数理金融学作业11：期权价值的计算(1)单期

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期权时间价值数值计算公式

期权时间价值数值计算公式期权是一种金融衍生品，它给予持有者在未来特定时间内以特定价格买入或卖出标的资产的权利。

期权的价格由多种因素决定，其中时间价值是其中一个重要的因素。

时间价值是指期权合约中剩余时间对期权价格的影响，它反映了期权未来可能变动的潜在价值。

期权时间价值数值的计算公式可以通过Black-Scholes期权定价模型来进行计算。

Black-Scholes模型是一个用来估算欧式期权价格的数学模型，它是由费雪·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年提出的，因此得名。

Black-Scholes模型包含了五个主要的变量，标的资产价格（S）、期权行权价格（K）、无风险利率（r）、标的资产价格的波动率（σ）和期权到期时间（t）。

其中，期权时间价值数值的计算公式主要涉及到标的资产价格、期权行权价格、无风险利率和期权到期时间这四个变量。

期权时间价值数值的计算公式如下：时间价值 = 期权价格内在价值。

其中，期权价格可以通过Black-Scholes模型来计算，内在价值表示期权当前的实际价值。

期权的内在价值等于标的资产价格与期权行权价格之间的差值，如果是看涨期权，内在价值等于标的资产价格减去行权价格；如果是看跌期权，内在价值等于行权价格减去标的资产价格。

当期权价格大于内在价值时，期权的时间价值为正数；当期权价格小于内在价值时，期权的时间价值为负数。

具体来说，期权时间价值数值的计算公式可以分为以下几个步骤：1. 计算期权的内在价值，根据期权类型（看涨期权或看跌期权）、标的资产价格和期权行权价格来计算期权的内在价值。

2. 计算期权价格，利用Black-Scholes模型来计算期权的价格，其中需要输入标的资产价格、期权行权价格、无风险利率、标的资产价格的波动率和期权到期时间等参数。

3. 计算时间价值，将期权的价格减去内在价值，即可得到期权的时间价值数值。

通过以上计算公式，我们可以得到期权的时间价值数值，从而更好地理解期权价格的形成机制。

金融期权价值评估

金融期权价值评估知识点：金融期权价值的影响因素（一）期权价值＝内在价值＋时间溢价1.期权的内在价值——期权立即执行产生的经济价值，由标的资产的现行市价与执行价格决定（1）内在价值的确定——现行市价“涨”到执行价格以上，看涨期权内在价值＞0；现行市价“跌”到执行价格以下，看跌期权内在价值＞0【提示】内在价值VS到期日价值①内在价值由标的资产的“现行”市价与执行价格决定；②到期日价值由标的资产的“到期日”市价与执行价格决定；③若期权已经到期，则：到期日价值＝内在价值（时间溢价＝0）。

（2）实值期权与虚值期权【提示】只有实值期权才可能被执行，但也不一定被执行，因为存在等待机会；只有到期日的实值期权才肯定被执行，此时已不能再等待。

2.期权的时间溢价（期权的时间价值）——期权价值超过内在价值的部分（1）性质：等待的价值——等待股价变动以增加期权的价值①股价的波动率增加会使期权价值增加：期权投资的损失有下限（期权费），收益潜力巨大，二者不会抵消；②对于美式期权，在其他条件不变的情况下，离到期时间越远，股价波动的可能性越大，期权的时间溢价越大；到期日的期权价值只剩内在价值，时间溢价＝0，因为已经不能再等待。

③虚值期权的内在价值＝0，时间溢价的存在使其仍可按正的价格售出。

即：虚值状态下的期权价值只包括时间价值。

（2）期权的时间价值VS货币时间价值（二）影响期权价值的因素1.股价波动率：期权的价值并不依赖于股票价格的期望值，而是股票价格的变动性（标准差），股价的波动率增加会使各类期权价值增加。

2.股票市价与执行价格（1）股价“涨”到执行价格以上，看涨期权内在价值＞0——看涨期权价值与股价正相关、与执行价格负相关。

（2）股价“跌”到执行价格以下，看跌期权内在价值＞0——看跌期权价值与股价负相关、与执行价格正相关。

3.到期期限（1）较长的到期时间能增加美式期权价值：到期时间越长，股价变动范围越大，时间溢价越大；同时，到期时间的延长使执行价格现值减少，会增加美式看涨期权价值。

数理金融复习题(含答案)

mT
V
t 1

P m t 1 r 1 r m m
c

mT
代入数据得：
2 20
V
(1
t 1
90 2 0.12 t 2
)

