高三数学文科立体几何
高中数学文科立体几何大题复习
高中数学文科立体几何大题复习文科立体几何大题复习一．解答题（共12小题）1．如图1，在正方形ABCD中，点，E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示．（1）求证：GR⊥平面PEF；（2）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．3．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．（1）求证：AD⊥PB；（2）已知点M是线段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求实数λ的值．4．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．5．如图所示，△ABC所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，且AB⊥BC，AB=BC=2，∠BCD=60°，点M为BE的中点，点N在线段AC上．（Ⅰ）若=λ，且DN⊥AC，求λ的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥B﹣DMN的体积．6．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，且侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC=60°．（Ⅰ）求证：AB1⊥BC；（Ⅱ）若AB⊥AC，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为2，求AB的长．7．如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1﹣ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE．（1）证明：BE⊥平面D1AE；（2）设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．8．如图，已知多面体ABCDEF中，△ABD、△ADE均为正三角形，平面ADE⊥平面ABCD，AB∥CD∥EF，AD：EF：CD=2：3：4．（Ⅰ）求证：BD⊥平面BFC；（Ⅱ）若AD=2，求该多面体的体积．9．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为边长为的正方形，PA⊥BD．（Ⅰ）求证：PB=PD；（Ⅱ）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求三棱锥的D﹣ACE体积．10．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．11．如图，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，AF=ED=1．（Ⅰ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值；（Ⅱ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．12．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面BCP，CD∥AB，AB=BC=CP=BP=2，CD=1．（1）求点B到平面DCP的距离；（2）点M为线段AB上一点（含端点），设直线MP与平面DCP 所成角为α，求sinα的取值范围．文科立体几何大题复习参考答案与试题解析一．解答题（共12小题）1．如图1，在正方形ABCD 中，点，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，BD 与EF 交于点H ，点G ，R 分别在线段DH ，HB 上，且．将△AED ，△CFD ，△BEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使点A ，B ，C 重合于点P ，如图2所示．（1）求证：GR ⊥平面PEF ；（2）若正方形ABCD 的边长为4，求三棱锥P ﹣DEF 的内切球的半径．【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 均为直角，∴在三棱锥P ﹣DEF 中，PE ，PF ，PD 三条线段两两垂直，∴PD ⊥平面PEF ，∵=，即，∴在△PDH 中，RG ∥PD ，∴GR ⊥平面PEF ．解：（Ⅱ）正方形ABCD 边长为4，由题意PE=PF=2，PD=4，EF=2，DF=2，∴S △PEF =2，S △PFD =S △DPE =4，=6，设三棱锥P ﹣DEF 的内切球半径为r ，则三棱锥的体积：=，解得r=，∴三棱锥P﹣DEF的内切球的半径为．2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．而AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EA C∩平面PBD=OE，∴PD∥OE，∵O是BD中点，∴E是PB中点．取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BH⊥平面PAD，．∴==．3．