浙江省宁波市效实中学2020届高三下学期6月高考模拟数学试题(含解析)

2020年6月效实中学高考模拟测试解析1．已知全集{}260,A x x x x R =+-≥∈，{}15,B x x x R =<≤∈，则()RA B ⋂=（ ）A ．(]3,5-B ．()1,2C ．[]3,5-D ．(]1,22．在等差数列中{}n a 中，n S 为其前n 项和，若26727a a a ++=，则9S 的值为（ ） A ．36B ．45C ．72D ．813．下列说法正确的是（ ）A ．椭圆22148x y +=的长轴长是4B ．抛物线22y x =的焦坐标是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．“若0x y +>，则0x >且0y >”的否命题是真命题D ．已知x R ∈，y R ∈，则“2x <且2y <”是“4x y x y ++-<”的必要不充分条件4．把函数cos y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），然后向左平移4π个单位长度，得到函数()y g x =，则函数()y g x =的图象与直线12y =在50,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的交点个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．盒中有5个小球，其中3个白球，2个黑球，从中任取i ()1,2i =个球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此时盒中黑球的个数记为i X ()1,2i =，则（ ） A ．()()1222P X P X =>=，()()12E X E X > B ．()()1222P X P X =<=，()()12E X E X > C ．()()1222P X P X =>=，()()12E X E X <D ．()()1222P X P X =<=，()()12E X E X <6．若1x =-为函数()x f x e 的一个极值点，则下列图象一定不可能为函数()f x 的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．记{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，已知向量a ，b ，c 满足1a =，2b =，且1a b ⋅=.若c a bλμ=+(),0,21λμλμ≥+=，则当{}min ,a c b c ⋅⋅取最大值时，c =（ ）A．2B ．1CD ．28．设不等式组()221x y y k x ⎧+≤⎪⎨+≤+⎪⎩所表示的区域为D ，其面积为S ，下列命题不正确的是（ ）A ．若4S =，则k 的值唯一B ．若12S =，则k 的值有2个 C ．若D 为三角形，则203k <≤D ．若D 为五边形，则4k >9．已知函数()12,1ln 2,1x a e x f x x x x a x -⎧-≤=⎨-+>⎩，若函数()y f x =与()()y f f x =相同的值域，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤B ．1a ≤C ．2a e ≤D ．3a e ≤10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，下列正确命题的个数是______.①{}n a 可能为等差数列；②{}n a 可能为等比数列；③i a ()2i ≥均能写成{}n a 的两项之差；④对任意*n N ∈，总存在*m N ∈使得n m a S =. A ．0B ．1C ．2D ．311．已知复数1z i =，221iz i=+，则12z z +=______，22020111z z z ++⋅⋅⋅+=______. 12．若多项式()()()()()67616712111x x x a x a x a +-=-+-+⋅⋅⋅+-+，则1a =______，127a a a ++⋅⋅⋅+=______.13．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______，表面积为______.14．已知,x y R ∈，(),1,x y ∈+∞，若2x ya b ==，4a +=，则21x y+的最大值为______. 15．已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的右焦点为，A ，B 分别是双曲线左右两支上关于坐标原点O 对称的两点，M ，N 分别为AF ，BF 的中点，且OM ON ⊥，2OM ON =，则该双曲线的离心率是______. 16．在数列{}n a 中，13a =，122313*********n n a a a na a a n +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++()*n N ∈，则n a = ______，4n n a λ≥对所有*n N ∈恒成立，则λ的取值范围是______.17．如图，等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：①四面体E BCD -的体积有最大值和最小值；②存在某个位置，使得AE BD ⊥；③设二面角D AB E --的平面角为θ，则DAE θ≥∠.正确命题的序号是______.18．已知()4cos sin 16f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求函数()y f x =()0x π<<的单调递增区间；（2）设ABC △的内角A 满足()0f A =，若3AB AC ⋅=，求BC 边上的高AD 长的最大值.19．四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，AB BC ===，现将ABD △沿对角线BD 所在的直线折起，得到四面体ABCD .（1）E 为AC 中点，求证：BDE ACD ⊥平面平面； （2）若CD AD ⊥，求二面角A BC D --的余弦值.20．已知函数()()24143xf x ax a x a e ⎡⎤=-+++⋅⎣⎦，其中a 为实数.（1）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围；（2）若[]2,3x ∈，()313f x e ≥恒成立，求a 得取值范围. 21．已知抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，抛物线上的点M 到y 轴的距离等于1MF -（1）求抛物线方程；（2）设点()3,0T ，过点F 作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且FA FB λ=，若[]5,1λ∈--，求TA TB +的最小值.22．