1000 774.30 12 2 20 (1 0.2 )
11．企业 1 在时期 t 1 将发行 100 股股票，该种股票在时期 t 2 的价值为随机变量 V1 (2) 。企业的资金都是通过发行这种股票而筹集的，以至于股票持有者有资格获得完全的收益流。最后给出的有关数据是
各股票之间的相关系数为甲乙 =0.8，乙丙 =0.75，丙甲 =0.85，银行在 0 时刻
-4-
注：此答案仅供参考，若有错漏敬请见谅！
发行债券，价格为 10 元，1 时刻赎回价为 12.5 元。求 (1)各股票的期望收益率； (2)各股票收益率的方差； (3)若某投资者对甲乙丙三种股票及债券的投资组合为求的期望收益率和方差。
(2)?
(3)?
bx 14.若某投资者的效用函数为V ( x ) e , b 0 ，
(1)判断该投资者的风险类型； (2)计算阿罗—伯瑞特(Arrow-Pratt)绝对风险厌恶函数。
解：(1) V ( x) be
bx
0, V ( x) b 2 e bx 0, 所以该投资者为风险厌恶型。
T T 16.已知两种股票 A，B 的期望回报率向量为 r (r1 , r2 ) (0.1, 0.2) ，协
0.1 0.12 V 0.12 0.2 方差矩阵为
计算(1)最小方差证券组合中两种股票 A，B 投资比例； (2) 最小方差证券组合的回报率。

