2014年江西省南昌市高三文科数学第二次模拟考试试卷及答案
江西省重点中学盟校2014届高三第二次联考文科数学试卷(带解析)
江西省重点中学盟校2014届高三第二次联考文科数学试卷（带解析）1．已知i 为虚数单位，复数i z2321+-=的共轭复数为z ，则=+z z （ ）A ．i 2321+-B ．i 2321--C ．i 2321+D ．i 2321- 【答案】D 【解析】 试题分析：=+zz112--+=i 2321-，故选D ． 考点：复数的运算和有关概念． 2．已知⎪⎭⎫⎝⎛-=-απαα4cos ,31cos sin 2则= （ ） A ．181 B ．91 C ．92 D ．1817【答案】D【解析】试题分析：由已知可得1-2sin cos αα=19，即8s i n 29α=，所以2c o s ()4πα-=1c o s 2()1c o s (2)1s i n 242222ππααα+-+-+===1817 ，故选D ． 考点：1．二倍角公式．2．同角的基本关系式．3．已知0>a 且1≠a ，则1>ba 是0)1(>-b a 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：若1>ba ，则a>1,b>0或0<a<1,b<0,所以0)1(>-b a ；若0)1(>-b a ，则a>1,b>0或0<a<1,b<0,所以1>ba ，故选C ． 考点：1．指数函数的性质；2．充要条件4．对于实数a 和b ，定义运算b a *，运算原理如右图所示，则式子321ln *41e -⎪⎭⎫ ⎝⎛的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】D 【解析】试题分析：因为b a *=(1),(1),a b a b b a b a+≥⎧⎨+<⎩，而lne 3=3>121()24-=,所以321ln *41e -⎪⎭⎫⎝⎛=lne 3(121()4-+1)=3×(2-1)=9,故选D ．考点：1．新定义；2．指数函数和对数函数的性质．5．已知函数()()()x x f x x f -'+=ln 22，则()1f '= （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B 【解析】试题分析：对函数()()()x x f x x f -'+=ln 22求导得1()2(2)(1)f x x f x''=+-，令x=1，得1(1)2(2)(1)21f f ''=+-=，故选B ． 考点：导数的计算．6．数列{}n a 满足113,1,n n n a a a a +=-=,n A 表示{}n a 前n 项之积，则2014A = （ ） A ．-3 B ．3 C ．-2 D ．2 【答案】A 【解析】试题分析：因为113,1,n n n a a a a +=-=所以a 2=3421,,332a a =-=,数列{a n }是以3为周期的数列，且a 1a 2a 3=-1 ∵2014=3×671+1∴A 2014=（-1）671×3=-3,故答案为-1． 考点：数列递推式．7．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，其中甲成绩的中位数为15，极差为12；乙成绩的众数为13，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有 （ ）A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =<C ．1212,x x s s ==D ．1212,x x s s =>【答案】B 【解析】试题分析：由已知可得x=5，y=1，z=3，甲的成绩是9，14，15，15，16，21； 乙的成绩是 8，13，13，15，19，22；所以1x =91415151621156+++++=，2x =81313151922156+++++=；1s =361001363763+++++=，2s =4944016496163+++++=，故选B ．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．8．下列命题中的真命题是（ ）①若命题:0,sin p x x x ∃<≥，命题q ：函数()22x f x x =-仅有两个零点，则命题p q ⌝∨为真命题；②若变量,x y 的一组观测数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y 均在直线21y x =+上，则y x 与的线性相关系数1r =;③若[],0,1a b ∈，则使不等式21<+b a 成立的概率是41．A ．①②B ．①③C ．②D ．②③ 【答案】A 【解析】试题分析：命题:0,sin p x x x ∃<≥是真命题，所以命题p q ⌝∨为真命题，故①是真命题；由线性相关的定义可知②正确；③不正确，故选A ．考点：1．复合命题真假的判断；2．几何概率；3．线性相关．9．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线m x a y +=121与圆()1222=+-y x 的两个交点关于直线0=-+d y x 对称，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前10项和=( ) A ．109 B ．1110 C ．98 D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：∵直线m x a y +=121与圆（x-2）2+y 2=1的两个交点关于直线x+y-d=0对称， ∴a 1=2，2－d=0,∴d=2,∴S n =n ×2+(1)2(1)2n n n n -⨯=+, 11111(1)1S n n n n ==-++,所以10111111111 (1223341011)S =-+-+-++-=1 111-=1110，故选B ．考点：1．等差数列的前n 项和；2．直线和圆的方程的应用以及圆的对称性；3．数列前n项和的求法．10．如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝45°，底边AB ＝5，高AD ＝3，点E 由B 沿折线BCD 向点D 移动，EM ⊥AB 于M ，EN ⊥AD 于N ，设BM ＝x ，矩形AMEN 的面积为y ，那么y 与x 的函数关系的图像大致是（ ）【答案】A 【解析】试题分析：根据已知可得：点E 在未到达C 之前，y=x （5-x ）=5x-x 2；且x≤3，当x 从0变化到2．5时，y 逐渐变大，当x=2．5时，y 有最大值，当x 从2．5变化到3时，y 逐渐变小， 到达C 之后，y=3（5-x ）=15-3x ，x ＞3， 根据二次函数和一次函数的性质．故选：A ． 考点：动点问题的函数图象；二次函数的图象．11．已知向量()()1,2,,4a b m ==-，且a ∥b ，则()a a b ⋅+=________． 【答案】-5 【解析】试题分析：因为a ∥b ，所以 2m=-4，解得m=-2，()a a b ⋅+=（1,2）·（-2+1，-2）=-1-4=-5． 考点：1．向量平行的充要条件；2．向量的坐标运算．12．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为________．【答案】15+2【解析】 试题分析：由已知中的三视图可得该几何体为：下部是由两个棱长为1的正方体和一个棱长为1的正方体的一半组成，上部是棱长为1的正方体；∴根据三视图可知几何体的表面积为：14×1+2×112⨯+1×15+2．故答案为15+2考点：三视图和几何体的表面积．13．已知()()m x x x f ++=cos tan 为奇函数，且m 满足不等式()0192≤--m m m ，则实数m 的值为______． 【答案】2π±【解析】试题分析：：因为f （x ）为奇函数，所以f （0）=0，即cosm=0，解得m=k π+2π，k ∈Z ，由()0192≤--m m m 解得 -3≤m≤3且m≠0，m≠1，所以m=2π±．考点：三角函数的奇偶性及分式不等式的解法．14．已知离心率为2的双曲线221x y m n+=()R n m ∈,的右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn=____________ ． 【答案】13【解析】试题分析：由题意可得m+n=1，4m n m +=，解得m=14，n=34，所以m n =13考点：双曲线和抛物线的性质．15． 已知集合(){}M=ln 2x y x x R =-∈，{}N=14,x x x a x R ---<∈ 若MN φ≠,则实的数a 取值范围是____________ ．【答案】()1,-+∞ 【解析】试题分析：M={x ︱x>2},N=R ，而14x x ---=3,(1)25,(14)3,(4)x x x x -<⎧⎪-≤≤⎨⎪>⎩，因为MN φ≠，所以a>2×2=－1．考点：集合中元素的特征和集合间的关系16．已知()322sin()sin(),x 2f x x x x R ππ=++-∈ （1）最小正周期及对称轴方程；（2）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且 ()f A =3a =，求BC 边上的高的最大值．【答案】（1）π 5,212k x k Z ππ=+∈（2）2【解析】试题分析：（1）f （x ）解析式利用二倍角的正弦、诱导公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，代入周期公式即可求出f （x ）的最小正周期，根据正弦函数的对称性即可确定出对称轴方程；（2）由()f A =f （x ）解析式，求出A 的度数，利用余弦定理列出关系式，利用基本不等式求出bc 的最小值，将sinA ，bc 的最小值代入三角形面积公式求出△ABC 的面积，然后在求出h 的最大值即可．（1）()2sin 22sin 23f x x x x π⎛⎫=-=--⎪⎝⎭()f x π∴的最小正周期为52,,32212k x k x k Z πππππ-=+=+∈令得（2）由()f A =sin 20=3223A A πππ⎛⎫⎛⎫-=∈∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又A ，， 由余弦定理得222222cos 9=a b c bc A b c bc bc =+-+-≥得9bc ≤即（当且仅当b=c 时取等号）设BC 边上的高为h ，由三角形等面积法知11sin ,322ah bc A h ==≤得h ∴≤h 考点：1．余弦定理；2．正弦函数的对称性和周期；2．基本不等式的运用．17．已知箱子里装有4张大小、形状都相同的卡片，标号分别为1,2,3,4． （1）从箱子中任取两张卡片，求两张卡片的标号之和不小于5的概率；（2）从箱子中任意取出一张卡片，记下它的标号m ，然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的标号n ，求使得幂函数()()nm xn m x f 2-=图像关于y 轴对称的概率．【答案】（1）32（2）316【解析】 试题分析：（1）首先求出从4张卡片中任取2张的取法数，然后再求出两张卡片的标号之和不小于5的取法数，最后根据随机事件的概率公式求解即可． （2）求出数对()n m ,包含的基本事件个数，然后在求出使得幂函数()()nmx n m x f 2-=为偶函数的基本事件个数，最后根据随机事件的概率公式求解即可． （1）P (两张卡片的标号之和不小于5的概率)=325分 （2）数对()n m ,包含16个基本事件，（1,1），（1，2），（1,3），（1,4），（2,1），（2，2），（2,3），（2,4），（3,1），（3，2），（3,3），（3,4），（4,1），（4，2），（4,3），（4,4） 8分其中使得幂函数()()nmxn m x f 2-=为偶函数的基本事件有（2,1），（2，3），（4,3）共3个基本事件，故316P =． 考点：随机事件的概率．18．已知等比数列{}n a 中，54242a a a a +=，前()2m m N *∈项和是前2m 项中所有偶数项和的32倍． （1）求通项n a ；（2）已知{}n b 满足()()n n b n a n N λ*=-∈，若{}n b 是递增数列，求实数λ的取值范围．【答案】（1）2n n a ∴= （2）λ<3 【解析】试题分析：（1）由前()2m m N *∈项和是前2m 项中所有偶数项和的32倍可求出公比q 的值，再根据等比数列的通项公式和54242a a a a +=，求出a 1的值，即得到通项n a ．（2）首先求出b n 的表达式，然后根据{}n b 是递增数列，列出关于λ的不等式，分离出λ即可求解．（1）由已知得()123224232m m a a a a a a a ++++=+++()135212421,22m m a a a a a a a q -++++=+++∴=2分又由542a a aa +=得222333332,28a q a q a q q a a +=+=∴=即，4分332n nn a a q -∴==6分（2）{}n b 是递增数列，1n n b b *+∴>∈对n N 恒成立且()()1122n n n N n n λλ*+∈+->-时，恒成立9分得2n λλ*<+∈对n N 恒成立,即<3考点： 1．等比数列的性质；2．不等式恒成立问题．19．如图，在四棱锥P ABCD -中, E 为AD 上一点，面PAD ⊥面ABCD ，四边形BCDE 为矩形60PAD ∠=，PB =,22PA ED AE ===． （1）已知()PF PC R λλ=∈,且PA ∥面BEF ，求λ的值; （2）求证：CB ⊥面PEB ,并求点D 到面PBC 的距离．【答案】（1）13（2）32【解析】试题分析：（1） 连接AC 交BE 于点M ，连接FM ，由直线与平面平行的性质定理可得//FM AP ，由平行线分线段成比例的性质可得12PF AM FC MC ==，故13λ=． （2）根据勾股定理可知PE AD ⊥，由平面与平面垂直的性质可得PE ⊥面ABCD ，即PE CB ⊥，而已知BE CB ⊥，根据直线与平面垂直判定定理可得CB ⊥面PEB ，由D PBC P DBCV V --=可求出点D 到面PBC 的距离．（1） 连接AC 交BE 于点M ，连接FM ．//PA BEF面//FM AP∴3分//EM CD 12AM AE MC ED ∴== //FM AP ,12PF AM FC MC ∴== 13λ∴=5分（2）2,1,60,AP AE PAD PE PE AD ==∠=∴=∴⊥ 6分又面PAD ⊥面ABCD ，且面PAD 面ABCD AD =,PE ⊥面ABCD PE CB ∴⊥又BE CB ⊥,且PE BE E ∴=,CB ∴⊥面PEB 9分设点D 到面PBC 的距离为d ，由D PBC P DBC V V --=,得11112233232d ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，求得32d =12分考点： 1．直线与平面平行和垂直的判定及性质；2．平行线分线段成比例的性质；3．平面与平面垂直的性质．20．已知1,2F F 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过椭圆右焦点F 2斜率为k（0k ≠）的直线l 与椭圆C 相交于E F 、两点，1EFF ∆的周长为8，且椭圆C 与圆223x y +=相切。