已知()2ax bf x x c+=+为定义在R 上的奇函数，且当1x =时，()f x 取最大值为1. （1）写出()f x 的解析式.（2）若112x =，()1n n x f x +=，求证 （ⅰ）1n n x x +>；（ⅱ）()()()2221223112231516n n n n x x x x x x x x x x x x ++---++⋅⋅⋅+<.答案1．解析：() Q3,2RA =-，(]()()1,51,2RB A B =⇒⋂=.故选B .2．解析：∵2674655327a a a a a a a ++=++==，∴95981S a ==.故选D.3．解析：A ．椭圆22148x y +=的长轴长是B ．抛物线22y x =的焦坐标是10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．“若0x y +>，则0x >且0y >”的否命题是“若0x y +≤，则0x ≤或0y ≤”真命题正确.故选C.4．解析：()cos cos 2cos 2sin 22y x y x y x x g x π⎛⎫=→=→=+=-= ⎪⎝⎭∴()1sin 22g x x =-=，∵50,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴25,36x ππ=.故选B . 5．解析：∵()12115225C P X C ===，()()22212512210C P X P X C ===<=，∵()13115335C P x C ===，∴()1135E X =，∵()222251012C P x C ===，()32125126310C C P x C ===，()232251034C P x C ===，∴()()21165E X E X =>，故选C . 6．解析：由于()()()()()xxf x ef x f x e''=+，()()()g x f x f x '=+，则1x =-为函数()x f x e 的一个极值点等价条件为：()10g -=，且()g x 在1x =-的左右两侧取值异号.对于选项A ，()10f '-=，()10f -=，()10g -=，且()g x 在1x =-的左右两侧取值异号，符合条件. 对于选项B ，()10f '-=，()10f -=，()10g -=，且()g x 在1x =-的左右两侧取值异号，符合条件. 对于选项C ，()10f '->，()10f ->，()10g -=，在1x =-的左右两侧可取异号，故可能符合条件. 对于选项D ，()10f '->，()10f ->，因此()10g -≠，不满足条件. 综合上述，选D .7．解析：设a c λμ⋅=+，4b c λμ⋅=+，设{}min ,m a c b c =⋅⋅，则m λμ≤+，4m λμ≤+从而()()224323m m λμλμλμ+≤+++=+=，即1m ≤，当且仅当4λμλμ+=+且21λμ+=取等号.因此1λ=，0μ=.故当{}min ,a c b c ⋅⋅取最大值时，c a =，即1c =，选B.8．解析：（线性规划问题，定点直线旋转）如图：()21y k x +=+表示绕着()1,2A --旋转的直线，（1）当0k >时表示区域BCDEF 若203AC k k <≤=时表示三角形；4AC AD k k k <≤=时表示四边形；4AD k k >=时表示五边形；且区域面积单调递增，07BCDEF S S <≤=（2）2AG k k <=-时表示绿色区域内，也是三角形GMN △，所以01GMN GEF S S <≤=△△ 综上可以得到选项C 不正确，故选择C .9．解析1：令ln 2y x x x a =-+，ln 1y x '=-，可知()f x 在(],e -∞递减，[),e +∞递增，所以()f x 值域为[),a e -+∞，若函数()y f x =与()()y f f x =有相同的值域，即需满足a e e -≤即可，则2a e ≤，故选C .10．解析：逐项判断此题目背景为江苏卷新定义“H 数列”的题目，但判定结论的难度加大了. ①：正确，取0n a =，则0n S =，满足题设.②：错误.假设存在，1a a =，公比为q .当1q =时，n a a =，n S aq =，2n ≥时不存在正整数m ，使得n m S a =；当1q ≠时，()11n n a q S q-=-，1m m a aq -=，要使n m S a =，则需()111n m a q aq q--=-，即11n m m q q q -=+-，则q 为有理数.由于1q ≠，我们有：111n m q q q --++⋅⋅⋅+=，由高次方程有理数根的判别法，此方程无有理数根.③：正确.由题意，对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则存在正整数P 使得1n pS a -=()2n ≥，则1n n n m p a S S a a -=-=-()2n ≥.④：错误，取数列2n a n =-，则()32n n n S -=，1211S S a ===，当3n ≥时，由于n ，3n -必有一个为偶数，则n S 是非负整数，一定等于{}n a 中某一项.但31a =-，不是{}n S 中任意一项.故选B .11．解析：因为()()()22121111i i iz i i i i -===+++-，()12112z z i i i +=++=+，所以12z z +==；()()()()505450520202020112202011111111101111i i z zi i i z z z z i ii⎡⎤----⎣⎦++⋅⋅⋅+=====----.0.12．解析：设1x t -=，则1x t =+，则多项式即为()()6765126721t t t a t a t a t a +-=+++⋅⋅⋅++，所以1a 即6t 的项的系数，101662624a C C =-+=-+=-；令1t =，得()()612712111a a a +-=+++⋅⋅⋅+1271a a a ⇒++⋅⋅⋅+=-.故填-4；-1.（也可以由()()()()()6671212111x x x x x +-=-+--=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()616711a x a x a +-++-+求解.）13．解析：由三视图可知该几何体为正方体被平面ABCD 所截得到的下半部分（如图所示），其体积为正方体的一般，即31242V =⨯=；其表面积()1221222211122222ABCDBD S S +⨯⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯+⨯=++⎪⎭⨯⎝112122AC ⨯=+⨯=+故填4；12+14．解析：因为4a =≥所以4≥又因为222212log log 2log 4a b x y+=+=≤，当且仅当24b a ==时等号成立；故填4.15．解析：如右图，连接1AF ，1BF ，由题意得AF BF ⊥，四边形1AFBF 为矩形，且由2OM ON =，可得124AF AF a ==，由勾股定理得12FF c ==，所以ce a==16．