双曲抛物面薄壳屋盖的制作、造型设计

双曲抛物面薄壳屋盖的制作、造型设计摘要采用钢筋混凝土双曲抛物面(马鞍面)薄壳作为屋盖, 具有利于排水、防止渗漏、减轻自重、节约材料、受力性能较好、刚度较大、造型优美等优点, 可以用于厂房、商场、影剧院等民用建筑.。

本文是以一个单块双曲抛物面薄壳屋盖为例子研究马鞍面双曲抛物面薄壳屋盖的制作、造型设计。

针对预应力钢筋、锚固面等问题展开研究，用数学建模方法深入探究其原理。

通过查资料所得到的直母线方程以及题中所给的资料写出直母线投影在xoy平面上的直线方程，再计算出截距，除以两钢筋的间距得出钢筋根数的表达式；再通过题中所给条件及查阅所的资料得出锚固面方程，方程联立得出直母线与锚固面交点的表达式，通过对方程的联立以及化解解答题中所提出的问题。

关键词：双曲抛物面细石混凝土薄壳屋盖预应力钢筋1 问题的背景在党的领导下,在建字第02部队、北京铁路局昌平构件厂、首钢建筑公司的帮助下,组成由工人、干部、技术人员参加的“三结合”试验研究小组,群策群力,把革命干劲和科学态度结合起来,于1973年年初,在冶金部建筑研究院,建成一项双曲抛物面薄壳屋盖(简称双曲薄壳)的试验性工程。

从1973年以来,在设计的一些建筑屋盖中采用了双曲抛物面(马鞍面)结构。

采用钢筋混凝土双曲抛物面(马鞍面)薄壳作为屋盖, 具有利于排水、防止渗漏、减轻自重、节约材料、受力性能较好、刚度较大、造型优美等优点, 可以用于厂房、商场、影剧院等民用建筑。

2 问题的重述1. 就单个的双曲抛物面薄壳屋盖的配筋问题，用数学建模的方法解决以下问题： 1.1. 把预应力钢筋理想化为一维的直线。

利用双曲抛物面是直纹面的特点, 把预应力钢筋安置在两族直母线处, 即在跨中端面处抛物线 2x x z f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点m k a x k f x k x...2,1,02,=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆，处安放两族直母线钢筋. 并固定(锚固)在过原点 (0,0,0)的直母线与平面1y b =±±(10.8 m =)相交的点处与该直母线垂直的锚固面上。

a. 能安排多少根过点⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆a x k f x k x2,的直母线钢筋。

写出这些空间直线的方程, 并图示之。

b. 写出锚固面的方程, 并写出直母线和锚固面的交点的表示式。

c. 求出直母线之间的交点的表示式。

d. 求出直母线和锚固面的法线之间的夹角, 以便在锚固面上适当打孔以固定直母线钢筋。

e. 根据前面的数据以及0.1 m x ∆=, 具体计算a – d 。

f. 编制一个可以包括不等距安置直母线钢筋的通用程序(软件)。

1.2 如果圆柱形预应力钢筋不能简化为直线, 请回答a. 圆柱形预应力钢筋的中心轴线应该安置在2x x z f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭临近的哪些点处。

写出这些 中心轴线的方程, 并图示之。

b. 写出这些中心轴线和锚固面的交点的表示式。

c. 要求这些圆柱形预应力钢筋不能相交。

它们的中心轴线在x-y平面上的垂直投影是可以相交的, 写出交点的表示式。

计算沿这些交点垂直方向的两根圆柱形预应力钢筋之间的距离, 要尽可能小(最好为零)。

d. 编制一个通用的程序(软件)。

2. 双曲抛物面薄壳屋盖的造型设计请利用几种双曲抛物面的切割部分作为元素组合成一种实用、美观的屋盖造型。

写出它们的方程, 并图示之。

如果可能, 请说明它们可以用在什么地方。

单块双曲抛物面薄壳屋盖的示意图及其数学方程见（附录1）。

把直径为6 mm(或5mm)预应力钢筋沿中断面的抛物线2xxz fa⎛⎫= ⎪⎝⎭的临近处从原点(0,0,0)往左右两边沿马鞍面的两族直母线配筋, 然后再浇注混凝土或树脂。