江西省南昌市高三第二次文科数学模拟试题(解析版)
江西省南昌市高三第二次文科数学模拟试题（解析版）数学模拟试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合，，则等于（）A. B. C. D.2. 若实数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 若为实数，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知分别是四面体棱上的点，且，，,，则下列说法错误的是（）A. 平面B. 平面C. 直线相交于同一点D.5. 执行如图程序框图，若，则输出的（）A. B. C. D.6. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，抛物线上一点，若，则的面积为（）A. B. C. D.7. 已知点在不等式组表示的平面区域内，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8. 如图，已知函数（）的部分图像与轴的一个交点为，与轴的一个交点为，那么（）A. B. C. D.9. 在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻，有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有种组合方法，这便是《系辞传》所说：“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻三次有八种不同的情况，即为八卦，在一次卜卦中，恰好出现两个阳爻一个阴爻的概率是（）A. B. C. D.10. 已知定义在上的函数满足：对任意实数都有，，且时，，则的值为（）A. B. C. D.11. 已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数等于（为自然对数的底数）（）A. B. C. e. D.12. 已知双曲线的两焦点分别是，双曲线在第一象限部分有一点，满足，若圆与三边都相切，则圆的标准方程为（）A. B.C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 从某企业的某种产品中抽取1000件，测量该种产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，假设这项指标在内，则这项指标合格，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为__________．14. 已知在等腰直角中，，若，则等于_________．15. 一正三棱柱的三视图如图，该正三棱柱的顶点都在球的球面上，则球的表面积等于______．16. 如图，有一块半径为米，圆心角的扇形展示台，展示台分成两个区域：三角形，弓形，扇形和扇形（其中）.某次菊花展分别在这四个区域摆放：泥金香紫龙卧雪、朱砂红霜，预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：元/米2,，元/米2,，元/米2,，为使预计日总效益最大，的余弦值应等于_____________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知各项均为正数且递减的等比数列满足：成等差数列，前5项和（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若等差数列满足，求数列的前项和.18. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面是等腰直角三角形，，平面平面，点分别是棱上的点，平面平面（Ⅰ）确定点的位置，并说明理由；（Ⅱ）求三棱锥的体积.19. 为提升教师专业功底，引领青年教师成长，某市教育局举行了全市“园丁杯”课堂教学比赛．在这次比赛中，通过采用录像课评比的片区预赛，有共10位选手脱颖而出进入全市决赛．决赛采用现场上课形式，从学科评委库中采用随机抽样选代号的7名评委，规则是：选手上完课，评委当场评分，并从7位评委评分中去掉一个最高分，去掉一个最低分，根据剩余5位评委的评分，算出平均分作为该选手的最终得分．记评委对某选手评分排名与该选手最终排名的差的绝对值为“评委对这位选手的分数排名偏差”（）．排名规则：由高到低依次排名，如果选手分数一样，认定名次并列（如：选手分数一致排在第二，则认为他们同属第二名，没有第三名，接下来分数为第四名）．七位评委评分情况如图所示：（Ⅰ）根据最终评分表，填充如下表格，并完成评委4和评委5对十位选手的评分的茎叶图；（Ⅱ）试根据评委对各选手的排名偏差的平方和，判断评委4和评委5在这次活动中谁评判更准确．20. 已知椭圆的两焦点分别是，点在椭圆上，（1）求椭圆的方程；（2）设是轴上的一点，若椭圆上存在两点，使得，求以为直径的圆面积的取值范围．21. 已知函数．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数有极小值，求该极小值的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线，的直角坐标方程；（Ⅱ）若，交于点，曲线与轴交于点，求线段的中点到点的距离．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数，．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．高三第二次文科数学模拟试题（解析版）数学模拟试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：可求出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．详解：A={x|0＜x＜4}，B={x|x＜﹣1，或x＞3}；∴A∩B={x|3<x<4}=．故选：D．点睛：考查描述法、区间表示集合的概念，以及补集、交集的概念及运算．2. 若实数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】试题分析：利用复数的运算法则、复数相等即可得出．详解：∵+y=2+i（i为虚数单位），∴x+y+yi=（1+i）（2+i）=1+3i，∴，解得y=3，x=﹣2．则x+yi在复平面内对应的点（﹣2，3）位于第二象限．故选：B．点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3. 若为实数，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：由，则成立，反之：如，即可判断关系．详解：由，则成立，反之：如，则不成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B．点睛：本题主要考查了不等式的性质及必要不充分条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4. 已知分别是四面体棱上的点，且，，,，则下列说法错误的是（）A. 平面B. 平面C. 直线相交于同一点D.【答案】B【解析】试题分析：根据题目中的条件得到线线平行，再得到线面平行，ABD就可以判断正误了，对于C选项根据课本定理，两个平面的交线的性质得到证明.详解:A :，，,，可得到GH平行于AC，EF平行于AC，故平面得到，选项正确.B :因为BD和FH不平行，而且两条直线在同一平面内，故得到两直线延长后相交，可得到BD与平面EFG 是相交的关系.选项不正确.D:，，,，可得到GH平行于AC，EF平行于AC，由平行线的传递性得到，选项正确.故答案为：B.点睛:这个题目考查的是直线和平面的位置关系的判断，线面平行的判定，线线平行的判定，直线共点的判定，一般证明线面平行是从线线平行入手，通过构造平行四边形，三角形中位线，梯形底边等，找到线线平行，再证线面平行.5. 执行如图程序框图，若，则输出的（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值，模拟程序运行过程，可得答案．详解：若，则：满足循环的条件，；满足循环的条件，；满足循环的条件，；满足循环的条件，；满足循环的条件，；满足循环的条件，；满足循环的条件，；满足循环的条件，，当时，不满足进行循环的条件，此时输出结果，故选B．点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出结果，当循环次数不多时或有规律时，常常采用模拟循环的方法求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．6. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，抛物线上一点，若，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由抛物线的定义，求得点的坐标，进而求解三角形的面积．详解：由抛物线的方程，可得，准线方程为，设，则，即，不妨设在第一象限，则，所以，故选A．点睛：本题主要考查了抛物线的定义及性质的应用，其中熟记抛物线的定义和性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．7. 已知点在不等式组表示的平面区域内，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：作出约束条件所表示的平面区域，由，求得点的坐标，即可得到结果．详解：作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由，解得，且点，又因为点在不等式组的平面区域内，所以实数的取值范围是，故选C．点睛：本题主要考查了线性规划的应用，其中正确作出约束条件所表示的平面区域是解答的关键，着重考查了数形结合思想和推理与运算能力．8. 如图，已知函数（）的部分图像与轴的一个交点为，与轴的一个交点为，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由特殊点的坐标求出φ，再根据五点法作图求出ω，可得函数的解析式；再根据定积分的意义，以及定积分的计算公式，求出弧线AB与两坐标所围成图形的面积．详解：如图，根据函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣φ＜0）的部分图象与y轴的交点为B（0，），可得cosφ=，∴cosφ=，∴φ=﹣．根据函数的图象x轴的一个交点为A（﹣,0），结合五点法作图可得ω•（﹣）﹣=﹣，∴ω=2，∴函数f（x）=cos（2x﹣）．故.点睛：已知函数的图象求解析式:(1)；(2)由函数的周期求；(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.9. 在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻，有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有生八卦”，有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻三次有八种不同的情况，即为八卦，在一次卜卦中，恰好出现两个阳爻一个阴爻的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：基本事件总数n=23=8，这六爻恰好有两个阳爻一个阴爻包含的基本事件m=3，由此能求出这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻的概率．详解：在一次所谓“算卦”中得到六爻，基本事件总数n=23=8，这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻包含的基本事件m=3，∴这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻的概率是p=．故选：C．点睛:本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，古典概型一般是事件个数之比，即满足条件的事件个数除以总的事件个数即古典概型的概率.10. 已知定义在上的函数满足：对任意实数都有，，且时，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据题干条件得到函数的周期性和奇偶性，从而得到，由得到结果.详解：对任意实数都有,可得到函数的周期是6，，即函数为偶函数，则,根据奇偶性得到=-2.故答案为：B.点睛：这个题目考查的是函数的基本性质，周期性和奇偶性的应用，对于抽象函数求解析式，一般先要研究函数的这两个性质，通过周期将要求的函数的自变量化到题中所给的区间，再应用奇偶性求职即可.11. 已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数等于（为自然对数的底数）（）A. B. C. e. D.【答案】C【解析】试题分析：根据分段函数的解析式画出函数图像，得到函数的单调性，由图像知道函数和函数第一段相切即可，进而转化为方程的解得问题, 根据导数的几何意义得到,解出方程即可. 详解：根据分段函数的表达式画出函数图像得到函数是单调递增的，由图像知道函数和函数第一段相切即可，设切点为（x,y）则根据导数的几何意义得到解得，k=e.故答案为：C.点睛:这个题目考查了导数的几何意义，本题中还涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.12. 已知双曲线的两焦点分别是，双曲线在第一象限部分有一点，满足，若圆与三边都相切，则圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据双曲线的定义和题干条件得到的长度，再根据圆的切线长定理列方程，解得半径，由双曲线的焦三角形的内切圆的结论得到内切圆圆心坐标，即可求得圆的方程.