华师大版九年级下册数学优秀课件26.3 二次函数与一元二次方程(不等式)的关系
-1 2
0 y
x y= -x2+x+2
x≠2的一切实数
x无解 x无解
x2-4x+4=0
0
2
x
y -x2+x-2=0
0
x无解 x为全体实数
x
③-x2+x-2<0.
知识要点
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次
不等式的关系 二次函数 y=ax2+bx+c的图象 与x轴交点
有两个交点x1,x2 （x1＜x2） 有一个交点x0 没有交点
例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋
2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都 是整数，求正整数 m的值． (2)解：令y＝0，则 (x－1)(mx－2)＝0，
所以 x－1＝0或mx－2＝0，
2 解得 x1＝1，x2＝ m
解方程：
20.5 h O
t 你能结合图形指出 为什么球不能达到 20.5m的高度?
20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4 ×4.1<0,
所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5米.
（4）球从飞出到落地要用多少时间？ h t
h=20t-5t2
O
0=20t-5t2, t2-4t=0, t1=0,t2=4.
问题1 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么
x1=-1， x2=3 方程ax2+bx+c=0的根是 _____ _____;
或x>3 不等式ax2+bx+c>0的解集 是x<-1 ___________;
不等式ax2+bx+c<0的解集 是-1<x<3 _________.
-1
y
O
3
x
拓广探索： 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 x1=-2， x2=4 方程ax2+bx+c=2的根是 ______________; 不等式ax2+bx+c>2的解集是x<-2或x>4 -2<x<4
要多少飞行时间？ 解方程： 20=20t-5t2, t2-4t+4=0, t1=t2=2. 当球飞行2秒时， 它的高度为20米.
你能结合图形指出为
什么只在一个时间球 的高度为20m？ O 4 t 20 h h=20t-5t2
h=20t-5t2 （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少 飞行时间？
当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米. 即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.
为一个常数 （定值）
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一
元二次方程?
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为 一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是 一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个
在2与3之间.
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4 或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：
x
y
… …
-0.4 -0.04
-0.5 0.25
… …
观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变 正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1
O
2
x
问题3：如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根，
0 那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有______ 个交点；
不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？
解：（1）当a>0时, ax2+bx+c<0无解； （2）当a＜0时, ax2+bx+c<0 的解集是一切实数.
-1
O
3
x
y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2
0个 1个 2个
0 -2, 1
y = x2－x＋1 y = x2＋x－2
1
知识要点
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0根的关系 二次函数 y=ax2+bx+c的图象 与x轴交点 有两个交点 有一个交点 没有交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个不相等的实 数根 有两个相等的实数根 没有实数根 b2-4ac b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式:
(1) ①-x2+x+2=0; ②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0. (2) ①x2-4x+4=0; ②x2-4x+4>0; ③x2-4x+4<0. (3) ①-x2+x-2=0; ②-x2+x-2>0; x1=-1 , x2=2 1 ＜ x＜2 x1＜-1 , x2＞2 x=2 y
x y=ax2+bx+c 3.23 -0.06 3.24 -0.02 3.25 0.03 3.26 0.09
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是 （ ）
C
B. 3.23 < x < 3.24 D. 3.25 <x< 3.26
A. 3< x < 3.23 C. 3.24 <x< 3.25
2．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的 -1 一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= y ；
O1
3
x
5 3.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，x2= ，那 35 么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标是 (-2，0) ( . 3 ，0)
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自
变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即
x2－4x+3=0）． 反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次 函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
二 利用二次函数深入讨论一元二次方程 思考
观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2
与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定 其近似值); (3)确定方程2x2+x-15=0的解; 由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.
例3:已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示， 则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为( B ) A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1 解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对 称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点 的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则 x1 x2 ＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5， 2 x2≈0.5.故选B.
例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋
2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都 是整数，求正整数 m的值． (1)证明：∵m≠0，
∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.
∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0， ∴此抛物线与x轴总有两个交点；
8 6 4 2 -2 -4
y = x2－2x－2
2
4
说一说
一元二次方程ax2+bx+c=m的根就是二次函数 y=ax2+bx+c 与直线y=m（m是实数）图象交点的 横坐标 . 既可以用求根公式求二次方程的根，也可以 通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根.
