精编随机模拟(仿真)-simulation
蒙特卡诺模拟设计(内附详细程序设计例子)
蒙特卡诺（Monte-Carlo）方法（一）Monte-Carlo模拟简介Monte-Carlo方法亦称为随机模拟（Random Simulation）方法，有时也称作随机抽样（Random Sampling）技术或统计试验（Statistical Testing）方法。
它的基本思想是，为了求解数学、物理、工程技术以及生产管理等方面的问题，首先建立一个概率模型或过程的观察或抽样试验来计算所求参数的统计特征，最后给出所求解的近似值。
是由Metropolis在二次世界大战期间提出的Manhattan计划，用于研究与原子弹有关的中子输运过程中提出的。
应用Monte-Carlo方法解决实际问题：1、对求解的问题建立简单而又便于实现的概率统计模型，使所求的解恰好是所建立模型的概率分布或数学期望。
2、根据概率统计模型的特点和计算实践的需要，尽量改进模型，以便减小方差和降低费用，提高计算效率。
3、建立对随机变量的抽样方法，其中包括建立产生伪随机数的方法和建立对所遇到的分布产生随机变量的随机抽样方法。
4、给出获得所求解的统计估计值及其方差或标准误差的方法。
Monte-Carlo模拟在物理研究中的作用：统计物理学与具有多自由度的系统打交道。
统计物理学的一个任务是从模型的哈密顿量计算出所要的各种平均性质，例如每个自由度的平均能量E 或平均磁化强度M ，E ＝<H>t ∕N, M=<i iS ∑>t ∕N (2.7.1) 其中<>t 代表热平均。
A(x)表示任何可观察量，例如A=H, i i S∑等等，x 是相空间中的矢量，代表所考虑的自由度的一组变量的集合，在我们的研究范畴内，x=(12,,,N S S S ),表示系统的自旋组态。
对下式,222()()()()1x Heisenberg ij i j x ii j i x y z i i i H J S S H S S S S <>=--++=∑∑式x=(12,,,N S S S )的热平均在正则系综中由下式定义：<A(x)>T =1exp[()/]()B dx H x k T A x Z ⋅-⎰, (2.7.2) Z=exp[()/]B dx H x k T ⋅-⎰.归一化的Boltzmann 因子P(x)=1exp[()]l B x k T Z -H (2.7.3) 起着一个概率密度的作用，它描写位形x 出现在热平衡中的权重。
§5随机模拟与系统仿真
§3.5 随机模拟与系统仿真一. 随机现象的模拟例： 超市出口有若干个收款台，两项服务：收款、装袋。
顾客的到达的时间间隔是随机的；因顾客购买的货物量不同，所以服务时间的长短也是随机的。
可以利用计算机产生服从一定的规律（概率分布）的(伪)随机数，用随机数确定时间间隔和服务时间。
1. 随机变量及其分布随机事件：在一定条件下有可能发生的事件， 其全体记为Ω 。
概率：随机事件A ∈ Ω发生的可能性的度量 P(A)， 0 ≤P(A) ≤ 1.定义: 在Ω的σ-集合类F 上的实值函数，P: ω → P(ω), ω ∈ F , 满足：1. 非负性：P(ω)≥0,2. 规范性：P(Ω)=1,3. 可列可加性：对 ω =U A i ⊆Ω, {A i }是两两不相容的事件，则 P(ω)= ∑P(A i ) ，称P 为F 上的概率测度.随机变量： 称在Ω上定义的实值函数 ξ ：A → ξ (A) 为随机变量。
离散型： ξ ∈{a k ；k=1,2,…(,n)},连续型： ξ ∈(a, b) .随机变量的分布函数：F(x):=P(ξ <x):=P(ξ-1 (- ∞, x)), 其中 ξ-1 (-∞,x)={A ∈ Ω; - ∞ <ξ (A)<x} ∈ F 离散型 若 则称a k a 1 a 2 … a nP(ξ=a k ) p 1 p 2 … p n为离散随机变量 ξ 的分布列, 称函数 F(x)=P(ξ <x)= ∑ak<x p k 为随机变量 ξ 的分布函数。
连续型 若则称 函数p(x) 为随机变量 ξ 的分布密度, 称F(x)= P(ξ∈(-∞, x))为随机变量 ξ的分布函数几类常见的随机分布● 两点分布 只有两种可能结果(成功、失败)的实验称为贝努里试验。
试验成功的概率为p● 二项分布 n 重贝努里试验成功的次数ξ 。