详解：设则m+n=14,根据双曲线的定义得到m-n=2,解得m=8,n=6,根据双曲线的方程得到c=5,2c=10,故得到三角形是以角P为顶点的直角三角形，圆是其内切三角形，设半径为r，根据切线长定理得到8-r=4+r，解得r=2,圆心坐标为（1,2）故得到方程为.故答案为：A.点睛：这个题目考查的是双曲线的几何意义的应用，以及圆的切线长定理的应用，焦三角形内切圆的结论的应用，解决圆锥曲线中和焦三角形有关的问题，主要会应用到圆锥曲线的定义，余弦定理，面积公式等.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 从某企业的某种产品中抽取1000件，测量该种产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，假设这项指标在内，则这项指标合格，估计该企业这种产品在这项指标上的合格率为__________．【答案】0.79【解析】分析：由频率分布直方图求出这种指标值在内的频率，由此能估计该企业这种产品在这项指标上的合格率．详解：这种指标值在内，则这项指标合格，由频率分布直方图得这种指标值在内的频率为，所以估计该企业这种产品在这项指标上合格率为．点睛：本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.14. 已知在等腰直角中，，若，则等于_________．【答案】-2【解析】试题分析：由条件可得，运用向量的加减运算和数量积的性质，计算可得所求值．详解：等腰直角△ABC 中，|BA|=|BC|=2，可得,故答案为：﹣2．点睛：本题考查向量的加减运算和向量数量积的性质，考查运算能力，属于基础题．解决向量小题的常用方法有向量共线定理、平面向量基本定理、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在解决多元的范围或最值问题时，常用的解决方法有：多元化一元，线性规划的应用，均值不等式的应用等.15. 一正三棱柱的三视图如图，该正三棱柱的顶点都在球的球面上，则球的表面积等于______．【答案】【解析】试题分析：首先利用三视图得到外接球的半径，进一步利用球的表面积公式求出结果．详解：根据正三棱柱的三视图：得到三棱柱底面等边三角形的高为，则：底面中心到地面顶点的距离为：，故正三棱柱的外接球半径为：r=，故：S=4π•52=100π，故答案为：100π点睛：这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式，一般三试图还原的问题，可以放到特殊的正方体或者长方体中找原图，找外接球的球心，常见方法有：提圆心；建系，直角三角形共斜边则求心在斜边的中点上.16. 如图，有一块半径为米，圆心角的扇形展示台，展示台分成两个区域：三角形，弓形，扇形和扇形（其中）.某次菊花展分别在这四个区域摆放：泥金香紫龙卧雪、朱砂红霜，预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：元/米2,，元/米2,，元/米2,，为使预计日总效益最大，的余弦值应等于_____________.【答案】【解析】分析：设日总效益设为，运用三角形的面积公式和扇形的面积公式，即可得到目标函数，求得导数，即可得到所求最大值点．详解：设日总效益设为，则,又由，可得，解得，由，函数递增，，函数递减，既有，即由时，预计日收益最大，所以的余弦值为．点睛：本题主要考查了的实际应用问题，以及利用导数研究函数的单调性和利用导数求解函数的极值与最值，其中正确理解题意，列出函数关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知各项均为正数且递减的等比数列满足：成等差数列，前5项和（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若等差数列满足，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）根据等差数列的性质得到，由等比数列的公式得到，等比数列求和即可；（2）由第一问得到，根据等比数列求和公式求和即可.详解：（Ⅰ）由成等差数列得：，设公比为，则，解得或（舍去），所以，解得：．所以数列的通项公式为（2）设等差数列的公差为，由得：，所以，，数列的前项和．点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。
江西省南昌市-高三第二次模拟试卷文科数学.4
江西省南昌市-高三第二次模拟试卷数学(文科)一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合P ＝{2|23,y y x x x R =-+∈}, Q={|ln(2)x y x =+},则PQ =A ．RB ．(-2,+∞)C ．[)2,+∞D ．(]2,2- 2．已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大 圆上，则该正三棱锥的高是 A ．12B ．32C ．1D ．334.数列{a n }满足a 1+ 3·a 2+ 32·a 3+…+ 3n-1·a n =2n，则a n = A ．1231-•n B ．1321-•n C ．n 21 D ．nn 35．已知α、β是平面，m 、n 是直线，给出下列命题①若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥． ②如果,,,m n m n αα⊂⊄是异面直线，那么n 不与α相交．③若m αβ=，n ∥m ，且,n n αβ⊄⊄，则n ∥α且n ∥β．其中真命题的个数是A ．0B ．3C ．2D ．16.经过圆22:(1)(2)4C x y ++-=的圆心且斜率为1的直线方程为 A.30x y -+= B. 30x y --= C. 10x y +-= D. 30x y ++= 7．已知函数y =sin A (wx φ+)+k 的最大值是4，最小值是0，最小正周期是2π，直线3x π=是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是A ．4sin(4)6y x π=+ B ．2sin(2)23y x π=++C ．2sin(4)23y x π=++D ．2sin(4)26y x π=++8．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数，且在]0,(-∞上是增函数，设)7(log 4f a =，)3(log 21f b =，)2.0(6.0-=f c ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<9．已知函数()sin4xf x π=，如果存在实数1x 、2x ，使得对任意的实数x ，都有12()()()f x f x f x ≤≤，则12x x -的最小值是 （ ）A ．8πB ．4πC ．2πD ．π10．已知)(1x f y -=是函数⎩⎨⎧∈-∈=-]2,1(,12]1,0(,log )(12x x x x f x 的反函数，则)0(1-f 的值是A ．0B ．21C ．43 D ．111．设△ABC 是等腰三角形，0120ABC ∠=，则以,A B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ）A ．122+ B ．132+ C ．12+ D ．13+12．若对任意,x A y B ∈∈，（,A R B R ⊆⊆）有唯一确定的(,)f x y 与之对应，则称(,)f x y 为关于,x y 的二元函数。
2014南昌二模文科数学答案及评分标准
高三数学(文科)答案 第1页（共4页）2014年南昌市高三年级二模数学(文科)参考答案及评分标准二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11. (1,3) 12．3 13．32- 14． 10 15．①②④ 三、解答题：本大题共6个题，共75分．16．解：（1）甲生产一件产品A ，给工厂带来盈利不小于30元的概率为：11911010P =-=……………………………………………………………………………6分 （2）估计甲一天生产的20件产品A 中有120210⨯=件三等品，………………………8分 估计乙一天生产的15件产品A 中有215310⨯=件三等品，……………………………10分 所以估计甲乙两人一天生产的35件产品A 中共有5件三等品.………………………12分 17．解：（1）因为445566,,a S a S a S +++成等差数列，所以55446655a S a S a S a S +--=+--，………………………………………………2分 即654230a a a -+=，所以22310q q -+=，因为1q ≠，所以12q =，……………4分 所以等比数列{}n a 的通项公式为12n n a =；………………………………………………6分 （2）1333()242n nn n n a a b ++=⋅=，………………………………………………………9分 133()39322[()1]344212n n n T +-==--．………………………………………………………12分18．解（1）连接AC ，设AC EF H ⋂=，由ABCD 是正方形，4AE AF ==，得H 是EF 的中点，且,EF AH EF CH ⊥⊥，从而有',A H EF CH EF ⊥⊥，所以EF ⊥平面'A HC ，从而平面'A HC ⊥平面ABCD ，…… 2分 过点'A 作'A O 垂直HC 且与HC 相交于点O ， 则'A O ⊥平面ABCD ………………3分因为正方形ABCD 的边长为6，4AE AF ==，ABCD F A 'OH高三数学(文科)答案 第2页（共4页）得到：'A H CH ==1cos '2A HC ∠==，所以'cos ''HO A H A HC A O =⋅∠==所以五棱锥'A BCDFE -的体积211(644)323v =⨯-⨯⨯=；………………6分 （2）线段'A C 上存在点M ，使得'//A M 平面'A EF，'A M =7分证明：'A M =1'4A C =，14HO HC =， 所以//'OM A H ，所以//OM 平面'A EF ，……………………………………………9分 又//BD EF ，所以//BD 平面'A EF ，…………………………………………………10分 所以平面//MBD 平面'A EF ， …………………………………………………………11分 由BM 在平面MBD 内，所以//BM 平面'A EF .……………………………………12分19．解：（1）由2AN AC =，得点N 在射线AC 上， 4AN =，2116214cos12021BN =+-⨯⨯⨯︒=，即BN =5分（2）设BAM x ∠=，则120CAM x ∠=︒-，因为ABC △的面积等于△ABM 与△ACM 面积的和，所以111sin sin(120)sin120222AB AM x AC AM x AB AC ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅︒-=⋅⋅⋅︒，得：AM =，………………………………………………………7分又30,3MAN AM AN ∠=︒⋅=,所以cos303AM AN ⋅⋅︒=,即4sin AN x x =+，所以△ABN的面积1(4sin )sin(30)2S x x x =⋅+⋅+︒225sin cos 2x x x x +即5sin 22)4S x x x φ==-+ ………………………10分（其中：sin φφφ==为锐角）， 所以当290x φ-=︒时，△ABN的面积最大，最大值是4．………………12分 20．解：（1，所以2,a b c ==，高三数学(文科)答案 第3页（共4页）所以椭圆方程可化为：222214x y b b+=，直线l的方程为y x =，………………2分由方程组222214x y b by x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：2224()4x x b ++=,即22580x b ++=,…4分 设1122(,),(,)C x y D x y，则125x x +=-，………………………………………5分 又1122112212(,)(,)(,)(,)2()AC AD BC BD x a y x a y x a y x a y a x x ⋅-⋅=+⋅+--⋅-=+，所以4()b ⋅=1b =，椭圆方程是2214x y +=；………………7分 （2）由椭圆的对称性，可以设12(,),(,)P m n P m n -，点E 在x 轴上，设点(,0)E t ，则圆E 的方程为2222:()()x t y m t n -+=-+，由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E 距离的最小值是1||PE ， 设点(,)M x y 是椭圆C 上任意一点，则222223||()214ME x t y x tx t =-+=-++,…9分 当x m =时，2||ME 最小，所以24332t tm -=-=①……………………………………10分 又圆E 过点F，所以222()()t m t n =-+②……………………………………11分 点1P 在椭圆上，所以2214m n =-③ ……………………………………………………12分由①②③解得：t =或t =t =2m =<-，不合， 综上：椭圆C 存在符合条件的内切圆，点E的坐标是(2-．……………………13分 21.解：（1）0b =时，()sin f x x ax =-，则'()cos f x x a =-，……………………2分 当1a ≥时，'()0f x <，所以函数()f x 在区间(0,)π上单调递减；…………………3分 当1a ≤-时，'()0f x >，所以函数()f x 在区间(0,)π上单调递增；……………… 4分 当11a -<<时，存在(0,)φπ∈，使得cos a φ=，即()0f φ=，(0,)x φ∈时，'()0f x >，函数()f x 在区间(0,)φ上单调递增， ……………………5分 (,)x φπ∈时，'()0f x <，函数()f x 在区间(,)φπ上单调递减. ……………………6分（2）2a b =时，()sin (2cos )2af x x x x =-+，猜测()0f x <恒成立，……………7分证明：()0f x <等价于sin 2cos 2x a x x <+，记sin ()2cos 2x ag x x x =-+，则222cos 1111'()3()(2cos )22cos 323x a a g x x x +=-=---+++，……………………………10分高三数学(文科)答案 第4页（共4页）当123a ≥，即23a ≥时，'()0g x ≤，()g x 在区间(0,)+∞上单调递减，……………12分 所以当0x >时，()(0)0g x g <=，即()0f x <恒成立；……………………………14分。