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．（1）求证：AD⊥PB；（2）已知点M是线段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求实数λ的值．【解答】证明：（1）如图，连结BD，由题意知四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴△ABD为正三角形，又∵AQ=QD，∴Q为AD的中点，∴AD⊥BQ，∵△PAD是正三角形，Q为AD中点，∴AD⊥PQ，又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵PB?平面PQB，∴AD⊥PB．解：（2）连结AC，交BQ于N，连结MN，∵AQ∥BC，∴，∵PN∥平面MQB，PA?平面PAC，平面MQB∩平面PAC=MN，∴根据线面平行的性质定理得MN∥PA，∴，综上，得，∴MC=2PM，∵MC=λPM，∴实数λ的值为2．4．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．【解答】解：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥面SBD，所以AC⊥SD．（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则SD⊥OP，设正方形ABCD的边长为a，则SD=，OD=，则OD2=PD?SD，可得PD==，故可在SP上取一点N，使PN=PD，过N作PC的平行线与SC的交点即为E，连BN．在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，故平面BEN∥面PAC，得BE∥面PAC，由于SN：NP=2：1，故SE：EC=2：1．5．如图所示，△ABC所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，且AB⊥BC，AB=BC=2，∠BCD=60°，点M为BE的中点，点N在线段AC上．（Ⅰ）若=λ，且DN⊥AC，求λ的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥B﹣DMN的体积．【解答】解：（Ⅰ）取BC的中点O，连接ON，OD，∵四边形BCDE为菱形，∠BCD=60°，∴DO⊥BC，∵△ABC所在的平面与菱形BCDE所在平面垂直，∴DO⊥平面ABC，∵AC?平面ABC，∴DO⊥AC，又DN⊥AC，且DN∩DO=D，∴AC⊥平面DON，∵ON?平面DON，∴ON⊥AC，由O为BC的中点，AB=BC，可得，∴，即λ=3；（Ⅱ）由平面ABC⊥平面BCDE，AB⊥BC，可得AB⊥平面BCDE，由，可得点N到平面BCDE的距离为，由菱形BCDE中，∠BCD=60°，点M为BE的中点，可得DM⊥BE，且，∴△BDM的面积，∴三棱锥N﹣BDM的体积．=V B﹣DMN，又V N﹣BDM∴三棱锥B﹣DMN的体积为．6．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，且侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC=60°．（Ⅰ）求证：AB1⊥BC；（Ⅱ）若AB⊥AC，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为2，求AB的长．【解答】解：（I）取BC中点M，连结AM，B1M，∵AB=AC，M是BC的中点，∴AM⊥BC，∵侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC=60°，∴B1M⊥BC，又AM?平面AB1M，B1M?平面AB1M，AM∩B1M=M，∴BC⊥平面AB1M，∵AB1?平面AB1M，∴BC⊥AB1．（II）设AB=x，则AC=x，BC=x，∵M是BC的中点，∴AM=，BB1=，B1M=，又∵AB1=BB1，∴AB1=，∴AB12=B1M2+AM2，∴B1M⊥AM．由（I）知B1M⊥BC，AM?平面ABC，BC?平面ABC，AM∩BC=M，∴B1M⊥平面ABC，∴V==，∴x=2，即AB=2．7．如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1﹣ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE．（1）证明：BE⊥平面D1AE；（2）设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：连接BE，∵ABCD为矩形且AD=DE=EC=2，∴AE=BE=2，AB=4，∴AE2+BE2=AB2，∴BE⊥AE，又D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE=AE，∴BE⊥平面D1AE．（2）=．取D1E中点N，连接AN，FN，∵FN∥EC，EC∥AB，∴FN∥AB，且FN==AB，∴M，F，N，A共面，若MF∥平面AD1E，则MF∥AN．∴AMFN为平行四边形，∴AM=FN=．∴=．8．如图，已知多面体ABCDEF中，△ABD、△ADE均为正三角形，平面ADE⊥平面ABCD，AB∥CD∥EF，AD：EF：CD=2：3：4．（Ⅰ）求证：BD⊥平面BFC；（Ⅱ）若AD=2，求该多面体的体积．【解答】解：（Ⅰ）因为AB∥CD，所以∠ADC=120°，△ABD为正三角形，所以∠BDC=60°．