四 二次函数与一元二次不等式的关系
合作探究
.
当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总 有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数m的值为1或2.
变式：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2 与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)， B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
方法总结
解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再 根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度， 直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
练一 练
利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).
解：作y=x2-2x-2的图象(如右图
所示)，它与x轴的公共点的横坐 标大约是-0.7，2.7. 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1≈-0.7，x2≈2.7. -4 -2
果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐 标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二 次方程的根吗？ （1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；
0 y
x y= -x2+x+2
x≠2的一切实数
x无解 x无解
x2-4x+4=0
0
2
x
y -x2+x-2=0
0
x无解 x为全体实数
x
③-x2+x-2<0.
知识要点
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次
不等式的关系 二次函数 y=ax2+bx+c的图象 与x轴交点
有两个交点x1,x2 （x1＜x2） 有一个交点x0 没有交点
例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋
2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都 是整数，求正整数 m的值． (2)解：令y＝0，则 (x－1)(mx－2)＝0，
所以 x－1＝0或mx－2＝0，
2 解得 x1＝1，x2＝ m
解方程：
20.5 h O
t 你能结合图形指出 为什么球不能达到 20.5m的高度?
20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4 ×4.1<0,
所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5米.
（4）球从飞出到落地要用多少时间？ h t
h=20t-5t2
O
0=20t-5t2, t2-4t=0, t1=0,t2=4.
问题1 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么
x1=-1， x2=3 方程ax2+bx+c=0的根是 _____ _____;
或x>3 不等式ax2+bx+c>0的解集 是x<-1 ___________;
不等式ax2+bx+c<0的解集 是-1<x<3 _________.
-1
y
O
3
x
拓广探索： 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 x1=-2， x2=4 方程ax2+bx+c=2的根是 ______________; 不等式ax2+bx+c>2的解集是x<-2或x>4 -2<x<4
要多少飞行时间？ 解方程： 20=20t-5t2, t2-4t+4=0, t1=t2=2. 当球飞行2秒时， 它的高度为20米.
你能结合图形指出为
什么只在一个时间球 的高度为20m？ O 4 t 20 h h=20t-5t2
h=20t-5t2 （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少 飞行时间？
当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米. 即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.
为一个常数 （定值）
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一
元二次方程?
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为 一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是 一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个
在2与3之间.
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4 或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：
x
y
… …
-0.4 -0.04
-0.5 0.25
… …
观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变 正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1
O
2
x
问题3：如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根，
0 那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有______ 个交点；
不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？
解：（1）当a>0时, ax2+bx+c<0无解； （2）当a＜0时, ax2+bx+c<0 的解集是一切实数.
-1
O
3
x
y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2
0个 1个 2个
0 -2, 1
y = x2－x＋1 y = x2＋x－2
1
知识要点
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0根的关系 二次函数 y=ax2+bx+c的图象 与x轴交点 有两个交点 有一个交点 没有交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个不相等的实 数根 有两个相等的实数根 没有实数根 b2-4ac b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式:
(1) ①-x2+x+2=0; ②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0. (2) ①x2-4x+4=0; ②x2-4x+4>0; ③x2-4x+4<0. (3) ①-x2+x-2=0; ②-x2+x-2>0; x1=-1 , x2=2 1 ＜ x＜2 x1＜-1 , x2＞2 x=2 y
x y=ax2+bx+c 3.23 -0.06 3.24 -0.02 3.25 0.03 3.26 0.09
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是 （ ）
C
B. 3.23 < x < 3.24 D. 3.25 <x< 3.26
A. 3< x < 3.23 C. 3.24 <x< 3.25
2．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的 -1 一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= y ；
O1
3
x
5 3.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，x2= ，那 35 么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标是 (-2，0) ( . 3 ，0)
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自
变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即
x2－4x+3=0）． 反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次 函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
二 利用二次函数深入讨论一元二次方程 思考
观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2
与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定 其近似值); (3)确定方程2x2+x-15=0的解; 由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.
例3:已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示， 则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为( B ) A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1 解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对 称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点 的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则 x1 x2 ＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5， 2 x2≈0.5.故选B.
