双曲抛物面
单叶和双叶双曲面方程
单叶和双叶双曲面方程单叶和双叶双曲面是数学中的重要概念，它们在几何和物理学中都有广泛的应用。
本文将介绍单叶和双叶双曲面的定义、方程以及它们的性质和应用。
1. 单叶双曲面1.1 定义单叶双曲面是三维空间中的一个曲面，其形状类似于一个向上凸起的碗或者双曲抛物面。
单叶双曲面在数学中也被称为双曲抛物面。
1.2 方程单叶双曲面的方程可以表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1其中，a、b和c分别是该双曲面在不同方向上的半轴长度。
1.3 性质和应用单叶双曲面具有多种特性和应用，以下是其中一些重要的性质和应用：•对称性：单叶双曲面具有关于z轴和原点的对称性。
对于所有的z值，曲面在对称轴上都有一个顶点。
•双曲线截面：单叶双曲面在任意平行于xy平面的截面上都生成双曲线。
•焦点和准线：单叶双曲面有两个焦点和两条准线，焦点对曲面的形状和性质具有重要影响。
单叶双曲面在物理学、工程学和计算机图形学中有广泛的应用，例如：•天体力学：单叶双曲面被用来描述天体之间的引力场。
•天线设计：单叶双曲面天线可以实现大范围覆盖，提高信号接收和发射的效果。
•三维建模：单叶双曲面可以用于建模和渲染三维物体。
2. 双叶双曲面2.1 定义双叶双曲面也是三维空间中的一个曲面，与单叶双曲面相比，它的形状更类似于一个马鞍或者双曲抛物面。
双叶双曲面在数学中也被称为双曲双曲面。
2.2 方程双叶双曲面的方程可以表示为：x^2/a^2 - y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1其中，a、b和c分别是该双曲面在不同方向上的半轴长度。
2.3 性质和应用双叶双曲面具有一些与单叶双曲面相似的性质和应用，但也有一些重要的差异，以下是其中一些性质和应用：•对称性：双叶双曲面也具有关于z轴和原点的对称性。
对于所有的z值，曲面在对称轴上都有一个鞍点。
•双曲线截面：双叶双曲面在任意平行于xz平面或yz平面的截面上都生成双曲线。
•焦点和准线：双叶双曲面有两个焦点和两条准线，与单叶双曲面的特性类似。
双曲面数学模型
双曲面数学模型数学模型是指用数学语言和符号来刻画某种现象或问题的模型。
在数学模型中，双曲面是一种非常重要的几何模型。
双曲面是由一条直线绕着一个不在该直线上的轴旋转而成的曲面。
双曲面可以被用来描述很多物理现象和问题，如电磁场、光学、声学、流体力学等等。
双曲面的数学性质非常有趣，它可以被用来描述很多有趣的现象和问题。
下面我们将双曲面按照其不同的类别来进行介绍。
一、单叶双曲面单叶双曲面是指由一条直线绕着一个不在该直线上的轴旋转而成的曲面。
它的形状类似于一个鞍状物，因此也被称为鞍形曲面。
单叶双曲面具有很多有趣的数学性质，如其曲率半径在不同的方向上是不同的，这使得其成为了很多物理模型的理想选择。
二、双叶双曲面双叶双曲面是由两条直线分别绕着两个不在这些直线所在平面上的轴旋转而成的曲面。
双叶双曲面的形状类似于两个鞍状物组合而成的形态，因此也被称为双鞍曲面。
双叶双曲面具有很多有趣的性质，如其曲率半径在不同的方向上是相等的，这使得其在物理模型中的应用非常广泛。
三、非定向双曲面非定向双曲面是指由一条直线绕着一个不在该直线上的轴旋转而成的曲面，但是该曲面的两端没有相交。
非定向双曲面的形状类似于一个马蹄形，因此也被称为马蹄形曲面。
非定向双曲面具有很多有趣的数学性质，如其曲率半径在不同的方向上是不同的，这使得其成为了很多物理模型的理想选择。
四、双曲抛物面双曲抛物面是由一条直线绕着一个与该直线平行的轴旋转而成的曲面。
双曲抛物面的形状类似于一个向上开口的碗状物，因此也被称为开口向上的抛物面。
双曲抛物面具有很多有趣的性质，如其曲率半径在不同的方向上是相等的，这使得其在物理模型中的应用非常广泛。