● 离散的均匀分布1,)(1===∑=n k k k k pp a P ξ⎰=∈b a dt t p b a P )(]),[(ξ1)(=⎰+∞∞-dt t p )1(,)1()(<-==-p p p C k P k n k k n ξnk n a P k ,,2,1,/1)(Λ===ξ⎩⎨⎧=失败成功01ξ⎩⎨⎧=-===011)(x p x p x P ξ● 泊松分布 在单位时间间隔内随机事件平均发生的次数ξ .● 正态分布 许多偶然因素作用结果的总和。
Simulation基础教程(2章)
03
Simulation流程
问题定义与目标设定
问题定义
明确模拟的目标和问题，确定模拟的范围和约束条件。
பைடு நூலகம்目标设定
根据问题定义，设定模拟要达到的目标，如预测、优化、 验证等。
模型建立与参数设定
模型选择
根据问题特点选择合适的模拟模型， 如物理模型、数学模型等。
特点
Agent-Based Simulation适用于描述和分析具有异质性、自适应性和交互性的复杂系 统，如生态系统和社交网络等。
实现
Agent-Based Simulation通常需要定义个体的属性和行为规则，并使用随机数或确定 性算法来模拟个体之间的相互作用和演化过程。
05
Simulation案例分析
结果分析
对仿真结果进行分析和评估，为系统优化提供依据。
02
Simulation工具与软件
通用Simulation软件
总结词
通用Simulation软件具有广泛的适用性和灵活性，适用于各种领域和行业的Simulation需求。
详细描述
通用Simulation软件通常提供丰富的库和工具箱，支持多种Simulation方法和算法，可进行系 统建模、仿真分析和优化设计等。这些软件通常具有友好的用户界面和易用的操作方式，使得 用户可以快速地建立模型、设置参数并进行仿真分析。
特点
离散事件Simulation适用于描述 和分析在离散时间点上发生的事 件，如排队系统、生产制造过程 等。
实现
离散事件Simulation通常使用事 件调度表来记录事件发生的时间 和顺序，并根据事件调度表更新 系统状态。
连续变量Simulation
sims拟合仿真
sims拟合仿真摘要：1.Sims 拟合仿真的概述2.Sims 拟合仿真的原理3.Sims 拟合仿真的应用领域4.Sims 拟合仿真的优缺点5.Sims 拟合仿真的未来发展正文：一、Sims 拟合仿真的概述Sims 拟合仿真是一种通过计算机模拟的方法，对复杂的现实系统进行建模和仿真，以便更好地理解和预测系统的行为。
Sims 是“Simulation”的缩写，意为模拟。
拟合则是指将一组数据通过数学模型进行匹配，从而得到一个更加精确的结果。
因此，Sims 拟合仿真是指通过模拟和拟合的方式，对现实系统进行研究和分析。
二、Sims 拟合仿真的原理Sims 拟合仿真的原理主要包括以下几个步骤：1.建立模型：根据现实系统的特点，建立一个合适的数学模型，用于描述系统的结构和功能。
2.编写程序：根据模型，编写计算机程序，用于模拟现实系统的运行过程。
3.收集数据：通过实验或者观测，收集现实系统的相关数据，用于拟合和验证模型的准确性。
4.拟合分析：将收集到的数据，通过数学模型进行拟合，得到一个更加精确的结果。
5.分析预测：根据拟合后的结果，对现实系统的行为进行分析和预测。
三、Sims 拟合仿真的应用领域Sims 拟合仿真技术广泛应用于多个领域，包括但不限于：1.物理学：对粒子加速器、天体物理等进行模拟和研究。
2.经济学：对经济系统进行模拟和预测，以便更好地理解经济现象和制定政策。
3.生物学：对生物系统进行模拟和研究，以便更好地理解生命现象。
4.工程学：对工程项目进行模拟和分析，以便更好地进行设计和管理。
四、Sims 拟合仿真的优缺点Sims 拟合仿真技术具有以下优点：1.可以对复杂的现实系统进行建模和模拟，以便更好地理解和预测系统的行为。
2.可以在计算机上进行快速和精确的计算，大大提高了研究的效率和准确性。
3.可以通过拟合和分析，对现实系统的行为进行深入的研究和预测。
然而，Sims 拟合仿真技术也存在以下缺点：1.建立模型和编写程序需要专业的知识和技能，对研究人员的要求较高。
第三章(9)随机模拟-仿真模型、蒙特卡洛模拟
Matlab程序： function y=paidui(T) L=zeros(1,T+1);% 等待的顾客人数， T1=zeros(1,T+1); %等待时间的累加， T2=zeros(1,T+1); %服务时间的累加, L1=zeros(1,T+1);%到达顾客人数累加。 t=1; x=0:T; r=rand(1,T); for t=1:T if 0<=r(i) & r(i)<0.4 n=0; elseif 0.4<=r(i) & r(i)<0.7 n=1; else n=2; end;
