第八章 交通流分配(Wardrop平衡原理)解析
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堵——车辆选择最短、次短——Q继续增加——所有路径 都有被选择的可能。
交通平衡
交通分配中，实际路网一般有很多OD点对——各条路径 有多条路段组成——这些路段排列组合成无数条不同路 径——OD点对间多条路径。
Wardrop第一平衡原理
Wardrop第一平衡原理
如果道路使用者都确切知道网络的交通状态并试图选 择最短路径时，网络将会达到平衡状态。
第八章 交通流分配
Wardrop平衡原理
交通平衡
【思考】Q小——车辆沿最短路径——随着Q增加——拥
一、道路网平衡状态的定义
若所有道路使用者（驾驶员）都准确知道各条道路所 需的行驶时间，并选择行驶时间最短的道路，最终被利用 的各条道路的行驶时间会相等，没被利用的道路的行驶时 间更长。这种状态叫道路网平衡状态。
2
（1）求解用户均衡条件下的各路段流量及出行成本
思考习题
Braess悖论
1
qod＝6
o 1 : t1 ( x1 ) 50 x1
o d
2 d : t2 ( x2 ) 50 x2 o 2 : t3 ( x3 ) 10 x3 1 d : t 4 ( x 4 ) 10 x 4 2 1 : t 5 ( x 5 ) 10 x 5
h1 200 , h2 200 , h3 200 （辆）
c1 92, c2 92, c3 92 （分）
目标函数值： 用户均衡分配法 Z ue 386 （辆分） ，系统最优分配 法 Z so 552 （辆分）
用户均衡分配法：在新路规划之前，目标函数值为 399，之后为 386。目标函数值向着最佳方向变动， 径路行驶时间在新路规划前 83 分， 之后变成了 92 分。 系统最优分配：目标函数值由新路规划前的 498 变成 552。
用户均衡(User Equilibrium, UE)
所有被使用的道路的行驶时间相等且等于最小行驶时间 其他未被使用的道路的行驶时间大于或等于最小行驶时间
Wardrop第一平衡原理
ta=10+0.02qa
o
tb=15+0.005qb
d
q=2000
设OD间交通量为q=2000辆，有2条路径a和b。径路a行驶时间短， 但是通行能力小，径路b行驶时间长，但通行能力大。假设各自的 行驶时间min与流量关系如图所示，根据 Wardrop第一平衡原理 求径路a与b上分配的交通量。
二、Wardrop平衡原理
SO实例
ta=10+0.02qa
o
tb=15+0.005qb
d
q=2000
min: C=ta· qa+tb· qb qa + qb = 2000 s.t. qa ,qb≥0 解得：qa =500, qb = 1500； ta=20,tb=22.5;C=43750
UE的结果：qa = 600, qb = 1400; ta= tb=22; C=44000
t 3 ( x3 ) 50 0.01x3
t 4 ( x 4 ) 0.1x 4
解：利用用户均衡分配法和系统均衡分配法得， 径路１（路段１＋路段２） ，径路２（路段３＋路段４） 的交通量：
h1 300 , h2 300 （辆）
径路１（路段１＋路段２） ，径路２（路段３＋路段４） 的旅行时间：
Wardrop第二平衡原理(System Optiminzation, SO)
在系统平衡条件下，拥挤的路网上交通流应该按照平均或总 的出行成本最小为依据来分配。 系统最优分配模型
min : Z ( X ) xa t a ( xa )
a
f krs qrs k s.t. rs fk 0 xa 路段a上的交通流量； t a 路段a的交通阻抗，也称行驶 时间； t a ( xa ) 路段a以流量为自变量的阻抗 函数，也称行驶时间函 数； f krs 出发地为r目的地为s的OD间的第k条径路上的流量；
Wardrop第一平衡原理
UE实例
ta=10+0.02qa
o
tb=15+0.005qb