解析1：由于122313*********n n a a a na a a n +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++()*n N ∈，所以当2n ≥时，有 11223333111112312n n a a a n a a a n --++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++-，两式相减可得1311222n n a n a n n ++=+=，即当2n ≥时，162n n a na n +=+，当1n =时，求得26a =，即12n a a =也符合该递推关系，所以()12112161n n n n n n a a a a a a a a n n ---=⋅⋅⋅=+.由于()2413n n n a n n λλ⎛⎫≥⇒≥⋅+ ⎪⎝⎭，令()213nn c n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于()()()1121224243333213n n n n n n c n c n n n n ++⎛⎫++ ⎪+⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当4n =时，45c c =，当4n <单调递增，当4n >单调递减，所以123456c c c c c c <<<=>>⋅⋅⋅ ，故数列最大项为32081，即32081λ≥.答案为：()61nn n +；320,81⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 17．解析：旋转问题转化为圆、圆锥、母线问题；因为等腰直角三角形ABE 绕斜边AB 旋转，所以E 的轨迹为以AB 点为圆心，2AB为半径的圆，设点E '；所以AE '，BE '为圆锥的母线；①13E BCD E BCD BCD E BCD V h S ---=⋅=△； AB 与平面BCD 所成线面角为ABF ∠；cos 32ABF ∠=<，4ABF π∠>； 所以以AB 为旋转轴，所以当E '在ABF 平面内时，E BCD h -达到最大值和最小值；故①成立②因为BD 与旋转轴AB 所成的夹角为3π，母线AE '与旋转轴AB 所成夹角为4π；所以AE '与BD 所成角范围为,3434ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，即7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为7122ππ>，所以存在夹角为2π的情况；又因为线线角的取值范围不为钝角，所以AE '与BD 所成角为,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故②成立②解析2：利用对称性与平行，找到线线角因为BD 与AE '所成的夹角可看做BD 与BE ''所成的夹角（E E '''为直径），设正四面体棱长为2，所以2BD =，BE ''=DE ''∈，所以当DE ''=BD BE ''⊥；所以此时AE BD ⊥；故④成立③做AB 中点O ，连接DO ，DE '，DO AB ⊥，OE AB '⊥；所以DOE '∠为二面角D AB E --的平面角为θ，比较三角形DOE '与三角形DAE '，DE DE ''=，222DA DO DA =+，222AE AO OE ''=+；所以cos cos DOE DAE ''∠≤∠；所以DOE DAE ''∠≥∠，得DAE θ≥∠.故③成立.综上，①②③均成立.18．（1）解析1：三角变换+三角函数图象及性质由题意，得()14cos sin 14cos cos 12cos 22622f x x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=--=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 226x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.由222262k x k πππππ-+≤-≤+，解得63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈.所以在0x π<<时，函数()y f x =的单调递增区间为0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；解析2：积化和差公式由题意，得()4cos sin 12sin sin 12sin 226666f x x x x x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=+---+-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由222262k x k πππππ-+≤-≤+，解得63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈.所以在0x π<<时，函数()y f x =的单调递增区间为0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）解析：等面积法由()0f A =，即2sin 2206A π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得3A π=.由3AB AC ⋅=，即cos 33bc π=，得6bc =.由余弦定理，得a =.由面积公式，知11sin 22ABC S bc A a AD ==⋅△，即11622a AD ⋅=⋅.所以AD ≤=所以BC 边上的高AD 长的最大值为2. 19．（1）解析：设AB BC =，CD DA =，E 为AC 中线，所以DE AC ⊥，BE AC ⊥，所以AC BDE ⊥平面，又AC ACD ⊂平面，所以BDE ACD ⊥平面平面.（2）解析：常规借第一问直接找角因为BDE ACD ⊥平面平面，过D 作DF BE ⊥，所以DF BCE ⊥平面，所以DF BC ⊥，连接CF ，又因为90C ∠=︒，所以DC BC ⊥，所以DCF ∠是二面角A BC D --的平面角.设AB BC ====，因为CD AD ⊥，所以AC =，即ABC △时正三角形.易知DE =，BE =，在BDE △中用余弦定理可得：222cos 2DE BE BD DEB DE BE +-∠==⋅，所以，sin sin 2DEB DF DE DEB ∠==⋅∠==，所以3sin 13DF DCF DC ∠===，即cos DCF ∠=.所以二面角A BC D --20．（1）解析：含参讨论()()()()2212e 12e x xf x ax a x ax x '⎡⎤=-++=--⎣⎦. ①若12a >，则当1,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<； 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在2x =处取得极小值.