第5章刚体的定轴转动
大学物理 第5章刚体定轴转动
赵 承 均
转动平面 某质点所在的圆周平面，称为转动平面。
参考线
转心 矢径
转动平面内任一过转轴的直线，如选 x 轴。
某质点所在的轨迹圆的圆心，称为转心。 某质点对其转心的位矢，称为该质点的矢径。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
显然：转动刚体内所有点有相同的角量，故用角量描述刚体 的转动更方便，只需确定转动平面内任一点的角量即可。 1.角坐标— 描写刚体转动位臵的物理量。 角坐标 转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与 参考线间的夹角 。
赵 承 均
第二类问题：已知J和力矩M：求出运动情况和 b及 F 。
第三类问题：已知运动情况和力矩M，求刚体转动惯量 J 。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学的联 系 例 ：长为 l,质量为 m 的细杆，初始时的角速 度为 ωo ，由于细杆与 桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力 矩 Mf 。
Fi cos i Fi cos i mi ain mi ri 2 法向：
e i
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。可在切向 方程两边乘以 ri ，得到：
Fi e ri sin i Fi i r i sin i mi ri 2
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。 ⑴ 平均角加速度 t
即：刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
赵 承 均
⑵ 角加速度 ①用平均角加速度代替变化的角加速度； ②令 t 0 取极限；
d d lim 2 t 0 t dt dt
5-刚体的定轴转动
L1 L2
刚体定轴转动的角动量 L=?
z
v
ri mi
O
刚体 定轴
L Li mirivi
m iri(ri) ( miri2)
J M=0的原因，可能
1）F＝0（不受外力） 2）外力作用于转轴上 3）外力作用线通过转轴
4）外力作用线与转轴平行
刚体定轴转动的角动量守恒
L1 L2
J11J22
位置，求它由此下摆角时的角速度。
解：如图建立坐标
x
杆受到的重力矩为：
O
M ＝ gxd g m xdm
X
dm
据质心x定 d＝ m 义 mCx MmgxC
xc
1l 2
cos
M1mgclos
2
dmg
MJJdJ d d J d M dJd
dt d dt d
0 1 2mc go lds 0 Jd
mglsin
端点 o 且与桌面垂直的固定光滑轴转动,另有 一水平运动的质量 m2为的小滑块,从侧面垂直 与杆的另一端 A 相碰撞,设碰撞时间极短,已知 小滑块在碰撞前后的速度分别为 v1 和 v2 ,方 向如图所示,求碰撞后从细杆开始转动到停止 转动过程所需时间,（已知杆绕点 o 的转动惯 量 J= ml2/ 3 )
dLR J2J0m0d2 其中 Jo 12moR2
J J1J2 1 3m LL 21 2m oR 2m o(LR )2
2.对薄平板刚体的正交轴定理
z
Jz miri2
yi
xi
ri
y
m i(x2y2) m ix 2 m iy 2
x
Δmi
Jz JxJy
z
应用
例：已知圆盘
第5章 刚体的定轴转动
角加速度矢量定义为