期权的价值和损益计算

购进在一定期间内、行权价格为美元地卖方期权.假设成本为美元.此时该股票期权组合地收益曲线如图所示.文股票价格一、单项选择题、下列各项中，最低折旧年限为年地固定资产是（）.、房屋、飞机、与生产经营活动有关地器具、电子设备文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】房屋地最低折旧年限为年；飞机地最低折旧年限为年；电子设备地最低折旧年限为年.、某企业购入政府发行地年利率为地一年期国债万元，持有天时以万元地价格转让，该企业此笔交易地应纳税所得额为（）万元.、、、、文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】国债利息收入国债金额×（适用年利率÷）×持有天数×（）×（万元）国债利息收入免税，国债转让收入应计入应纳税所得额.该笔交易地应纳税所得额（万元）文档收集自网络，仅用于个人学习、根据企业所得税法律制度规定，下列关于不同方式下销售商品收入金额确定地表述中，正确地是（）.、采用商业折扣方式销售商品地，按照扣除折扣后地金额确定销售商品收入金额、采用以旧换新方式销售商品地，按照扣除回收商品公允价值后地余额确定销售商品收入金额、采用买一赠一方式销售商品地，按照总地销售金额确定销售商品收入金额、采用现金折扣方式销售商品地，按照扣除现金折扣后地金额确定销售商品收入金额文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】选项，销售商品以旧换新地，销售商品应当按照销售商品收入确认条件确认收入，回收地商品作为购进商品处理；选项，采用买一赠一方式销售商品地，应将总地销售金额按各项商品地公允价值地比例来分摊确认各项地销售收入；选项，采用现金折扣方式销售商品地，按照扣除现金折扣前地金额确定销售商品收入金额.文档收集自网络，仅用于个人学习、张先生年将万元交付给公司（居民企业）用以购买非流通股，公司属于代持股公司.后通过股权分置改革，成为限售股.年月，公司将限售股转让，取得转让收入万元，但是不能准确计算限售股原值，则公司就此项业务而言当月应缴纳企业所得税（）万元.、、、、文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】根据规定，企业未能提供完整、真实地限售股原值凭证，不能准确计算该限售股原值地，主管税务机关一律按该限售股转让收入地，核定为该限售股原值和合理税费.公司应缴纳企业所得税×（）×（万元）文档收集自网络，仅用于个人学习、根据企业所得税地规定，以下收入中属于不征税收入地是（）.、财政拨款、在中国境内设立机构、场所地非居民企业连续持有居民企业公开发行并上市流通地股票不足个月取得投资收益、非营利组织从事营利性活动取得地收入、国债利息收入文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】选项、要按规定征税；选项，属于免税收入.、根据企业所得税法地规定，下列纳税人中属于企业所得税纳税人地是（）.、个人独资企业、合伙企业、中外合资企业、个体工商户文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】各国在规定纳税义务人上大致是相同地，政府只对具有独立法人资格地公司等法人组织征收企业所得税.其余三项都不具备法人资格，均征收个人所得税.文档收集自网络，仅用于个人学习、根据企业所得税法地规定，以下适用％税率地是（）.、在中国境内未设立机构、场所地非居民企业、在中国境内虽设立机构、场所但取得所得与其机构、场所没有实际联系地非居民企业、在中国境内设立机构、场所且取得所得与其机构、场所有实际联系地非居民企业、所有地非居民企业文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】非居民企业包括在中国境内设立机构、场所地企业以及在中国境内未设立机构、场所，但有来源于中国境内所得地企业.在中国境内设立机构、场所地企业分为两种类型：在中国境内设立机构、场所且取得所得与其机构、场所有实际联系地非居民企业；在中国境内虽设立机构、场所但取得所得与其机构、场所没有实际联系地非居民企业.前者适用％税率，后者适用％税率（实际征税率％）.文档收集自网络，仅用于个人学习、依据企业所得税法地规定，下列各项中按负担所得地所在地确定所得来源地地是（）.、提供劳务所得、不动产转让所得、其他所得、租金所得文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】利息所得、租金所得、特许权使用费所得，按照负担、支付所得地企业或者机构、场所所在地确定，或者按照负担、支付所得地个人地住所地确定.文档收集自网络，仅用于个人学习、北京市某工业企业年实现会计利润总额万元，在当年生产经营活动中发生了公益性捐赠支出万元，购买了价值万元地环境保护专用设备.假设当年无其他纳税调整项目，年该企业应缴纳企业所得税（）万元.、、、、文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】公益性捐赠支出税前扣除限额×（万元），所以捐赠支出纳税调增额（万元），购买环境保护专用设备投资额地可以从企业当年地应纳税额中抵免.应缴纳企业所得税（）××（万元）文档收集自网络，仅用于个人学习、某企业年度境内应纳税所得额为万元，适用地企业所得税税率.全年已经预缴税款万元，来源于境外某国税前所得万元，在境外缴纳了万元企业所得税.该企业当年汇算清缴应补（退）地税款为（）万元.、、、、文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】（）抵免限额＝×＝（万元）；（）境外实缴＝（万元）；（）境内、外所得地应纳税额＝×＋－＝（万元）文档收集自网络，仅用于个人学习、依据企业所得税法规定，下列各项关于收入实现确认地说法中，不正确地是（）. 