1.4.1全称量词与存在量词
1.4.1-2全称量词与存在量词
全称量词与逻辑量词教学目标 班级______姓名___________1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题与特称命题的概念.3.掌握判断全称命题和特称命题真假的方法.重点判断全称命题和特称命题真假的方法.难点理解全称量词与存在量词的含义.教学过程一、概念阐述.1.全称量词：通常指_______________________等短语，并用符号“∀”表示.2.存在量词：通常指_______________________等短语，并用符号“∃”表示.3.全称命题：（1）定义：含全称量词的命题.（2）表示：“对M 中任意的一个x ，有)(x p 成立.”，简记“)(,x p M x ∈∀.”4.特称命题：（1）定义：含存在量词的命题.（注意量词与命题的名称）（2）表示：“存在M 中的一个0x ，使)(0x p 成立.”，简记“)(,00x p M x ∈∃.”5.全称量词的含义：“任意性（任取）”、“所有的”、“全部”.类似恒成立问题.6.存在量词的含义：“存在性（特指）”、“存在”、“某些（某一个）”.类似取特值.7.注意事项：（1）全称量词所表示的数量不一定是无限的；存在量词所表示的数量也不一定是有限的.（2）全称量词和存在量词的短语不唯一；有些命题虽然没有写出全称量词和存在量词，但其意义具备“任意性”或“存在性”，这类命题也是全称命题或特称命题.（3）常见全称命题和特称命题的表述形式：例1：全称命题与特称命题的改写:（1）将“ab b a 2≥+”改写成全称命题；（2）将“有些整数满足不等式5ln <x e x ”改写成特称命题.方法归纳（1）首先判断是否为命题；（2）然后判断是否有全称量词或存在量词（若没有，则判断是否具有任意性或存在性.）；（3）最后根据命题的含义改写.练习1：判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号表.（1）自然数的平方大于或等于零；（2）圆122=+y x 上存在一个点到直线1+=x y 的距离等于圆的半径；（3）有的函数既是奇函数又是增函数.全称命题：“)(,x p M x ∈∀.”特称命题：“)(,00x p M x ∈∃.” ①所有的M x ∈，有)(x p 成立.①存在M x ∈0，使)(0x p 成立. ②对一切M x ∈，有)(x p 成立.②至少有一个M x ∈0，使)(0x p 成立. ③对每一个M x ∈，有)(x p 成立.③对某些M x ∈0，使)(0x p 成立. ④任取一个M x ∈，有)(x p 成立.④对某个M x ∈0，使)(0x p 成立. ⑤凡是M x ∈，有)(x p 成立. ⑤有一个M x ∈0，使)(0x p 成立.二、全称命题和特称命题真假的判断.例2：下列命题是真命题的有____________（1）02,2>+∈∀x R x .（2）1,4≥∈∀x N x .（3）1,300<∈∃x Z x . （4）3,200=∈∃x Q x .方法归纳（1）要判断一个全称命题为真，必须对给定集合中的每一个元素x ，使命题)(x p 为真；但要判断一个全称命题为假，只要在给定集合中找到一个元素x ，使命题)(x p 为假.（2）要判断一个特称命题为真，只要在给定集合中找到一个元素x ，使命题)(x p 为真；但要判断一个特称命题为假，必须对给定集合中的每一个元素x ，使命题)(x p 为假.练习2：判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假.（1）02,00≤-∃x x ；（2）三角形两边之和大于第三边；（3）有些整数是偶数.反思____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________。
1.4.1 全称量词与存在量词