（2） 显然，若角加速度矢量的方向与角速度矢量的方向相同，见下图 （a），则角速度在增加；反之，若角加速度与角速度的方向相反，见 下图（b），则角速度在减小。从图（a）、（b）中不难验证，角加速 度矢量的方向与直观转动的加速方向也构成右手螺旋关系。既当四个手 指指向直观的加速方向时，大姆指所指向的方向即为角加速度矢量的方 向。
(4) 其中
为各分力的力矩，证毕。 由于作用力和反作用力是成对出现的，所以它们的力矩也成对出
现。由于作用力与反用力的大小相等，方向相反且在同一直线上因而有 相同的力臂，见下图，所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等，方向 相反，其和为零。
(5)
作用力矩和反作用力矩 二、刚体对定轴的角动量
在刚体的定轴转动中，刚体对定轴的角动量是一个很重要的物理 量，在很多问题的分析中都要用到这个概念，下面我们来讨论这个问 题。 刚体绕定轴转动时，它的每一个质点都在与轴垂直的平面上运动。下面 我们先分析质点对定轴的角动量，而且只考虑质点在轴的垂面上运动的 情况。如下图所示，有一质点在z轴的垂面M内运动，质点的质量为m， 对z轴（即对质点转心）的矢径为r，速度为v，动量p=mv。如同在角动 量知识点中讨论的一样，我们定义质点对定轴的角动量为
第5章 刚体的定轴转动 ◆ 本章学习目标 理解：刚体、刚体转动、转动惯量的概念；刚体定轴转动定律及角动量守
恒定律。 掌握：转动惯量，转动中的功和能的计算；用刚体定轴转动定律及角动量
守恒定律求解定轴转动问题的基本方法。 ◆ 本章教学内容
1．刚体的运动 2．刚体定轴转动定律 3．转动惯量的计算 4．刚体定轴转动定律的应用 5．转动中的功和能 6．对定轴的角动量守恒 ◆ 本章重点 刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量； 力矩计算、转动定律的应用； 刚体转动动能、转动时的角动量的计算。 ◆ 本章难点 力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。
第五章刚体定轴转动典型题型
• 例3一质量为ｍ，半径为Ｒ的均匀圆盘，求 通过中心ｏ并与盘面垂直的轴的转动惯量
• 例4一半径为Ｒ的光滑置于竖直平面内，一 质量为ｍ的小球穿在圆环上，并可在圆环 上滑动，小球开始 时静止于圆环上的电 Ａ（该点在通过环心ｏ的水平面上），然 后从Ａ点开始下滑，设小球与圆环间的摩 擦略去不计。求小球滑到点Ｂ时对环心ｏ 的角动量和角速度。
Ｏ
Ａ
质点运动与钢体定轴转动对照表
质点运动
速度
v dr / dt
加速度 a dv / dt
力
Ｆ
钢体定轴转动
角速度 d / dt
角加速度 d / dt
力矩
Ｍ
质量 ｍ
转动惯量 Ｊ
动量 p mv
角动量 L J
牛二律 F m a
F dp / dt
转动定律 M J
M dL / dt
第五章 刚体定轴转动
• 例1一飞轮半径为0.2m，转速为150r/min， 因受到制动二均匀减速，经30s停止转动， 试求：
1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数
2）制动开始后t=6s时飞轮的角速度
3） t=6s时飞轮边缘上一点的线速度，切线 加速度和法线加速度。
• 例2一质量为ｍ，长为的均匀细长棒，求 1）通过其中心并于棒垂直的转动惯量 2）通过棒端点并与棒垂直的轴的转动惯量
角加速度（ ）
• 例8 质量为Ｍ，半径为Ｒ的转台，可绕过 中心的竖直轴无摩擦的转动。质量为ｍ的 一个人，站在距离中心ｒ处（ｒ<R），开 始时，人和台处于静止状态。如果这个人 沿着半径为ｒ的圆周匀速走一圈，设它相 对于转台的运动速度为ｕ，求转台的旋转 角速度和相对地面的转过的角度。
ｒ
Ｒ
• 5）角动量守恒定律和机械能守恒定律的综 合应用
05刚体的定轴转动习题解答.