总之，双曲面是一种非常重要的数学模型，它具有很多有趣的数学性质和物理应用。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和需求选择不同类型的双曲面模型，从而得到更加准确和精确的结果。
双曲抛物面
z
0
x
z y
0
x-y=0 x
yz
0
y
x
四 二次曲面 称三元二次方程F(x, y, z) 0所表示的曲面为二次曲面。 Ax2 By2 Cz2 Dx Ey Fz G 0(A, B,C不全为零) 而Ax By Cz 0表示的的曲面称为一次曲面---平面。
问题：给定方程F(x,y,z)=0，如何确定方程所 表示的曲面形状？
三、柱面 例7 在空间直角坐标系中，方程x2 y2 R2表示怎样的曲面？
解：在xoy面上,x2 y2 R2表示圆。 显然直线L上点M (x, y, z)满足
x2 y2 R2 故曲面:x2 y2 R2称为圆柱面 圆x2 y2 R2 ---准线， L 母线（平行于z轴） 定义 平行于定直线，并沿定曲线C移 动的直线L形成的轨迹叫做柱面 定曲线C 准线, 动直线L 母线
, x2 y2
f ( y1, z ) 0
得f ( x2 y2 , z) 0 为所求旋转曲面方程。
同理： 曲线C : f ( y, z) 0绕y轴旋转的曲面方程为 f ( y, x2 z2 ) 0
曲线C : f (x, z) 0绕x轴旋转的曲面方程为 f (x, y2 z2 ) 0
3
3
即 (x 2）2 （y 1）2 (z 4)2 ( 2 39)2
3
33
－－－球心( 2 , 1, 4)，半径R 2的球面
3
3
3
求面方程的一般形式 Ax2 Ay2 Az2 Dx Ey Fz G 0(A 0)
特点 缺xy, yz, zx；平方项系数相等 例3 设有点A(1, 2,3)和B(2, 1, 4)，求线段AB的垂直平分面的方程。
单叶双曲面与双曲抛物面
对于给定的u,
(3)表示什么曲线? (3)与(2)等价吗?
x z y a c u 1 b x z 1 1 y a c u b
直线
(3) 不等价!
x2 y2 z2 2 2 1, 2 a b c
(1) （2）
这是因为
z x 0, a c y 0; 1 b
z x 0, a c y 0. 1 b
u族直线满足于
x z x z y y 1 1 . a c a c b b
（4.7Hale Waihona Puke 4）分别称为u族和v族直母线.
双曲抛物面是直纹面
x2 y 2 2 2z 2 a b
含两族直母线
也有下面的推论：
推论 对于双曲面与抛物面上的点，两族直母 线中各有一条直母线通过这一点. 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线，在建筑上 有着重要的应用，常常用它来构成建筑的骨架。 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线还有下面 的一些性质： 定理4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共 面而双曲抛物面上异族的任意两直母线 必相交.
(3)
考虑到(3) 与(2)相比,漏掉了下面的两个方程组
z x a c 0, （4） 1 y 0; z x b a c 0, 与 y 0. 1 b
（4）/
也就是说
x z y u 1 a c b x z 1 1 y a c u b
满足于
x y z 2 2 1, 2 a b c
2
2
2
（1）
反过来，设 ( x0 , y0 , z0 )是曲面(1)上的点.
单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
（4.7-1）
与
（4.7-2）
对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点.