§ 全称量词与存在量词【学习目标】1掌握全称量词与存在量词的的含义；2掌握含有量词的命题：全称命题和特称命题真假的判断【高考考点】考查全称量词和存在量词【合作探究】探究一 全称量词问题1下列语名是命题吗（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系（1）3x >；（2）21x +是整数；（3）对所有的,3x R x ∈>；（4）对任意一个x Z ∈，21x +是整数问题2短语 、 在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号 表示，含有 的命题，叫做全称命题其基本形式为：,()x M p x ∀∈，读作：探究二 存在量词问题1下列语名是命题吗（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系（1）213x +=；（2）x 能被2和3整除；（3）存在一个0x R ∈，使0213x +=；（4）至少有一个0x Z ∈，0x 能被2和3整除问题2短语 、 在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号 表示，含有 的命题，叫做特称称命题其基本形式00,()x M p x ∃∈，读作：探究三 应用举例例1、判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）2,11x R x ∀∈+≥；（3）对每一个无理数x ，2x 也是无理数变式：判断下列命题的真假：（1）2(5,8),()420x f x x x ∀∈=-->（2）2(3,),()420x f x x x ∀∈+∞=-->例2、判断下列特称命题的真假：（1）有一个实数0x ，使200230x x ++=；（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（3）有些整数只有两个正因数变式：判定下列特称命题的真假：（1）00,0x R x ∃∈≤； （2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）0{|x x x ∃∈是无理数}，20x 是无理数； 42,32a Z a a ∃∈=-； 523,32a a a ∃≥=-例3（1）下列命题为特称命题的是（ ）A 偶函数的图像关于y 轴对称B 正四棱柱都是平行六面体C 不相交的两条直线都是平行线D 存在实数大于等于3（2）下列命题中：①有的质数是偶数；②与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；③有的三角形三个内角成等差数列；④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，其中全称命题是 ，特称命题是（3）用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题①实数的平方大于等于0：②存在一对实数使2330x y ++<成立：（4）若k M ∃∈，对x ∀∈R ，210kx kx --<是真命题，则k 的最大取值范围M 是（ ）A ．40k -≤≤B ．40k -<≤C ．40k -<≤D ．40k -<<（5）若x ∀∈R ，2()(1)x f x a =-是单调减函数，则a 的取值范围是 ．（6）若x ∀∈R ，11x x a -++>是真命题，则实数a 的取值范围是 ．例4、若命题“2[1,),22x x ax a ∀∈-+∞-+≥”是真命题，求实数a 的取值范围变式（1）将[1,)-+∞改为[0,)+∞（2）已知p ：存在正实数x ，使得210x mx ++=成立若p ⌝是假命题，求实数m 的取值范围【归纳小结】通过本节课的学习，你掌握了哪些知识、方法与思想。
2018-2019学年度高二数学人教A版选修2-1课件：1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词
当且仅当 x=2 时等号成立.所以命题 p 为真命题,﹁p 为假命题; 当 x>0 时,2x>1, 所以命题 q:∃ x0∈(0,+ ∞), 2 x =
0
【备用例1】 判断下列命题是全称命题,还是特称命题. (1)有的向量方向不定; (2)矩形的对角线不相等; (3)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直. 解:(1)含有存在量词“有的”,故是特称命题. (2)可以改为所有矩形的对角线不相等,故为全称命题. (3)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称命题.
梳理
存在量词 符号表示 特称命题 形式 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 ∃ . 含有 存在量词 的命题 “存在M中的元素x0,使p(x0)成立”可用符号简记 为“∃x0∈M,p(x0) ”
课堂探究
题型一 全称命题与特称命题的判断
(1)凸多边形的外角和等于360°; (2)对任意角α ,都有sin2α +cos2α =1; (3)0不能作除数; (4)有一个实数a,a不能取对数.