蒙特卡罗模拟 （Monte Carlo Simulation）
第三章 常用数学模型及建模方法
当所求问题的解可以视为某个随机变量X的概率或期 望的函数时 通过随机抽样 即模拟随机变量X产生 望的函数时，通过随机抽样，即模拟随机变量 的“实验”；然后计算频率或平均值，以估计概率 或期望 或期望；从而得到所求问题的解。 得到 求 的解
p ( k ) : pi ,
i 1 kpຫໍສະໝຸດ (0) 0p ( k ) p ( k 1) ,
p (n) 1
取服从[0, 1]区间上均匀分布的随机数 R[0, 1]，则容易证明: P( “ p(k-1) < R < p(k) ” ) = pk = P ( “ = ak” ) 即随机事件 “ p((k-1)) < R < p((k)) ” 与 “ =ak” 有相同的概率分布。 因此，当p(k-1) < R < p(k)时， 则认为事件 =ak发生。 发生 每隔一分钟记录一次系统状态，模拟10分钟的 Matlab程序如下：
>>r=rand(1,10); >>r=rand(1 10); >>for i=1:10; if r(i)<0.4 () ; n(i)=0; elseif 0.4<=r(i) & r(i)<0.7 n(i)=1; else n(i)=2; end; end
应用随机过程第4章随机模拟
4.2 随机数的抽样
› 生成大量不重复的seed序列
产生随机数种 子的原理，是 要产生多少个 随机数种子， 就按一定步长 递增多少次， 然后得到一个 随机数作为种 子。 这个宏有个缺 点，就是当步 长*随机数种子 数量>2**31-1 时，可能得不 到要求得到的 随机数种子数 量。
4.2 随机数的抽样
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成，利用SAS生成标准分布 随机数
› 生成大量不重复的seed序列
– 在实际的应用中，我们经常会遇到需要大量随机数 序列的情况，这时候我们就不能靠手工输入随机数 种子。 – 当SEED=0时，我们可以用这个随机种子产生大量的 随机数序列，但是这里产生的随机数序列并不一定 能保证这些随机数序列不重复。 – 这里介绍一个产生不重复的随机数种子的宏
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成
– SAS随机数函数
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成 › 利用SAS生成标准分布随机数一般有两种方法 – 由随机数函数产生随机数序列 其语法为：var = name(seed,<arg>) – CALL子程序产生随机数序列 其语法为：call name(seed,<arg>,var)。 ｰ 两种方法的主要区别在于： ｰ 随机数函数产生随机数序列时，其序列的值只由 第一个随机数种子的值决定，而用CALL子程序时， 每一次调用随机函数，都会重新产生新的随机数 种子。
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成 – 伪随机数生成算法 – 在SAS系统中， – 常数a=397,204,094 – m = 2^31-1=2,147,483,647（是一个素数） – c=0 – 种子R(0)必须是一个整数并且其值介于1到m-1之 间。 – 这里c=0的数据生成器被称为multiplicative congruential generator，被广泛地应用。
仿真验证的常见方法
仿真验证的常见方法仿真验证是一种帮助设计、优化和评估运行中的系统的常见方法。
它通过模拟系统的行为和性能来获得关于系统行为的详细信息，从而传达设计决策的影响和改进方案的潜在效果。
随着计算能力的提升，仿真验证已成为工程领域不可或缺的工具。
本文将介绍几种常见的仿真验证方法。
1.离散事件仿真（DES）：离散事件仿真适用于模拟系统中离散事件的发生和处理过程。
它将系统建模为由一系列事件组成的网络，每个事件代表一个系统状态的改变。
通过模拟事件的发生和处理过程，离散事件仿真可以帮助评估不同的决策方案对系统性能的影响。
2.连续仿真（CS）：连续仿真适用于模拟连续系统的行为。
它将系统建模为一组连续的方程和约束条件，并使用数值方法来模拟系统的运行。
连续仿真在评估系统的动态性能和响应性方面非常有用。
3. 蒙特卡罗仿真（Monte Carlo Simulation）：蒙特卡罗仿真是一种基于随机抽样的方法，用于评估系统在不同参数组合下的行为和性能。
