§4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
§4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
一、直纹曲面：
柱面和锥面都可以由一族直线所构成. 由一族直线所构成的曲面叫做直纹面, 而构成曲面的那族直线叫做这个曲面的一族直母线. 柱面与锥面都是直纹面.
二、直母线：
1．单叶双曲面+－＝1是直纹面, 它有两族直母线,它们的方程分别为
(λ, μ为参数, 且不全为零)
与
(λ', μ'为参数,且不全为零)注: 此处是把y项移到右边而得到的直母线方程; 同样也可把x项移到右边得到另一组直母线方程, 两组直母线方程的表达形式可能不一样, 但其方向矢量是平行的, 把它们化为标准方程后会发现它们表示同一组直母线. 双曲抛物面情况类似.
2. 双曲抛物面－＝2z也是直纹面, 也有两族直母线,方程分别为
(λ为参数) 与(λ'为参数)
3. 单叶双曲面上两族直母线的大概分布情况如图4-16.
4. 双曲抛物面上两族直母线的大概分布情况如图4-17.
三、性质：
1. 单叶双曲面上异族的任意两条直母线必共面, 而双曲抛物面上异族的任意两条直母线必相交.
2. 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两条直母线总是异面直线, 而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面.
3. 对于单叶双曲面和双曲抛物面上的每一点, 两族直母线中各有一条通过这一点.
例1. 试求单叶双曲面+－z2＝1上通过点(2, －3, 1)的直母线.
解:单叶双曲面+－z2＝1的两族直母线方程为
与
将点(2, －3, 1)代入上面的两组方程, 求得λ＝0 与λ': μ'＝1:1,
代入直母线族的方程, 得过(2, －3, 1)的两条直母线为
与
即
与
例2. 求在双曲抛物面－＝z上平行于平面3x+2y－4z＝0的直母线.
解:设双曲抛物面的一族直母线中与已知平面平行的直母线为
它的方向矢量为 {－,,－}, 由已知条件有
3×+2×+(－4)×＝0,
解得u＝0, 从而求得满足条件的直母线为
同理可得另一族直母线中满足条件的直母线为
例3. 试证单叶双曲面＋－＝1的任意一条直母线在xOy坐标面上的射影,
一定是其腰椭圆的切线.
证明:只须对u族直母线情形证明成立即可. 设u族直母线中一条直线l的方程为
l：
则l在xOy坐标面上的射影直线l'可以看成是直线l在xOy坐标面上的射影柱面与xOy平面的交线
l'：
现只须证明l'与单叶双曲面的腰椭圆只交于一点即可, 从而l'与腰椭圆相切. 事实上由上式有
代入腰椭圆方程
得
该式左端是一个完全平方式, 故方程只有一组解, 即l'与腰椭圆只有一个交点.
例4. 求与两直线＝＝与＝＝相交, 而且与平面2x＋3y－5
＝0平行的直线的轨迹.
解: 设满足条件的直线l的方向矢量为{X, Y, Z}, 点P(x, y, z)是l上任意一点, 因l与两已知直线相交, 故有
＝0,
＝0.
即有
(y－2z＋2)X＋(3z－x＋3)Y＋(2x－3y－12)Z＝0,
(－2y－2z＋8)X＋(2x+3z＋12)Y＋(2x－3y+24)Z＝0.
又l与已知平面平行, 从而 2X+3Y＝0,
由于X, Y, Z不全为零, 由以上三式得
＝0,
化简整理得
－＝z.
这是一双曲抛物面.
例5. 求与下列三条直线
与＝＝
都共面的直线所构成的曲面.
解: 设{X, Y, Z}是满足条件的直线l的方向矢量, P(x, y, z)是l上任意一点, 因l 与已知三直线都共面, 故有
＝0, ＝0,＝0.
或
由于X, Y, Z不全为零, 从而有
＝0,
化简整理得
x2+y2－z2＝1.
这是一单叶双曲面.
作业题：
1. 试求双曲抛物面－＝2z在点(4, 0, 2)的直母线方程.