解析:(1)命题 p:由指数函数 y=ex 的图象可得∀ x∈[0,1],ex≥1,正确,命题 q:∃ x∈R, x2+x+1<0 错误 ,因为 x2+x+1=（x+
1 2 3 ） + >0 恒成立,p∨q 为真,故选 A. 2 4
(2)①2x2-3x+4=2（x-
3 2 23 ）+ >0,故①对;②当 x=-1 时,2x+1=-1<0,故②错;③对;④当 8 4
即时训练 2-1:(1)已知命题 p:∀ x>0,x+ 断正确的是( )
4 1 ≥4;命题 q:∃ x0∈(0,+ ∞), 2 x = ,则下列判 x 2
1.4.1 全称量词与存在量词
1.4.1全称量词与存在量词学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法．知识点一全称量词与全称命题思考观察下列命题：(1)每一个三角形都有内切圆；(2)所有实数都有算术平方根；(3)对一切有理数x,5x＋2还是有理数．以上三个命题中分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．答案命题(1)(2)(3)分别使用量词“每一个”“所有”“一切”．命题(1)(3)是真命题，命题(2)是假命题，三个命题中的“每一个”“所有”“一切”都有全部、所有的意义，要求命题对某个集合的所有元素都成立，而负实数没有算术平方根，故命题(2)为假命题.M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x，使p(x)不成立，即“∃x0∈M，p(x0)不成立”．知识点二存在量词与特称命题思考观察下列命题：(1)有些矩形是正方形；(2)存在实数x，使x>5.(3)至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0.以上三个命题分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．答案命题(1)(2)(3)分别使用了量词“有些”“存在”“至少有一个”．命题(1)(2)是真命题，命题(3)是假命题．三个命题中的“有些”“存在”“至少有一个”等词都是对某个集合内的个别元素而言，要说明这些命题是真命题，只要举出一个例子即可．所以命题(1)(2)是真命题，而任意实数x，x2－2x＋2都大于0，所以命题(3)为假命题.能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题是假命题．类型一全称量词与全称命题的判断例1(1)判断下列语句是不是全称命题，如果是，用量词符号表达出来．①我们班同学都很棒．②被开方数不能是负数．③任何一个实数平方都大于等于0.④x<3.(2)判断下列全称命题的真假：①所有的素数是奇数；②∀x∈R，x2＋1≥1；③对每一个无理数x，x2也是无理数．解(1)①是全称命题，用量词表示：∀一个人x∈{我们班同学}，这个同学x很棒．②是全称命题，用量词表示：∀一个数x∈{被开方数}，这个数x≥0.③是全称命题，用量词表示：∀x∈R，x2≥0.④不是命题．(2)①2是素数，但2不是奇数．所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题．②∀x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.所以，全称命题“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题．③2是无理数，但(2)2＝2是有理数．所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．反思与感悟判定一个语句是全称命题的三个步骤(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题．(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题．(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．要根据命题所涉及的意义去判断，如负数是指全部的负数，而不是某些或某个负数，需要对有关的知识点理解透彻．跟踪训练1(1)下列命题是全称命题的有________．①偶函数的图象关于y轴对称．②正四棱柱都是平行六面体．③不相交的两条直线是平行直线．④存在实数大于等于3.答案①②③解析改写为：①所有的偶函数的图象关于y轴对称．②每一个正四棱柱都是平行六面体．③凡不相交的两条直线都是平行直线．故①②③都是全称命题．④不是全称命题．(2)试判断下列全称命题的真假：①∀x∈R，x2＋2>0；②∀x∈N，x4≥1.③对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解①由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．③由于∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立．所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题．类型二存在量词和特称命题的判断例2判断下列特称命题的真假：(1)有一个实数x0，使x20＋2x0＋3＝0；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数．解(1)由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在．所以，特称命题“有一个实数x0，使x20＋2x0＋3＝0”是假命题．(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以，特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．反思与感悟特称命题是含有存在量词的命题，判定一个特称命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可．跟踪训练2判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题．(1)自然数的平方大于或等于零；(2)圆x 2＋y 2＝1上存在一个点到直线y ＝x ＋1的距离等于圆的半径； (3)有的函数既是奇函数又是增函数；(4)对于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1，总存在正整数n 0，使得an 0与1之差的绝对值小于0.01.解 (1)是全称命题，表示为∀x ∈N ，x 2≥0.