单叶双曲面与双曲抛物面
单叶双曲面和双曲抛物面的直母线
z 4
v 1
y 2
,
v
x 3
z 4
t
1
y 2
.
将（6，2，8）代入上述直母线族方程，求得 w , u , t , v.
例题
例2
试证明双曲抛物面
x2 a2
y2 b2
2z a
b上的两直母线直交时，其
交点必在一双曲线上.
z c
v
1
y b
,
t2 v2
0
v
x a
z c
t
1
y b
.
（4.7-2）
推论1 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通
过这点.
B8ack
三、双曲抛物面是直纹曲面
z
O x
y
9
三、双曲抛物面是直纹曲面
双曲抛物面
例3 已知空间两异面直线间的距离为 2a，夹角为 2 ，过这两
直线分别作平面，并使这两平面相互垂直，求这样的两平面交线
的轨迹.
2020/1/21
18
x2 a2
y2 b2
2z
a,b 0
悉尼歌剧院
定理 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 ， a,b, c
0
是直纹曲面。它有两族直母线：
w
x a
z c
u
1
单叶双曲面与双曲抛物面
z c
w 1
y b
,
（4.7-1）
与
t
x a
z c
v
1
y b
,
t2 v2
0
v
x a
z c
t
1
y b
,
（4.7-2）
对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点.
定理 双曲抛物面
x2 a2
y2 b2
2z ，
是直纹曲面.它有两族直母线：
a,b 0
x
y b
z,
u
R
（4.7-3）
与
x a
y b
2v,
v
x a
y b
z,
v
R
.
（4.7-4）
对于双曲抛物面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过该点.
四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质
定理4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面，而双曲抛 物面上异族的任意两直母线必相交. 定理4.7.2 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总 是异面直线，而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平 面.
通过这点.
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三、双曲抛物面是直纹曲面
z
O
y
x
三、双曲抛物面是直纹曲面
双曲抛物面
x2 a2
y2 b2
2z
a,b 0
悉尼歌剧院
定理 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 ， a,b, c
0
是直纹曲面。它有两族直母线：
w
x a
z c
u
1
y b
,
w2 u2
单叶双曲面与双曲抛物面的教法
单叶双曲面与双曲抛物面的教法
椭球-椭圆
双曲面-抛物面
(1) 双曲面：
1）定义：双曲面是单叶双曲面的特殊情况，由特定的二次多项式表示，它在三维空间中是一个曲面，它有二维和一维空间投影，它可以被椭
圆曲线拟合。
双曲面的特点是其曲率固定，且四条边界是正交的。
2）参数方程：双曲面的参数方程为
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，其中$a,b,c$都
大于零。
3）特征：双曲面有两个极轴：$x$和$z$轴；它有两个椭圆曲线为投影：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$和
$\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
(2) 双曲抛物面：
1）定义：双曲抛物面是由特定的一次多项式表示的抛物面，在三维空
间构成一个双曲面，它与椭球有着类似的几何结构，双曲抛物面的特
点是它的抛物度恒定，边界曲线与xy平面的交点为椭圆。
2）参数方程：双曲抛物面的参数方程为$\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，其中$a,b,c$都大于零。
3）特征：双曲抛物面有两个极轴：$x$和$z$轴；它有两个椭圆曲线为投影：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$和$\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$。
河海大学理学院《高等数学》常用二次曲面图形
2020/4/4
67
图36：以下函数的图形：
z sin x cos y cosx y
0 x ,0 y
2
2
z sin x cos y cosx y 0 x ,0 y
2
2
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图37：锥面 z x2 y2 被柱面 z 2 2x
割下部分的曲面图形如下：
处的切平面及法线的图形如下：
P1,1,1
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40
图9：
（9）、 x t sin t, y 1 cos t, z 4 sin t , 2
在 1，1，2 2 处的切线和法平面如下 ：
2
x t sin t, y 1 cost, z 4sin t , 2
在 1，1，2 2 处的切线和法平面如下 ：
34
图6：
2020/4/4
35
图7：
（7）、x 0, y 0, z 0, y 1, z 4 2x2 y 2 ;
所围 图形如下：
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36
图7：
2020/4/4
37
图7：
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38
图7：
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39
图8：
（8）、椭球面 2x2 3y2 z2 6 在点 P 1,1,1
其中： p, q 为正常数。
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9
椭圆抛物面的图形
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双曲抛物面（马鞍面） 方程
方程： 其中：
x2 y2 2z
pq p, q 为正常数。
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双曲抛物面（马鞍面） 图形
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单叶双曲面与双曲抛物面
对于给定的u,
(3)表示什么曲线? (3)与(2)等价吗?
x z y a c u 1 b x z 1 1 y a c u b
直线
(3) 不等价!
x2 y2 z2 2 2 1, 2 a b c
(1) （2）
这是因为
z x 0, a c y 0; 1 b
z x 0, a c y 0. 1 b
u族直线满足于
x z x z y y 1 1 . a c a c b b
（4.7Hale Waihona Puke 4）分别称为u族和v族直母线.