例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋
2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都 是整数，求正整数 m的值． (1)证明：∵m≠0，
∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.
∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0， ∴此抛物线与x轴总有两个交点；
8 6 4 2 -2 -4
y = x2－2x－2
2
4
说一说
一元二次方程ax2+bx+c=m的根就是二次函数 y=ax2+bx+c 与直线y=m（m是实数）图象交点的 横坐标 . 既可以用求根公式求二次方程的根，也可以 通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根.
四 二次函数与一元二次不等式的关系
合作探究
.
当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总 有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数m的值为1或2.
变式：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2 与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)， B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
方法总结
解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再 根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度， 直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
练一 练
利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1).
解：作y=x2-2x-2的图象(如右图
所示)，它与x轴的公共点的横坐 标大约是-0.7，2.7. 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1≈-0.7，x2≈2.7. -4 -2
果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐 标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二 次方程的根吗？ （1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；
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2022年华师大版九年级数学下册第二十六章《二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系》优课件
26.3 实践与探索
探究问题二 用图象法求一元二次方程的解(或近似解)
例 2 用两种方法求方程 2x2－3x－2＝0 的解． 解：(解法一)画函数 y＝2x2－3x－2 的图象，如图 26－3－33
所示．
由图象可知 2x2－3x－2＝0 的解是 x1＝－12，x2＝2.
图26－3－33
26.3 实践与探索
(解法二)将 2x2－3x－2＝0 变形，得 2x2 ＝3x＋2，分别画出函数 y＝2x2 与 y＝3x
＋2 在同一平面直角坐标系中的图象(如
图 26－3－34 所示)，由图知它们交点 A 的2x横2－坐3x标－为2＝－012，的B解的为横x1坐＝标－为12，2x，2＝即2方. 程
图26－3－34
26.3 实践与探索
判别式
Δ＝b2－4ac
y＝ax2＋ bx＋c(a>0)
的图象
b2－4ac>0
b2－4ac＝0 b2－4ac<0
26.3 实践与探索
关于 x 的一元
二次方程
ax2＋bx＋c＝0
两个不等的
实数解 x＝
－b ± b2－4ac 2a
ax2＋bx＋c>0 (a>0)
x<x1 或 x>x2
关于x
的一元 ax2＋bx＋ 二次不 c<0(a>0)
图26－3－35
26.3 实践与探索
(1)求二次函数与一次函数的关系式；
(2)根据图象，写出满足 kx＋b≥(x－2)2＋m 的 x 的取值范围． [解析] (1)将点 A(1，0)的坐标代入 y＝(x－2)2＋m 求出 m 的值，根据点的对称性，将 y＝3 代入二次函数关系式求出 点 B 的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数关系式； (2)根据图象，kx＋b≥(x－2)2＋m 表示直线在抛物线的上 方及两图象的交点对应的 x 的取值．
26.3.2 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 华师大版数学九年级下册导学课件
感悟新知
(2)观察图象，函数图象与x 轴的交点的横坐标就是一元 二次方程ax2+bx+c=0 的解，当函数图象与x 轴有两个 交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小 解所在的范围估计一元二次方程的解.
(3)交点横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0 的解.
感悟新知
方法提醒 估计一元二次方程的解的方法：
第26章 二次函数
26.3 实践与探索
26.3.2 二次函数与一元二次方程、 一元二次不等式之间的关系
学习目标
1 本节要点 二次函数与一元二次方程的关系
二次函数的图象与一元二次方程的 近似解的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象的特征 与a，b，c的符号关系
2 学习流程 二次函数与一元二次不等式的关系
感悟新知
1-1. 抛物线y=x2+2x+m－1 与x 轴有两个不同的交点，则m
的取值范围是( A )
A. m<2
B. m>2
C. 0<m ≤ 2
D. m<－2
感悟新知
1-2. [中考·成都] 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线 y=x2+2x+k与x 轴只有一个交点，则k=____1___．
感悟新知
知识点
2
二次函数的图象与一元二次方程的近 似解的关系
二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的公共点的横坐 标是一元二次方程ax2+bx+c=0 的解，因此可以借助二次 函数的图象求一元二次方程的解.