d
q=2000
10 + 0.02qa = 15 + 0.005qb qa + qb = 2000 qa ,qb≥0 qb = 0.8q-200
qa = 600, qb = 1400; ta= tb=22
Wardrop第二平衡原理
c1 83, c 2 83 （分）
目标函数值： 用户均衡分配法 Z ue 399 （辆分） ，系统最优分配法
Z so 498
２ 1 ２ ５ ３ ４
1
3
４
t 5 ( x5 ) 10 0.01x5
现在道路规划部门计划提高该地区道路的服务 水平(减少总行驶时间)，计划新建一条道路（路 段５） 。假设路段３、路段５和路段２形成径路 ３，这时，使用用户均衡分配法求出的径路交通 量和行驶时间分别为：
不等！？
Wardrop平衡原理
Wardrop第一、第二平衡原理比较
பைடு நூலகம்
相同点：基于网络平衡 优化目标不一样
UE：用户自身出行成本最小 SO：路网总出行成本最小 UE：道路使用者路径选择准则 SO：道路规划者系统总体追求目标
反映内容不一样
一般情况下，平衡结果不一样
小结
Wardrop第一、第二平衡原理
2
（2）求解用户均衡条件下的各路段流量及出行成本， 并与（1）的结果进行比较并试说明之。
２．Braess 奇论（Paradox）
奇论：为提高路网的服务水平而制定的交通政策，在用 户均衡状态下反而导致服务水平的下降。
２ 1 ２
1 ３ ４
3
４
ＯＤ交通量： t13 600 辆
路阻函数：
t1 ( x1 ) 50 0.01x1 （分） t 2 ( x2 ) 0.1x2 （分）
考虑拥挤对路网的影响 能够解决一些实际分配问题 用户很难确切知道路网的交通状态 用户通过估计时间选择最短路径 某些用户在路径选择上存在偏好
Wardrop平衡原理也存在缺陷
思考习题
Braess悖论
1
o d
qod 6 o 1 : t1 ( x1 ) 50 x1 2 d : t2 ( x2 ) 50 x2 o 2 : t3 ( x3 ) 10 x3 1 d : t4 ( x4 ) 10 x4 co1d co2d 83
交通平衡
交通分配中，实际路网一般有很多OD点对——各条路径 有多条路段组成——这些路段排列组合成无数条不同路 径——OD点对间多条路径。
Wardrop第一平衡原理
Wardrop第一平衡原理
如果道路使用者都确切知道网络的交通状态并试图选 择最短路径时，网络将会达到平衡状态。
第八章 交通流分配
Wardrop平衡原理
交通平衡
【思考】Q小——车辆沿最短路径——随着Q增加——拥
一、道路网平衡状态的定义
若所有道路使用者（驾驶员）都准确知道各条道路所 需的行驶时间，并选择行驶时间最短的道路，最终被利用 的各条道路的行驶时间会相等，没被利用的道路的行驶时 间更长。这种状态叫道路网平衡状态。
2
（1）求解用户均衡条件下的各路段流量及出行成本
思考习题
Braess悖论
1
qod＝6
o 1 : t1 ( x1 ) 50 x1
o d
2 d : t2 ( x2 ) 50 x2 o 2 : t3 ( x3 ) 10 x3 1 d : t 4 ( x 4 ) 10 x 4 2 1 : t 5 ( x 5 ) 10 x 5
h1 200 , h2 200 , h3 200 （辆）
c1 92, c2 92, c3 92 （分）
目标函数值： 用户均衡分配法 Z ue 386 （辆分） ，系统最优分配 法 Z so 552 （辆分）
用户均衡分配法：在新路规划之前，目标函数值为 399，之后为 386。目标函数值向着最佳方向变动， 径路行驶时间在新路规划前 83 分， 之后变成了 92 分。 系统最优分配：目标函数值由新路规划前的 498 变成 552。
用户均衡(User Equilibrium, UE)
所有被使用的道路的行驶时间相等且等于最小行驶时间 其他未被使用的道路的行驶时间大于或等于最小行驶时间
Wardrop第一平衡原理
ta=10+0.02qa