双曲抛物面是直纹面
x2 y 2 2 2z 2 a b
含两族直母线
也有下面的推论：
推论 对于双曲面与抛物面上的点，两族直母 线中各有一条直母线通过这一点. 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线，在建筑上 有着重要的应用，常常用它来构成建筑的骨架。 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线还有下面 的一些性质： 定理4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共 面而双曲抛物面上异族的任意两直母线 必相交.
(3)
考虑到(3) 与(2)相比,漏掉了下面的两个方程组
z x a c 0, （4） 1 y 0; z x b a c 0, 与 y 0. 1 b
（4）/
也就是说
x z y u 1 a c b x z 1 1 y a c u b
满足于
x y z 2 2 1, 2 a b c
2
2
2
（1）
反过来，设 ( x0 , y0 , z0 )是曲面(1)上的点.
空间解析几何-第3章-常见的曲面2
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就 表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐 标轴的标注要符合右手系的原则.
1、椭圆抛物面
x2 a2
, 椭圆
z h.
O
结论：单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动（大小位置都改
x
y
变）而产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面平行，
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b时
截线为双曲线
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
0，
y h.
③当 h ＝b 时
截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面： x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
用y = h 截曲面
①当 h b 时
②当 h b 时
③当 h ＝b 时
x2 Cyh： a2
x2 Czh： a2
y2 b2
h2 c2
1,
z h.
结论：双叶双曲面可看作由 一个椭圆的变动（大小位置 都改变）而产生，该椭圆在 变动中，保持所在平面与 x
xOy 面平行，且两轴的端点
分别在两定双曲线上滑动.
z
o
y
（2）用 y t截曲面
二次曲面的直纹性
二次曲面的直纹性一 定义：由一组连续变化的直线形成的曲面称为直纹面，其中每条直线都称为它的母线。
注：柱面、锥面显然都是直纹面，但椭球面，双叶双曲面与椭圆抛物面均不是直纹面。
试问，单叶双曲面与双曲抛物面是否为直纹面？答案是肯定的。
二 单叶双曲面的直纹性: 设有单叶双曲面 1222222=−+cz b y a x （1） （1）等价于 （c z a x +）（c z a x −）=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y b y 11 （2） 即 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+c z a x ：⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y 1=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−b y 1：⎟⎠⎞⎜⎝⎛−c z a x （3） 对∀ λ≠0，方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−+=+)1(1)()1()(b y cz a x b y c z a x λλ （4） 表示一直线，另外 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=+010by c z a x （5） 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=−010by c z a x （6） 也表示直线。
显然由（4）—（6）构成的直线族中每一直线均在单叶双曲面（1）上。
再者对∀0M （0x ，0y ，0z ）∈（1） 有 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y 1b y 1c z a x c z ax 000000 注意1+b y 0与1-by 0不全为0 1°若1+b y 0≠0当时0c z a x 00≠+，令λ=0by 1c z a x 000≠++ 则 0M ∈（4） 当0c z a x 00=+时，则1-by 0 =0，则0M ∈（5） 2°若1+b y 0=0，则1-by 0≠0 当0c z a x 00≠− 取λ=cz a x b y 1000−−≠0 则0M ∈（4） 当0cz a x 00=−时，有0M ∈（6） ∴有：单叶双曲面是由直线族（4）-（6）构成的 ∴单叶双曲面是直纹面。
同理，由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=−−=+1(1)1(b y c z a x b y c z a x µµ μ≠0 （4′） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+010by c z a x （5′） 及⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=−010by c z a x （6′） 组成的直线族也可构成单叶双曲面（1），为方便记忆，将（4）—（6）和（4′）-（6′）写成如下统一形式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−′+′=+)1()(1()(b y u cz a x u b y u c z a x u u,u′不全为0 （7）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=−′−′=+)1()()1()(b y v cz a x v b y v c z a x v v，v′不全为0 （7′）分别称（7）（7′）为单叶双曲面（1）的u 族，v 族直母线。
4.7 直纹面
( x0 , y0 , z0 ) 满足方程(2)
的某一直线上 ∴单叶双曲面(1) 由直线族 (2) 构成
M ( x0 , y0 , z0 ) 在直线族(2)
x z x z 1 y 1 y a c a c b b x z a c
λ不同, 所表示的直线也不同. 当λ取遍一切实数时, 得到无数多条直线, 这些直线构成一直纹面. 求此直纹面
的方程.