(2)是特称命题，表示为∃(x 0，y 0)∈{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，满足|x 0－y 0＋1|2＝1.(3)是特称命题，∃f (x )∈{函数}，f (x )既是奇函数又是增函数． (4)是特称命题，∃n 0∈N *，| －1|＜0.01，其中 ＝n 0n 0＋1. 类型三 全称命题、特称命题的应用例3 (1)已知关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，求实数a 的取值范围； (2)令p (x )：ax 2＋2x ＋1>0，若对∀x ∈R ，p (x )是真命题，求实数a 的取值范围．解 (1)关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫74，＋∞. (2)∵对∀x ∈R ，p (x )是真命题． ∴对∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1>0恒成立， 当a ＝0时，不等式为2x ＋1>0不恒成立，当a ≠0时，若不等式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ＜0，∴a >1.即a 的取值范围是(1，＋∞)．反思与感悟 有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别． 跟踪训练3 (1)对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立，求实数m 的取值范围； (2)存在实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 有解，求实数m 的取值范围． 解 (1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ， ∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2， 又∵∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立， ∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)． (2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[]－2，2， o n a on a又∃x∈R，sin x＋cos x>m有解，∴只要m<2即可，∴所求m的取值范围是(－∞，2)．1．下列命题中，不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．每一个向量都有大小D．一定存在没有最大值的二次函数答案 D解析D选项是特称命题．2．命题“有的质数是奇数”中的量词是________．答案“有的”3．命题“矩形的对角线垂直平分”是________(填“全称”或“特称”)命题．答案全称解析命题“矩形的对角线垂直平分”改写为“每一个矩形的对角线都垂直平分”是全称命题．4．特称命题“∃x0∈R，|x0|＋2≤0”是________命题(填“真”或“假”)．答案假解析不存在任何实数，使得|x|＋2≤0，所以是假命题．5．用存在量词表示下列语句：“有一个实数乘以任意一个实数都等于0”表示为________________________________________________________________________．答案∃实数x0，x0乘以任意一个实数都等于06．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2π.(2)有一个有理数x0满足x20＝3.解(1)∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π.(2)∃x0∈Q，x20＝3.1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题．一、选择题1．下列命题中，全称命题的个数为( )①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 ①②是全称命题，③是特称命题． 2．下列特称命题中真命题的个数是( )①∃x ∈R ，x ≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∃x ∈{x |x 是整数}，x 2是整数． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①②③都是真命题．3．下列命题中，是真命题且是全称命题的是( ) A ．对任意的a 、b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0 B ．菱形的两条对角线相等 C ．∃x ∈R ，x 2＝xD ．对数函数在定义域上是单调函数 答案 D解析 A 中含有全称量词“任意的”，因为a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，故是假命题．B 、D 在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B 是假命题，C 是特称命题，故选D. 4．下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 3>0 D ．∀x ∈R,2x >0 答案 C解析 对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R,2x >0，正确． 5．下列命题中，真命题是( )A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数 答案 A解析 显然当m ＝0时，f (x )＝x 2为偶函数，故选A. 6．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( ) A ．存在一个角α，使得tan(90°－α)＝tan α B ．存在实数x 0，使得sin x 0＝π2C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β 答案 A解析 ∵α＝45°时，tan(90°－45°)＝tan 45°， ∴A 为真命题，且为特称命题，故选A.B 中对∀x ∈R ，有sin x ≤1<π2；C 、D 都是全称命题．7．若存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <1 B ．a ≤1C ．