第五章刚体的定轴转动一选择题1. 一绕定轴转动的刚体，某时刻的角速度为ω，角加速度为α，则其转动加快的依据是：（）A. α > 0B. ω > 0，α > 0C. ω < 0，α > 0D. ω > 0，α < 0解：答案是B。
2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘，质量相等且具有相同的厚度，则它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。
（）A. 相等；B. 铅盘的大；C. 铁盘的大；D. 无法确定谁大谁小解：答案是C。
简要提示：铅的密度大，所以其半径小，圆盘的转动惯量为：2/2Mr J =。
3. 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O 以角速度ω 按图示方向转动。
若将两个大小相等、方向相反但不在同一条直线的力F 1和F 2沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度ω的大小在刚作用后不久 （ ）A. 必然增大B. 必然减少C. 不会改变D. 如何变化，不能确定解：答案是B 。
简要提示：力F 1和F 2的对转轴力矩之和垂直于纸面向里，根据刚体定轴转动定律，角加速度的方向也是垂直于纸面向里，与角速度的方向（垂直于纸面向外）相反，故开始时一选择题3图定减速。
4. 一轻绳绕在半径为r 的重滑轮上，轮对轴的转动惯量为J ，一是以力F 向下拉绳使轮转动；二是以重量等于F 的重物挂在绳上使之转动，若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为a 1和a 2，则有： （ ）A. a 1 = a 2B. a 1 > a 2C. a 1< a 2D. 无法确定解：答案是B 。
简要提示：(1) 由刚体定轴转动定律，1αJ Fr =和11αr a =，得：J Fr a /21= (2) 受力分析得：⎪⎩⎪⎨⎧===-2222ααr a J Tr ma T mg ，其中m 为重物的质量，T 为绳子的张力。
得：)/(222mr J Fr a +=，所以a 1 > a 2。
5. 一半径为R ，质量为m 的圆柱体，在切向力F 作用下由静止开始绕轴线作定轴转动，则在2秒内F 对柱体所作功为： （ ）A. 4 F 2/ mB. 2 F 2 / mC. F 2 / mD. F 2 / 2 m解：答案是A 。
第5章 刚体定轴转动.
J过一端垂直于杆 13m L2
圆环： J对称轴mR2
圆盘：
J对称轴
1 2
mR2
薄球壳：
J直径
2 3
mR2
球体：
J 直径
2 5
mR2
例: 如图所示，刚体对经过
棒端且与棒垂直的轴的转动
mL
惯量如何计算？(棒长为L ,
球半径为R）
mO
刚体的转动定律
力矩质点系的角动量改变 任意质点系的角动量定理：
M
轴向总力矩： M z M iz riF isin i
i
i
§5-4 转动定Biblioteka 的应用规范的解题思路：认物体
分析题意，确定哪些物体是刚体， 哪些是质点，及其与问题关系。
看运动
分析刚体的转动和质点运动情况，
找出相关的线量( v,a ) 和角量(,)，
确定它们之间的关系。
查受力
画隔离体受力分析图，确定对刚体 有力矩贡献的力和质点的受力及其关系。
列方程
选择坐标系和角量的参考方向，对 刚体列出转动定律方程，对质点列出牛 顿定律方程，并列出角量与线量的关系， 再求解。
[例]一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O以
角速度ω按图示方向转动.若如图所示的情况那样， F
将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿
F
O
盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度 [
时刻=0 ，代入方程= 0+at 得
0
O
an r
v
a
at
a0 50rad/2s
t
50
3.14rad/2s
从开始制动到静止，飞轮的角位移及转数N分别为
00t1 2a2t505 01 2520 125ra0d
[理学]第5章-刚体的定轴转动
(2)刚体可以看作是由许多质点组成,每一个 质点叫做刚体的一个质元,刚体这个质点系 的特点是,在外力作用下各质元之间的相对 位置保持不变。
质元
Δmi
Δmｊ ｒiｊ
2. 刚体的运动形式:
⑴平动： 在描述刚体的平动时,可以用一点的运动
来代表，通常就用刚体的质心的运动来代 表整个刚体的平动。
转轴
⑵转动: 转动是刚体的基本运动形式之一。 刚体转动时各质元均做圆周运动,而且各
列方程
mg－T2 = ma2 T1－mg = ma1
T2 (2r)－T1r = 9mr2 / 2 2r = a2 r = a1
2r T2 T2 a2 m mg
r m 2m T1
T1 m a1
mg
解联立方程，得： 2g
19r
练习1：如图所示,有两个质量分别为 M1 、M2 ，对转轴的转动惯
量分别为
Z’ Z
C d
J = Jc+ m d 2
例: 如图一质量为M 长为l的匀质细杆，中间和右端各有一 质量皆为m的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直 的水平轴转动，若将该杆置于水平位置后由静止释放， 求:杆转到与水平方向成θ角时,杆的角加速度是多少?
