2.2.1 第2课时 对数的应用
第二章 2.2 2.2.1 第2课时 对数的运算
log27
=
−
1 2
×
4
−
1 2
log23
+
3 2
+
1 2
log23
=
−2
+
3 2
=
−对数的运算
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三 题型四
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2
2 49 3
(2)2log32-log3
32 9
+
log38
−
5lo
g53.
解:(1)(方法一)原式 = 1 (5lg 2-2lg 7)− 4 × 3 lg 2+ 1 (2lg 7+lg 5)
2
32
2
=
5 2
lg
2-lg
7-2lg
2+lg
7+
1 2
lg
5
= 1 lg 2+ 1 lg 5= 1 (lg 2+lg 5)
=
lo g18 (5×9) lo g18 (2×18)
=
log185 + log189 log182 + log1818
=
1
������ +
+ ������ log18 2
������ + ������
������ + ������ ������ + ������
学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2对数函数2.2.1第2课时对数运算课件新人教A版必修.ppt
3．logaMn＝ nlogaM
(n∈R)．
二、对数换底公式 logab＝llooggccba(a>0，且 a≠1，b>0，c>0，且 c≠1)； 特别地：logab·logba＝ 1 (a>0，且 a≠1，b>0，且 b≠1)．
[双基自测]
1．lg 8＋3lg 5 的值为( )
A．－3
B．－1
第 2 课时 对数运算
考纲定位
重难突破
1.掌握对数的运算性质． 重点：对数的运算性质．
2．能熟练运用对数的运算性质进行化 难点：换底公式的应用.
简求值.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
一、对数的运算性质
如果 a>0，且 a≠1，M >0，N>0，那么： 1．loga(M·N)＝ logaM＋logaN . 2．logaMN＝logaM－logaN .
b＝log510＝lg15，
∴1a＋1b＝lg 2＋lg 5＝1. 答案：1
4．计算下列各式的值．
(1)12lg3429－lg 4＋lg 245；
(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
解析：(1)原式＝lg472－lg 4＋lg7
5＝lg4
2×7 7×4
5＝lg(
2×
忽略对数的限制条件导致错误
[典例] 若 lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg 2＋lg x＋lg y，求xy的值． [错解] 因为 lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg[(x－y)(x＋2y)]＝lg(2xy)， 所以(x－y)(x＋2y)＝2xy，即 x2－xy－2y2＝0，
课件2：2.2.1 第2课时 对数的运算
自学导引
1．对数的运算性质 如果 a>0，a≠1，M>0，N>0，那么， (1)loga(MN)＝_l_o_g_aM__＋__l_o_g_aN___； (2)logaMN ＝__lo_g_a_M_－__l_o_g_a_N_； (3)logaMn＝____n_lo_g_a_M______(n∈R)．
3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简 求值．
4．要充分运用“1”的对数等于 0，底的对数等于“1”等对 数的运算性质．
5．两个常用的推论： (1)logab·logba＝1(a，b>0 且均不为 1)； (2)logambn＝mn logab(a，b>0 且均不为 1，m≠0)．
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＝2(log214密 因忽略真数大于0而出错
【例 4】 已知 lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，求 错解：因为 lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
xy的值．
所以 xy＝(x－2y)2，即 x2－5xy＋4y2＝0，
所以 x＝y 或 x＝4y，即xy＝1 或xy＝4，
解：(1)lg 14－2lg73＋lg 7－lg 18＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7 －lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋ (lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
x，得
x＝llooggccba.
∵x＝logab，
∴logab＝llooggccba.
2.2.1 第二课时 对数的运算课件人教新课标
原式= lg(3 95 272 5 3 2 ) = lg 3 5 = 11 .
lg 81
lg 3 5
27
(2)(lg
5)2+lg
2
lg
50+
1 1
22
log 2
5
;
(3) log ( 6 4 2 - 6 4 2 ). 2
解:(2)原式=(lg 5)2+lg 2(lg 5+1)+21· 2log2 5 =lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2+2 5 =1+2 5 . (3)因为 6 4 2 = (2 2)2 =2+ 2 ,
2
方法技能 (1)本题主要考查对数式的化简与计算.解决这类问题一般有两种 思路:一是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为 对数的和、差、积、商,然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积、商逆 用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值. (2)对数计算问题中,涉及lg 2,lg 5时,常利用lg 2+lg 5=1及lg 2=1-lg 5, lg 5=1-lg 2等解题.
