第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第四节平面向量应用举例

代入方程x2＋y2＝ 43
1，整理得(3＋4k2)x2＋
8k2x＋4k2－12＝
0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－3＋8k42k2，x1x2＝43k＋2－4k122......................................9 分
∴y1y2＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)＝－3＋9k42k2.
第四节 平面向量应用举例
1．向量在几何中的应用
(1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a∥b
⇔____a_＝_λ_b_______ ⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0)． (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质： a⊥b⇔____a_·_b＝__0______ ⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)平面几何中夹角与线段长度计算，常用①cos〈a，b〉
从近两年的高考试题来看，用向量方法解决简单的平面几何及 力学问题，要求较低，只是在2011·天津，2010·辽宁高考中各考一 个小题，重点考查向量方法的简单应用，另外向量作为载体，常 与相关知识交汇，平面向量在其中起一个穿针引线的作用，如 2011·江西高考，此类题目常以向量的运算为切入口，体现了向量 的工具性作用．
由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9， 所以 p＝4，从而抛物线方程是 y2＝8x. (2)由(1)知，p＝4，从而由(*)式，得 x2－5x＋4＝0， ∴x1＝1，x2＝4. 当 x1＝1 时，y1＝－2 2；当 x2＝4 时，y2＝4 2. 因此设点 A(1，－2 2)，B(4,4 2)， ∴O→C＝O→A＋λO→B＝(1＋4λ，4 2λ－2 2)， 又点 C 在抛物线 y2＝8x 上，
∴A→D⊥C→E，即 AD⊥CE.
1．本题把证明 AD⊥CE 转化为证明向量垂直，即证明A→D·C→E ＝0.解题的关键是把A→D，C→E用基向量C→A，C→B表示出来，然后利 用向量的运算法则和性质解决问题．
2．用向量法解决几何问题的“三步曲”，先用向量表示相应 的点、线段、夹角等几何元素；通过平面向量的运算解决向量问 题；把向量运算结果“翻译”成几何关系．
平方后化简得 cos β(cos β－1)＝0.
解得 cos β＝0 或 cos β＝1，
经检验 cos β＝0 或 cos β＝1 满足题设要求．
故 cos β 的值是 1 或 0.
1．解答本题主要用到两方面的知识，一是把向量模 转化为向量的数量积，二是把向量垂直转化为数量积为 0.
2．平面向量与三角函数结合的题目的解题思路通常 是将向量的数量积与模经过坐标运算后转化为三角问题 ，然后利用三角函数基本公式求解．
∴F，f 所做的功分别是 500 3J，－22 J．
1．(1)物理学中的“功”可看作是向量的数量积的原型． (2)善于将平面向量与物理知识进行类比．例如，向量加法的 平行四边形法则可与物理中力、位移的合成分解进行类比．
2．用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中 的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向 量运算解决问题；三是将结果还原为物理问题．
【尝试解答】 设木块的位移为 s，
则 F·s＝|F|·|s|cos 30°＝50×20× 23＝500 3 J， F 在竖直方向上的分力大小为 |F|sin 30°＝50×12＝25(N)， 所以摩擦力 f 的大小为|f|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)， 所以 f·s＝|f|·|s|cos 180° ＝1.1×20×(－1)＝－22 J.
量积为0，从而列方程求解．
【尝试解答】 (1)b＋c＝(cos β－1，sin β)，则 |b＋c|2＝(cos β－1)2＋sin2β＝2(1－cos β)． ∵－1≤cos β≤1. ∴0≤|b＋c|2≤4， 即 0≤|b＋c|≤2. 当 cos β＝－1 时，有|b＋c|＝2， 所以向量 b＋c 的长度的最大值为 2.