2014年江西省南昌市高考数学二模试卷(文科)
2014年江西省南昌市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知复数，则z在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】解：===，则此复数在复平面上对应的点为（，），在第四象限，故选D．由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以2-i，再进行计算求出此复数对应的点得坐标，即可得到答案．本题考查复数代数形式的乘除运算和复数的几何意义，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭复数，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握．2.已知全集U={-2，-1，0，1，2，3}，M{-1，0，1，3}，N{-2，0，2，3}，则（∁U M）∩N为（）A.{-1，1}B.{-2}C.{-2，2}D.{-2，0，2}【答案】C【解析】解：∵U={-2，-1，0，1，2，3}，M{-1，0，1，3}，∴∁U M={-2，2}，又N={-2，0，2，3}，∴（∁U M）∩N={-2，2}，故选C．依题意，可求得∁U M={-2，2}，从而可求得（∁U M）∩N．本题考查交、并、补集的混合运算，属于基础题．3.下列说法正确的是（）A.命题“存在x∈R，x2+x+2013＞0”的否定是“任意x∈R，x2+x+2013＜0”B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C.函数f（x）=在其定义域上是减函数D.给定命题p、q，若“p且q”是真命题，则￢p是假命题【答案】D【解析】解：对于A，命题“存在x∈R，x2+x+2013＞0”的否定是“任意x∈R，x2+x+2013≥0”，∴A错误；对于B，两个三角形面积相等，不能得出这两个三角形全等，∴必要条件不成立，∴B错误；对于C，函数f（x）=在其定义域的两个区间（-∞，0）和（0，+∞）上分别是减函数，∴C错误；对于D，给定命题p、q，若“p且q”是真命题，∴p、q都是真命题，∴￢p是假命题，∴D正确．故选：D．A中，写出命题p的否定￢p，判定A错误；B中，由两三角形面积相等，不能推出两三角形全等，判定B错误；C中，函数f（x）在其定义域的两个区间上分别是减函数，判定C错误；D中，由“p且q”是真命题，得出p、q都是真命题，从而得￢p是假命题，判定D正确．本题通过命题真假的判定，考查了命题的否定、充分与必要条件，函数的单调以及复合命题的真假性问题，是综合性题目．4.已知函数f（x）=cosωx（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=sin（ωx+）的图象，只要将y=f（x）的图象（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=cosωx（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，∴由得ω=2，∴函数f（x）=cos2x，g（x）=sin（2x+）∴要得到函数g（x）=sin（2x+）的图象，由于sin（2x+）=cos（2x+-）=cos（2x-），得到函数g（x）=cos（2x-）即可，∴需要把函数f（x）=cos2x图象向右平移个单位长度，故选B．根据最小正周期为π，可以求出ω的值，然后再利用图象平移求解．本题考查了余弦型函数的性质、诱导公式及图象变换，关键是用诱导公式把两个函数的名称化成一致的．5.一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球O的球面上，球O的表面积是（）A.2πB.4πC.8πD.16π【答案】C【解析】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为2，底面为等腰直角三角形，如图：SA⊥平面ABC，SA=2，AC的中点为D，在等腰直角三角形SAC中，取O为SC的中点，∴OS=OC=OA=OB，∴O为三棱锥外接球的球心，R=，∴外接球的表面积S=4π×=8π．故选：C．几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为等腰直角三角形，取O为SC的中点，可证OS=OC=OA=OB，由此求得外接球的半径，代入球的表面积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，判断几何体的特征性质及数据所对应的几何量是关键．6.方程（x2+y2-2x）=0表示的曲线是（）A.一个圆和一条直线B.一个圆和一条射线C.一个圆D.一条直线【答案】D【解析】解：由题意，（x2+y2-2x）=0可化为x+y-3=0或x2+y2-2x=0（x+y-3≥0）∵x+y-3=0在x2+y2-2x=0的上方，∴x2+y2-2x=0（x+y-3≥0）不成立，∴x+y-3=0，∴方程（x2+y2-2x）=0表示的曲线是一条直线．故选：D．将方程等价变形，即可得出结论．本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．7.已知函数y=f（x）是周期为2的周期函数，且当x∈[-1，1]时，f（x）=2|x|-1，则函数F（x）=f（x）-|lgx|的零点个数是（）A.9B.10C.11D.12【答案】B【解析】解：∵函数F（x）=f（x）-|lgx|的零点，即为函数y1=|lgx|，y2=f（x）的图象的交点，又∵函数y=f（x）是周期为2的周期函数，且当x∈[-1，1]时，f（x）=2|x|-1，在同一坐标系中画出两个函数y1=|lgx|，y2=f（x）的图象，如下图所示：由图可知：两个函数y1=|lgx|，y2=f（x）的图象共有10个交点，故函数F（x）=f（x）-|lgx|有10个零点，故选：B．在坐标系中画出两个函数y1=|lgx|，y2=f（x）的图象，分析两个图象交点的个数，进而可得函数F（x）=f（x）-|lgx|的零点个数．本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系，通过转化和作图求出函数零点的个数．8.已知函数y=f（x）对任意的x∈R满足2x f′（x）-2x f（x）ln2＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）A.2f（-2）＜f（-1）B.2f（1）＞f（2）C.4f（-2）＞f（0）D.2f（0）＞f（1）【答案】A【解析】解：构造函数g（x）=，则g′（x）=′，∵x∈R满足2x f′（x）-2x f（x）ln2＞0，∴g′（x）＞0，即函数g（x）在R上单调递增，则g（-2）＜g（-1），g（1）＜g（2），g（-2）＜g（0），g（0）＜g（1），即＜，＜，＜，＜，即2f（-2）＜f（-1），2f（1）＜f（2），4f（-2）＜f（0），2f（0）＜f（1），故A正确．故选：A．根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．本题主要考查函数单调性的应用，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强，有一点的难度．9.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱A1B1，CD的中点，点M是EF的动点，FM=x，过点M、直线AB的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为V（x），则函数V（x）的大致图象是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】解：如图：（1）当＜＜时，过点M、直线AB作平面交CC1，DD1于点P、Q，则四边形ABPQ为矩形，此时，截面下面那部分是三棱矩ADQ-BCP，∵FM=CM1=x，如图：B1C=，△BB1M1∽△PM1C，由相似比得，，，∴CP=，∴三棱矩ADQ-BCP的体积V（x）=S△BCP•AB==；（2）当＜＜时，过点M、直线AB作平面交B1C1，A1D1于点P、Q，则四边形ABPQ为矩形，此时，截面下面那部分是四棱矩ADQA1-BCPB1，∵FM=x，由相似比知C1P=，∴四棱矩ADQA1-BCPB1的体积V（x）==．＜∴V（X）=．＜＜由解析式，知V（x）的图象为C．故选：C．本题关键是理解，体积V（x）的变化是随变x的变化而怎样变化的，可以找列出V关于x的关系式，利用相似比就可以找到它们的关系，从而得到答案，当然此题也可以从体积的变化快慢来理解得到答案．本题考查空间相象能力，函数思想，关键是要求理解变量与变量之间的关系．属于较难题．10.过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=2-，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设右焦点为F′，则∵=2-，∴+=2，∴E是PF的中点，∴PF′=2OE=a，∴PF=3a，∵OE⊥PF，∴PF′⊥PF，∴（3a）2+a2=4c2，∴e==，故选：C．设右焦点为F′，由=2-，可得E是PF的中点，利用O为FF'的中点，可得OE为△PFF'的中位线，从而可求PF′、PF，再由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.若不等式x2+2x+2＞|a-2|对于一切实数x均成立，则实数a的取值范围是______ ．【答案】（1，3）【解析】解：∵函数y=x2+2x+2的最小值为1，∴不等式x2+2x+2＞|a-2|对于一切实数x均成立，则|a-2|＜1，∴1＜a＜3，∴实数a的取值范围是（1，3）．故答案为：（1，3）．构造函数y=x2+2x+2，由二次函数的性质，可以求出函数的最小值，根据不等式x2+2x+2＞|a-2|对于一切实数x均成立，可得|a-2|＜1，即可得到a的取值范围，进而得到答案．本题考查的知识点函数恒成立问题，其中根据二次函数的性质得到函数y=x2+2x+2的最小值是解答本题的关键．12.已知角α（-π＜α＜0）的终边与单位圆交点的横坐标是，则cos（+α）的值是______ ．【答案】【解析】解：角α（-π＜α＜0）的终边与单位圆交点的横坐标是，则角α（-π＜α＜0）的终边与单位圆交点的纵坐标是-，∴cosα=，sinα=-，则cos（+α）=-sinα=，故答案为：．由题意可得角α的终边与单位圆交点的纵坐标是-，由此求得cosα和sinα的值，再根据cos（+α）=-sinα，计算求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于中档题．13.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是______ ．【答案】-【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求S=cos+cos+cosπ+…+cos的值，∵跳出循环的n值为2014，∴输出S=cos+cos+cosπ+…+cos，又cos+cos+cos+cos+cos+cos=0，∴输出S=cos+cos+cosπ+cos=--1=-．故答案为：-．的功能是求S=cos+cos+cosπ+…+cos的值，根据条件判断跳出循环的n值，利用余弦函数的周期性求输出S的值．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．14.观察下列等式23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，53=21+23+25+27+29，…，若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于______ ．【答案】10【解析】解：由题意可得第n行的左边是m3，右边是m个连续奇数的和，设第n行的最后一个数为a n，则有a2-a1=11-5=6=2×（1+2）=1×2+4，a3-a2=19-11=8=2×（2+2）=2×2+4，a4-a3=29-19=10=2×（3+2）=3×2+4，…a n-a n-1=2（n-1+2）=（n-1）×2+4，以上（n-1）个式子相加可得a n-a1=n2+3n-4故a n=n2+3n+1，即n2+3n+1=109解得n=9．∴m=n+1=9+1=10故答案为：10．可得规律：第n行的左边是m3，右边是m个连续奇数的和，设第n行的最后一个数为a n，累加可得a n，本题考查类比推理，涉及累加法求数列的通项公式，属基础题．15.如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则对函数y=f（x）有下列判断：①函数y=f（x）是偶函数；②对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x-2）；③函数y=f（x）在区间[2，3]上单调递减；④函数y=f（x）在区间[4，6]上是减函数．其中判断正确的序号是______ ．【答案】①②④【解析】解：当-2≤x≤-1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，当-1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为的圆，当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，当3≤x≤4时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，∴函数的周期是4．因此最终构成图象如下：①根据图象的对称性可知函数y=f（x）是偶函数，∴①正确．②由图象即分析可知函数的周期是4．∴②正确．③函数y=f（x）在区间[2，3]上单调递增，∴③错误．④函数y=f（x）在区间[4，6]上是减函数，由函数的图象即可判断是真命题、∴④正确．故答案为：①②④．根据正方形的运动，得到点P的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可．本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.