感悟新知
1. 利用二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的公共点求一 元二次方程ax2+bx+c=0 的解 (1)作出二次函数y=ax2+bx+c 的图象，确定图象与x轴 公共点的个数，就是方程ax2+bx+c=0 的解的个数.
华东版九年级数学下册第26章26.3第2课时 二次函数与一元二次方程(不等式)的联系
①2a＋b＋c＞0；②a－b＋c＜0；③x(ax＋b)≤a＋b； ④a＜－1. 其中正确的有( A ) A．4 个 C．2 个 B．3 个 D ．1 个
12. 如图所示，已知二次函数 y1＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与一次函数 y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点 A(－2，4)、 B(8，2)．根据图象回答：
3. 已知二次函数 y＝3x2＋c 与正比例函数 y＝4x 的 4 图象只有一个交点，则 c 的值为 3 .
知识点
二次函数与一元二次不等式的关系
4. 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示， 则函数值 y＞0 时，x 的取值范围是( D )
A．x＜－1 C．－1＜x＜3
B．x＞3 D．x＜－1 或 x＞3
7. (2018· 邵阳模拟)如图， 一次函数 y1＝mx＋n(m≠0) 与二次函数 y2 ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 的图象相交于两点 A(－1，5)、B(9，3)，请你根据图象写出使 y1≥y2 成立的 x 的取值范围( A )
A．－1≤x≤9 C．－1＜x≤9
B．－1≤x＜9 D．x≤－1 或 x≥9
10. 以 x 为自变量的二次函数 y＝x2－2(b－2)x＋b2 －1 的图象不经过第三象限， 则实数 b 的取值范围是( A ) 5 A．b≥ 4 C．b≥2 B．b≥1 或 b≤－1 D．1≤b≤2
11. (2018· 随州)如图所示，已知二次函数 y＝ax2＋bx ＋c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，对 称轴为直线 x＝1.直线 y＝－x＋c 与抛物线 y＝ax2＋bx＋c 交于 C、D 两点，D 点在 x 轴下方且横坐标小于 3，则下 列结论：
第26章
九年级数学下册(华师大版)课件：26.3 第2课时 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
8．已知函数 y1＝x2 与函数 y2＝－12x＋3 的图象如图，若 y1＜y2，则自变
量 x 的取值范围是( C ) A．－1.5＜x＜2 B．x＞2 或 x＜－1.5 C．－2＜x＜1.5 D．x＜－2 或 x＞1.5
9．(2016·广安)已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示， 并且关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c－m＝0 有两个不相等的实数根，下 列结论：①b2－4ac＜0；②abc＞0；③a－b＋c＜0；④m＞－2.其中正确的个 数有( B )
解：(1)A(－3，9) B(1，1) (2)－3＜x＜1 (3)x1＝1，x2＝－3
13．已知二次函数y＝x2－(k＋3)x＋2k－1.证明：无论k取何值，其 图象与x轴有两个交点．
解：∵Δ＝(k＋3)2－4(2k－1)＝(k－1)2＋12＞0，∴ 结论成立
14．若x1，x2(x1＜x2)是方程(x－a)(x－b)＝1(a＜b)的两个根，则实数x1， x2，a，b的大小关系为( )C
A．－1 B．－2 C．－3 D．－4
3．下表是用计算器探索函数y＝x2－2x－10所得的数值，则方程x2－2x
－10＝0的一个近似根为( C )
A.x＝－2.1 B．x＝－2.2
x C．x＝－2.3 D．x＝－2.4
－2.1 －2.2 －2.3
－ 2.4
－－－ 4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(ay≠0)的1图.3象9如图所0示.7，6则函0数.值11y＞0时0.，5x6
第26章 二次函数
26．3 实践与探索
第2课时 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