－1<a <1D ．－1<a ≤1 答案 A解析 当a ≤0时，显然存在x 0∈R ， 使ax 20＋2x 0＋a <0；当a >0时，由Δ＝4－4a 2>0， 解得－1<a <1，故0<a <1.综上所述，实数a 的取值范围是a <1. 二、填空题8．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x 0>0，f (x 0)<0”为真，则m 的取值范围是______________． 答案 (－∞，－2)解析 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－m 2>0，m 2－4>0，∴m <－2.9．下列命题中真命题为________，假命题为________．①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③有的实数是无限不循环小数；④有些三角形不是等腰三角形；⑤所有的菱形都是正方形． 答案 ①②③④ ⑤10．命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________． 答案 0解析 对于方程x 2－3x ＋2＝0，Δ＝(－3)2－4×2>0， ∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立， ∴①为假命题．当且仅当x ＝±2时，x 2＝2， ∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2， ∴②为假命题， 对∀x ∈R ，x 2＋1≠0， ∴③为假命题，4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0， 即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立， ∴④为假命题． ∴①②③④均为假命题． 三、解答题11．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假． (1)对任意实数α，有sin 2α＋cos 2α＝1； (2)存在一条直线，其斜率不存在；(3)对所有的实数a 、b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解； (4)存在实数x 0，使得1x 20－x 0＋1＝2.解 (1)是全称命题，用符号表示为“∀α∈R ，sin 2α＋cos 2α＝1”，是真命题． (2)是特称命题，用符号表示为“∃直线l ，l 的斜率不存在”，是真命题．(3)是全称命题，用符号表示为“∀a 、b ∈R ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解”，是假命题． (4)是特称命题，用符号表示为“∃x 0∈R ，1x 20－x 0＋1＝2”，是假命题．12．判断下列命题的真假：(1)任给x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数；(2)存在α、β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；(3)存在x 、y ∈Z,3x －2y ＝10.解 (1)∵x ∈Q ，∴13x 2与12x 均为有理数，从而13x 2＋12x ＋1是有理数，∴(1)真；(2)当α＝0，β＝π3时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立，∴(2)真；(3)当x ＝4，y ＝1时，3x －2y ＝10，∴(3)真． 13．已知f (x )＝3ax 2＋6x －1(a ∈R )．(1)当a ＝－3时，求证：对任意x ∈R ，都有f (x )≤0；(2)如果对任意x ∈R ，不等式f (x )≤4x 恒成立，求实数a 的取值范围． (1)证明 当a ＝－3时，f (x )＝－9x 2＋6x －1， 令－9x 2＋6x －1＝0，则Δ＝36－36＝0， ∴对任意x ∈R ，都有f (x )≤0. (2)解 ∵对任意x ∈R ，有f (x )≤4x ， ∴3ax 2＋2x －1≤0.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a <0，Δ＝4＋12a ≤0.∴a ≤－13，即a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13.。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量
方法技巧 (1)含参数的全称命题为真时,常转化为不等式的恒成立问题来 处理,最终通过构造函数转化为求函数的最值问题. (2)含参数的特称命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,最 终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决.
是错误的,故选C.
方法技巧 (1)全称命题的真假判断
要判定一个全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,必须对限定集合M中的每个
元素x验证p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一
个x=x0,使得p(x0)不成立即可. (2)特称命题的真假判断 要判断特称命题“∃x0∈M,p(x0)”为真命题,只需在限定集合M中找出一个 x=x0,使得p(x0)成立即可;要判断特称命题为假命题,就要验证集合M中的每 个元素x都不能满足p(x),即在集合M中,使p(x0)成立的元素x0不存在.
新知探求 课堂探究
新知探求 素养养成
知识点一 全称量词与全称命题
问题1:结合你学过的知识,谈谈你对全称量词的含义的理解.
答案:短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体,在逻辑中通常叫做全称量
词.
∀
梳理 全称量词有:所有的、任意一个、任给一个,用符号“
”表示,含
有全∀称x∈量M词,p的(x命) 题,叫做全称命题.“对M中的所有x,p(x)”用符号简记为:
解析:(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°,故为全称命题.
(2)含有全称量词“任意”,故是全称命题;
(3)是命题,但既不是全称命题,也不是特称命题;
(4)有一个实数a,a不能取对数. (5)任何数的0次方都等于1吗?
解析:(4)含有存在量词“有一个”,因此是特称命题; (5)不是命题.