设AD=a，因为AD：CD=2：4=1：2，所以CD=2a，在△BDC中，由余弦定理，得，所以BD2+BC2=CD2，所以BD⊥BC．取AD的中点O，连接EO，因为△ADE为正三角形，所以EO⊥AD，因为平面ADE⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD．取BC的中点G，连接FG，OG，则，且EF∥OG，所以四边形OEFG为平行四边形，所以FG∥EO，所以FG⊥平面ABCD，所以FG⊥BD．因为FG∩BC=G，所以BD⊥平面BFC．（Ⅱ）过G作直线MN∥AD，延长AB与MN交于点M，MN与CD交于点N，连接FM，FN．因为G为BC的中点，所以MG=OA且MG∥OA，所以四边形AOGM为平行四边形，所以AM=OG．同理DN=OG，所以AM=OG=DN=EF=3．又AB∥CD，所以AM∥DN，所以AM∥DN∥EF，所以多面体MNF﹣ADE为三棱柱．过M作MH⊥AD于H点，因为平面ADE⊥平面ABCD，所以MH⊥平面ADE，所以线段MH的长即三棱柱MNF﹣ADE的高，在△AMH中，，所以三棱柱MNF﹣ADE的体积为．因为三棱锥F﹣BMG与F﹣CNG的体积相等，所以所求多面体的体积为．9．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为边长为的正方形，PA⊥BD．（Ⅰ）求证：PB=PD；（Ⅱ）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求三棱锥的D﹣ACE体积．【解答】解：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD且O为BD的中点．又PA⊥BD，PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，又PO?平面PAC，∴BD⊥PO．又BO=DO，∴Rt△PBO∽Rt△PDO，∴PB=PD．（Ⅱ）取PD的中点Q，连接AQ，EQ，则EQ CD，又AF，∴AFEQ为平行四边形，EF∥AQ，∵EF⊥平面PCD，∴AQ⊥平面PCD，∵PD?平面PCD，∴AQ⊥PD，∵Q是PD的中点，∴AP=AD=．∵AQ⊥平面PCD，CD?平面PCD，∴AQ⊥CD，又AD⊥CD，又AQ∩AD=A，∴CD⊥平面PAD∴CD⊥PA，又BD⊥PA，CD∩BD=D，∴PA⊥平面ABCD．故三棱锥D﹣ACE的体积为．10．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴AC⊥BE，则AC⊥平面BED，∵AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED；解：（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，得AG=GC=x，GB=GD=，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BG，则△EBG为直角三角形，∴EG=AC=AG=x，则BE==x，∵三棱锥E﹣ACD的体积V===，解得x=2，即AB=2，∵∠ABC=120°，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosABC=4+4﹣2×=12，即AC=，在三个直角三角形EBA，EBG，EBC中，斜边AE=EC=ED，∵AE⊥EC，∴△EAC为等腰三角形，则AE2+EC2=AC2=12，即2AE2=12，∴AE2=6，则AE=，∴从而得AE=EC=ED=，∴△EAC的面积S==3，在等腰三角形EAD中，过E作EF⊥AD于F，则AE=，AF==，则EF=，∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S==，故该三棱锥的侧面积为3+2．11．如图，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，AF=ED=1．（Ⅰ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值；（Ⅱ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连结OE，由AC⊥OD，AC⊥DE，OD∩DE=D，得AC⊥OE，∴二面角E﹣AC﹣D的平面角为∠EOD，∵AF=ED=1，∴tan∠EOD=，∴二面角E﹣AC﹣D的正切值为．（Ⅱ）时，AM∥平面BEF，理由如下：作MN∥E D，则，∵AF∥DE，DE=3AF，∴，∴AMNF是平行四边形，∴AM∥FN，∵AM?平面BEF，FN?平面BEF，∴AM∥平面BEF．。
高三文科数学(立体几何).
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类型二 与直观图有关的计算问题
要熟悉运用斜二测画法画水平放置 的直观图的基本规则，注意直观图中 的线段、角、面积与原图中的对应 线段、角、面积的关系，如：
类型一 “长对正，高平齐，宽相等”规则的应用
1.画几何体的三视图的要求是： 正视图与俯视图长对正； 正视图与侧视图高平齐； 侧视图与俯视图宽相等.
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2.三视图的安排规则是： 正视图与侧视图分别在左、右两边， 俯视图画在正视图
图的面积 S 与原平面图形的面积S之间 的关系是 S 2 S.