2z x 2 y z 解 消去λ y 3 1 2 3 2 2z 2z z y x y 3 3 3 z 2 4 2 4 y z yz x 0 为所求直纹面方程. 3 9 3
1 a a 1 a k a 1 b b 1 b k b
L1 :
0 2 1 0
1 a a 1 b b
1 1 x y 2 b a x y z 0 a b
证明: 对于双曲抛物面, 属于同族的两条直母线 都是 异面的. x y 2 2 a b 2 y 证x 2 2 z x y x y 2 z λ族: 2 a b a b a b x y z 在其中任取两条 a b 1 1 1 1 x y 2k x y 2 b L1 : b a L2 : a k k k x y z 0 x y z 0
R
(5.9)
x y a b 2
R
(5.10)
x y z a b
例 求双曲抛物面 4x y z 过点 M (1, 1, 3) 的直母线方程.
2 2
解
2x y 2x y z 2x y 2x y z
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这两条直线共面的充分必要条件是(看p137, 例3)
四个方程的系数和常数项所组成的行列式为零.
w a u a t a v a u b w b v b t b w c u c t c v c u w w u w v t w u t v u w v t 1 u abc t v v t
另外,还有下面的定理.
定理 4.7.2 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任 意两直母线总是异面直线，而且双曲抛物面同族的全 体直母线平行于同一平面.
x y z 例 求过单叶双曲面 1上的点 4 16 （6,2,8）的直母线方程。 9 x2 y2 z 2 1的两族直线 解 单叶双曲面 9 4 16 方程是
含两族直母线
也有下面的推论：
推论 对于双曲面与抛物面上的点，两族直母 线中各有一条直母线通过这一点. 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线，在建筑上 有着重要的应用，常常用它来构成建筑的骨架。 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线还有下面 的一些性质： 定理4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共 面而双曲抛物面上异族的任意两直母线 必相交.
所以点 ( x0 , y0 , z0 ) 也在u直线上. 这样就证明了曲面(1)是由u族直线所构成. 因此单叶双曲面(1)是直纹曲面. 而u族直线是单叶双曲面(1)的一族直母线， 称为u族直母线
同样可以证明由直线 y x z a c v(1 b ), （6） x z 1 (1 y ) a c v b (其中 为不等于零的任意实数)与另两直线(相当与 (6)中当v 0和v 的情形)
即
x0 z0 x0 z0 y0 y0 1 1 . （5） b b a c a c
x0 z0 x0 z0 y0 y0 1 1 . （5） b b a c a c
方程组(4),(4`)实际上是（3）式中当参数 u 0 和 u 时的两种极限情形.
x z y u 1 a c b x z 1 1 y a c u b
(3)
z x 0, a c y 0; 1 b
由(5)便得
x0 z0 1 y0 1 , a c u b
所以点 在u直线上.
x0 z0 x0 z0 y0 y0 1 1 . （5） b b a c a c 如果 x0 z0 0 那么由(5)知必有 1 y0 0 a c b
4 x 12 y 3z 24 0, 4 x 3 y 3z 6 0;
与
y 2 0, 4 x 3z 0.
练习: p180. 1. 3. 作业: p180. 2. 6.
含两族直母线
.
直纹面在建筑学上有意义
例如，储水塔、 电视塔等建筑都 有用这种结构的.
推论 对于单叶双曲面上的点，两族直母线 中各有一条直母线通过这点. 为了避免取极限，我们常把单叶双曲面(1)的u 族直母线写成
y x z w( a c ) u (1 b ), u ( x z ) w(1 y ), a c b
x z x z 0, a c 0, a c (7)/ 与 （7） 1 y 0 y 1 0, b b 合在一起组成的直线族是单叶双曲面(1)的另一族直 母线.称它为单叶双曲面(1)的v族直母线.
单叶双曲面是直纹面
x2 y2 z2 1 1 . b b a c a c
x z y 1 a c b . (2)/ y x z 1 b a c
x z y u 1 a c b x z 1 1 y a c u b
满足于
x y z 2 2 1, 2 a b c
2
2
2
（1）
反过来，设 ( x0 , y0 , z0 )是曲面(1)上的点.