1.4.1全称量词与存在量词的意义
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解析：(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，所以有x2＋1≥1＞0， 所以“∀x∈R，x2＋1＞0”是真命题．
(2)因为对集合{3,5,7}中的每一个值，都有3x＋1是偶
数，所以“∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数”是真命题． (3)由于使x2＝3成立的实数只有± 3 ，且它们都不是 有理数，因此，没有任何一个有理数的平方能等于3，所以 “∃x∈Q，x2＝3”是假命题．
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自测自评 1．下列命题： (1)今天有人请假； (2)中国公民都有受教育的权利； (3)每一个中学生都要接受爱国主义教育；
(4)有人既能写小说，也能搞发明创造；
(5)任何一个数除0都等于0. 其中全称命题的个数是( C ) A．1 C．3 金品质•高追求 B．2 D．不少于4个 我们让你更放心！
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判断一个命题是全称命题还是特称命题，关键是看命 题中是否含有全称量词或特称量词．有些全称命题在文字 叙述上省略了全称量词，在判断是否为全称命题时要注 意．
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祝
B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数 C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数 D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数 金品质•高追求 我们让你更放心！
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河北省高中数学第一章常用逻辑用语1.4.1全称量词1.4.2存在量词导学案新人教A版选修
①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；
③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A．0B．1C．2D．3
2．下列特称命题中真命题的个数是( )
①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∃x∈{x|x是整数}，x2是整数．A．0B．1C．2D．3
(1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；
(2)存在一条直线，其斜率不存在；
(3)对所有的实数a、b，方程ax＋b＝0都有唯一解；
(4)存在实数x0，使得 ＝2.
答案：牛刀小试1：问题1：(1)不是命题，因为无法判断真假；(2)(3)是命题．
问题2：(2)强调任意一个x∈Z；(3)强调所有的三角形．
A．1个B．2个 C．3 个D．0个
5．下列命题中，真命题是( )
A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
D．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
6．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )
1.4.1全称量词1.4.2存在量词
学习目标：1.1.通过 具体实例理解全称量词和存在量词的含义．并会判断全称命题和特称命题的真假．2．能够用符号表示全称命题、特称命题．
教学重点：全称量词和存在量词的意义．
教学难点：全称命题和特称命题的真假的判定．
方 法：自主学习 合作探究 师 生互动
知识点1：全称命题
(3)有些素数的和仍是素数；
(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
题型2：量词符号的应用
(经典)1.4.1全称量词与存在量词
“或”,“且”, “非”称为逻辑联结词.含 有逻辑联结词的命题称为复合命题,不含逻辑联 结词的命题称为简单命题.
注意
逻辑联结词中的”或”相当于集合中的”并集”, 它与日常用语中的”或”的含义不同.日常用语中的” 或”是两个中任选一个,不能都选,而逻辑联结词中的” 或”,可以是两个都选,但又不是两个都选,而是两个中 至少选一个,因此,有三种可能的情况.
至少 有n个
至多 有一 个
所有x成 所有x 立 不成立
词语 一个 至多 至少 存在一 存在有
的否 也没 有n-1 有两 个x不成 一个成
定
有个个
立
立
第三十一页，共36页。
同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可
以有不同的表述方法。
总结如下：
命 题
全称命题 “ x∈A， p(x)”
特称命题“ x∈A，p(x)”
2.已知U=R，A U,B U,命题
p：a∈AUB，则┑p为( )
A.aA
C.a A∩B
B.a∈CuA D.a∈CuA∩CuB
3.设语句p：x=1，非q：x2+8x-9=0
则下列命题为真命题的是（ ）
A.p∧q
B.p∨q
C.若p则非q
D.若非p则q
第十四页，共36页。
小结：
对逻辑联结词或、且、非含义的理解
p∨q是真命题.
