第八章 交通流理论

第二节 概率统计模型
一. 离散型分布
1. 泊松分布
(1)基本公式
P(k) (t)k et ,
k!
k 0,1,2,
式中：P(k)——在计数间隔t内到达k辆车或k个人的概率； λ——单位时间间隔的平均到达率(辆/s或人/s)； t——每个计数间隔持续的时间(s)或距离(m)；
e——自然对数的底，取值为2.71828。
P(0)=e-λt 上式表明，在具体的时间间隔t内，如无车辆到达，则上次车 到达和下次车到达之间，车头时距至少有t秒，换句话说，P(0) 也是车头时距等于或大于t秒的概率，于是得：
P(h≥t)=e-λt
而车头时距小于t的概率则为： P(h＜t)=1-e-λt
若Q表示每小时的交通量，则λ=Q/3600(辆/s)，前式可以写成： P(h≥t)=e-Qt/3600
λ——平均到达率(辆/s或人/s)；
t——每个计数间隔持续的时间(s)或距离(m)；
n——正整数；
Cnk
n! k!(n k)!
通常记p=λt/n，则二项分布可写成：
P(k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,2,, n
式中：0＜p＜1，n、p称为分布参数。
对于二项分布，其均值M=np,方差D=np(1-p)，M＞D。因此， 当用二项分布拟合观测数时，根据参数p、n与方差，均值的关系式， 用样本的均值m、方差S2代替M、D，p、n可按下列关系式估算：
① 到达数小于k辆车(人)的概率：
k 1 miem
P( k) i0 i!
② 到达数小于等于k的概率：
P( k ) k miem
i0 i! ③ 到达数大于k的概率：
P( k) 1 P( k) 1 k miem
i0 i!
④ 到达数大于等于k的概率：
P( k) 1 P( k) 1 k1 miem
一. 车辆跟驰特性分析
非自由状态行驶的车队有如下三个特性： 1. 制约性 ：紧随要求
跟驰条件（车速条件、间距条件）
2. 延迟性 (也称滞后性) 3. 传递性
二. 线性跟驰模型
s(t) d1 d2 L - d3
假定d2＝d3，要使在时刻t两车的间距能 保证在突然剥车事件中不发生幢碰，则应 有：
五. 跟驰模型的一般公式
..
X
n 1 (t
T
)
.
X
n
(t)
.
X
n 1 (t )
第四节 排队论模型
排队论又称随机服务系统理论，是研究系统由
于随机因素的干扰而出现排队（或堵塞）现象规律性 的一门学科。
源于20 世纪初的电话服务理论研究，
第二次世界大战以后，排队论在很多领域内被采用。
在交通工程中，排队论被广泛应用，比如车
用流体力学理论、波动理论和动力学跟踪理论分析
交通流变化规律。
1959年在美国底特律举行了首届国际交通流学
术讨论会，以后又举行了多次专题讨论会。1964年
由美国公路研究委员会出版“交通流理论人门”专
题报告汇编，以后由美国一些大学编写了交通流理
轮
三 思想方法
理论上模型应具备： 微分方程 时间空间两变量 非线性 随机性 无穷性
3、其它 为了克服移位负指数分布的局限性，可采用更通用的
连续型分布，如： ① 韦布尔(Weibull)分布； ② 爱尔朗(Erlang)分布； ③ 皮尔逊Ⅲ型分布； ④ 对数正态分布； ⑤ 复合指数分布。
作业
一、 某路段，交道流量为360辆/小时，车辆 到达符合泊松分布。求
1．在95％的置信度下，每60s的最多来车数。 2．在1s、2s、3s时间内无车的概率。
i0 i!
⑤ 到达数至少是x但不超过y的概率：
P(x i y) y miem
ix i!
⑥ 用泊松分布拟合观测数据时，参数m按下式计算：
g
g
m
观测的总车辆数＝ 总计间隔数
k
j 1 g
j
f
j
fj
kj fj
j 1
N
j 1
式中：g——观测数据分组数；
fj——计算间隔t内到达kj辆车(人)这一事件发生的次(频)数； kj——计数间隔t内的到达数或各组的中值； N——观测的总计间隔数。
行驶规律进行研究，找出交通流变化规律c这种
研究方法，称为概率论方法。
当道路上交道流量增大时，车辆出现拥挤 现象，车辆像某种流体一样流动，车辆行 驶失去相互独立性．不是随机变量，不能
应用概率论方法来分析，可以将道路上整个 交通流看作一种具有特种性质的流体，应用 流体运动理论宏观地研究整个交通流体的演 变过程，特别应用洪水回波理论研究交通拥 挤阻塞回波现象，求出交通流拥挤状态变化
第八章 交通流理论
第一节 概述 第二节 交通流的概率统计分布 第三节 跟驰理论 第四节
交通工程学的基础理论就是交通流理论。 所谓交通流理论是应用数学或物理学原
理对交通流的各参数及其之间关系进行定性 和定量的分析，以寻求道路交通流的变化规 律，从而为交通规划、交通管理和道路设计 及运政、路政管理提供理论依据。
线性跟驰模型的缺点：
跟随车的反应强度(加速度)与车 间距无关，仅为两车相对速度的函 数
四. 非线性跟驰模型
认为反应强度系数λ与车头间距成反比（新 变量λ1常数）
1/s(t) 1/[xn(t)- xn 1(t)] 1
..