它通过从概率分布中抽取大量样本，利用这些样本的统计特性来估计系统的行为。
蒙特卡罗仿真可以帮助评估系统的风险和不确定性。
4. Agent-Based Modeling（ABM）：Agent-Based Modeling是一种建立于个体行为的仿真方法。
它将系统建模为一组独立的个体，每个个体都有自己的行为规则和互动方式。
通过模拟个体之间的互动，Agent-Based Modeling可以帮助评估不同决策对系统整体行为的影响。
5. 虚拟现实仿真（Virtual Reality Simulation）：虚拟现实仿真是一种基于计算机生成的环境和交互技术的仿真方法。
它通过模拟真实场景和用户交互，提供一种沉浸式的仿真体验。
虚拟现实仿真可以帮助评估设计决策在真实环境中的效果和用户体验。
6. 博弈论仿真（Game Theory Simulation）：博弈论仿真是一种用于评估决策者之间策略选择和博弈行为的仿真方法。
随机模拟(统计仿真)
3、综上所述，建议采用新的机票预定政策
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模拟（仿真） 概念： 模拟是对真实系统或过程在时间域中运行的模仿 优点： • 提供替代直接研究法无法进行直接研究的方法 • 缩短研究周期，节约经费 分类： 按形式——物理模拟、数学模拟和混合模拟 按变量的性质——离散系统模拟模型和连续系统模 拟模型 按时间变化分类——动态模拟模型和静态模拟模型
从模拟的统计结果可作出如下分析： 1、在现有的飞机票预定政策下，由于预定机票数为 30张，而实际到达的乘客数平均为28人，所以其平均 利润为100×28＝2800元。在新的机票政策下，由于 模拟得到的平均利润为2932.3，所以采用新的机票预 定政策可以获得更大的净利润。 2、在新的机票预定政策下，仍可达到较高的服务水平 （约99％）
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风险分析模拟
表3：
风险分析模拟 第四步：统计分析
模拟后要对运行结果进行统计分析，统计分析的内容和公式如下表4所示： 表4：
＝AVERAGE(E26:E525) ＝STDEV(E26:E525) ＝MIN(E26:E525) ＝MAX(E26:E525) ＝COUNTIF(E26:E525,"<0") ＝E532/500
表1：新产品单位产品可变成本概率
单位产品可 变成本 概率
46 0.1
47 0.2
48 0.4
49 0.2
50 0.1
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输入量
不可控输入变量
需求量（台） 服从均值为20000、 标准方差为6000的 正态分布 可变成本（元） 服从上表的概率分 布 广告费（元） 服从区间在100000 与130000之间的均 匀分布
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仿真的分类
• 模拟是系统状态随时间而变化的动态写照， 因此，通常时间是模拟的主要自变量，其 它的变量为因变量。
• （1）按照模拟过程中因变量的变化情况， 可以将模拟分为离散、连续、混合3种类型；
• （2）如果采用模拟计算机、采用数字计算 机以及联合使用则分为模拟仿真、数字仿 真以及混合仿真；
• （3）根据仿真变量的特征分为随机模拟仿 真和模糊模拟仿真。
据Bernoull(伯努利)大数定理，
有 x
0
1
lim p{| k p | } 1
n
n
即，当实验次数n充分大时，频率和概率之差小于任意数ε 的概率趋于1。
而另外一方面由几何概型有
p
事件Aห้องสมุดไป่ตู้测度 样本空间的测度
4
在实际操作中，实验次数n不可能趋于无穷大，所以有
p 4p 4k
4
n
(数学模型)
对于估计 4k 只有不断重复做实验，这种试验可以 n
具体去操作，(均匀投石块，然后数数，这样需要较高成本)。 也可以让计算机去重复试验，但是需要将数学模型转化为计算 机模拟模型(让计算机完成均匀投石块，自动计数，也需要成 本)。 用计算机模拟投石块过程和步骤如下：
1、自动生成随机点[0,1]x[0,1]，模拟石块在正方形内的任意 位置，用(xi,yi)表示，共n个点；
优方案。
仿真的基础
• 概率论的大数定理； • 微积分基础； • 各种分布：在matlab模拟中，常用的随机分布为unif(均