4
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1、空间几何体的结构
（1）多面体的定义
（2）棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、 球的结构特征
（3）正多面体的结构特征
2、三视图和直观图
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高中文科数学立体几何知识点(大题)
高考立体几何中直线、平面之间的位置关系知识点总结（文科）一．平行问题 （一） 线线平行：方法一：常用初中方法（1中位线定理；2平行四边形定理；3三角形中对应边成比例；4同位角、内错角、同旁内角） 方法二：1线面平行⇒线线平行m l m l l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法三：2面面平行⇒线线平行m l m l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法四：3线面垂直 ⇒线线平行若αα⊥⊥m l ,，则m l //。
（二） 线面平行：方法一：4线线平行⇒线面平行ααα////l l m m l ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：5面面平行⇒线面平行 αββα////l l ⇒⎭⎬⎫⊂ （三） 面面平行：6方法一：线线平行⇒面面平行βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交m l m l m m l l 方法二：7线面平行⇒面面平行βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂A m l m l m l ，方法三：8线面垂直⇒面面平行 βαβα面面面面//⇒⎭⎬⎫⊥⊥l ll二．垂直问题：（一）线线垂直方法一：常用初中的方法（1勾股定理的逆定理；2三线合一 ；3直径所对的圆周角为直角；4菱形的对角线互相垂直。
） 方法二：9线面垂直⇒线线垂直 m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα （二）线面垂直：10方法一：线线垂直⇒线面垂直αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二：11面面垂直⇒线面垂直αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,（面） 面面垂直：方法一：12线面垂直⇒面面垂直 βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l 三、夹角问题：异面直线所成的角：(一) 范围：]90,0(︒︒(二)求法：方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(计算结果可能是其补角)线面角：直线PA 与平面α所成角为θ,如下图求法：就是放到三角形中解三角形四、距离问题：点到面的距离求法1、直接求，2、等体积法（换顶点）1、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．2、设 a b ，是两条不同的直线， αβ，是两个不同的平面，则（ ） A ．若a α∥，b α∥，则a b ∥ B ．若a α∥，αβ∥，则αβ∥C.若a b ∥，a α⊥，则b α⊥ D ．若a α∥，αβ⊥，则a β⊥3、如图是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．4、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．5B ．163C ．7D ．1735、某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．73B ．83π-C ．83D ．73π- 6、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图是7、某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为A．223B．43C．2D．48、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）23（B）43（C）2（D）831、（2017新课标Ⅰ文数）（12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积.2、（2017新课标Ⅱ文）（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,1,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=︒（1）证明：直线BC ∥平面PAD ;（2）若△PCD 的面积为27，求四棱锥P ABCD -的体积.3、（2017新课标Ⅲ文数）（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD =CD ．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．4、（2017北京文）（本小题14分）如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；（Ⅲ）当PA∥平面BD E时，求三棱锥E–BCD的体积．5、（2017山东文）（本小题满分12分）由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E 平面ABCD.A O∥平面B1CD1;（Ⅰ）证明：1（Ⅱ）设M是OD的中点,证明：平面A1EM 平面B1CD1.6、（2017江苏）（本小题满分14分）如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD 上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．。
高考文科数学立体几何题型与方法(文科)
高考文科数学立体几何题型与方法〔文科〕一、考点回顾 1．平面〔1〕平面的基本性质：掌握三个公理与推论,会说明共点、共线、共面问题。
〔2〕证明点共线的问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点〔依据：由点在线上,线在面内,推出点在面内〕,这样,可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。
〔3〕证明共点问题,一般是先证明两条直线交于一点,再证明这点在第三条直线上,而这一点是两个平面的公共点,这第三条直线是这两个平面的交线。
〔4〕证共面问题一般用落入法或重合法。
〔5〕经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 2. 空间直线.〔1〕空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内。
〔2〕异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.〔不在任何一个平面内的两条直线〕〔3〕平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.〔4〕等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,则这两个角相等推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,则这两组直线所成锐角〔或直角〕相等.〔5〕两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交〔共面〕垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线,则过21,l l 外一点P ,过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有,但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. 〔l 1或l 2在这个做出的平面内不能叫l 1与l 2平行的平面〕3. 直线与平面平行、直线与平面垂直.〔1〕空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.〔2〕直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,则这条直线和这个平面平行.〔"线线平行,线面平行"〕〔3〕直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,则这条直线和交线平行.〔"线面平行,线线平行"〕〔4〕直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直,过一点有且只有一条直线和一个平面垂直,过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.PO A a4 若PA⊥α,a⊥AO,得a⊥PO〔三垂线定理〕,得不出α⊥PO. 因为a⊥PO,但PO不垂直OA.5 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则这两条直线垂直于这个平面.〔"线线垂直,线面垂直"〕直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面,则这两条直线平行.〔5〕a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,①射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.〔×〕]b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,则这点在平面内的射影在这个角的平分线上。