o
tb=15+0.005qb
d
q=2000
设OD间交通量为q=2000辆，有2条路径a和b。径路a行驶时间短， 但是通行能力小，径路b行驶时间长，但通行能力大。假设各自的 行驶时间min与流量关系如图所示，根据 Wardrop第一平衡原理 求径路a与b上分配的交通量。
二、Wardrop平衡原理
SO实例
ta=10+0.02qa
o
tb=15+0.005qb
d
q=2000
min: C=ta· qa+tb· qb qa + qb = 2000 s.t. qa ,qb≥0 解得：qa =500, qb = 1500； ta=20,tb=22.5;C=43750
UE的结果：qa = 600, qb = 1400; ta= tb=22; C=44000
t 3 ( x3 ) 50 0.01x3
t 4 ( x 4 ) 0.1x 4
解：利用用户均衡分配法和系统均衡分配法得， 径路１（路段１＋路段２） ，径路２（路段３＋路段４） 的交通量：
h1 300 , h2 300 （辆）
径路１（路段１＋路段２） ，径路２（路段３＋路段４） 的旅行时间：
Wardrop第二平衡原理(System Optiminzation, SO)
在系统平衡条件下，拥挤的路网上交通流应该按照平均或总 的出行成本最小为依据来分配。 系统最优分配模型
min : Z ( X ) xa t a ( xa )
a
f krs qrs k s.t. rs fk 0 xa 路段a上的交通流量； t a 路段a的交通阻抗，也称行驶 时间； t a ( xa ) 路段a以流量为自变量的阻抗 函数，也称行驶时间函 数； f krs 出发地为r目的地为s的OD间的第k条径路上的流量；
Wardrop第一平衡原理
UE实例
ta=10+0.02qa
o
tb=15+0.005qb
d
q=2000
10 + 0.02qa = 15 + 0.005qb qa + qb = 2000 qa ,qb≥0 qb = 0.8q-200
qa = 600, qb = 1400; ta= tb=22
Wardrop第二平衡原理
c1 83, c 2 83 （分）
目标函数值： 用户均衡分配法 Z ue 399 （辆分） ，系统最优分配法
Z so 498
２ 1 ２ ５ ３ ４
1
3
４
t 5 ( x5 ) 10 0.01x5
现在道路规划部门计划提高该地区道路的服务 水平(减少总行驶时间)，计划新建一条道路（路 段５） 。假设路段３、路段５和路段２形成径路 ３，这时，使用用户均衡分配法求出的径路交通 量和行驶时间分别为：
不等！？
Wardrop平衡原理
Wardrop第一、第二平衡原理比较
பைடு நூலகம்
相同点：基于网络平衡 优化目标不一样
UE：用户自身出行成本最小 SO：路网总出行成本最小 UE：道路使用者路径选择准则 SO：道路规划者系统总体追求目标
反映内容不一样
一般情况下，平衡结果不一样
小结
Wardrop第一、第二平衡原理
2
（2）求解用户均衡条件下的各路段流量及出行成本， 并与（1）的结果进行比较并试说明之。
２．Braess 奇论（Paradox）
奇论：为提高路网的服务水平而制定的交通政策，在用 户均衡状态下反而导致服务水平的下降。
２ 1 ２
1 ３ ４
3
４
ＯＤ交通量： t13 600 辆
路阻函数：
t1 ( x1 ) 50 0.01x1 （分） t 2 ( x2 ) 0.1x2 （分）
考虑拥挤对路网的影响 能够解决一些实际分配问题 用户很难确切知道路网的交通状态 用户通过估计时间选择最短路径 某些用户在路径选择上存在偏好
Wardrop平衡原理也存在缺陷
思考习题
Braess悖论
1
o d
qod 6 o 1 : t1 ( x1 ) 50 x1 2 d : t2 ( x2 ) 50 x2 o 2 : t3 ( x3 ) 10 x3 1 d : t4 ( x4 ) 10 x4 co1d co2d 83