某公司生产产品A，产品质量按测试指标分为：指标大于或等于90为一等品，大于或等于80小于90为二等品，小于80为三等品，生产一件一等品可盈利50元，生产一件二等品可盈利30元，生产一件三等品亏损10元．现随机抽查熟练工人甲和新工他们生产产品A为一等品、二等品、三等品的概率．（1）计算甲生产一件产品A，给工厂带来盈利不小于30元的概率；（2）若甲一天能生产20件产品A，乙一天能生产15件产品A，估计甲乙两人一天生产的35件产品A中三等品的件数．【答案】解：（1）甲生产一件产品A，三等品的件数为3+7=10，此时给工厂带来盈利小于30元的概率为，则给工厂带来盈利不小于30元的概率为P=1-=．（2）估计甲一天生产的20件产品A中有20×=2件三等品，估计乙一天生产的15件产品A中有15×=3件三等品，所以估计甲乙两人一天生产的35件产品A中共有5件三等品．【解析】（1）根据古典概型的概率公式进行求解即可．（2）根据条件求出甲乙两人一天内生产的三等品的件数即可得到结论．本题主要考查统计与概率的应用，比较基础．17.已知公比不为1的等比数列{a n}的首项a1=，前n项和为S n，且a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列．（1）求等比数列{a n}的通项公式；（2）对n∈N+，在a n与a n+1之间插入3n个数，使这3n+2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为b n，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：（1）∵a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列，∴2（a5+S5）=（a4+S4）+（a6+S6）…（2分）即2a6-3a5+a4=0，∴2q2-3q+1=0，∵q≠1，∴，…（4分）所以等比数列{a n}的通项公式为；…（6分）（2），…（9分）∴数列{b n}为等比数列，∴．…（12分）【解析】（1）根据a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列，列出方程，求出公比，得到通项公式；（2）由等差数列的性质求出，利用等比数列的前n项和公式求出数列{b n}的前n项和T n．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式及性质的应用，属于一道中档题．18.如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，AE=AF=4，现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置，使得A′C=2．（1）求五棱锥A′-BCDFE的体积；（2）在线段A′C上是否存在一点M，使得BM∥平面A′EF？若存在，求A′M；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）连接AC，设AC∩EF=H，由ABCD是正方形，AE=AF=4，得H是EF的中点，且EF⊥AH，EF⊥CH，从而有A′H⊥EF，CH⊥EF，∴EF⊥平面A′HC，从而平面A′HC⊥平面ABCD，…（2分）过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O，则A′O⊥平面ABCD．…（4分）∵正方形ABCD的边长为6，AE=AF=4，得到：A′H=2，CH=4，∴cos∠A′HC==，∴HO=A′H•cos∠A′HC=，A′O=，∴五棱锥A′-BCDFE的体积V=×（62-×4×4）×=；…（6分）（2）线段A′C上存在一点M，使得BM∥平面A′EF，A′M=．…（7分）证明：∵A′M==A′C，HO=HC，∴OM∥A′H，∴OM∥平面A′EF，…（9分）又BD∥EF，∴BD∥平面A′EF，…（10分）∴平面MBD∥平面A′EF，…（11分）由BM在平面MBD内，∴BM∥平面A′EF．…（12分）【解析】（1）连接AC，设AC∩EF=H，由已知条件推导出平面A′HC⊥平面ABCD，过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O，则A′O⊥平面ABCD，由此能求出五棱锥A′-BCDFE的体积．（2）线段A′C上存在一点M，使得BM∥平面A′EF，A′M=．证明平面MBD∥平面A′EF，即可得出结论．本题考查五棱锥的体积的求法，考查线面平行，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．19.如图已知△ABC中，AB=1，AC=2，∠BAC=120°，点M是边BC上的动点，动点N满足∠MAN=30°（点A，M，N按逆时针方向排列）．（1）若=2，求BN的长；（2）若•=3，求△ABN面积的最大值．【答案】解：（1）由=2，得点N在射线AC上，AN=4，BN2=1+16-2×1×4×cos120°=21，即BN=；（2）设∠BAM=x，则∠CAM=120°-x，∵△ABC的面积等于△ABM与△ACM面积的和，∴°=°，得：AM=，又∠MAN=30°，=3，∴AM•AN•cos30°=3，即，∴△ABN的面积S=°=，即S==+．（其中：sinφ=，cosφ=（其中φ为锐角），∴当2x-φ=90°时，△ABN的面积最大，最大值是．【解析】（1）由=2，得点N在射线AC上，AN=4，再利用余弦定理即可得出；（2）设∠BAM=x，则∠CAM=120°-x，由于△ABC的面积等于△ABM与△ACM面积的和，可得AM=，已知∠MAN=30°，=3，利用数量积可得：，可得△ABN的面积S=°，再利用倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性即可得出．本题综合考查了余弦定理、两角和差的正弦余弦公式、倍角公式、三角形的面积公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，左、右顶点分别为A，B，过点F 且倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，椭圆C的离心率为，•-•=-．（1）求椭圆C的方程；（2）若P1，P2是椭圆上不同两点，P1，P2⊥x轴，圆R过点P1，P2，且椭圆上任意一点都不在圆R内，则称圆R为该椭圆的内切圆．问椭圆C是否存在过点F的内切圆？若存在，求出点R的坐标；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）因为离心率为，所以a=2b，c=，所以椭圆方程可化为：，直线l的方程为y=x+，…（2分）由方程组，得：，即，…（4分）设C（x1，y1），D（x2，y2），则，…（5分）又=（x1+a，y1）•（x2+a，y2）-（x1-a，y1）•（x2-a，y2）=2a（x1+x2），∴4b•（-）=-，解得b=1，∴椭圆方程是．…（7分）（2）由椭圆的对称性，可以设P1（m，n），P2（m，-n），点R在x轴上，设点R（t，0），则圆R的方程为：（x-t）2+y2=（m-t）2+n2，由内切圆定义知道，椭圆上的点到点R距离的最小值是|P1R|，设点M（x，y）是椭圆C上任意一点，则|MR|2=（x-t）2+y2=，…（9分）当x=m时，|MR|2最小，∴m=-=，①…（10分）又圆R过点F，所以（-）2=（m-t）2+n2，②…（11分）点P1在椭圆上，∴，③…（12分）由①②③解得：t=-或t=-，又t=-时，m=＜，不合题意，综上：椭圆C存在符合条件的内切圆，点R的坐标是（-，）．…（13分）【解析】（1）由离心率为，得a=2b，c=，直线l的方程为y=x+，由方程组，得，由此利用已知条件能求出椭圆方程．（2）由椭圆的对称性，设P1（m，n），P2（m，-n），点R在x轴上，设点R（t，0），圆R的方程为：（x-t）2+y2=（m-t）2+n2，由此利用内切圆定义结合已知条件能求出椭圆C存在符合条件的内切圆，点R的坐标是（-，）．本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆的内切圆是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21.已知函数f（x）=sinx-ax-bxcosx（a∈R，b∈R）．（1）若b=0，讨论函数f（x）在区（0，π）上的单调性；（2）若a=2b且a≥，对任意的x＞0，试比较f（x）与0的大小．【答案】解：（1）b=0时，f（x）=sinx-ax，则f′（x）=cosx-a，当a≥1时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在区间（0，π）上单调递减；当a≤-1时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在区间（0，π）上单调递增；当-1＜a＜1时，存在θ∈（0，π），使得cosθ=a，即f（θ）=0，①x∈（0，θ）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，θ）上单调递增，②x∈（θ，π）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（θ，π）上单调递减．（2）a=2b时，f（x）=sinx-x（2+cosx），猜测f（x）＜0恒成立，证明：f（x）＜0等价于＜，令g（x）=，则g（x）==-+，当，即a≥时，g′（x）≤0，g（x）在区间（0，+∞）上单调递减，所以当x＞0时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜0恒成立．【解析】（1）问中，分a≥1，a≤-1，-1＜a＜1进行讨论；（2）中引进新函数g（x），将问题转化为求新函数的单调性问题．本题属于利用导数求函数的单调性问题，解题过程中用到了分类讨论思想，转化思想．。
江西省南昌二中2014届高三上学期第二次月考数学(文)试题(含答案)
南昌二中2014届高三上学期第二次月考数学（文）试题试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合一目要求的.1. 若集合{|2}x A x y ==，集合{|}B x y x ==,则A ∩B= A ．（0，+∞） B ．（1，+∞） C ． [0，+∞） D ．（－∞，+∞） 2．当30<<x 时，则下列大小关系正确的是 A ．x x x 33log 3<< B ．x x x 33log 3<<C ．x xx 3log 33<<D ．333log x x x<<3．已知角α的终边经过点)60cos 6,8(0--m P ,且54cos -=α,则m 的值为A ．21B ．21-C ．23-D ．234．函数)42(sin 32πω+=x y 的最小正周期为π，则ω为A ．2B ．4C ．2±D ．4±5．已知31)4sin(=-πα，则)4cos(απ+的值等于A ．322 B ．322- C ．31 D ．31-6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足x e f x x f ln )(2)(+'=，则=')(e fA ．1-eB ．1-C ．1--eD ．e -7．若函数()x f y =的导函数为()x f y '=，且()⎪⎭⎫ ⎝⎛+='62cos 2πx x f ，则()x f y = 在[]π,0上的单调增区间为A ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0πB ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,32C ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π和⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,3D ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π和⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,32A B DC（第14题）8．如图是函数4sin()y x =ω+ϕ(0,||)ω>ϕ<π图像的 一部分，则A ．135,56πω=ϕ=B ．11,56πω=ϕ=C ．75,56πω=ϕ=D ．23,56πω=ϕ=9．在ABC ∆△中，若3sin 4cos 6A B +=，4sin 3cos 1B A +=，则角C 为 A ．030 B ． 030或0150 C ．0150 D ． 060 10．设R x ∈，则()x f =x cos cos 与()x g =x sin sin 的大小关系（ ） A ．)()(x g x f < B ．)()(x g x f ≤ C ．)()(x g x f > D ．)()(x g x f ≥二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知()πϕϕπ<<=+0,23)2sin(，则ϕt a n =________ ． 12．若(cos )cos 2f x x =,则(sin15)f ︒=____________.13．函数32cos sin cos y x x x =+-的最大值____________.14．如图, 在ABC ∆中, 45=∠B ,D 是BC 边上一点,3,7,5===DC AC AD ,则AB 的长为________.15．对于ABC ∆，有如下四个命题:①若sin 2sin 2A B = ，则∆ABC 为等腰三角形，②若sin cos B A =，则∆ABC 是不一定直角三角形③若222sin sin sin A B C +>，则∆ABC 是钝角三角形④若cos cos cos222a b cA B C ==，则∆ABC 是等边三角形。
数学(文科)
度南昌市高三第二次模拟测试卷数学(文科)参考答案及评分标准11．2； 12．29； 13．4； 14．222coscos cos 2cos cos sin 222222A B C B C A =+-； 15．{|1x x ≤-或2}x ≥ 三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．解：（1）由题意可知，第3组的人数为0.0651000300⨯⨯=，第4组的人数为0.0451000200⨯⨯=，第5组的人数为0.025*******⨯⨯=。