高考文数立体几何知识点
高考文数立体几何知识点在高考数学科目中，立体几何是一个相对较难的部分，也是很多学生容易忽视或掌握不牢固的内容之一。
本文旨在对进行详细的论述，帮助学生建立起对这一部分知识的全面理解和应用能力。
立体几何是研究三维空间中的图形，包括空间中的点、线、面以及体的性质和相互关系。
在高考中，主要涉及到的内容包括立体的表面积、体积等。
一、立体的表面积立体的表面积是指立体图形的外表面的总面积。
常见要求计算的立体包括长方体、正方体、棱锥、棱台等。
这里我们以长方体为例进行论述。
长方体的表面积计算公式为：S = 2(ab + bc + ac)，其中a、b、c分别为长方体的长、宽和高。
需要注意的是，只有四个侧面的面积相等，而上、下底面的面积可能与其它侧面面积不同，所以在计算时要特别注意。
同时，对于立方体来说，因为它的长、宽、高都相等，所以表面积的计算公式可以简化为S = 6a^2。
在解题过程中，也经常会出现需要计算部分表面积的情况。
例如，需要计算一个长方体上某个面的面积，或者通过已知的面积求解某个长方体的长度。
这些题目需要对长方体的各个面进行拆解，然后根据对应的公式计算得出结果。
二、立体的体积立体的体积是指立体图形中所包含的空间的大小。
同样以长方体为例进行论述。
长方体的体积计算公式为：V = abc，其中a、b、c分别为长方体的长、宽和高。
需要注意的是，体积的计算结果是一个有单位的数值。
在计算时，一般先将给定的数据代入公式中，然后进行运算求解。
在实际问题中，有时需要计算立方体的增长或减少量。
例如，长方体的体积增加了多少倍，或者体积减少了多少百分比。
这些题目一般是通过计算两个长方体之间体积的差异来解决的。
除了长方体外，圆柱、圆锥以及球体等也是常见的立体几何形状。
它们的体积计算公式分别为：圆柱V = πr^2h，圆锥V = 1/3πr^2h，球体V = 4/3πr^3。
其中，r表示半径，h表示高。
这些公式是在考试中必须要掌握的。
高考文科数学立体几何复习知识点
高考文科数学立体几何复习知识点高考文科数学立体几何复习知识点在我们的学习时代，相信大家一定都接触过知识点吧!知识点就是一些常考的内容，或者考试经常出题的地方。
哪些知识点能够真正帮助到我们呢?以下是小编为大家收集的高考文科数学立体几何复习知识点，仅供参考，欢迎大家阅读。
高考文科数学立体几何复习知识点1：棱柱定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
高考文科数学立体几何复习知识点2：棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
高考文科数学立体几何复习知识点3：棱台定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点高考文科数学立体几何复习知识点4：圆柱定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
高考文科数学立体几何复习知识点5：圆锥定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。
(完整)高中文科数学立体几何部分整理.doc
立体几何高中文科数学立体几何部分整理第一章 空间几何体（一）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。
平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；正视图 ——光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；侧视图 ——光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；正视图 ——光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：（ 1）俯视图画在正视图的下方， “长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边， “高度”与正视图相等， “宽度”与俯视图。
（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽” .（ 2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。
3.直观图：3.1 直观图 ——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。
直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
3.2 斜二测法：step1：在已知图形中取互相垂直的轴 Ox 、 Oy ，（即取 xoy 90）；step2：画直观图时，把它画成对应的轴 o ' x ',o ' y' ，取 x ' o ' y' 45 (or 135 ) ，它们确定的平面表示水平平面；step3：在坐标系 x ' o ' y ' 中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于 x 轴（或在 x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在 y 轴上）的线段长度减半。
结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的2倍 .4解决两种常见的题型时应注意： （ 1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.（ 2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。
【例题点击】将正三棱柱截去三个角（如图1 所示 A ，B ， C 分别是 △GHI 三边的中点）得到几何体如图 2，则该几何体按图 2 所示方向的侧视图（或称左视图）为（）HA G ABBB侧视BBBCCIEDEDEEEEF F A ．B ．C ．D ．图 1图 2第 1页立体几何解：在图 2 的右边放扇墙 (心中有墙 ), 可得答案 A（二）立体几何1.棱柱1.1 棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
高中文科数学立体几何知识点总结[1]
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立体几何知识点整理（文科）一．直线和平面的三种位置关系：1。
线面平行l符号表示：2。
线面相交符号表示：3。
线在面内符号表示:二．平行关系：1.线线平行：方法一:用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现.mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
方法四：用向量方法:若向量和向量共线且l、m不重合，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现.αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三:用平面法向量实现。
若n为平面α的一个法向量，ln⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmlll方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交m l m l三．垂直关系： 1。
线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l ACl ,方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2。
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第三讲 立体几何（文）
一、 知识网络
二、基础练习：
1、下列命题中正确的是（ ）
Ａ．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 Ｂ．棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面
Ｃ．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 Ｄ．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
2、若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为 。
3、.已知正三角形ABC 的边长为a,那么△ABC 的平面直观图△C B A '''的面积为( )
A.