下面说明这个点一定在u族直线中的某一条上.
只须证明由这个点的坐标可以确定出参数u.
( x0 , y0 , z0 )是曲面(1)上的点. 所以满足单叶双曲面方程
x0 2 y0 2 z0 2 2 2 1, 2 a b c
显然
y0 与 y0 不能同时为零. ????? 1 1 b b y0 因此不失一般性， 假设 1 0 b x0 z0 0 那么取 u 的值使得 如果 a c x z
x0 z0 y0 u 1 , a c b
y u 1 a c b x z 1 1 y a c u b
§ 4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
柱面与锥面都可以由一族直线所构成，这种由 一族直线所构成的曲面叫做直纹曲面. 而构成曲面那族直线叫做曲面的一族直母线. 柱 面与锥面都是直纹曲面. 单叶双曲面与双曲抛物面上包含直线吗?
下面我们来证明: 这两曲面不仅含有直线，而且可以由一族直线所构成.
因而它们都是直纹曲面.
（4.7-1）
其中 u, w不同时为零。当 u 0, w 0时，各式除以 w, (4.7 1) 式子就化为(3)；当 u 0时便化成(4)； 当 w 0 时便化成(4`).
x z y a c u 1 b x z 1 1 y a c u b
(3)
与
(4)与(4)/仍 然表示直线
z x 0, a c y 0; 1 b
（4）
z x 0, a c y 0. 1 b
（4）/
合起来与单叶双曲面(1)的方程等价. 把(3),(4),(4`)合起来组成的一族直线叫做单叶双曲面的 u族直线.
这是因为
z x 0, a c y 0; 1 b
z x 0, a c y 0. 1 b
u族直线满足于
x z x z y y 1 1 . a c a c b b
我们虽然很弯 曲, 但是我们都 由直线构成, 你相信吗?
首先考虑单叶双曲面
x y z 2 2 1, 2 a b c
其中 a, b, c 为正常数， 把（1）改写为
2 2 2
2
2
2
（1）
或者
x z y 2 1 2 , 2 a c b
（2）
x z x z y y 1 1 . a c a c b b
（4）
我们是 u族直线 家族成员
z x a c 0, y 0. 1 b
（4）/
现在来证明由这 u 族直线可以构成曲面(1)，从 而它是单叶双曲面(1)的一族直母线。 首先容易知道， u族直线中任何一条直线上的点
都在曲面(1)上.
x z y a c u 1 b x z 1 1 y a c u b
(3)
而v族直母线写成
y x z t ( a c ) v(1 b ), v( x z ) t (1 y ), a c b
（4.7-2）
其中 v, t 不同时为零. 对于双曲抛物面
x y 2 2 z, 2 a b
同样地可以证明它也有两族直母线
2
(2)与(1)等价吗? 等价!
x z x z y y 1 1 . a c a c b b
改写为:
x z y 1 a c b . y x z 1 b a c
（2）
(2)/
现在引进不等于零的参数u, 将上述方程写为:
现在我们来证明定理的前半部分，单叶双曲面上 异族的任意两直母线必共面. 证: 单叶双曲面的两个异族直母线方程分别为:
x z y a c u 1 b x z 1 1 y a c u b
z y x v (1 ), a c b x z 1 (1 y ) a c v b
对于给定的u,
(3)表示什么曲线? (3)与(2)等价吗?
x z y a c u 1 b x z 1 1 y a c u b
直线
(3) 不等价!
x2 y2 z2 2 2 1, 2 a b c
(1) （2）
2
它们的方程分别是
x y a b 2u, u ( x y ) z , a b
与
(4.7-3)
x y a b 2v , v( x y ) z. a b
（4.7-4）
分别称为u族和v族直母线.
双曲抛物面是直纹面
x2 y 2 2 2z 2 a b
(3)
考虑到(3) 与(2)相比,漏掉了下面的两个方程组
z x a c 0, （4） 1 y 0; z x b a c 0, 与 y 0. 1 b
（4）/
也就是说
x z y u 1 a c b x z 1 1 y a c u b
y x z w( 3 4 ) u (1 2 ), 与 u ( x z ) w(1 y ); 3 4 2 y x z t ( ) v(1 ), 3 4 2 v( x z ) t (1 y ). 3 4 2
2
2
2
把点(6,2,8)分别代入上面两组方程，求得
w : u 1: 2
与
t 0,