解:设转轴垂直向里为正,系统对该转轴的转动惯量为
J
第五章 刚体的定轴转动
转轴
复习
一、力矩
M rF
1. 大小：M = rFsinθ
Z F// F
O r F⊥ p
2.方向：由右手螺旋定则确定。
注意：上式中F指的是与转轴垂直平面(转动平面)上的力，
若F不再该平面上，可将F分解为垂直于转轴和平行于转
轴的两个分力，力矩是指的是在转动平面内力F⊥（平行
大学物理教程-刚体的定轴转动
大学物理教程
哈尔滨工业大学(威海)
5.1 刚体的运动 Harbin Institute of Technology at Weihai
1.平动:
刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体
中所有质点的位移都是相同的。而且在任何
时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同
5.2.1 对轴的力矩
M ro F (r rz ) F
M z (r F ) z r (F Fz )z r F
M z rF sin r F rF
➢ 说明： ① 只有垂直于轴的分量（或在转动平面内的分量）
才能产生沿轴方向的力矩！ ② 作用点到轴的垂直距离决定对轴的力矩
大学物理教程
例3. 圆环绕中心轴旋转的转动惯量。
解： 选圆环上dl长度质量微元dm，
设线密度为 m 2 R
dl
m R
Jz R2 d m R2 d l
O
R22 R
mR2
大学物理教程
延伸：
薄壁圆筒： J mR2
哈尔滨工业大学(威海)
5.2 刚体定轴转动定律 Harbin Institute of Technology at Weihai
（A）
（B）
解： （A）
M J
FR 1 mR2
2F mR
2
2F
mR
a R 2F / m
R
R
m
m
（B） m1g T m1a
TR J 1 mR2
2
a R
m1
g
m1
1 2
m
R
a
m1
g
m1
1 2
m
恒力 F
大学物理第5章刚体的定轴转动
Jz Jx Jy
Jc J mC
质心
d
yi
xi
ri
y
x
Δmi
1 2
mR
2
R
1 4
mR
2
6
第六页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
常用的转动惯量
细杆：
J过中点垂直于杆
1 12
mL2
J过一端垂直于杆
1 3
mL2
圆柱体：
J对称轴
1 2
mR 2
薄球壳：
J 直径
2 3
mR
2
球体：
J 直径
2 5
mR
2
7
第七页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
d L Lsin dΘ M d t
旋进角速度： Ω dΘ
dt
Ω d
dL
Lsin L
Ω M M
Lsin J sin
O
当 90 时 ，Ω M J
Ω
1
，
Ω
演示 车轮旋进（KL023) TV 旋进防止炮弹翻转（注2）
M外z 0 ，则 J z const .
大小不变 正、负不变
对刚体系， M外z = 0 时， Jizi const.，
此时角动量可在系统内部各刚体间传递，
而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。
演示 角动量守恒：茹科夫斯基转椅(KL016)
转台车轮 (KL017)
陀螺仪（KL029）
30
第三十页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
5、车轮进动
2
第二页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
§5.1 刚体的定轴转动定律
z
Mz
dLz dt
刚体定轴转动
1.刚体的转动 刚体的转动 在圆盘上任意取一个质元 切向速度： 切向速度：
ω
c
vi = ωri = θri