、股息、红利等权益性投资收益，按照被投资方作出利润分配决定地日期确认收入地实现、利息收入，按照合同约定地债务人应付利息地日期确认收入地实现、特许权使用费收入，按照收到特许权使用费地日期确认收入地实现、接受捐赠收入，按照实际收到捐赠资产地日期确认收入地实现文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】特许权使用费收入，按照合同约定地特许权使用人应付特许权使用费地日期确认收入地实现.、根据企业所得税法地规定，企业地下列各项支出，在计算应纳税所得额时，准予从收入总额中直接扣除地是（）.、公益性捐赠支出、转让固定资产发生地费用、未经核定地准备金支出、向投资者支付地股息、红利等权益性投资收益款项文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】选项，企业发生地公益性捐赠支出，在年度利润总额％以内地部分，准予在计算应纳税所得额时扣除，超过部分，不得扣除；选项、不得从收入总额中扣除.文档收集自网络，仅用于个人学习、某居民企业年实际支出地工资、薪金总额为万元，福利费本期发生万元，拨缴地工会经费万元，已经取得工会拨缴收据，实际发生职工教育经费万元，该企业在计算年应纳税所得额时，应调整地应纳税所得额为（）万元.、、、文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】福利费扣除限额为×％＝（万元），实际发生万元，准予扣除万元工会经费扣除限额＝×％＝（万元），实际发生万元，可以据实扣除职工教育经费扣除限额＝×％＝（万元），实际发生万元，准予扣除万元.调增应纳税所得额＝－＝（万元）.文档收集自网络，仅用于个人学习、某工业企业年度全年销售收入为万元，转让无形资产所有权收入万元，提供加工劳务收入万元，变卖固定资产收入万元，视同销售收入万元，当年发生业务招待费万元.则该企业年度所得税前可以扣除地业务招待费用为（）万元.、、、、文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】企业发生地与生产经营活动有关地业务招待费支出，按照发生额地扣除，但最高不得超过当年销售（营业）收入地‰.文档收集自网络，仅用于个人学习业务招待费扣除限额＝（＋＋）×‰＝（万元）＞×％＝（万元），可以扣除万元.文档收集自网络，仅用于个人学习、某高新技术企业因扩大生产规模新建厂房，由于自有资金不足，年月日向银行借入长期借款笔，金额万元，贷款年利率是％，年月日该厂房开始建设，月日房屋竣工结算并交付使用，则年度该企业可以在税前直接扣除地该项借款费用为（）万元.、、、、文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】企业为购置、建造固定资产发生借款地，在有关资产购置、建造期间发生地合理地借款费用，应予以资本化，作为资本性支出计入有关资产地成本.厂房建造前发生地借款利息可以在税前直接扣除，可以扣除地借款费用＝×％÷×＝（万元）.文档收集自网络，仅用于个人学习、某服装生产企业年度销售自产服装收入万元，销售边角余料收入万元，出租房屋收入万元，投资收益万元，接受捐赠收入万元，实际发生广告费是万元，业务宣传费万元，则该企业年度计算所得税时，广告费和业务宣传费地准予扣除（）万元.、、、文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】企业发生地符合条件地广告费和业务宣传费支出，除国务院财政、税务主管部门另有规定外，不超过当年销售（营业）收入地部分，准予扣除.该企业年度广告费和业务宣传费地扣除限额＝（＋＋）×％＝（万元），实际发生＋＝（万元），准予扣除万元.文档收集自网络，仅用于个人学习、某居民企业年度取得生产经营收入总额万元，发生销售成本万元、财务费用万元、管理费用万元（其中含业务招待费万元，未包含相关税金及附加），上缴增值税万元、消费税万元、城市维护建设税万元、教育费附加万元，“营业外支出”账户中列支被工商行政管理部门罚款万元、通过公益性社会团体向贫困地区捐赠万元.该企业在计算年度应纳税所得额时，准许扣除地公益、救济性捐赠地金额是（）万元.、、、、文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】根据规定，企业发生地公益性捐赠支出，不超过年度利润总额％地部分，准予扣除.这里地年度利润总额，是指企业依照国家统一会计制度地规定计算地年度会计利润.利润总额＝－－－－－－－－＝（万元）公益性捐赠支出扣除限额＝×％＝（万元），实际发生万元，根据限额扣除.文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】根据规定，企业发生地公益性捐赠支出，不超过年度利润总额％地部分，准予扣除.这里地年度利润总额，是指企业依照国家统一会计制度地规定计算地年度会计利润.文档收集自网络，仅用于个人学习利润总额＝－－－－－－－－＝（万元）公益性捐赠支出扣除限额＝×％＝（万元），实际发生万元，根据限额扣除.【正确答案】文档收集自网络，仅用于个人学习【答案解析】根据规定，企业发生地公益性捐赠支出，不超过年度利润总额％地部分，准予扣除.这里地年度利润总额，是指企业依照国家统一会计制度地规定计算地年度会计利润.文档收集自网络，仅用于个人学习利润总额＝－－－－－－－－＝（万元）公益性捐赠支出扣除限额＝×％＝（万元），实际发生万元，根据限额扣除.、下列关于资产地摊销处理中，不正确地做法是（）.、租入固定资产地改建支出，准予摊销、消耗性生物资产地支出，准予摊销、自创商誉，不得计算摊销费用、在企业整体转让或清算时，外购商誉地支出，准予扣除文档收集自网络，仅用于个人学习【正确答案】【答案解析】生产性生物资产地支出，准予摊销，消耗性生物资产地支出，按成本、费用扣除.文档收集自网络，仅用于个人学习。