向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用
已知点 P(0，－3)，点 A 在 x 轴上，点 Q 在 y 轴的正半轴 上，点 M 满足P→A·A→M＝0，A→M＝－32M→Q，当点 A 在 x 轴上移动 时，求动点 M 的轨迹方程．
【思路点拨】 设动点M(x，y)，利用向量共线，垂直等 条件构建x，y满足的代数方程．
防范措施：(1)加强坐标法的理解和运用，坐标法就是把向量 的几何属性代数化，把对向量问题的处理程序化．另外，坐标法
又是实现把向量问题转化为代数问题的桥梁．因此我们要善于运
用坐标法把几何问题、代数问题、向量问题进行相互转化． (2)通过向量的坐标运算把O→A·O→B转化为关于 k 的函数，从而
把求O→A·O→B的取值范围问题转化为求函数的值域；根据式子的结 构特征，分离法是行之有效的方法．
第六步：检验易错点，规范题目结论．
易错提示：(1)不会对向量的条件进行转化，造成思维受阻， 出现这种现象的原因是对平面向量代数化的思想理解不深刻．忽 略对过点 C 的直线斜率的讨论， 导致解答不完整．(2)变形能力 差，部分同学虽得到O→A·O→B＝－54kk22＋ ＋132，却无法进一步求出其取 值范围．
向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用
如图4－4－1所示，在等腰直角三角 形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB， D为BC的中点，E是AB上的一点，且 AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
【思路点拨】 要证 AD⊥CE，只需证A→D·C→E＝0.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
【尝试解答】 A→D·C→E＝(A→C＋21C→B)·(C→A＋32A→B) ＝－|A→C|2＋12C→B·C→A＋23A→B·A→C＋13A→B·C→B ＝－|A→C|2＋12|C→B||C→A|cos 90°＋232|A→C|2cos45°＋ 32|A→C|2cos 45° ＝－|A→C|2＋|A→C|2＝0，
1．(2012·清远调研)平面上 O，A，B 三点不共线，设O→A＝a，
O→B＝b，则△OAB 的面积等于(
)
A. |a|2|b|2－a·b2
B. |a|2|b|2＋a·b2
1 C.2
|a|2|b|2－a·b2
1 D.2
|a|2|b|2＋a·b2
【解析】 ∵cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|，
∴sin〈a，b〉＝ 1－cos2〈a，b〉
＝9. (1)求该抛物线的方程；
(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若O→C＝O→A＋λO→B，
求 λ 的值．
【解】
(1)∵直线 AB 斜率为 2
2，且过点(2p，0)，
∴直线 AB 的方程为 y＝2 2(x－2p)，
由y＝2 2x－2p， 得 4x2－5px＋p2＝0，
(*)
y2＝2px
所以 x1＋x2＝54p，
【尝试解答】 设 M(x，y)，A(a,0)，Q(0，b)(b＞0)，
则P→A＝(a,3)， A→M＝(x－a，y)，M→Q＝(－x，b－y)．
由P→A·A→M＝0，得 a(x－a)＋3y＝0.
①
由A→M＝－23M→Q，得(x－a，y)＝－32(－x，b－y)．
∴xy＝ －32a＝ y－3232xb，，
向量在物理中的应用
向量在物理中的应用
如图4－4－2所示，已知力F与水平方向 的夹角为30°(斜向上)，F的大小为50 N， F拉着一个重80 N的木块在摩擦因数μ＝ 0.02的水平平面上运动了20 m，问F、摩擦 力f所做的功分别为多少？
【思路点拨】 力在位移上所做的功，是向量数量积的物理含 义，要先求出力F，f和位移的夹角．
整理得：x2＋y2＝ 43
1，即为点
P
的轨迹方程……………...4
分
(2)①当过点 C 的直线斜率不存在时，其方程为 x＝－1.
解得 A(－1，－32)，B(－1，32)．
此时O→A·O→B＝－45…………………………………………..6 分
②当过点 C 的直线斜率存在时，设斜率为 k，
则直线 AB 的方程为 y＝k(x＋1)．
a·b
＝_|_a_|_|_b_|___＝
xx21＋1x2y＋21 yx122y＋2 y22，②|AB|＝|A→B|＝
＝
___x_2_－_x_1_2_＋__y_2－__y_1_2_______.
2．向量在物理中的应用 (1)向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用． (2)向量在速度的分解与合成中的应用． (3)向量的数量积在合力做功问题中的应用：W＝f·s.