4
3a 2
B.
8
3a 2
C.
8
6a 2
D.
16
6a 2 4、 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得该几何体的表面积是（ ） A 、9π B 、10π C 、11π D 、12π
直线、
平面、
简单几何体三个公理、三个推论
平面
平行直线
异面直线
相交直线 公理4及等角定理 异面直线所成的角
异面直线间的距离
直线在平面内 直线与平面平直线与平面相空间两条直
概念、判定与性质 三垂线定理 垂斜直线与平面所成的角
空间直线 与平面
空间两个平面
棱柱 棱锥 球
两个平面平行
两个平面相
交 距离
两个平面平行的判定与性质 两个平面垂直的判定与性质
二面角
定义及有关概念
性质 综合应用
多面体
面积公式 体积公式 正多面体
5、如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为( )
A ．43
B ．4
C ．23
D ．2
6、下列命题中错误的是( )
A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面
D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
7、给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 ( )
A ．①和②
B ．②和③
C ．③和④
D ．②和④
8、设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥
9、已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为（ ）
（A ）
1010 (B) 1
5
(C) 31010 (D) 3
5
A B
C D
E F
H
三、典型例题例1：如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，
BF=FC,H 为BC 的中点，
(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB;
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB; （Ⅲ）求四面体B —DEF 的体积；
例2：如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥
（Ⅰ）证明：平面1AB C ⊥平面11A BC ；
（Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//A B 平面1B CD ，求11:A D DC 的值.
例3、 如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1
例4、如图，在平行四边形ABCD 中，AB=2BC ，∠ABC=120,E 为线段AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A ’DE ，使平面A ’DE ⊥平面BCD ，F 为线段A ’C 的中点。
（Ⅰ）求证：BF ∥平面A ’DE ；
（Ⅱ）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A ’DE 所成角的余弦值。
例5：如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA 1 =1．D 是棱CC 1上的一P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点，且PB 1∥平面BDA ． （I ）求证：CD=C 1D ：
（II ）求二面角A-A 1D-B 的平面角的余弦值； （Ⅲ）求点C 到平面B 1DP 的距离．
例6： 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，点E 是棱PB 的中点.
（Ⅰ）证明：AE ⊥平面PBC ；
（Ⅱ）若1AD =，求二面角B EC D --的平面角的余弦值.
四、巩固练习：
1、4、已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥
O ABCD -的体积为 。
2、某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
A ．
283π-
B ．
83π
-
C ．82π-
D ．23π
3、如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900。
(1)求证：PC ⊥BC ；
(2)求点A 到平面PBC 的距离。
4、 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.
（I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；
（II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比.
A
C
B A 1
B 1
C 1
D E
5、如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB⊥AC,D、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE⊥平面BCC 1
（Ⅰ）证明：AB=AC
（Ⅱ）设二面角A-BD-C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小
6、 如图，在四面体ABOC 中，OC ⊥OA 。
OC ⊥OB ，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1 （Ⅰ）设P 为AC 的中点，Q 在AB 上且AB=3AQ ，证明：PQ ⊥OA ； （Ⅱ）求二面角O-AC-B 的平面角的余弦值。