解析几何
定理
双曲抛物面
x2 y 2 2 2z ， 2 a b
a, b 0
是直纹曲面.它有两族直母线：
x y 2u, a b u R x y u z, a b x y 2v , a b v R . x y v z, a b
解析几何
定理
单叶双曲面
x2 y 2 z 2 2 2 1 ， a, b, c 0 2 a b c
是直纹曲面。它有两族直母线：
x z y w u 1 , a c b w2 u 2 0 u x z w 1 y , b a c x z y t v 1 , a c b 2 2 t v 0 v x z t 1 y , a c b
是直纹曲面.它有两族直母线：
x z y w a c u 1 b , 2 2 w u 0 u x z w 1 y a c b x z y t a c v 1 b , 2 2 t v 0 v x z t 1 y . a c b
单叶双曲面
分析:
如果曲面 S 上存在一族直线，
(1) 曲面 S 上的每个点必定在这个 族中的某一条直线上; (2) 直线族中的每条直线都在曲面 S 上.
解析几何
定理
x2 y 2 z 2 单叶双曲面 2 2 2 1 ， a, b, c 0 a b c
考研数学常见曲面方程
考研数学常见曲面方程考研数学中常见的曲面方程有以下几类：1. 二次曲面方程：- 平面：Ax + By + Cz + D = 0- 球面：(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²- 椭球面：(x - a)² / a² + (y - b)² / b² + (z - c)² / c² = 1 - 马鞍面：x² / a² - y² / b² + z / c = 0- 抛物面：z = ax² + by² + c- 双曲抛物面：x² / a² - y² / b² = z / c2. 旋转曲面方程：- 圆锥面：z² = x² + y²- 双曲抛物面：x² / a² - y² / b² = z / c- 双曲双曲面：x² / a² + y² / b² - z² / c² = 13. 参数方程：- 椭圆柱面：x = a cosθ, y = b sinθ, z = ct- 双曲柱面：x = a secθ, y = b tanθ, z = ct4. 其他方程：- 圆环面：(x - a)² + y² = r²- 双曲面：x² / a² + y² / b² - z² / c² = 1- 椭圆抛物面：z = ax² + by²- 双曲抛物面：x² / a² - y² / b² = z- 零亏格曲面：x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0这些是考研数学中常见的曲面方程，但也可能会出现其他不太常见的曲面方程题目。
椭球面----双曲面---抛物面
椭球面 双曲面 抛物面§7.9 二次曲面三元二次方程所表示的曲面称着二次曲面。
相应地，将平面叫做一次曲面。
一般的三元方程F x y z (,,)=0所表示的曲面形状，已难以用描点法得到，那未怎样了解它的形状呢?利用坐标面或用平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线( 即截痕 )的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。
下面，我们用截痕法来讨论几个特殊的二次曲面。
一、椭球面由方程x a y b z c 2222221++=(1)所表示的曲面叫做椭球面。
1、由(1)可知： 这表明：椭球面(1)完全包含在以原点为中心的长方体内，这长方体的六个面的方程为 其中常数 a b c ,,叫做椭球面的半轴。
2、为了进一步了解这一曲面的形状， 先求出它与三个坐标面的交线 这些交线都是椭圆。
3、用平行于xoy 坐标面的平面z z z c =≤11()去截椭球面，其截痕(即交线)为这是位于平面 z z =1内的椭圆，它的两个半轴分别等于 a c c z 212-与b c c z 212-，其椭圆中心均在z 轴上，当z 1由0渐增大到c 时， 椭圆的截面由大到小，最后缩成一点。
4、以平面 y y y b =≤11()或 x x x a =≤11()去截椭球面分别可得与上述类似的结果。