………………………3分 所以利用分层抽烟在600名志愿者中抽取12名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：123006600⨯=，第4组122004600⨯=，第5组121002600⨯=………………6分 （2）设第四组的四名志愿者分别为1234,,,A A A A ，第五组的2名志愿者分别为12,B B ，从这六人中抽取3人的所有结果有：123124134234121122131132141142231,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A A B A A B A A B A A B A A B A A B A A B 232241242341342112212312412,,,,,,,,.A A B A A B A A B A A B A A B A B B A B B A B B A B B …………8分符合条件的有:121122131132141142231232241242,,,,,,,,,,A AB A A B A A B A A B A A B A A B A A B A A B A A B A A B 341342,.A A B A A B ……………………………………………………………………………10分所以所求概率是123.205P ==………………………………………………………………12分 17．解：（1）1(sin cos ,)2m n x x +=+，所以21111()(sin cos )sin sin sin cos sin 2cos 22222f x x x x x x x x x =+-=+-=-，…3分即()f x )24x π=-，………………………………………………………………4分当[0,]2x π∈时，32[,]444x πππ-∈-，sin(2)[42x π-∈-，所以当[0,]2x π∈时，函数()y f x =的值域是1[,22-；……………………………6分（2）由()25B f =，得3sin()45B π-=，又(,)444B πππ-∈-，所以4cos()45B π-=，………………………………………………………………………8分因此”2cos cos[()]cos()cos sin()sin 44444410B B B B ππππππ=-+=---=, ……9分 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2223242298225510c c c =+-⨯⨯， ……11分 所以：52,8c a ==。
数学_2014年江西省某校高考数学二模试卷(文科)(含答案)
2014年江西省某校高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1. 设全集U =M ∪N =﹛1，2，3，4，5﹜，M ∩∁U N =﹛2，4﹜，则N =( )A {1, 2, 3}B {1, 3, 5}C {1, 4, 5}D {2, 3, 4}2. 设i 是虚数单位，复数1+ai 2−i 为纯虚数，则实数a 为（ ） A 2 B −2 C −12 D 123. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 4=S 9，则a 7=( )A 1B 2C 3D 04. 给出下列命题，其中真命题的个数是（ ）(1)相关系数r(|r|≤1)，|r|值越大，变量之间的线性相关程度越高．(2)命题p:∀x ∈R ，x 2−2x +3>0，则¬p:∃x ∈R ，x 2−2x +3<0．(3)若a ，b 为实数，则0<ab <1是b <1a 的充分而不必要条件． A 1 B 2 C 3 D 05. 如图给出的是计算12+14+16+⋯+120的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ）A i <20B i >20C i <10D i >106. 设e 1→，e 2→是平面内两个不共线的向量，AB →=(a −1)e 1→+e 2→，AC →=be 1→−2e 2→(a >0, b >0)，若A ，B ，C 三点共线，则ab 的最大值是（ ）A 14B 12C 16D 18 7. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)，其中ω>0，|φ|≤π2，若f(x)图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，且当x =π6时，f(x)取得最大值，则f(x)在[π6, 7π6]上（ ） A 是减函数 B 是增函数 C 先增后减函数 D 先减后增函数8. 已知偶函数f(x)的定义域为R ，对任意x ∈R ，有f(x +2)=f(x)，当x ∈[0, 1]时，f(x)=−x +1．则函数g(x)=log 6|x|−f(x)的零点的个数是（ ）A 6个B 8个C 10个D 12个9. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左焦点为F ，若该双曲线左支上存在点P ，满足以双曲线虚轴为直径的圆与线段PF 相切于线段PF 的中点，则双曲线的离心率是（ ） A √2 B √3 C 2 D √510. 如图，三棱锥P −ABC 的底面是正三角形，各条侧棱均相等，∠APB <60∘．设点D 、E 分别在线段PB 、PC 上，且DE // BC ，记PD =x ，△ADE 周长为y ，则y =f(x)的图象可能是（ ）A B C D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．11. 函数y =f(x)的图象在点P （3, f(3)）处的切线方程为y =x +2，f′(x)为f(x)的导函数，则f(3)+f′(3)________．12. 从平面区域G ={(a, b)|−1≤a ≤1, −1≤b ≤1}内随机取一点(a, b)，则使得不等式x 2+2bx +a 2≥0对于任意实数x 都成立的概率是________．13. 如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为________． 14. 已知MN 是边长为2的正△ABC 内切圆的一条直径，P 为边AB 上的一动点，则PM →⋅PN →的取值范围是________．15. 已知点F 为抛物线y 2=−8x 的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.16. 已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ⋅cosB −(2a −b)(2cos 2C 2−1)=0．（1）求角C 的大小；（2）若c =2√3，S △ABC =2√3，求边a ，b 的值．17. 在正项数列{a n }中，a 1=1，a 5=16，对于任意的n ∈N ∗，函数f(x)=a n+12x −a n a n+2(cosx +sinx)，满足f′(0)=0．（1）求数列{a n }的通项公式．（2）设b n =2n−1n(n+2)a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n <34．18. 某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少75%的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区”．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区．(1)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；(2)假定选择的“非低碳小区”为小区A，调查显示其“低碳族”的比例为12，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区A是否达到“低碳小区”的标准？19. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1＝AC＝2AB＝2，且BC1⊥A1C．(Ⅰ)求证：平面ABC1⊥平面A1C1CA；(Ⅱ)设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使DE // 平面ABC1；若存在，求三棱锥E−ABC1的体积．20. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1, 0)，离心率e=√22，A，B是椭圆上的动点．（1）求椭圆标准方程；（2）若直线OA与OB的斜率乘积k OA⋅k OB=−12，动点P满足OP→=OA→+OB→（O为坐标原点）．问是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标，若不存在，说明理由．21. 已知实数a>0，函数f(x)=e x−ax−1（e为自然对数的底数）．（1）求函数f(x)的单调区间及最小值；（2）若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：(1 n )n+(2n)n+⋯+(n−1n)n+(nn)n<ee−1，其中n∈N∗．]．2014年江西省某校高考数学二模试卷（文科）答案1. B2. A3. D4. A5. D6. B7. A8. C9. D10. C11. 612. 1213. 9√314. [0, 1]15. 2√1316. 解：（1）∵ c⋅cosB−(2a−b)(2cos2C2−1)=0．∴ sinCcosB−2sinAcosC+sinBcosC=0，∴ sin(B+C)=2sinAcosC，∴ sinA=2sinAcosC，∴ cosC=12，∵ 0<C<π，∴ C=π3．（2）S=12absinC=2√3，∴ ab=8，①∵ cosC=a2+b2−c22ab =a2+b2−1216=12，∴ a2+b2=20，②由①②求得a=2，b=4或a=4√2，b=√2．17. 解：（1）∵ f(x)=a n+12x−a n a n+2(cosx+sinx)，∴ f′(x)=a n+12−a n a n+2(−sinx+cosx)，由f′(0)=0，得a n+12=a n a n+2，又a n>0，故数列{a n}为等比数列，且公比q>0．…..由a1=1，a5=16，得q4=16，q=2，∴ 通项公式为a n=2n−1．（2）∵ b n=2n−1n(n+2)a n =2n−1n(n+2)2n−1=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，∴ 数列{b n}的前n项和为S n=12(1−13+12−14+13−15+...+1n−1−1n+1+1n−1n+2)=12(1+12−1n+1−1n+2)=34−1n+1−1n+2<34． 即S n <34成立．18. 解：(1)设三个“非低碳小区”为A ，B ，C ，两个“低碳小区”为m ，n ，用(x, y)表示选定的两个小区，x ，y ∈{A, B, C, m, n}，则从5个小区中任选两个小区，所有可能的结果有10个，它们是(A, B)，(A, C)，(A, m)，(A, n)，(B, C)，(B, m)，(B, n)，(C, m)，(C, n)，(m, n)．用D 表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则D 中的结果有6个，它们 是：(A, m)，(A, n)，(B, m)，(B, n)，(C, m)，(C, n)．故所求概率为P(D)=610=35． (2)由图1可知月碳排放量不超过300千克的成为“低碳族”．由图2可知，三个月后的低碳族的比例为0.07+0.23+0.46=0.76>0.75，所以三个月后小区A 达到了“低碳小区”标准．19. （I ）证明：在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，有AA 1⊥平面ABC ．∴ AA 1⊥AC ，又AA 1＝AC ，∴ A 1C ⊥AC 1．又BC 1⊥A 1C ，∴ A 1C ⊥平面ABC 1，∵ A 1C ⊂平面A 1C 1CA ，∴ 平面ABC 1⊥平面A 1C 1CA ．(II)取AA 1中点F ，连EF ，FD ，当E 为B 1B 中点时，EF // AB ，DF // AC 1．即平面EFD // 平面ABC 1，则有ED // 平面ABC 1．在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，有AA 1⊥平面A 1B 1C 1．AA 1⊥A 1C 1，A 1C ⊥平面ABC 1，可得A 1C ⊥AB ，又AA 1⊥AB ，AB ⊥平面AC 1，则AB ⊥A 1C 1，故A 1C 1⊥平面AB 1，当E 为中点时，V E−ABC1＝V C1−ABE =13⋅2⋅12⋅1⋅1=13．20. 解：（1）由题意知：{c =1c a=√22，解得a =√2， ∴ b 2=a 2−c 2=1，∴ 椭圆标准方程为x 22+y 2=1．（2）设P(x, y)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则由OP →=OA →+λOB →得(x, y)=(x1, y1)+λ(x2, y2)=(x1+λx2, y1+λy2)，即x=x1+λx2，y=y1+λy2．∵ 点A、B在椭圆x2+2y2=2上，∴ x12+2y12=2，x22+2y22=2，故x2+2y2=(x12+λ2x22+2λx1x2)+2(y12+λ2y22+2λy1y2) =(x12+2y12)+λ2(x22+2y22)+2λ(x1x2+2y1y2)=2+2λ2+2λ(x1x2+2y1y2)．∵ k OA⋅k OB=y1x1⋅y2x2=−12，∴ x1x2+2y1y2=0，∴ x2+2y2=2+2λ2．即x22+2λ2+y21+λ2=1．∴ P点是椭圆x22+2λ2+y21+λ2=1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|为定值．又∵ c=√1+λ2，∴ 此椭圆的两焦点的坐标为F1(−√1+λ2, 0)，F2(√1+λ2, 0)．∴ 存在两个定点F1(−√1+λ2, 0)，F2(√1+λ2, 0)．使得|PF1|+|PF2|=2√2+2λ2．(III)证明：设A(x1, y1)，D(x2, y2)，由题设可知：x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，x1≠x2，C(x1, 0)，B(−x1, −y1)．由题意可知：k CB=k BD，∴ y12x1=y2+y1x2+x1，③k AB⋅k AD+1=y1x1⋅y2−y1x2−x1+1，④将③代入④得：k AB⋅k AD+1=2(y2+y1)x2+x1⋅y2−y1x2−x1+1=(x22+2y22)−(x12+2y12)x22−x12，⑤点A，D在椭圆x2+2y2=2上，∴ k AB⋅k AD+1=(x22+2y22)−(x12+2y12)x22−x12=2−2x22−x12=0．∴ k AB⋅k AD=−1，∴ AB⊥AD．21. 解：（1）∵ f′(x)=e x−a，当a>0时，若x∈(lna, +∞)，f′(x)>0，得函数f(x)在(lna, +∞)上是增函数；若x∈(−∞, lna)，f′(x)<0，得函数f(x)在(−∞, lna)上是减函数．则当a>0时，函数f(x)的单调递增区间是(lna, +∞)，单调递减区间是(−∞, lna)．即f(x)在x=lna处取得极小值且为最小值，最小值为f(lna)=e lna−alna−1=a−alna−1．（2）若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立，等价为f(x)min≥0，由（1）知，f(x)min=a−alna−1，设g(a)=a−alna−1，则g′(a)=1−lna−1=−lna，由g′(a)=0得a=1，由g′(x)>0得，0<x<1，此时函数单调递增，由g′(x)<0得，x>1，此时函数单调递减，∴ g(a)在a=1处取得最大值，即g(1)=0，因此g(a)≥0的解为a=1，∴ a=1．（3）证明：由（2）知，对任意实数x均有e x−x−1≥0，即1+x≤e x．令(n∈N∗, k=0, 1, 2, 3,…,n−1)，则0<1−kn≤e−k n．∴ (1−kn)n≤(e−k n)n=e−k．∴ (1n )n+(2n)n+⋯+(n−1n)n+(nn)n≤e−（n−1）+e−（n−2）+...+e−2+e−1+1=1−e−n1−e−1<11−e−1=ee−1．∴ (1n )n+(2n)n+⋯+(n−1n)n+(nn)n<ee−1．。