mi , ri
r i
mi
r ai = ωri = θi = αri 切向加速度： 切向加速度：
角加速度rad
s2
由于质元是任取的，所以刚体上各质元的v 由于质元是任取的，所以刚体上各质元的v、a一般 角加速度α 不同，但角量（角位移θ、角速度ω 、角加速度α）都 不同， 角位移θ 角速度ω 相同，所以描述刚体定轴转动用角量最方便 用角量最方便。 相同，所以描述刚体定轴转动用角量最方便。
刚体定轴 转动定律 对 比 牛顿第二定律
dLc = d (I cω ) = I dω = I α Mc = c c dt dt dt
dp d(mv) dv F= = =m =ma dt dt dt
刚体定轴转动定律在转动问题中的地位相当于质 刚体定轴转动定律在转动问题中的地位相当于质 点运动中牛顿第二定律 牛顿第二定律的 点运动中牛顿第二定律的，各物理量间存在明显的 对应关系。 对应关系。
刚体定轴转动
1
安徽工业大学 数理学院 刘畅
2. 刚体的转动动能和转动惯量 刚体的转动动能 转动动能和 1 2 1 2 2 质元 mi的动能 Eki = mivi = miω ri m i 2 2 r c i 总动能 Ek = ∑Eki 2 1 ω 2 2 2 = ∑ miω ri = ∑miri 2 2 1 I—转动惯量 = Ic ω2 2 单个质点绕定轴转动的转动惯量 单个质点绕定轴转动的转动惯量 I = mr 2 质量连续分布的刚体的转动惯量 I = r dm
dt 若 M =0LΒιβλιοθήκη M =dL∫
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第5章 刚体的定轴转动
一、简答题
5.1.1
什么是刚体？它的基本运动形式有哪些？ 5.1.2
只要刚体受到力的作用，它就会转动吗？ 5.1.3 一均匀细直棒，绕通过其一端的光滑固定轴在竖直平面内转动．使棒从水平位置自由下摆，
在到达最低点的过程中，棒的角加速度如何变化？
5.1.4
刚体转动惯量的大小受哪些因素影响？
二、填空题
5.2.1 一半径为10cm 的飞轮，原先转速为200rad/s ，开始制动后作匀变速转动，经过50s 停止，
则飞轮的角加速度为 ，轮边缘的切向加速度为 ，开始制动后转过3750rad 时的角速度为 ， 线速度为 。
5.2.2 某发动机飞轮在t 时刻的角位移为)::(43s t rad ct bt at ，θθ-+=，则t 时刻的角速度
为 、角加速度为 。
5.2.3 质量为m ，长为l 的均质细杆，其B 端放在桌上，A 端用手支住，使之成水平，突然释放A
端。
此瞬时杆质心的加速度为 ，杠的角加速度为 ，B 端所受的作用力为 。
5.2.4 转动惯量为220m kg ⋅的飞轮在一阻力矩的作用下转速由分转600降为转300，在这
个过程中M 作的功为 ，M 的冲量矩为 。
5.2.5 芭蕾舞演员开始绕自身轴张开手臂转动时的角速度为ω0，转动惯量为J 0，她将手臂收回使
J 减为J 0 / 3，则此时的角速度为 （不计阻力）。
5.2.6 一水平转台绕坚直的固定轴转动，质量60kg 的人站在转台中心，每10秒钟转一圈，转台
对转轴的转动惯量为21200m kg J ⋅=。
人随后沿半径向外走，当人离轴5m 时，转台的角
速度为 。
三、选择题
5.3.1 均匀细棒OA 可绕O 端自由转动，现在让OA 从水平位置由静止自由下落，那么下面正确
的是 （ ）
Ａ、角速度从小到大，角加速度从小到大。
B 、角速度从小到大，角加速度不变。
Ｃ、角速度从小到大，角加速度从大到小。
D 、角速度不变，角加速度为零。
5.3.2 质量为m 、半径为r 的均质细圆环，去掉3
2，剩余部分圆环对过其中点，与环面垂直的轴的转动惯量为 （ ）
A 、32mr
B 、322mr
C 、2mr
D 、342mR 5.3.3 水平光滑圆盘的中央有一小孔，柔软轻绳的A 端系一小球置于盘面上，绳的B 端穿过小孔，