2. 求通过直纹曲面z＝xy上点(1, 1, 1)的直母线方程.。
4.7 单叶双曲面和双曲抛物面的直母线
（4.7-1） 4.7-
与
（4.7-2） 4.7-
推论1 推论1
对于单叶双曲面上的点， 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线、双曲抛物面是直纹曲面
z
O
y
x
三、双曲抛物面是直纹曲面
双曲抛物面
x2 y2 − 2 = 2z 2 a b (a, b > 0 )
悉尼歌剧院
定理
单叶双曲面
x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 1 ， a , b, c > 0 2 a b c
是直纹曲面。它有两族直母线： 是直纹曲面。它有两族直母线：
x z y w a + c = u 1 + b , ( w2 + u 2 ≠ 0 ) u x − z = w 1 − y , a c b x z y t a + c = v 1 − b , 2 2 (t + v ≠ 0) v x − z = t 1 + y , a c b
x z y w + = u 1 + , a c b ( w2 + u 2 ≠ 0 ) u x − z = w 1 − y a c b x z y t + = v 1 − , a c b 2 2 (t + v ≠ 0) v x − z = t 1 + y . a c b
例(教材P153) 教材P153)
x 求直线 Γ： = y = z − 1 绕直线 l : x = y = z 旋转所 2 1 0 得的旋转曲面的方程. 得的旋转曲面的方程.
单叶双曲面与双曲抛物面共19页文档
例题
例1 求过单叶双曲面 x2 y2 上z的2 点1 的直6母,2,8线 的方程.
9 4 16
分析: 单叶双曲面 x2 y2 z2 1 的两族直母线方程为：
9 4 16
w
x 3
z 4
u 1
y 2
,
与
u
x 3
z 4
w 1
y 2
t
x 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z 4
v 1
y 2
,
v
x 3
z 4
推论1 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线
通过这点.
Back
三、双曲抛物面是直纹曲面
z
O
y
x
三、双曲抛物面是直纹曲面
双曲抛物面
x2 y2 2z a2 b2
a,b 0
悉尼歌剧院
定理 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 ， a,b, c
0
是直纹曲面。它有两族直母线：
谢谢！
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。—— CocoChanel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。—— 杰纳勒 尔·乔治 ·S·巴 顿
单叶双曲面与双曲抛物面
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
单叶双曲面和双曲抛物面的直母线
z 4
v 1
y 2
,
v
x 3
z 4
t
1
y 2
.
将（6，2，8）代入上述直母线族方程，求得 w , u , t , v.
例题
例2
试证明双曲抛物面
x2 a2
y2 b2
2z a
b上的两直母线直交时，其
交点必在一双曲线上.
z c
v
1
y b
,
t2 v2
0
v
x a
z c
t
1
y b
.
（4.7-2）
推论1 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通
过这点.
B8ack
三、双曲抛物面是直纹曲面
z
O x
y
9
三、双曲抛物面是直纹曲面
双曲抛物面
例3 已知空间两异面直线间的距离为 2a，夹角为 2 ，过这两
直线分别作平面，并使这两平面相互垂直，求这样的两平面交线
的轨迹.
2020/1/21
18
x2 a2
y2 b2
2z
a,b 0
悉尼歌剧院
定理 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 ， a,b, c
0
是直纹曲面。它有两族直母线：
w
x a
z c
u
1
双曲抛物面的直母线方程
双曲抛物面的直母线方程1. 引言说起数学，很多人第一反应就是头疼，仿佛那是一道无法翻越的高山。
可今天咱们聊聊双曲抛物面的直母线方程，听起来有点高大上，但其实并不复杂。
就像咱们喝水，简单直接，照样能解渴。
那什么是双曲抛物面呢？简单来说，它就像个凹下去的碗，有点像你那被摔坏了的陶瓷碗，虽然破了，但依然很有形状。
而直母线，就是那条在这凹面上跑的线，仿佛在滑冰的溜冰者，游刃有余。
2. 双曲抛物面初探2.1 形状的魅力想象一下，双曲抛物面就像你在游乐场看到的那种大滑梯。
它的形状既优雅又神秘，就像一个弯曲的马鞍，既可以往下滑，也可以往上看。
在数学的世界里，这种形状可是非常特别的。
它不仅仅是个曲面，还是一种用方程描述的曲面，常常让人感到意外。
2.2 直母线的来历接下来，我们来聊聊直母线。
它就像那种一直陪着你的好朋友，虽然看似简单，但却是理解双曲抛物面的关键。
直母线就像是一根在双曲抛物面上随意游走的“筋骨”，连接着各种点。
它帮助我们理解曲面上的点与点之间的关系，简直就是不可或缺的“粘合剂”。
3. 方程的奥秘3.1 直母线方程好吧，言归正传，直母线的方程到底是什么呢？其实它的方程相对简单，一般来说可以用类似于 ( z = frac{x^2{a^2 frac{y^2{b^2 ) 这样的形式来表示。
乍一看，似乎有点复杂，但我们可以把它想象成一张网，网中每一个点都能反映出双曲抛物面的特征。
用简单的语言来说，这个方程就是在说，“嘿，我的z坐标是由x和y的平方计算出来的”，好像在和我们打招呼。
3.2 形象的比喻你可以把这看作是一位厨师在调配食材，z是成品，x和y就是那些新鲜的食材。
在这个方程中，x和y的变化直接影响到最终的z，就像你多放点盐，菜就咸了，多加点糖，甜度直线上升。
就这样，直母线在双曲抛物面上游走，展示着不同的风采。
数学，就像一首交响乐，虽然各部分看似孤立，但合在一起时却和谐动听。
4. 应用场景4.1 生活中的数学那么，双曲抛物面和直母线方程到底有什么用呢？你可能会问。
吕氏解析几何ch.4-7
证法二. 利用柱面的方程的特征，它可以改写为直线族的方程， 而且这族直线为平行直线族，该柱面就是由这族直线生成.