数学_2014年江西省八所重点中学联考高考数学模拟试卷(文科)(含答案)
2014年江西省八所重点中学联考高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足z(1+i)=i （i 为虚数单位），则z 为（ ） A1+i 2Bi−12C 1+iD 1−i2. 已知集合A ={x|x 2≥1, x ∈R}，B ={x|log 2x <2, x ∈R}，则∁R A ∩B =( ) A [0, 1] B (0, 1) C (−3, 1) D [−3, 1]3. 已知函数f(x)={2x (x ≥0)√−x(x <0)，则x =1是f(x)=2成立的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 4. 已知sinα=13，则cos 2(α2+π4)＝（ ）A 16B 23C 13D 125. 为了解高中生平均每周上网玩微信，刷微博，打游戏享受智能手机带来的娱乐生活体验，从高三年级学生中抽取部分同学进行调查，将所得的数据整理如下，画出频率分布直方图（如图），其中频率分布直方图从左至右前3个小组的频率之比为1:3:5，第二组的频数为150，则被调查的人数应为（ ） A 600 B 400 C 700 D 5006. 已知变量x ，y 满足约束条件{x +y −5≤0，x −2y +1≤0，x −1≥0，则z =x 2+y 2+2的最大值( )A 15B 17C 18D 197. 某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（ ）A 92+14πB 82+14πC 92+24πD 82+24π8. 已知m 是区间[0, 4]内任取的一个数，那么函数f(x)=13x 3−2x 2+m 2x +3在x ∈R 上是增函数的概率是（ ） A 14 B 13 C 12 D 239. 过椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)右焦点F 斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点，向量OA →+OB→与向量α→=(−3, 1)共线，则该椭圆的离心率为（ ） A √33B √63C √34D √2310. 如图正方形ABCD 边长为4cm ，E 为BC 的中点，现用一条垂直于AE的直线l 以0.4m/s 的速度从l 1平行移动到l 2，则在t 秒时直线l 扫过的正方形ABCD 的面积记为F(t)(m 2)，则F(t)的函数图象大概是（ ）A B C D二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上） 11. 设a →=(x, 3)，b →=(2, −1)，若a →⊥b →，则|2a →+b →|=________．12. 设正项等比数列{a n }，已知前n 项积为T n ，若T 10=9T 6，则a 5⋅a 12的值为________． 13. 执行如图所示的程序框图，输出的S 是________．14. 不等式|x +2|+|x −1|≥a 2−2a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________． 15. “横看成岭侧成峰，远近高低各不同．”同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识．在数学的解题中，倘若能恰当地改变分析问题的角度，往往会有“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的豁然开朗之感．阅读以下问题及其解答：问题：对任意a ∈[−1, 1]，不等式x 2+ax −2≤0恒成立，求实数x 的取值范围．解：令f(a)=xa +(x 2−2)，则对任意a ∈[−1, 1]，不等式x 2+ax −2≤0恒成立只需满足{x 2−x −2≤0x 2+x −2≤0，所以−1≤x ≤1． 类比其中所用的方法，可解得关于x 的方程x 3−ax 2−x −(a 2+a)=0(a <0)的根为________．三、解答题16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且asinB =√33bcosA ． (1)求A ；(2)设a =√2，S 为△ABC 的面积，求S +2cosBcosC 的最大值，并指出此时B 的值． 17. 设数列{a n }为等比数列，且满足a 1+a 4=916，q =12（其中n ∈N ∗）．（1）求{a n }的通项公式；（2）已知b n =2n −5，记T n =a 1b 1+a 2b 2+...+a n b n ，求T n ．18. 如图，四边形ABCD 为矩形，四边形ADEF 为梯形，FE = // 12AD ，∠AFE =60∘，且平面ABCD ⊥平面ADEF ，AF =FE =AB =2，点G 为AC 的中点． （1）求证：EG // 平面ABF ； （2）求三棱锥B −AEG 的体积．19. 如图，在以AE =2为直径的半圆周上，B 、C ，D 分别为弧AE 的四等分点．（1）在弧AE 上随机取一点P ，求满足OP →在OA →上的投影大于√22的概率；（2）在以O 为起点，再从A ，B ，C ，D ，E 这5个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两向量数量积为x ，则x =√22的概率． 20. 已知抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线L 1:y =−x 的一个交点的横坐标为4．（1）求抛物线C 的方程．（2）过点F 任作直线L 与曲线C 交于A ，B 两点，由点A ，B 分别向(x −1)2+y 2=14各引一条切线，切点分别为P ，Q ，记α=∠AFP ，β=∠BFQ ，求证：cosα+cosβ为定值． 21. 设函数f(x)=ax n+1+bx n (x >0)，n 为正整数，a ，b 均为常数，曲线y =f(x)在（1, f(1)）处的切线方程为x +y −1=0． （1）求a 、b 值；（2）求函数f(x)的最大值；（3）证明：对任意的x ∈(0, +∞)都有nf(x)<1e ．（e 为自然对数的底）2014年江西省八所重点中学联考高考数学模拟试卷（文科）答案1. A2. B3. A4. C5. D6. D7. A8. C9. B 10. D 11. 5√2 12. 3 13. −6 14. [−1, 3]15. x 1=a +1，x 2=−1+√1−4a2，x 3=−1−√1−4a216. 解：(1)在△ABC 中，∵ asinB =√33bcosA ， ∴ 由正弦定理得：sinAsinB =√33sinBcosA ， ∴ tanA =√33， ∴ A =π6；(2)由正弦定理asinA =bsinB =csinC =2√2， ∴ S =12bcsinA =2sinBsinC ，∴ S +2cosBcosC =2sinBsinC +2cosBcosC =2cos(B −C)≤2， 当且仅当B =C =5π12时，S +2cosBcosC 的最大值为2．17. 解：（1）∵ 数列{a n }为等比数列，且满足a 1+a 4=916，q =12， ∴ a 1[1+(12)3]=916，解得a 1=12， ∴ a n =(12)n ．（2）∵ b n =2n −5，a n =(12)n ，T n =a 1b 1+a 2b 2+...+a n b n ，∴ T n =−32+−122+123+...+2n−52n，①12T n=−322+−123+124+...+2n−52n+1，②①-②，得12T n =−32+12+122+123+...+12n−1−2n−52n+1=−32+12(1−12n−1)1−12−2n −52n+1=−12−12n−1−2n−52n+1，∴ T n =−1−2n−12n．18. （1）证明：取AB 的中点M ，连FM ，GM ， ∵ G 为对角线AC 的中点， ∴ GM // AD ，且GM =12AD ， ∵ EF // AD ，∴ MG // EF ，且EF =GM ， ∴ 四边形GMFE 为平行四边形， ∴ EG // FM ，∴ EG // 平面ABF ．（2）作EN ⊥AD ，垂足为N ，由平面ABCD ⊥面AEFD ，面ABCD ∩面AEFD =AD ， ∴ EN ⊥面ABCD ，即EN 为三棱锥E −ABG 的高， ∵ 在△AEF 中，AF =FB ，∠AFE =60∘， ∴ △AEF 是正三角形， ∴ ∠AEF =60∘，由EF // AD ，知∠EAD =60∘， ∴ EN =AE ⋅sin60∘=√3， MG =12AD =EF =2，∴ S △ABG =12×2×2=2，∴ 三棱锥B −AEG 的体积为：13×2×√3=2√33． 19. 解：（1）由题知|OP →|cos∠AOP >√22， 则0≤∠AOP <π4，∴ 使得OP →在OA →上的射影大于12的概率P =π4π=14，（2）以O 点为起点，从A ，B ，C ，D ，E ，这5个点中任取两点分别为终点得到两个向量所有的基本事件有：(OA →，OB →)，(OA →,OC →)，(OA →,OD →)，(OA →，OE →)，(OB →,OC →)，(OB →，OD →)，(OB →,OE →)，(OC →,OD)→，(OC →，OE →)，(OD →,OE →)， 其中数量积x =√22的有：(OA →，OB →)，(OB →,OC →)，(OC →,OD →)，(OD →，OE →)． 则P(x =√22)=25．20. （1）解：∵ 抛物线C 与直线L 1:y =−x 的一个交点的横坐标为4，∴ 交点坐标为(4, −4)，代入抛物线C:y 2=2px ，可得p =2， ∴ 抛物线C 的方程为y 2=4x ；（2）证明：当l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y =k(x −1)， 代入抛物线方程得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=2k 2+4，x 1x 2=1 ∵ cosα+cosβ=|FP||AF|+|FQ||BF|=12x 1+1+12x 2+1=12，当l 与x 轴垂直时，cosα+cosβ=12， 综上，cosα+cosβ=12．21. 解：（1）∵ 点（1, f(1)）在切线x +y −1=0上， ∴ f(1)=0．又∵ 函数f(x)=ax n+1+bx n ， ∴ f(1)=a +b ， ∴ a +b =0．∵ f′(x)=a(n +1)x n +bnx n−1， ∴ f′(1)=(a +b)n +a =a ， 又∵ 切线x +y =1的斜率为−1， ∴ a =−1，∴ a =−1，b =1．（2）解：由（1）知：f(x)=−x n+1+x n ， 故f′(x)=(n +1)x n−1(n n+1−x)，令f′(x)=0， 解得x =nn+1，即f′(x)在(0, +∞)上有唯一零点x 0=nn+1． 当0<x <n n+1时，f′(x)>0，故f(x)在(0,nn+1)上单调递增；当x >nn+1时，f′(x)<0，故f(x)在(nn+1，+∞)上单调递减． [f(x)]max =f(nn+1)=(nn+1)n (1−nn+1)=n n(1+n)n+1．（3）证明：要对任意的x ∈(0, +∞)都有nf(x)<1e ，只需证f(x)<1ne ．由（2）知f(x)在(0, +∞)上有最大值，[f(x)]max=n n(n+1)n+1，故只需证n n(1+n)n+1<1ne，即(nn+1)n+1<1e，即ln nn+1+1n+1<0，①令nn+1=t(0<t<1)，则1n+1=1−t，①转化为lnt−t+1<0②令g(t)=lnt−t+1(0<t<1)，则g′(t)=1t −1=1−tt，当0<t<1时，g′(t)>0，所以g(t)在(0, 1)上单调递增，∴ g(t)<g(1)=0，即对于任意的0<t<1，②式恒成立，∴ 对任意的x∈(0, +∞)都有nf(x)<1e．。
数学_2014年江西省南昌市高考数学二模试卷(文科)(含答案)