1．抛物线y＝－3x2－x＋4与x轴的交点个数是( B ) A．3 B．2 C．1 D．0
量 x 的取值范围是( C ) A．－1.5＜x＜2 B．x＞2 或 x＜－1.5 C．－2＜x＜1.5 D．x＜－2 或 x＞1.5
9．(2016·广安)已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示， 并且关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c－m＝0 有两个不相等的实数根，下 列结论：①b2－4ac＜0；②abc＞0；③a－b＋c＜0；④m＞－2.其中正确的个 数有( B )
解：(1)A(－3，9) B(1，1) (2)－3＜x＜1 (3)x1＝1，x2＝－3
13．已知二次函数y＝x2－(k＋3)x＋2k－1.证明：无论k取何值，其 图象与x轴有两个交点．
解：∵Δ＝(k＋3)2－4(2k－1)＝(k－1)2＋12＞0，∴ 结论成立
14．若x1，x2(x1＜x2)是方程(x－a)(x－b)＝1(a＜b)的两个根，则实数x1， x2，a，b的大小关系为( )C
A．－1 B．－2 C．－3 D．－4
3．下表是用计算器探索函数y＝x2－2x－10所得的数值，则方程x2－2x
－10＝0的一个近似根为( C )
A.x＝－2.1 B．x＝－2.2
x C．x＝－2.3 D．x＝－2.4
－2.1 －2.2 －2.3
－ 2.4
－－－ 4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(ay≠0)的1图.3象9如图所0示.7，6则函0数.值11y＞0时0.，5x6
第26章 二次函数
26．3 实践与探索
第2课时 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
1．抛物线y＝－3x2－x＋4与x轴的交点个数是( B ) A．3 B．2 C．1 D．0
华师大版九年级数学下册第二十六章《二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系》公开课课件
17．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题．
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集； (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
解：(1)x1＝1，x2＝3 (2)1＜x＜3 (3)x＞2 (4)k＜2
14．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－3 C ＝0的根的情况是( ) A．有两个不相等的同号的实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 15．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有 实数根，则m的最大值为( A．－3 B．3 C．－5 D．9 )
解析式为y＝x.∴直线OB向下平移m个单位长度后得到的直线的 解析式为y＝x－m.∵点D在抛物线y＝x2－3x上，∴可以设点D 的坐标为(x，x2－3x)，又∵点D在直线y＝x－m上，∴x2－3x＝ x－m，即x2－4x＋m＝0.∵抛物线与直线只有一个公共点，∴Δ ＝16－4m＝0，解得m＝4.此时x1＝x2＝2，y＝x2－3x＝－2，∴ 点D的坐标为(2，－2)
18．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)，B(4，4)两点． (1)求抛物线的解析式； (2)将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点 D，求m的值及点D的坐标．
解：(1)抛物线的解析式是y＝x2－3x (2)设直线OB的解析式为y
＝k1x，由直线过点B(4，4)，得4＝4k1，解得k1＝1.∴直线OB的
知识点3：利用二次函数求一元二次方程的近似解 10．下表中有满足二次函数y＝ax2＋bx＋c的五组数据，x1(1.6＜x＜2.4)是方 程ax2＋bx＋c＝0的一个解，则下列选项正确的是( ) C
华师版九年级数学下册课件 第26章 二次函数 第3课时 探索二次函数与一元二次方程(不等式)的关系
(1)填空：x2－3x＋2<0 的解集为___1_<_x_<_2___；x2－3x≤0 的解集为___0_≤_x_≤_3__； (2)用类似的方法解一元二次不等式：－x2－2x＋3>0.