匀分布),exp(指数分布),norm(正态分布),chi2(χ2分布),t(t 分布),f(F分布),bino(二项分布),poiss(泊松分布),unid(整 数均匀分布)； • 有关分布的计算功能：pdf(概率密度),cdf(分布函 数 ),inv(逆概率分布),stat(均值与方差),rnd(随机数生成)； • 将分布与计算功能结合在一起，就是实现某种及算功能， 例如，expinv就是计算指数分布的逆分布。
2、判别(xi,yi)是否满足xi2+yi2≤1，即判别石块是否落在1/4 单位圆内，共k个点满足；
3、整理、统计模拟结果，用4k/n估计π。
利用matlab编程计算过程
1、编写M文件： function [pai]=fangzhenpai(n) %生成均匀分布; X=unifrnd(0,1,n,2); %判别是否落在1/4圆内; k=0; for k1=1:n y=X(k1,1)^2+X(k1,2)^2; if y<=1 k=k+1; else k=k; end end %整理、统计、估计结果; pai=4*k/n;
• 虽然可以用解析的方法解决问题，但是问题的分 析与计算过于复杂，这时计算机仿真可能提供简 单可行的求解方法；
• 希望在较短时间内观察到系统的发展全过程，以 估计某参数对系统行为的影响；
• 难以在实际环境中进行试验和观察，计算机仿真 是唯一的方法；
• 需要对系统或过程进行长期运行的比较，从大量 方案中寻找最优。
实际问题
数学、逻辑模型
计算机模型
实际解
数学、计算机解
为什么要进行仿真
• 实际系统建立之前，要对系统的行为或结果进行分析研究； • 有些真实系统做实验会影响系统运行，例如，在生产中任
意改变工艺系数可能导致废品，在经济活动中随意将一个 决策付诸行动会导致经济混乱；
• 在系统上做多次试验，很难保证每次试验的操作条件相同， 因而对实验结果好坏很难作出正确的判断；
• （2）固定时间步长法：此种方法模拟时间每次均 以相等的固定步长向前推进，每到达一个新的模 拟时间点需要检查相应的时间段内是否发生了事 件；（有时候需要动态调整步长）
模拟的一般步骤
• 明确问题，建立模型：正确描述研究的问题，明确规定模 拟的目标和任务，确定衡量系统性能或模拟输出结果的目 标函数，然后根据系统的结构及作业规则，分析系统各状 态变量之间的关系，以次为基础建立所研究的系统模型；
用随机模拟计算积分
例1
如下图所示，在正方形内有1/4单位圆。向正方形内投小 石头，假设每次都能够投进正方形内且可以落在正方形内任 何一点。问，小石头落在1/4单位圆内(包含边界)的概率多大？
y
分析：假设头入正方形内的 石头有n块，有k块落入了1/4
1
单位圆内。P为小石头落入
1/4单位圆内的概率。那么根
• 收集和整理数据资料：模拟的实现往往离不开大量数据的 输入，且需要确定随机因素的概率分布特性，并以此为抽 样的根据；
• 编制程序：模拟运行，选择适当的计算机语言，按照系统 数学、逻辑模型编写计算机程序。
• 分析模拟输出结果：一般包括如下几个方面 • （1）模拟结果的统计特性：均值、方差以及置信区间； • （2）灵敏度分析； • （3）根据确定的目标函数，在众多的实现方案中选取最
2、计算过程 n=[2,20,200,2000,5000,10000,50000,100000];
>> for k=1:length(n)
• 当人是系统的一部分时，他的行为往往实验结果有所影响， 这时，最好进行模拟研究；
• 实验时间太长，费用太大，或者有危险，使得试验不容易 进行；
• 有些系统一旦建立起来后无法复原，例如，建立大型企业， 要分析社会和经济效益，不能用建立起来试试看的办法。
那些问题适合计算机仿真解决
• 难以用数学公式表示的系统，或者没有求解数学 模型的有效方法；
模拟的方法
• 设计正确的模拟时间推进机理是进行模拟的一个 非常重要的问题，模拟过程应该根据系统的特征 正确推进模拟时间，使系统中各项要素与发生的 事件保持同步，推进时间模拟的基本方法有：
• （1）下次事件法：是将模拟时间由一个事件发生 时间点推进到紧接着下一个事件发生的时间点。 既时间变化幅度由事件变化确定；
随机模拟（仿真）-simulation
仿真（也称为模拟）：就是用计算机程序在计算机上模 仿各种实际系统的运行过程，并通过计算了解系统随时 间变化的行为或特性。
计算机仿真：是在已经建立的数学、逻辑模型之上，通 过计算机实验，对一个系统按照一定的决策原则或作业 规则，由一个状态变换为另外一个状态的行为进行描述 和分析。