
112supp ,:,,,/22a s t s a a a a ψξξξξξ∧
⎧⎡⎤⎡⎤⊂∈--+≤⎨⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩
由上式可知，在不同尺度，,,ˆa s t ψ
支撑在以原点对称、以s 为斜率的梯形对上；改变剪切参数s ， 支撑区域可获得保持面积不变的旋转；旋转区域由尺度参数a
控制，随着a →0，支撑区间逐渐变窄。

图1.1给出了)3,1(),0,4/1(),0,1(-======s a s a s a 时的,,ˆa s t ψ
频域支撑。

图1.1 不同a 和s 值时,,a s t ψ的频域支撑
连续剪切波变换的平移参数可检测到所有奇异点的位置，而剪切参数则可显示出奇异曲线的方向。

2、 Shearlet 的离散化
为了实现剪切波的离散化，令尺度参数()2j j a j =∈Z ，剪切参数
()12,2j j k s ka k k ==∈Z ，以及平移参数()2,,,,j k m a s j j m t D m =∈Z 。

假定
()2
210
1
ˆ21,
8
j j w w ψ-≥=≥∑ （2.1）
和
()22
2112ˆ21,1j
j j
k w k w ψ
=--=≤∑
（2.2）
由式（2.1）和式（2.2）可知：对任何()120,ξξ∈C ，有
1
2
2
21
22
(0)22
1200100=-221
ˆ()(2)(2)1j j j
j
j k
j j
j j k k k ξψξψξψξ--∧
∧
---≥≥=-+-=∑∑
∑
∑
A B 其中，(){}
2012121
ˆ,:18,1ξξξξξ=∈≥≤R C ，如图2.1（a ）所示，即函数00()j k
ψξ∧
--A B 形成0C 的一个剖分，如图2.1（b ）所示。

由以上的讨论，可知集合
3(0)(0)2224,,00()2():0,22,j
k j j j j k m x x m j k m ψψ⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-≥-≤≤∈⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎩⎭
B A Z
是222
00
ˆ(){(
):supp }V L f L f =∈⊂C C 得一个紧框架。

其中， 1022002⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
Α，01101⎛⎫= ⎪⎝⎭Β 由图2.1（b ）可以看出，剪切波的每个元素,,j k m
ψ
支撑在梯形对上，每一个梯形
包含在一个大小近似为222j j ⨯的盒子里，方向沿着斜率为2j l -的直线。

图2.1（a ）水平锥0C 和垂直锥1C （b ） 剪切波的频域剖分图
同样可以构造一个21()V L C 的紧框架，其中，1C 是垂直锥
(){}
2112212
ˆ,:18,1ξξξξ=∈≥≤R C 。

ψ由下式给定 (1)1
1222
ˆˆˆ()()()ξψ
ξψξψξ= （2.3） 则集合
3(1)(1)2224,,11()2():0,22,j
k j j j j k m x x m j k m ψψ⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-≥-≤≤∈⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎩⎭
B A Z 是21()V
L C 的一个紧框架。

其中， 1
212002⎛⎫=
⎪ ⎪⎝
⎭
Α， 11011⎛⎫= ⎪⎝⎭Β。

最后，令()
22
L φ∈R 满足：对任何2
ξ∈R ，有
()21
21
2
2
2
(0)
(1)0
1100k=-2k=-2ˆˆˆ()()1j j j
j
j
k j k j j φξψξψξ------≥≥++=∑∑∑∑A B A B
上式暗含[]2ˆsupp 18,1φ
∈-，且()2
ˆφξ=1。

因此剪切波集合为 {}
{}
2()
2
2
2
,,()():():0,2
2
,,0,1
m d j j j k m
x x m m x j k m d φφψ
ψ==-∈⎡⎤⎡⎤≥-≤≤∈=⎢⎥⎢⎥Z Z
3、剪切波的主要性质
从上述可以看出，剪切波具有以下良好特性：
（1）剪切波具有非常好的局部化特性。

在上述剪切波的构造中，剪切波在频域内是紧支撑的，并且在空域内具有快速的衰减特性。

（2）剪切波满足抛物线尺度化特性。

每一个元素m k j ,,ˆψ
支撑在一个梯形对上，且每个梯形对包含在一个大小近似为j j 222⨯的盒子内，如图2.1（b ）所示。

这是因为剪切波具有非常好的局部化特性，在空域内每个m
k j ,,ψ
本质上支撑在一个大小
为j j 222--⨯的盒子里面。

当∞→j 时，元素的支撑区间会逐渐变窄。

（3）剪切波体现了非常高的方向敏感性。

元素m k j ,,ˆψ的方向是沿着斜率为j l --2的直线。

相应的元素m
k j ,,ψ
的方向是沿着斜率为j l -2的直线，并且方向的数目随
着尺度的不断细化而逐层加倍。

（4）剪切波是空域局部化的。

对任意固定的尺度和方向，剪切波可以通过在格
2Z 上平移来获得。

（5）剪切波具有接近最优的稀疏表示性能。