例1. 求顶点为 (1,2,4)，轴与平面 2 x 2 y z 0垂直， 且经过点 (3,2,1)的圆锥面的方程 .
《解析几何》 －Chapter 4
§7 单叶双曲面与双曲抛物面
的直母线
Contents
一、直纹曲Leabharlann 的概念二、单叶双曲面是直纹曲面 三、双曲抛物面是直纹曲面 四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质
一、直纹曲面的概念
定义, 如果曲面 S 上有一族单参数直线（随着一个参数变 化的的一族直线），而 S 的每一点都在这族直线上，则S 称为直纹面。这族直线中的每一条直线都称为直母线。
分析:
x2 y 2 z 2 单叶双曲面 1 的两族直母线方程为： 9 4 16
x z y x z y w 3 4 u 1 2 , t 3 4 v 1 2 , 与 u x z w 1 y v x z t 1 y . 3 4 2 3 4 2
证明双曲抛物面上异族的任意直母线必相交 设双曲抛物面的两族直母线为：
x y 2u, a b x y u z, a b
1 2
x y 2v, a b x y v z, a b
3 4
定义 由一族直线所生成的曲面叫做直纹曲面(ruled surface)， 生成曲面的那族直线叫做该曲面的一族直母线. 设
单叶双曲面与双曲抛物面的教法
单叶双曲面与双曲抛物面的教法
椭球-椭圆
双曲面-抛物面
(1) 双曲面：
1）定义：双曲面是单叶双曲面的特殊情况，由特定的二次多项式表示，它在三维空间中是一个曲面，它有二维和一维空间投影，它可以被椭
圆曲线拟合。
双曲面的特点是其曲率固定，且四条边界是正交的。
2）参数方程：双曲面的参数方程为
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，其中$a,b,c$都
大于零。
3）特征：双曲面有两个极轴：$x$和$z$轴；它有两个椭圆曲线为投影：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$和
$\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
(2) 双曲抛物面：
1）定义：双曲抛物面是由特定的一次多项式表示的抛物面，在三维空
间构成一个双曲面，它与椭球有着类似的几何结构，双曲抛物面的特
点是它的抛物度恒定，边界曲线与xy平面的交点为椭圆。
2）参数方程：双曲抛物面的参数方程为$\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，其中$a,b,c$都大于零。
3）特征：双曲抛物面有两个极轴：$x$和$z$轴；它有两个椭圆曲线为投影：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$和$\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$。
解析几何第四版复习重点第四章柱面锥面旋转面与二次曲面
第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 222，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z yy tx x tz z y y t x x 22000000 而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)1513,1511,152(0--M ，圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++07598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。
又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{}1,1,1的直线方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=t z z t y y tx x tz z t y y t x x 111111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x§ 4.2锥面2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,1222=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。
解：设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：221133++=++=--z Z y Y x X 令它与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=-+=t z Z t y Y t x X )2(2)!(1)3(3000 将它们代入准线方程，并消去t 得：044441026753222=+-+-+--+-z y x xz yz xy z y x此为要求的锥面方程。
《解释几何-第四版》第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 讲解与习题柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
F1 ( x, y ) 0 F2 ( x, z ) 0
(2)
那么（2）与（1）是两个等价的方程组，也就 是（2）表示的曲线与（1）是同一条曲线。从而 曲面 F1 ( x, y) 0 与曲面 F2 ( x, z) 0 都通过已知曲线（1） 同理方程 F3 ( y, z) 0 也通过已知曲线（1）。 我们把曲面 F1 ( x, y) 0 称为空间曲线（1）对xOy坐 标面的射影柱面，而曲线
F ( x, y) 0 (1) z0 作准线，z轴的方向 0, 0,1 为母线的方向，来建立 柱面方程。 任取准线上的一点 M1 ( x1, y1, z1 ) ，过 M1 的母线 方程为 xx y y zz
1
0
1
0
1
1
即
x x1 y y1
(2)
又因为点
第四章
柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
主要内容
1、柱面 2、锥面 3、旋转曲面 4、椭球面 5、双曲面 6、抛物面 7、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
第一节
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线. F1 ( x, y, z ) 0 设柱面的准线为 F ( x, y, z ) 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线 上一点，则过点M1的母线方程为 x x1 y y1 z z1 (2) X Y Z
f ( x 2 y 2 , z ) 0
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0绕 z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
直纹曲面及其性质
,取u的值,使得
y0 b
0.此
则由(3.4-5)便得
x0 a
z0 c
u(1
y0 ) b
,
x0 z0 1 1 y0 a c u b
所以点P0(x0,y0,z0)在直线(3.4-3)上．
若
x0 a
z0 c
0,则由(3.4-5)可得1
y0 b
0 ,故M0点在直线
下证u族直线(3.4-11)可以构成曲面(3.4-10),从而它是曲面 (3.4-10)的一族直母线.