X
n 1 (t
T)
1
X n (t) X n1(t)
.
X
n
(t
)
.
X
n 1 (t )
p
(1
p)k
,
k 0,1,2,
式中：p、β为负二项布参数。0＜p＜1，β为正整数。
k
P( k) 1
C 1 k 1
p
(1
p)i
i0
由 概 率 论 可 知 ， 对 于 负 二 项 分 布 ， 其 均 值 M=β(１p)/p,D=β(1-p)/p2,M＜D。因此，当用负二项分布拟合观测数据 时，利用p、β与均值、方差的关系式，用样本的均值m、方差 S2代替M、D，p、β可由下列关系式估算：
p (m S 2) / m n m / p m2 /(m S 2 )(取整数)
(2)递推公式
P(0) (1 p)n P(k 1) n k p P(k )
k 1 1 p
(3)应用条件
车流比较拥挤、自由行驶机会不多的车流用二项分布 拟合较好。
3. 负二项分布
(1)基本公式
P(k)
C 1 k 1
法称为交通跟驰理论。
道路上交通流排队现象随时可见，因此，有必 要研究交通流中的排队理论及其应用
排队论是研究“服务“系统因“需求”拥挤 而产生等待行列(即排队)的现象，以及合理协调 “需求”与“服务”关系的一种数学理论，是 运筹学中以概率论为基础的一门重要分支，有 的书中称为“随机服务系统理论”。
4. 离散型分布拟合优度检验——χ2检验
(1)χ2检验的基本原理及方法 ① 建立原假设H0 ② 选择适宜的统计量 ③ 确定统计量的临界值 ④ 判定统计检验结果
二. 连续型分布
描述事件之间时间间隔的分布称为连续型分布。连续型分布 常用来描述车头时距、或穿越空 档、速度等交通流特性的分布特征。 1.负指数分布 (1)基本公式 计数间隔t内没有车辆到达(k=0)的概率为：
式中Qt/3600是到达车辆数的概率分布的平均值。若令M为负指数分 布的均值，则应有：
M=3600/Q=1/λ 负指数分布的方差为：
D
1
2
用样本的均值m代替M、样本的方差S2代替D，即可算出负指数分布 的参数λ。
此外，也可用概率密度函数来计算。负指数分布的概率密度函数为：
P(t) d P(h t) d [1 P(h t)] et
dt
dt
P(h t)
p(t)dt
et dt et
t
t
P(h t)
t
p(t)dt
t etdt 1 et
0
0
(2)适用条件
负指数分布适用于车辆到达是随机的、有充分超车机会 的单列车流和密度不大的多列车流的情况。通常认为当每小 时每车道的不间断车流量等于或小于500辆，用负指数分布 描述车头时距是符合实际的。
求：1、次要道路平均等待时间
2、次要道路可能最大交通量；
1、平均等待时间
w
1
(e
1)
Q 次
e
1e 0
第三节 跟驰模型
跟驰理论 是运用动力学方法，研究在无法超车的单 一车道上车辆列队行驶时，后车跟随前车的行驶状 态的一种理论。
主要目的：通过观察各个车辆跟驰来了解单车道交 通流的特性。描述交通流的稳定性、加速度、干扰 以及干扰的传播；检验在高速道路专用车道上运行 的公共汽车车队的特性；检验管理技术和通信技术， 以便检测短途车辆对市区交通施的影响，使尾撞事 故减到最低限度。
三. 线性模型的稳定性
1. 局部稳定 指前后两车之间的变化反应。例如 两车车距的摆动，如摆动大则不稳定，摆动愈小 则愈稳定，这称为局部稳定。 2. 渐近稳定 是引导车向后面各车传播速度变化。 如扩大其速度振幅，叫做不稳定，如振幅逐渐衰 弱，则叫做稳定，这称为渐近稳定。
线性跟驰模型的优点：
简便、稳定分析的敏感性
二、一交叉口，设置了专供左转的信号相， 经研究指出：来车符合二项分布，每一周期 内平均到达20辆车，有25％的车辆左转但 无右转。求：
1．到达三辆车中有一辆左转的概率。
2．某一周期不使用左转信号相的概率。
三、一无信号交叉口主要道路交通量1000辆/ 小时，次要道路横穿需要6s，连续通行时所 需车头时距为3s。
二、交通流理论沿革