∴O→A·O→B＝x1x2＋y1y2＝－54kk22＋ ＋132＝－45－
33 44k2＋
3…..11
分
∴－11≤－
4
4
33 4k2＋
3＜0，
∴O→A·O→B∈
[－4，－54)．
综合①②知，O→A·O→B的取值范围是[－4，－54]………..14 分
【解题程序】 第一步：设点 P(x，y)，表示向量P→Q与P→C. 第二步：利用向量数量积与模的运算，得点 P 的轨迹方程． 第三步：讨论斜率不存在的直线 x＝－1 时，求O→A·O→B的值． 第四步：当斜率 k 存在时，用参数 k 表示O→A·O→B. 第五步：利用函数的性质与不等式的性质求O→A·O→B的取值范 围．
(2)若 α＝π4，则 a＝( 22， 22)． 又由 b＝(cos β，sin β)，c＝(－1,0)，得
a·(b＋c)＝(
22，
2 2 )·(cos
β－1，sin
β)
＝
2 2 cos
β＋
2 2 sin
β－
2 2.
∵a⊥(b＋c)，
∴a·(b＋c)＝0，即 cos β＋sin β＝1，∴sin β＝1－cos β.
∴ab＝ ＝－ 3y. x2，
把 a＝－x2代入①，得－x2(x＋x2)＋3y＝0，
整理得 y＝14x2.
∴动点 M 的轨迹方程是 y＝14x2(x≠0)．
1．(1)向量法解决平面解析几何问题的关键是把点的坐标 转换成向量的坐标，然后进行向量的运算．(2)相等向量、 共线向量、垂直向量的坐标形式经常用到，必须熟练掌握．
向量在三角函数中的应用
(2012·韶关调研)已知向量 a＝(cos α，sin α)， b＝(cos β，sin β)，c＝(－1,0)． (1)求向量 b＋c 的长度的最大值； (【2思)设路点α拨＝】π4且(1)把ab⊥＋c(用b＋ 坐标c表)，示，求再c求o|bs＋βc|2的 的表值达． 式；(2)由向量垂直得数
规范解答之八 数量积在解析几何中的应用
(14 分)(2012·茂名质检)已知平面上一定点 C(－1,0)和一定 直线 l：x＝－4，P 为该平面上一动点，作 PQ⊥l，垂足为 Q，且 (P→Q＋2P→C)·(P→Q－2P→C)＝0.
(1)求点 P 的轨迹方程； (2)点 O 是坐标原点，过点 C 的直线与点 P 的轨迹交于 A， B 两点，求O→A·O→B的取值范围．
【规范解答】 (1)设 P(x，y)，则 Q(－4，y)，
∴P→Q＝(－4－x,0)，P→C＝(－1－x，－y)．
∵(P→Q＋2P→C)·(P→Q－2P→C)＝0，
∴P→Q2－4P→C2＝0，∴|P→Q|2＝4|P→C|2………………………2 分
∴(－4－x)2＝4[(－1－x)2＋(－y)2]，
2．向量在解析几何中出现，多用于“包装”，求解这类 问题要根据向量的意义与运算“脱去”向量外衣，导出曲线 上点的坐标之间的关系，从而解决有关斜率、距离、轨迹与 最值等问题．
从近两年的高考试题来看，用向量方法解决简单的平面几何及 力学问题，要求较低，只是在2011·天津，2010·辽宁高考中各考一 个小题，重点考查向量方法的简单应用，另外向量作为载体，常 与相关知识交汇，平面向量在其中起一个穿针引线的作用，如 2011·江西高考，此类题目常以向量的运算为切入口，体现了向量 的工具性作用．
3．向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合 ，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相 关问题．
过点(1,2)且与向量a＝(4,2)所在的直线平行的直线，其斜 率与a的坐标有何关系？你能写出该直线的方程吗？
【提示】 直线的斜率 k＝24＝12，为 a 的纵坐标与横坐标的比值， ∴直线方程为 y－2＝12(x－1)，即 x－2y＋3＝0.
＝
1－|aa|·|bb|2＝
|a|2|b|2－a·b2， |a||b|
S△OAB＝12|O→A||O→B|sin〈O→A，O→B〉＝12|a||b|sin〈a，b〉，
＝1 2
|a|2|b|2－a·b2.
【答案】 C
2．(2011·江西高考)已知过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率
为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|