示意图见（附录2图一）。

相关图组及其描述见（附录2）。

3 基本假设（1）针对问题1中，假设钢筋可理想化为直线；（2）假设放置直母线钢筋的间距是相等的，不受外界因素的影响；（3）假设在计算过程中的误差在误差范围内;（4）假设在方程式化简过程中没有出现错误；（5）假设双曲抛物面薄壳屋盖是个规则的不易受外界影响的；4 模型的符号说明δ：屋盖的垂直厚度λ：翼缘宽度a：板宽之半b：屋盖长度之半：挑檐长度U：一族直母线V：U以外的另一族直母线N1：平面1错误!未找到引用源。

的方向向量N2： 平面2错误!未找到引用源。

的方向向量 N3： 平面3错误!未找到引用源。

的方向向量 N4： 平面4错误!未找到引用源。

的方向向量 N2： V 族直母线在xoy 面上的方向向量θ： 锚固面与U 族直母线的夹角5 模型分析建立及求解在对于1.1问题，由于把预应力钢筋理想化为一维的直线，又因为双曲抛物面的方程为：2222+2,(,)+ 2,,x y xy x y f f a b x a y bz x y y f f b a x a a x a y b ⎧⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪≤≤⎪=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎪≤≤+--≤≤-≤⎪⎩δδλλ12(,)(,)z x y z x y =-δ在双曲抛物面薄壳屋盖的制作过程中，预应力钢筋是位于屋盖的中间层，因此，我们选取马鞍面的方程应该是： Z= a.该面上的两族直母线：u 族直母线： 其中u 为参数。

该直母线是平面1：错误!未找到引用源。

与平面2: 错误!未找到引用源。

的交线。

平面1的方向向量为n1= 平面2的方向向量为n2=所以U 族直母线的方向向量错误!未找到引用源。

求出错误!未找到引zbyax ffyx=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+v用源。

v族直母线：其中v为参数。

该直母线是平面3：错误!未找到引用源。

与平面4：错误!未找到引用源。

的交线。

同理可得平面3的方向向量为：n3=平面4的方向向量为：n4=所以V族直母线的方向向量错误!未找到引用源。

求出错误!未找到引用源。

两族直母线投影到xoy平面上，U族直母线的方向向量为V族直母线的方向向量为对于U族直母线和V族直母线所在的预应力钢筋数目是相同的。

对u族直母线：设直母线在xoy面上得方程为x=ky+m其中m=k x∆在xoy面上的方程为：错误!未找到引用源。

其中u直母线经过点（a,b），解得错误!未找到引用源。

所以对于该族直母线而言，总共有错误!未找到引用源。

即放在u族直母线所在位置的预应力钢筋的根数为错误!未找到引用源。

，同理可得对应的在v族直母线所在位置的预应力钢筋的根数也为错误!未找到引用源。

把0.6 m; 0.26 m; 1.48 m; 8.25 m; 0.025 m; 0.11 m.x yf f a b======δλ代入以下的方程：得到m=0.505, 能安排22根过点2xxz fa⎛⎫= ⎪⎝⎭的直母线钢筋。

b.锚固面在过原点(0,0,0)的直母线与平面1y b=±±(10.8 m=)相交的点处与2xxz fa⎛⎫= ⎪⎝⎭直母线垂直的锚固面上.过原点的直母线方程根据方程X= 与1y b=±±（10.8 m=）得到两方程的交点为根据题意得到锚固面的法线向量为直母线的方向向量为错误!未找到引用源。