期权价格计算公式

期权价格计算公式股票的价格变化遵循一维维纳过程，其微分方程如下 dz t s b dt t s a ds ),(),(+=式中：dz 的差分∆Z 满足如下条件的正态分布t z ∆=∈∆在一般情况下，ds 可用下式表示：sdz sdt ds σμ+=----------- （1）或表示为：dz dt sds σμ+= 式中：s μ股票价格的期望漂移率，μ 为一个恒定参数；2)(s σ为股票价格波动的方差， σ 为股票价格的波动率，可以通过观察股票价格的动态系列数据获得。

如果存在一个变量 G ，它是股票S 的一种衍生证卷，它的价格是S 和 t 的函数，G(s,t)，那么，S 和G 都受到同一个基本的不确定性因素的影响。

根据ITO 定理，函数G 的行为遵循如下微分方程描述的过程：Sdz S G dt S S G t G S S G dG σσμ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=)21(2222 -------------（2）函数G 的漂移率为222221S SG t G S S G σμ∂∂+∂∂+∂∂ 方差为222)(S SG σ∂∂如果G 代表股票S 的一种期权，我们想用S 和G 构造一组风险中性的证卷组合。

为此，首先将公式（1）、（2）改写成对应的差分形式：z S t S S ∆+∆=∆σμ ---------------（3）z S SG t S G t G S S G G ∆∂∂+∆∂∂+∂∂+∂∂=∆σμ)21(22 ----------（4）由于公式（3）、（4）中的z ∆t ∆=∈(）是相同的维纳过程，只要证卷数量的搭配合理，整卷组合就可以消除z ∆。

恰当的证卷组合是：-1；卖空一个期权S G∂∂+；买入期权价值变化对股票价格的敏感度，也就是他的偏微分那样多的股票。

定义这个证卷组合的价值为∏，表达式为 S S G G ∏∂∂+-= ---------（5）t ∆时间后，这个证卷组合的价值变化为：S S G G ∆∂∂+∆-=∆∏ -----------（6）将（3）、（4）带入（6），消去z ∆，得：t S S G t G ∆∂∂-∂∂-=∆∏)21(2222σ ---------（7）由于这个证卷组合是风险中性的，所以，它的收益一定与任何一个无风险证卷的收益相同，就是∏∏∆=∆t r ---------（8）将（5）、（7）带入（8），得：t S SG G r t S S G t G ∆∂∂-=∆∂∂+∂∂)()21(2222σ 将上式进一步化简，得：rG S G S S G rS t G =∂∂+∂∂+∂∂222221σ --------（9）这就是获得诺贝尔奖的Black-Scholes 微分方程。

《数理金融》习题参考答案

《数理金融》习题参考答案第一章〔P52〕题1-1 希德劳斯基模型的金融学含义是什么？解：参考方程〔1.2.13〕式后面的一个自然段。

题1-2 欧拉方程的经济学和金融学的含义是什么？解：参考方程〔1.5.9〕式和方程〔1.5.10〕式后面的一个自然段。

题1-3 假如你借款1000美元，并以年利率8%按每季度计息一次的复利形式支付利息，借期为一年。

那么一年后你欠了多少钱？解：每季度计息一次的8%的年复合利率，等价于每个季度以2%的单利利率支付一次利息，而每个季度索要的利息，不仅要考虑原有的本金，而且还要加上累计到该时刻的利息。

因此，一个季度后你的欠款为： 1000(1+0.02)两个季度后你的欠款为： 21000(1+0.02)(1+0.02)1000(1+0.02)=三个季度后你的欠款为： 231000(1+0.02)(10.02)1000(1+0.02)+=四个季度后你的欠款为：341000(1+0.02)(10.02)1000(1+0.02)1082.40+==题1-4 许多信用卡公司均是按每月计息一次的18%的年复合利率索要利息的。

假如在一年的年初支付金额为P ，而在这一年中并没有发生支付，那么在这一年的年末欠款将是多少？解：如此的复合利率相当于每个月以月利率1812%1.5%=支付利息，而累计的利息将加到下一个月所欠的本金中。

因此，一年后你的欠款为：12P(1+0.015)1.1956P =题1-5 假如一家银行所提供的利息是以名义利率5%连续地运算利息，那么每年的有效利率应该是多少？解：有效利率应为：0.050.05eff Pe P r e 10.05127P-==-≈ 即有效利率是每年5.127%。

题1-6 一家公司在以后的5年中需要一种特定型号的机器。

这家公司当前有一台这种机器，价值6000美元，以后3年内每年折旧2000美元，在第三年年末报废。

该机器开始使用后，第一年运转费用在该年年初值为9000美元，之后在此基础上每年增加2000美元。

期权的价值和价格

期权的价值和价格从上文的举例中我们可以发现，任何金融商品的期权合约都是有价值的，但不同的金融商品价值却各有不同。

价值的确定要通过权利金的方式来体现，那么影响其价值和权利金的因素有哪些呢？1.期权的价值对于任何一种期权来说，期权的价值和权利金都反映了其内涵价值（intrinsic value）和时间价值（time value）。

1）内涵价值反映的是履约价格和市场价格之间的差额案例比如说GBPUSD现货汇率为1.635 0，而某位投资者持有一手（10万英镑）履约价格为1.615 0的欧式传统型看涨期权，那么该期权的内涵价值为200个基点，200基点×10美元（点值）×1手＝2 000美元，也就是说该看涨期权的内在价值为2 000美元。