解：(2)令 y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，画出 y＝－x2－2x＋3 的图象，如图 所示，由图象可知当－3<x<1 时，y>0，∴一元二次不等式－x2－2x＋3>0 的解集为 －3<x<1
(3)观察函数图象，写出两条函数的性质；
解：(2)如图所示 (3)①函数 y＝x2－2|x|的图象关于 y 轴对称；②当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大
(4)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与 x 轴有___3____个交点，即对应的方程 x2－2|x|＝0 有____3___个实 数根； ②方程 x2－2|x|＝2 有___2___个实数根； ③关于 x 的方程 x2－2|x|＝a 有 4 个实数根时，a 的取值范围是__－__1_＜__a_＜__0___．
二次函数的图象和x轴的交点个数与对应的一元二次方程根的判别式之 间的关系
4．(6分)已知抛物线y＝x2－6x＋m－1.当m_＜__1_0__时，抛物线与x轴有两个公共点； 当m_＝__1_0__时，抛物线与x轴有一个公共点；当m__＞__1_0__时，抛物线与x轴无公共 点．
二次函数与一元二次不等式
A．x1＜－1＜2＜x2 B．－1＜x1＜2＜x2
C．－1＜x1＜x2＜2 D．x1＜－1＜x2＜2
二、填空题(每小题 8 分，共 16 分) 9．(大庆中考)已知函数 y＝mx2＋3mx＋m－1 的图象与坐标轴恰有两个公共点， 则实数 m 的值为____1_或__－__45___． 10．二次函数 y＝－x2＋mx 的图象如图，对称轴为直线 x＝2，若关于 x 的一元 二次方程－x2＋mx －t＝0(t 为实数)在 1<x<5 的范围内有解，则 t 的取值范围是 ____－__5_<_t_≤_4___．
华师大版九年级数学下册《26.3.4 用图象法解一元二次方程(不等式)》课件
知2－讲
知识点
2
利用二次函数的图像解一元二次不等式
1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次不等式的关系． (1)当y＞0时，ax2＋bx＋c＞0的解集就是抛物线y＝ax2＋ x轴上方的部分 所对应的x的取值范围； bx＋c在__________________ (2)当y＜0时，ax2＋bx＋c＜0的解集就是抛物线y＝ax2＋
知1－讲
知识点
1
利用二次函数的图象解一元二次方程
例1 利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3 ＝－8的近似解．(结果精确到0.1) 当y＝－x2＋2x－3的函数值为 导引： －8时，在其图象中对应点的
横坐标即为一元二次方程
－x2＋2x－3＝－8的解，如图.
知1－讲
在平面直角坐标系内作函数y＝－x2＋2x－3的图象， 解：
程的近似解．
知1－讲
例2 利用函数的图象，求方程x2＋2x－3＝0的近似解． (1)先把方程化成x2＝－2x＋3.如图：在同一直角坐标 解： 系中分别画出函数y＝x2和 y＝－2x＋3的图象，得到
它们的交点为(－3，9)和
(1，1)，则方程x2＋2x－3＝0 的解为x＝－3或x＝1.
知1－讲
总
结
C．－0.51
D．2.55
知1－练
4 根据下面表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0
(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是( A.3＜x＜3.23 C．3.24＜x＜3.25 x ax2＋bx＋c 3.23 －0.06 B．3.23＜x＜3.24 D．3.25＜x＜3.26 3.24 －0.02 3.25 0.03 3.26 0.09 )
x＜x1或x＞x2 ． ax2＋bx＋c＜0的解集是______________
华师版九年级数学下册课件-二次函数与一元二次方程不等式的关系
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第26章 二次函数
26.3 实践与探索
第2课时 二次函数与一元二次方程(不等 式)的关系
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式） 之间的联系.(难点） 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等 式的解集.（重点） 3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
y＞0，所有实数；y＜0， y＜0，所有实数；y＞0，
无解
无解
当堂练习
1.根据下列表格的对应值:
x
3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3C.23
m
当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总 有两个交点，且它们的横坐标都是整数．
所以正整数m的值为1或2.
变式：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2 与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)， B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
二次函数 y=ax2+bx+c的图象
与x轴交点
a＞0
有两个交点x1,x2 （x1＜x2）
y＜0，x1＜x＜x2. y＞0，x2＜x或x＜x2 .
a＜0
y＞0，x1＜x＜x2. y＜0，x2＜x或x＜x2.
有一个交点x0 没有交点
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第26章 二次函数
26.3 实践与探索
第2课时 二次函数与一元二次方程(不等 式)的关系
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式） 之间的联系.(难点） 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等 式的解集.（重点） 3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
y＞0，所有实数；y＜0， y＜0，所有实数；y＞0，
无解
无解
当堂练习
1.根据下列表格的对应值:
x
3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3C.23
m
当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总 有两个交点，且它们的横坐标都是整数．
所以正整数m的值为1或2.
变式：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2 与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)， B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
二次函数 y=ax2+bx+c的图象
与x轴交点
a＞0
有两个交点x1,x2 （x1＜x2）
y＜0，x1＜x＜x2. y＞0，x2＜x或x＜x2 .
a＜0
y＞0，x1＜x＜x2. y＜0，x2＜x或x＜x2.
有一个交点x0 没有交点