现使小球在盘面上以匀角速度绕小孔作圆周运动的同时，向下拉绳的B 端，则（ ）
A 、小球绕小孔运动的动能不变
B 、小球的动量不变
C 、小球的总机械能不变
D 、小球对通过盘心与盘面垂直的轴的角动量不变
5.3.4 均质细杆可绕过其一端且与杆垂直的水平光滑轴在坚直平面内转动。
今使细杆静止在坚直
位置，并给杆一个初速度，使杆在竖直面内绕轴向上转动，在这个过程中（ ）
Ａ、杆的角速度减小，角加速度减小 Ｂ、杆的角速度减小，角加速度增大
Ｃ、杆的角速度增大，角加速度增大 Ｄ、杆的角速度增大，角加速度减小
5.3.5 地球在太阳引力作用下沿椭圆轨道绕太阳运动，在运动的过程中（ ）
A 、地球的动量和动能守恒
B 、机械能和地球相对于太阳的角动量守恒
C 、地球的动能和机械能守恒
D 、地球的动量和相对于太阳的角动量守恒
5.3.6 均质细圆环、均质圆盘、均质实心球、均质薄球壳四个刚体的半径相等，质量相等，若以
直径为轴，则转动惯量最大的是（ ）
A 、圆环
B 、圆盘
C 、均质实心球
D 、薄球壳
四、计算题
5.4.1 原来静止的电机皮带轮（r ＝5.0cm ）在接通电源后作匀变速转动，30S 后转速达到157rad/S 。
求：（1）在这30S 内电机皮带轮转过的转数； （2）接通电源后20S 时皮带轮的角速度；
（3）接通电源后30S 时皮带轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度。
5.4.2 一质量为m 、半径为R 的滑轮，用细绳绕在其边缘，绳的另一端系一个质量也为m 的物体。
设绳的长度不变，绳与滑轮间无相对滑动，且不计滑轮与轴间的摩擦力矩，则滑轮的角加速度为多少？若不系重物，改用大小为mg 的力F 拉绳的一端，则滑轮的角加速度又为多少？
5.4.3 分别求出质量m=0.50kg 、半径R=10cm 的金属细圆环和薄圆盘相对于通过其中心并垂直于
环面和盘面的轴的转动惯量；如果它们的转速都是100s rad /，它们的转动动能各为多少？
5.4.4 转动惯量为20kgm 2、直径为50cm 的飞轮以100rad/s 的角速度旋转。
现用闸瓦将其制动，
闸瓦对飞轮的正压力为400N ，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为0.50。
求： （1）闸瓦作用于飞轮的摩擦力矩的大小；（2）从开始制动到停止，飞轮转过的转数和经历的时间；（3）开始制动到停止，摩擦力矩所作的功。
5.4.5 轻绳缠绕在一个质量为m 0的圆盘状定滑轮的边缘，其一端悬挂一质量为m 的物体，如图示。
如果滑轮的半径为r ，求物体与滑轮之间的绳子张力和物体下落的加速度。
5.4.6 如图所示，已知一轻绳相连的两物体质量分别为m 1和m 2，
定滑轮的质量为m ，半径为R 。
滑轮可视为质量均匀的圆
盘，m 2和桌面间无摩擦，绳子和滑轮间无相对滑动，滑轮
轴所受摩擦力忽略不计。
求：（1）m 1下落的加速度大小。
（2）两段绳子中的张力大小。
5.4.7 一水平放置的圆盘绕竖直轴旋转，角速度为ω1，它相对于此轴的转动惯量为J 1，现在它的
正上方有一个以角速度为ω2转动的圆盘，这个圆盘相对于其转轴的转动惯量为J 2，两圆盘相平行，圆心在同一条竖直线上，上盘的底面有销钉，如果上盘落下，销钉将嵌入下盘，使两盘合成一体。
求：（1）求两盘合成一体后的角速度； （2）求上盘落下后两盘总动m 2m 1
5.4.6题 图示
能的改变量；（3）解释动能有可能改变的原因。
5.4.8一均匀塑料棒静止于水平面内，质量m l = 1.0kg、长l = 40cm，可绕通过其中心并与棒垂直
的轴自由转动。
现有一质量为m2 = 10g的子弹以v = 200m/s的速率射向棒端并嵌入棒内，设子弹的运动方向与棒和转轴相垂直。
求棒受子弹撞击后的角速度。