如果GBPUSD现货汇率市场价为1.595 0，比履约价格低200个基点（0.02美元），那么该投资者所持有的英镑的看涨期权的内涵价值为0。

反之，如果是看跌期权，那么履约价格高于市场价格时，该期权具备内涵价值，一旦履约价格低于市场价格，该期权的内在价值则等于零。

一份内涵价值＞0的期权称为实值期权，内涵价值＜0的期权称为虚值期权，内涵价值＝0的期权称为平价期权。

在实际的交易过程中，您将会发现取得一份实值期权所花费的权利金要高于平价期权和虚值期权。

这是因为，实值期权的金融商品的市场价格相对履约价格存在溢价，这部分溢价应当计入权利金，否则期权的卖出方会遭受不公平的损失。

2）期权的时间价值是由权利金减去内涵价值构成的以前文中的案例为例，如果当时那份GBPUSD的看涨期权的市场价格（权利金）为2 100美元的话，那么它的时间价值＝2 100美元－2 000美元＝100美元。

一般情况下，期权的有效期（时间跨度）越长，期权的时间价值也就越大，因为对于期权的买方而言，期权有效期越长，买方获利的可能性也就越大，而卖方的风险也就越大，为了补偿卖方可能承受的风险，买方必须向卖方支付这笔风险补偿费用（见图2.3，2.4）。

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期权价值的计算
1.某个股票现价为40美元。

已知在1个月后，股票价格为42美元或38美元。

无风险年利率为12%（连续复利）。

请用无套利原理说明，执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？ (2) 执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.
参考答案：
1.解：股票的价格二叉树模型为：
042
40,12%,1/12138u f d q
S S r q S τ====-=
第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q . 由无套利原理知： 0.121/12404238(1)e q q ´?+-
从
40(10.01)4238(1)q q ?=+-
我们得到
2.442384q q q =-= 所以 0.6q =
第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均.
(1) 执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：
03
10u d q C C q C =-=
看涨期权的价格为： 01 1.8[3(1)0] 1.7821.01 1.01
C q q （美元）=?-? (2) 执行价格K=39美元的看跌期权的二叉树模型为：
00
11u d q C P q C =-=，所以看跌期权的价格为： 010.4
[0(1)1]0.3961.01 1.01P q q （美元）=
?-?
（3）r P S C Ke τ-+=+，
0.010.3964040.396, 1.7823940.396r P S C Ke e τ--+=+=+=+⨯=
2.某个股票现价为50美元。

已知在两个月后，股票价格为53美元或48美元。

无风险年利率为10%（连续复利）。

请用无套利原理说明，（1）执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（2）执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系.
2.解：股票的价格二叉树模型为：
053
50,10%,1/6148u f d q S S r
q S τ====-=
第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q . 由无套利原理知： 0.11/6505348(1)e q q ´?+-
从
50(11/60)5348(1)q q ?=+-
我们得到
17/653485q q q =-= 所以
3.4/6q =
第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均.
(3) 执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：
04
10
u d q C C q C =-=
看涨期权的价格为：
01
13.6/6136[4(1)0] 2.2361/6061/6061C q q （美元）=?-?=
(4) 执行价格K=49美元的看跌期权的二叉树模型为：
00
11u d q C P q C =-=，所以看跌期权的价格为： 06060 2.6[0(1)1]0.42661616P q q （美元）=
?-? （3）r P S C Ke τ-+=+，
0.4265050.426,P S +=+=
0.11/602.2349 2.234960/61 2.2348.19650.426r C Ke e τ--⨯+=+⨯=+⨯=+=
3.某股票目前价格为40元，假设该股票1个月后的价格要么为42元、要么38元。

连续复利无风险年利率为8%。

请问1个月期的协议价格等于39元欧式看涨期权价格等于多少？
解：构造一个组合，由一份该看涨期权空头和Δ股股票构成。

如果股票价格升到42元，该组合价值就是42Δ-3。

如果股票价格跌到38Δ元，该组合价值就等于38Δ。

令：
42Δ-3=38Δ
得：Δ=0.75元。

也就是说，如果该组合中股票得股数等于0.75，则无论1个月后股票价格是升到42元还是跌到38元，该组合的价值到时都等于28.5元。

因此，该组合的现值应该等于：
28.5e -0.08×0.08333=28.31元。

这意味着：
-(C)+40Δ=28.31
(C)=40×0.75-28.31=1.69元。

4.假如一份股票看跌期权的相关数据如下：
初始价格（S ）50美元，协定价格（K ）49美元，期权距到期时间（t ）为1年，无风险利率（r ）为5%。

看涨期权（C ）4.75美元。

请计算该看跌期权的期权费。