综上讨论知：椭球面(1)的形状如图所示。
5、特别地，若a b =，而a c ≠，则 (1) 变为这一曲面是xoz 坐标面上的椭圆 x a z c 22221+=绕z 轴旋转而成的旋转曲面，因此，称此曲面为旋转椭球面。
它与一般椭球面不同之处在于 如用平面z z z c =≤11()与旋转椭球面相截时，所得的截痕是圆心在z 轴上的圆 其半径为a c c z 212-。
6、若 a b c ==，那未(1)变成这是球心在原点，半径为a 的球面。
二、抛物面由方程x p y q z p q 2222+=()与同号(2) 所表示的曲面叫做椭圆抛物面。
试析在实际生活中双曲抛物面的作用
试析在实际生活中双曲抛物面的作用摘要：在几何中,由一族直线运动所产生的曲面叫做直纹面,这些运动的直线称为直母线。
双曲抛物面就是典型的直纹面,并且它有两族直母线。
本文通过对双曲抛物面的直纹性进行研究,探索了双曲抛物面在建筑、电力工程、日常生活、宇宙学中的应用,并进一步研究了手工制作双曲抛物面的方法。
关键词：几何双曲抛物面手工制作直纹性在生活中,比如随意舞动一根棍子,棍子运动的轨迹面就会包含直线,这样的曲面就是由直线构成,而双曲抛物面正是这样一种曲面。
它是由两族直线分别组成,正是因为这种特殊性使得这种曲面有一些特性,在生活中有它独特的应用。
定义1:[1]在几何中,由一族直线运动所产生的曲面叫做直纹面,这些运动的直线称为直母线。
定义2:[2]在直角坐标系下,由方程表示的曲面叫做双曲抛物面,其中a,b为任意的正常数。
双曲抛物面的直纹性:[3]性质1:双曲抛物面是直纹面,是直线运动所产生的曲面。
性质2:同一族的任意两条直母线异面。
性质3:任意一条直母线会和另一族所有的直母线相交。
性质4:对双曲抛物面上的任意一点,两族直母线中各有一条直母线经过该点。
一、双曲抛物面在实际生活中的应用双曲抛物面可以由直线运动所产生,易于在建筑中实施,且其形状不同于一般的平面型建筑,它集美观与实用于一体。
因此,双曲抛物面在工程等方面有着广泛的应用。
(一)扭面。
水利工程中的扭面是利用双曲抛物面形状构造的,它是水闸、船闸的中间连接面。
水闸侧墙是直立剖面,扭面ABCD部分是采用的双曲抛物面,这种扭面构造可以使水流平顺,减少水头损失,在工程中应用广泛。
(二)屋盖。
现代建筑中经常采用钢筋混泥土双曲抛物面薄壳作为屋盖,例如夏威夷休闲度假厅、波兰华沙火车站等。
不仅外观新颖有创意性,在实用性方面具有利于排水、防止渗漏、减轻自重节约材料、受力性能较好等优点。
双曲抛物面是直纹面,任意一条直母线会和另一族所有的直母线相交。
这样,在一条直母线上,被另一族直母线分摊受力,相互作用,相互稳固。
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几个探究性问题：
1.证明双曲抛物面的直纹性。
2.探究双曲抛物面在生活中的更多应用。
3.为什么一个顶点粘7个等边三角形，会形成双曲抛
物面？这和曲面的曲率有什？
一扇打开的窗，可以看到更多美丽的风景！
谢谢大家！
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双曲抛物面与水利工程
梯形的渠道与矩形闸孔连接
参考资料 ：
1.《解析几何》 吕林根、许子道 高等教育出版社,高等教育出版社; 第4版 (2006年5月1日) 2.How to Make a Hyperbolic Paraboloid Using
Skewers，/howto/make-hyperbolic-paraboloid-using-skewers0131751. 3.Paraboloid Pictures: /o/ pictures/topic/12383450/Paraboloid. 4.Pleating Paraboloids，/current/ events/pleating-paraboloids/.
双曲抛物面
双曲抛物面
双曲抛物面的方程及其图像 双曲抛物面的直纹性 双曲抛物面的应用
1.方程及其图像
x y 0 2 2 z 2 a b
2 2
z
O
y
x
2.双曲抛物面的直纹性
问题：双曲抛物面能否由直线构成？
双曲抛物面可以由直线构成，并且有两族直母线。
3.双曲抛物面的应用
夏威夷休闲度假厅