易知,u族直线(3.4-11)中任何一条直线上的点都在曲面(3.4-
10)上；反过来,设(x0,y0,z0)是曲面(3.4-10)上的点,则有
a(x0 , y0 , z0 ) b(x0 , y0 , z0 ) c(x0 , y0 , z0 ) d (x0 , y0 , z0 ) , (3.4-12)
1
y b
．
引进不等于零的参数,并考察由(3.4-2)得到的方程组
x a
z c
u 1
y b
,
x a
z c
1 u
1
y b
,
(3.4-1) (3.4-2) (3.4-3)
与两方程组
x a
z c
0,
1
那么取u : w 的值,使得
从而有
a(x0 , y0 , z0 ) d (x0, y0, z0 ) u , c(x0 , y0 , z0 ) b(x0 , y0 , z0 ) w
ìïïíïïî
二次曲面的直纹性
二次曲面的直纹性一 定义：由一组连续变化的直线形成的曲面称为直纹面，其中每条直线都称为它的母线。
注：柱面、锥面显然都是直纹面，但椭球面，双叶双曲面与椭圆抛物面均不是直纹面。
试问，单叶双曲面与双曲抛物面是否为直纹面？答案是肯定的。
二 单叶双曲面的直纹性: 设有单叶双曲面 1222222=−+cz b y a x （1） （1）等价于 （c z a x +）（c z a x −）=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y b y 11 （2） 即 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+c z a x ：⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y 1=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−b y 1：⎟⎠⎞⎜⎝⎛−c z a x （3） 对∀ λ≠0，方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−+=+)1(1)()1()(b y cz a x b y c z a x λλ （4） 表示一直线，另外 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=+010by c z a x （5） 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=−010by c z a x （6） 也表示直线。
显然由（4）—（6）构成的直线族中每一直线均在单叶双曲面（1）上。
再者对∀0M （0x ，0y ，0z ）∈（1） 有 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+b y 1b y 1c z a x c z ax 000000 注意1+b y 0与1-by 0不全为0 1°若1+b y 0≠0当时0c z a x 00≠+，令λ=0by 1c z a x 000≠++ 则 0M ∈（4） 当0c z a x 00=+时，则1-by 0 =0，则0M ∈（5） 2°若1+b y 0=0，则1-by 0≠0 当0c z a x 00≠− 取λ=cz a x b y 1000−−≠0 则0M ∈（4） 当0cz a x 00=−时，有0M ∈（6） ∴有：单叶双曲面是由直线族（4）-（6）构成的 ∴单叶双曲面是直纹面。
同理，由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=−−=+1(1)1(b y c z a x b y c z a x µµ μ≠0 （4′） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+010by c z a x （5′） 及⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=−010by c z a x （6′） 组成的直线族也可构成单叶双曲面（1），为方便记忆，将（4）—（6）和（4′）-（6′）写成如下统一形式 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−′+′=+)1()(1()(b y u cz a x u b y u c z a x u u,u′不全为0 （7）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=−′−′=+)1()()1()(b y v cz a x v b y v c z a x v v，v′不全为0 （7′）分别称（7）（7′）为单叶双曲面（1）的u 族，v 族直母线。