，根据方向向量和交点（错误!未找到引用源。

）得到锚固面的方程为错误!未找到引用源。

(x-错误!未找到引用源。

)+错误!未找到引用源。

(y-b)=0U族直母线与锚固面的交点：V族直母线与锚固面的交点:c.U、V族直母线分别投影到xoy平面的方程为错误!未找到引用源。

它们的交点为错误!未找到引用源。

则直母线之间的交点为：d.U族直母线的方向向量为：错误!未找到引用源。

V族直母线的方向向量为：错误!未找到引用源。

锚固面的法向向量为：错误!未找到引用源。

所以锚固面与U族直母线的夹角为：锚固面与V族直母线的夹角为：e.锚固面的方程为：错误!未找到引用源。

(x-错误!未找到引用my bax ff xy+=my bax ff xy+-=源。

)+错误!未找到引用源。

(y-b)=0所以锚固面与U 族直母线的交点方程是：与V 族直母线的交点方程是：交点坐标为（错误!未找到引用源。

b把0.6 m; 0.26 m; 1.48 m; 8.25 m; 0.025 m; 0.11 m.x y f f a b ======δλ代入以上的方程可求的我们想要的结果。

f.只要求用matlab 绘制图和 的图像，其中-b≤y≤b ，-a≤x≤a2、把钢筋看成是圆柱体，并由1.1问题中，通过计算的到m=0.5.则错误!未找到引用源。

在xoy平面，对于v族直母线，钢筋的中心轴坐标（x，y）依次为错误!未找到引用源。

其中n=1,2,3, (11)圆柱形预应力钢筋中心轴线应该安置在双曲抛物面2xxz fa⎛⎫= ⎪⎝⎭点为：，其中错误!未找到引用源。

n=1,2,3,……11。

且V族直母线在xoy面上的方向向量为再根据点斜式得到中心轴线的方程为：n=1,2,3,……11。

错误!未找到引用源。

b.锚固面的方程：中心轴线的方程：联立中心轴线与锚固面的方程得到交点为：错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

cv族中心轴线在xoy平面上的方程为：u族中心轴线在xoy平面上的方程为：所以它们在xoy平面上的交点可以表示为：6 模型评价6.1 优点建立的模型在算法总体上较为简单，只利用了几个公式，便于理解，并且易于应用于现实生活中。

计算结果的准确性高，利用数据可以完全求的最后结果。

6.2 缺点正因为算法较为简单，利用的公式等数据有限，因此所得出的结果并不能作为广泛参考，只能作为研究是粗略参考所用。

6.3模型的应用模型可应用于同类型数模计算，以及用于研究参考[参考文献]：[1] 姜启源等，数学模型，[M]，北京：高等教育出版社，2003。

[2] 吕林根，解析几何 第四版，高等教育出版社，2005。

[3]中国知网，关于双曲抛物面扁扭壳的应用，/Search/JZSX197501003.html 。

附录：附录1：单块双曲抛物面薄壳屋盖的示意图及其数学方程：2222+ 2,(,)+ 2,,x y x y x y f f a b x a y b z x y y f f b a x a a x a y b ⎧⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪≤≤⎪=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎪≤≤+--≤≤-≤⎪⎩δδλλ12(,)(,)z x y z x y =-δ其数学表示由上面两个曲面1(,)z x y 和2(,)z x y 以及平面 , x a y b =±=±围成的空间区域构成。

附录2：相关图组及其描述图1 马鞍面薄壳配筋示意图a) 配筋特征图; b) 预应力钢筋投影在x – y 平面上的布置图; c) 预应力钢筋布置侧面图.图中, 1. 几何轴线; 2. 预应力钢筋; 3. 受压钢筋; 4. 钢筋网; 5. 构造钢筋.1∆: 预应力钢筋分布宽度;2∆: 通过原点的直母线位置.图2 张拉台座及胎模示意图1. 钢横梁(锚固面);2. 两端混凝土边梁;3. 中间混凝土边梁;4. 边梁之间的联接法兰;5. 边梁联接处锚固在地里;6. 60L 角钢拉条;7. 素混凝土垫层;8. 预应力钢筋图3 马鞍面薄壳作为厂房屋盖的示意图。