（3）当p、q都是假命题时, p∨q是假命题；
第三页，共36页。
p
q
p∨q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
一真必真
注: “或”的理解：相似于集合中“并集”的概念，两个
全称量词与存在量词教案
§1.4.1 全称量词与存在量词【学情分析】：1、本节内容主要是通过丰富的实例,使学生了解生活和数学中经常使用的两类量词(全称量词和存在量词)的含义, 会判断含有一个量词的全称或特称命题的真假，会正确写出他们的否定形式，为我们从量的形式和范围上认识和解决问题提供了新的思路和方法；2.全称量词：日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，记作x∀、∀等；y3.存在量词：日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，记作x∃，y∃等；4．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题；全称命题的格式：“对M中的所有x，p(x)”的命题，记为:,()∀∈x M p x存在性命题的格式：“存在集合M中的元素x0，q(x0)”的命题，记为:∃x0∈M，p（ x0）5.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义，能识别全称命题与特称命题.6．培养学生用所学知识解决综合数学问题的能力。
【教学目标】：（1）知识目标：通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义；（2）过程与方法目标：能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容；（3）情感与能力目标：培养学生用所学知识解决综合数学问题的能力.【教学重点】：理解全称量词与存在量词的意义；【教学难点】：全称命题和特称命题真假的判定.课后练习1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ）A ．所有奇数都是质数B ．2,11x R x ∀∈+≥C ．对每个无理数x ，则x 2也是无理数D ．每个函数都有反函数2．将“x 2+y 2≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ） A ．,x y R ∀∈，都有222x y xy +≥ B ．,x y R ∃∈，都有222x y xy +≥C ．0,0x y ∀>>，都有222x y xy +≥D ．0,0x y ∃<<，都有222x y xy +≤3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是 A ．2,10x R x ∀∈+= B ．2,10x R x ∃∈+= C ．,sin tan x R x x ∀∈< D ．,sin tan x R x x ∃∈< 4．下列命题中的假命题是（ ）A ．存在实数α和β，使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin βB ．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin βC ．对任意α和β，使cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cos αcos β－sin αsin β5．下列全称命题中真命题的个数是（ ） ①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ③正四面体中两侧面的夹角相等；A ．1B ．2C ．3D ．46．下列存在性命题中假命题的个数是（）①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形；A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：1．B 2．A 3．D 4．B 5．C 6．A§1.4.2 全称量词与存在量词【学情分析】：（1）通过探究数学中的一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；（2）在探究的过程中，应引导学生根据全称量词和存在量词的含义，用简洁自然的语言表述含有一个量词的命题进行否定；（3）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定。
(经典)1.4.1全称量词与存在量词教学提纲
（1）p:y=sin x是周期函数； （2）p:3<2； （3）p：空集是集合A的子集.
（4）1的平方是正数； （5） 1和2的平方是正数；
小结： 一些常用词语的否定：
原词语 等于 大于(>) 小于(<) 是
都是
否定词语 不等于 不大于 不小于
存在量词: “有”、“有的”、“有些”等。 其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物 E，E是F。”
全称命题：其公式为“所有S是P”。 全称命题，可以用全称量词，也可以用
“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来 表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如 “人类是有智慧的。”
特称命题 :其公式为“有的S是P”。 特称命题使用存在量词，如“有些”、
“很
少” 等，也可以用“基本上”、“一般”、 “只是
有些”等。含有存在性量词的命题也称存在性
通 常 ， 将 含 有 变 量 x 的 语 句 用 p (x ) 、 q (x ) 、 r (x ) 表 示 ， 变 量 x 的 取 值 范 围 用 M 表 示 。
全 称 命 题 “ 对 M 中 任 意 一 个 x ， 有 p ( x ) 成 立 .
概念： 一般地，对一个命题的全盘否定，就得
到一个新的命题， 记作： p
读作：“非p”或者“p的否定”.
p 命题真假的判断：
若p是真命题，则 p 必是假命题；若p是假命题， 则 p 必是真命题.
p
p
真
假
假
真
你真我假
注: （1）“非”的理解：相似于集合中“补集”的概念
（2）“命题的否定”与“否命题“是两个不同的概 命题否定为非p，而否命题既否定原命题结论，又 否定原命题的条件。
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1.4.1 全称量词与存在量词
班级 组别 组名： 姓名
【学习目标】
A 级目标：掌握全称量词与存在量词的的意义；；
B 级目标：掌握含有量词的命题：全称命题和特称命题真假的判断；
【重点难点】
重点：全称量词与存在量词的的意义
难点：含有量词的命题：全称命题和特称命题真假的判断
【学习过程】
一、 创设情境 引入新知
问题：1.下列语名是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？
（1）3x >；
（2）21x +是整数；
（3）对所有的,3x R x ∈>；
（4）对任意一个x Z ∈，21x +是整数.