②若12a ≤，则当()0,2x ∈时，20x -<，11102ax x -≤-<， 所以()0f x '>.所以2不是()f x 的极小值.综上可知，a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. （2）解析：必要性探路因为[]2,3x ∈，()313f x e ≥恒成立，因此()()33123133f e f e ⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，即()()33123133f e f e ⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，即13a ≥，①当1,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，因为12a ≤，所以()f x 在[]2,3上递增，即()()23min 123f x f e e ==≥，恒成立； ②当11,32a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，因为12a <，所以()f x 在12,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在1,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增， 即()()13min11413a f x f a e e a ⎛⎫==-⋅≥ ⎪⎝⎭，设()()141a g a a e =-⋅，()21111224111111544024aa a a a g a e e e e a a a a ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=⋅-⋅=-+⋅=-+⋅>⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()g a 递增，且31133g e ⎛⎫=⎪⎝⎭，故11,32a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； 综上所述，1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.21．解析：（1）抛物线方程为24y x =（2）由题意知()2,2A t t ，212,B t t -⎛⎫⎪⎝⎭，0t >，22FA FB t t t λλ-=⇒=⇒=t ⎡∈⎣，则221233,2TA TB t t t t ⎛⎫+=-+--== ⎪⎝⎭，令21s t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，160,5s ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[TA TB s +===≥2s =时取等号.22．解析：（1）因为()2ax b f x x c +=+的定义域为R ，得0c >；又()f x 为奇函数，所以()00bf c==，得0b =；又()111af c==+，所以10a c =+>； 当0x >时，()()2111c x c f x c x cx x++==≤=++，当且仅当x = 所以1c =，2a =，即()f x 的解析式为()221xf x x =+. （2）（ⅰ）因为1221nn n x x x +=+，所以1n x +和n x 同号；又()1110n n x f x +-=-≤，当且仅当1n x =时取等号，因为112x =，所以01n x <<.所以()231222120111n n n n nn n n n n n x x x x x x x x x x x +---=-==>+++，即1n n x x +>. （ⅱ）法一（基本不等式+裂项相消）：因为01n x <<，所以()()()3122211111141n n n nn n n n n n n x x x x x x x x x x x +++--==-⋅≤⋅+++，又因为21121121n n nn x x x x +=≤+++-+，所以11154816n n x x +-≤=<， 所以()()211111151116n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x ++++++-⎛⎫-=-⋅<- ⎪⎝⎭所以()()()222122311223112231151111115121616n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++---⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由（ⅰ）可知，1112n x +≤<，所以151521616n x +⎛⎫-< ⎪⎝⎭，得()()()2221223112231516n n n n x x x x x x x x x x x x ++---++⋅⋅⋅+<. 法二（函数的值域+裂项相消）：因为01n x <<，所以3121n n n n n x x x x x +--=+，由（ⅰ）可知，1112n x +≤<，设()321x x g x x -=+112x ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭，所以()()()()()()()()()()()()22232232242222222213121212521401111x x x x x x x x x x xx xg x x x x x-+---+---+--'====<++++，得()g x 在1112n x +≤<时单调递减，所以()13210g x g ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，得1310n n x x +-≤； 所以()()211111131110n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x ++++++-⎛⎫-=-⋅≤- ⎪⎝⎭()()()222122311223112231131111113121010n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++---⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+≤-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由（ⅰ）可知，1112n x +≤<，所以121n x +-<， ()()()2221223112231131352101016n n n n n x x x x x x x x x x x x x +++---⎛⎫++⋅⋅⋅+≤-<< ⎪⎝⎭，证毕.。