2014年江西省南昌市高考数学二模试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数z=12+i，则z在复平面上对应的点位于（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2. 已知全集U={−2, −1, 0, 1, 2, 3}，M{−1, 0, 1, 3}，N{−2, 0, 2, 3}，则(∁U M)∩N为（）A {−1, 1}B {−2}C {−2, 2}D {−2, 0, 2}3. 下列说法正确的是（）A 命题“存在x∈R，x2+x+2013>0”的否定是“任意x∈R，x2+x+2013<0”B 两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 C 函数f(x)=1x在其定义域上是减函数 D 给定命题p、q，若“p且q”是真命题，则￢p是假命题4. 已知函数f(x)=cosωx(x∈R, ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)=sin(ωx+π4)的图象，只要将y=f(x)的图象（）A 向左平移π8个单位长度 B 向右平移π8个单位长度 C 向左平移π4个单位长度 D 向右平移π4个单位长度5. 一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球O的球面上，球O的表面积是（）A 2πB 4πC 8πD 16π6. 方程(x2+y2−2x)√x+y−3=0表示的曲线是（）A 一个圆和一条直线B 一个圆和一条射线C 一个圆D 一条直线7. 已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[−1, 1]时，f(x)=2|x|−1，则函数F(x)=f(x)−|lgx|的零点个数是()A 9B 10C 11D 188. 已知函数y=f(x)对任意的x∈R满足2x f′(x)−2x f(x)ln2>0（其中f′(x)是函数f(x)的导函数），则下列不等式成立的是()A 2f(−2)<f(−1)B 2f(1)>f(2)C 4f(−2)>f(0)D 2f(0)>f(1)9. 如图：正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱A1B1，CD的中点，点M是EF的动点，FM=x，过点M、直线AB的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为V(x)，则函数V(x)的大致图象是（ ）ABC D10. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左焦点F(−c, 0)(c >0)，作圆x 2+y 2=a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OP →=2OE →−OF →，则双曲线的离心率为（ ） A √10 B√105 C √102D √2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11. 若不等式x 2+2x +2>|a −2|对于一切实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________． 12. 已知角α(−π<α<0)的终边与单位圆交点的横坐标是13，则cos(π2+α)的值是________．13. 如果执行如图的程序框图，那么输出的值是________．14. 观察下列等式23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，53=21+23+25+27+29，…，若类似上面各式方法将m 3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m 等于________．15. 如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点P(x, y)的轨迹方程是y =f(x)，则对函数y =f(x)有下列判断： ①函数y =f(x)是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f(x +2)=f(x −2)； ③函数y =f(x)在区间[2, 3]上单调递减； ④函数y =f(x)在区间[4, 6]上是减函数． 其中判断正确的序号是________．三、解答题：本大题共6个题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 某公司生产产品A ，产品质量按测试指标分为：指标大于或等于90为一等品，大于或等于80小于90为二等品，小于80为三等品，生产一件一等品可盈利50元，生产一件二等品可盈利30元，生产一件三等品亏损10元．现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：根据上表统计得到甲、乙两人生产产品A 为一等品、二等品、三等品的频率分别估计为他们生产产品A 为一等品、二等品、三等品的概率．（1）计算甲生产一件产品A ，给工厂带来盈利不小于30元的概率；（2）若甲一天能生产20件产品A ，乙一天能生产15件产品A ，估计甲乙两人一天生产的35件产品A 中三等品的件数．17. 已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1=12，前n 项和为S n ，且a 4+S 4，a 5+S 5，a 6+S 6成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N +，在a n 与a n+1之间插入3n 个数，使这3n +2个数成等差数列，记插入的这3n 个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18. 如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，AE =AF =4，现将△AEF 沿线段EF 折起到△A′EF 位置，使得A′C =2√6． （1）求五棱锥A′−BCDFE 的体积；（2）在线段A′C 上是否存在一点M ，使得BM // 平面A′EF ？若存在，求A′M ；若不存在，说明理由．19.如图已知△ABC 中，AB =1，AC =2，∠BAC =120∘，点M 是边BC 上的动点，动点N 满足∠MAN =30∘（点A ，M ，N 按逆时针方向排列）． （1）若AN →=2AC →，求BN 的长；（2）若AM →⋅AN →=3，求△ABN 面积的最大值．20. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，B ，过点F 且倾斜角为π4的直线l 交椭圆于C ，D 两点，椭圆C 的离心率为√32，AC →⋅AD →−BC →⋅BD →=−32√35． （1）求椭圆C 的方程；（2）若P 1，P 2是椭圆上不同两点，P 1，P 2⊥x 轴，圆R 过点P 1，P 2，且椭圆上任意一点都不在圆R 内，则称圆R 为该椭圆的内切圆．问椭圆C 是否存在过点F 的内切圆？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，说明理由．21. 已知函数f(x)=sinx −ax −bxcosx(a ∈R, b ∈R)． （1）若b =0，讨论函数f(x)在区(0, π)上的单调性；（2）若a =2b 且a ≥23，对任意的x >0，试比较f(x)与0的大小．2014年江西省南昌市高考数学二模试卷（文科）答案1. D2. C3. D4. B5. C6. D7. B8. A9. C10. C11. (1, 3)12. 2√2313. −3214. 1015. ①②④16. 解：（1）甲生产一件产品A，三等品的件数为3+7=10，此时给工厂带来盈利小于30元的概率为10100=110，则给工厂带来盈利不小于30元的概率为P=1−110=910．（2）估计甲一天生产的20件产品A中有20×110=2件三等品，估计乙一天生产的15件产品A中有15×210=3件三等品，所以估计甲乙两人一天生产的35件产品A中共有5件三等品．17. 解：(1)∵ a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列，∴ 2(a5+S5)=(a4+S4)+(a6+S6)，即2a6−3a5+a4=0，∴ 2q2−3q+1=0，∵ q≠1，∴ q=12，∴ 等比数列{a n}的通项公式为a n=12n.(2)b n=a n+a n+12⋅3n=34⋅(32)n，∴ 数列{b n}为等比数列，∴ T n=34⋅32−(32)n+11−32=94[(32)n−1]．18. 解：（1）连接AC ，设AC ∩EF =H ， 由ABCD 是正方形，AE =AF =4，得H 是EF 的中点， 且EF ⊥AH ，EF ⊥CH ，从而有A′H ⊥EF ，CH ⊥EF ， ∴ EF ⊥平面A′HC ，从而平面A′HC ⊥平面ABCD ，…过点A′作A′O 垂直HC 且与HC 相交于点O ，则A′O ⊥平面ABCD ．… ∵ 正方形ABCD 的边长为6，AE =AF =4， 得到：A′H =2√2，CH =4√2， ∴ cos∠A′HC =8+32−242×2√2×4√2=12， ∴ HO =A′H ⋅cos∠A′HC =√2，A′O =√6，∴ 五棱锥A′−BCDFE 的体积V =13×(62−12×4×4)×√6=28√63；…（2）线段A′C 上存在一点M ，使得BM // 平面A′EF ，A′M =√62．… 证明：∵ A′M =√62=14A′C ，HO =14HC ，∴ OM // A′H ，∴ OM // 平面A′EF ，… 又BD // EF ，∴ BD // 平面A′EF ，…∴ 平面MBD // 平面A′EF ，…由BM 在平面MBD 内，∴ BM // 平面A′EF ．…19. 解：（1）由AN →=2AC →，得点N 在射线AC 上，AN =4， BN 2=1+16−2×1×4×cos120∘=21，即BN =√21； （2）设∠BAM =x ，则∠CAM =120∘−x ，∵ △ABC 的面积等于△ABM 与△ACM 面积的和，∴ 12⋅AB ⋅AMsinx +12⋅AC ⋅AMsin(120∘−x)=12⋅AB ⋅AC ⋅sin120∘， 得：AM =√32(sinx+√3cosx)，又∠MAN =30∘，AM →⋅AN →=3，∴ AM ⋅AN ⋅cos30∘=3，即AN =4sinx +2√3cosx ，∴ △ABN 的面积S =12(4sinx +2√3cosx)⋅sin(x +30∘)=√3sin 2x +√32cos 2x +52sinxcosx ，即S =54sin2x −√34cos2x +3√34=2√74sin(2x −φ)+3√34． （其中：sinφ=√32√7，cosφ=2√7（其中φ为锐角），∴ 当2x −φ=90∘时，△ABN 的面积最大，最大值是2√7+3√34． 20. 解：（1）因为离心率为√32，所以a =2b ，c =√3b ， 所以椭圆方程可化为：x 24b2+y 2b 2=1，直线l 的方程为y =x +√3b ，…由方程组{x 24b 2+y 2b 2=1y =x +√3b ，得：x 2+4(x +√3b)2=4b 2， 即5x 2+8√3bx +8b 2=0，… 设C(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−8√35b ，… 又AC →⋅AD →−BC →⋅BD →=(x 1+a, y 1)•(x 2+a, y 2)−(x 1−a, y 1)•(x 2−a, y 2)=2a(x 1+x 2)， ∴ 4b•(−8√35b)=−32√35，解得b =1，∴ 椭圆方程是x 24+y 2=1．…（2）由椭圆的对称性，可以设P 1(m, n)，P 2(m, −n)，点R 在x 轴上，设点R(t, 0)，则圆R 的方程为：(x −t)2+y 2=(m −t)2+n 2，由内切圆定义知道，椭圆上的点到点R 距离的最小值是|P 1R|， 设点M(x, y)是椭圆C 上任意一点，则|MR|2=(x −t)2+y 2=34x 2−2tx +t 2+1，…当x =m 时，|MR|2最小，∴ m =−−2t32=4t 3，①…又圆R 过点F ，所以(−√3−t)2=(m −t)2+n 2，②… 点P 1在椭圆上，∴ n 2=1−m 24，③…由①②③解得：t =−√32或t =−√3，又t =−√3时，m =−4√33<−2，不合题意，综上：椭圆C 存在符合条件的内切圆，点R 的坐标是(−√32,0)．… 21. 解：（1）b =0时，f(x)=sinx −ax ，则f′(x)=cosx −a ，当a ≥1时，f′(x)<0，所以函数f(x)在区间(0, π)上单调递减； 当a ≤−1时，f′(x)>0，所以函数f(x)在区间(0, π)上单调递增； 当−1<a <1时，存在θ∈(0, π)，使得cosθ=a ，即f(θ)=0， ①x ∈(0, θ)时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(0, θ)上单调递增， ②x ∈(θ, π)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(θ, π)上单调递减． （2）a =2b 时，f(x)=sinx −a2x(2+cosx)，猜测f(x)<0恒成立，证明：f(x)<0等价于sinx2+cosx <a2x，令g(x)=sinx2+cosx −a2x，则g(x)=2cosx+1(2+cosx)2−a2=−3(12+cosx−13)2−a2+13，当a2≥13，即a≥23时，g′(x)≤0，g(x)在区间(0, +∞)上单调递减，所以当x>0时，g(x)<g(0)=0，即f(x)<0恒成立．。
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2014年江西省南昌市高三文科数学第二次模拟考试试卷及
答案
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2014年江西省南昌市高三第二次模拟考试
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答．若在试题卷上作答，答案无效．
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知全集，，，则(∁U)为
3．下列说法正确的是
A．命题“存在，”的否定是“任意，”
B．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件
C．函数在其定义域上是减函数
D．给定命题，若“且”是真命题，则是假命题
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4．已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
5．一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球的球面上，
球的表面积是
2014年江西省南昌市高三文科数学第二次模拟考试试卷及答案阅读版
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