2. 下列语名是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？
(1)213x +=；
(2)x 能被2和3整除；
（3）存在一个0x R ∈，使0213x +=；
（4）至少有一个0x Z ∈，0x 能被2和3整除.
二、独学探究 归纳结论
新知：1.短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符
号“ ”表示，含有 的命题，叫做全称命题.其基本形式
为：,()x M p x ∀∈，读作：
2. 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号
“ ”表示，含有 的命题，叫做特称称命题.
其基本形式00,()x M p x ∃∈，读作：
试试：判断下列命题是不是全称命题或者存在命题,如果是,用量词符号表示出来.
(1)中国所有的江河都流入大海；
（2）0不能作为除数；
（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；
（4）每一个非零向量都有方向.
反思：注意哪些词是量词是解决本题的关键,还应注意全称命题和存在命题的结构形式.
三． 对学互学，交流展示
例1 判断下列全称命题的真假：
（1）所有的素数都是奇数；
（2）2,11x R x ∀∈+≥；
（3）对每一个无理数x ，2x 也是无理数.
小结：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中每一个元素x 验证()p x 成立；
但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M 中的一个0x x =，使得0()p x 不成立即可.
例2 判断下列特称命题的真假：
（1） 有一个实数0x ，使200230x x ++=；
（2） 存在两个相交平面垂直于同一条直线；
（3） 有些整数只有两个正因数.
小结：要判定特称命题“00,()x M p x ∃∈” 是真命题只要在集合M 中找一个元素0x ，使0()
p x 成立即可；如果集合M 中，使()P x 成立的元素x 不存在，那么这个特称命题是假命
题.
闯关练习 两班对抗
1.判断下列命题的真假：
（1）2(5,8),()420x f x x x ∀∈=-->
（2）2(3,),()420x f x x x ∀∈+∞=-->
2：判断下列命题的真假：
(1)2,32a Z a a ∃∈=-
(2)23,32a a a ∃≥=-
四．合作互助 攻克疑难
例3．写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）p ：∀m ∈R ，方程x 2+x-m=0必有实根； （2）q ：∃x ∈R ，使得x 2
+x+1≤0；
闯关练习 两班对抗
1. 判断下列全称命题的真假：
（1）每个指数都是单调函数；
（2）任何实数都有算术平方根；
（3）{|x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数.
2. 判定下列特称命题的真假：
（1）00,0x R x ∃∈≤；
（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；
（3）0{|x x x ∃∈是无理数}，20x 是无理数.
【当堂检测】
1. 下列命题为特称命题的是（ ）.
A.偶函数的图像关于y 轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.不相交的两条直线都是平行线
D.存在实数大于等于3
2.下列特称命题中真命题的个数是（ ）.
(1),0x R x ∃∈≤；(2)至少有一个整数它既不是合数也不是素数；（3）{|x x x ∃∈是无理数}，
2x 是无理数.
A.0个
B.1个
C.2个
D.4个
3.下列命题中假命题的个数（ ）.
(1)2,11x R x ∀∈+≥；（2）,213x R x ∃∈+=；
（3）,x Z ∃∈x 能被2和3整除；
（4）2,230x R x x ∃∈++=
A.0个
B.1个
C.2个
D.4个
4.下列命题中
（1）有的质数是偶数；（2）与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；（3）有的三角形
三个内角成等差数列；（4）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，其中全称命题是 特称命题是 .
【课后反思】
1.今天你的收获是什么？
2.你有哪些方面需要努力？
【课后巩固提高】
1. 判断下列全称命题的真假：
（1）末位是0的整数可以被子5整除；
（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等；（3）负数的平方是正数；
（4）梯形的对角线相等.
2. 判断下列全称命题的真假：
(1)有些实数是无限不循环小数；
（2）有些三角形不是等腰三角形；
（3）有的菱形是正方形.
3. 用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题.
(1)实数的平方大于等于0：
（2）存在一对实数使2330
++<成立：
x y。