100
100
点击进入 课时作业
所以 1 =logka, 1 =logkb, 1 =logkc.
x
y
z
所以 1 + 1 + 1 =logka+logkb+logkc=logk(abc)=0.所以 abc=1. xyz
题型三 与对数有关的方程问题 【例3】 解方程: (1)log5(2x+1)=log5(x2-2);(2)(lg x)2+lg x3-10=0.
log2 4 log2 8
2.2.1对数与对数运算(第二课时——对数运算)
例2
求下列各式的值：
(1) log2（47×25）； (2) lg5
100
；
(3) log318 -log32 ；
(4)
3
1 log3 2
.
例3 计算:
2 log 5 2 log 5 3 1 1 log 5 10 log 5 0.36 log 5 8 2 3
巩固练习
1、求下列各式的值
复习引入
1、对数的定义
一般地, ax=N(a>0,a≠1),那么数x 叫做以a为底 N的对数, 记作logaN=x。( 式中的a叫做对数的底数,N叫做真数.) 2、指数式和对数式的互换； log N = x a x = N (a 0, 且a 1) a
复习引入
3、对数的性质 (a 0, 且a 1)
的值。
对数运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么：
(1).loga (M N ) = loga M loga N ;
M (2).log a = log a M log a N ; N
ห้องสมุดไป่ตู้
(3).loga M = n loga M (n R).
n
应用实例
例1
用logax，logay，logaz表示下列 各式： 2 xy x y (1) log a ; (2) log a 3 . z z
(1).lg 4 2lg 5;
(2).2
2log2 5
(3).2
(6).3
1log2 7
(4).2
log2 3
(5).lg 5 lg 2 lg5 lg 2;
2
1log3 4
（1）负数和零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ） log 1 = 0 即：1的对数是0 （ 2） a log a = 1 即：底数的对数是1 （ 3） a
人教A版高中数学必修一教学课件：2.2.1 第2课时 对数的运算
一级达标重点名校中学课件
换底公式的应用
已知 log189＝a,18b＝5，用 a，b 表示 log3645.
思路点拨：已知对数和指数幂的底数都是 18，需求值的对 数底数为 36，因此既可以将需求的对数化为与已知对数同底后 再求解，也可以将已知与需求值的对数都换为同一底数后再求 解．
一级达标重点名校中学课件
答案：(1)2
(2)12
25 9 (3) (4) 2 4
一级达标重点名校中学课件
对数运算性质的应用
2 3 lg 3＋ lg 9＋ lg 27－lg 5 5 化简： lg 81－lg 27 3 .
思路点拨：思路一：“正用”性质，先正用性质把式子中 的每一个对数都化成 nlg 3 的形式，再化简． 2 3 思路二：“逆用”性质，先逆用性质把 lg 9， · lg 5 5 －lg 3分别化为 lg
3
－1
一级达标重点名校中学课件
• 对数恒等式alogaN＝N的应用 • (1)能直接应用对数恒等式的直接求值即 可． • (2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按 以下步骤求解．
一级达标重点名校中学课件
1．求值： (1)10lg 2＝________.(2)31＋log34＝________. (3)2
一级达标重点名校中学课件
lg 5 lg 5 又 18 ＝5，则 b＝log185＝ ＝ ， lg 18 lg 2＋2lg 3
b
2b 所以 lg 5＝ lg 3.② a 2lg 3＋lg 5 lg 45 lg 9＋lg 5 log3645＝ ＝ ＝ ， lg 36 2lg 2＋2lg 3 2lg 2＋2lg 3 将①、②两式代入上式并化简整理， a＋b 得 log3645＝ . 2－a
2019-2020学年高中数学(人教A版必修一)教师用书：第2章 2.2.1 第2课时 对数的运算 Word版含解析
第2课时对数的运算1．理解对数的运算性质．(重点)2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点) 3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明(易混点)．[基础·初探]教材整理1 对数的运算性质阅读教材P64至P65“例3”以上部分，完成下列问题．对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)log a(M·N)＝log a M＋log a N；(2)log a MN＝log a M－log a N；(3)log a M n＝nlog a M__(n∈R)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )(2)log a xy＝log a x·log a y.( )(3)log a(－2)3＝3log a(－2)．( )【解析】(1)√.根据对数的运算性质可知(1)正确；(2)×.根据对数的运算性质可知log a xy＝log a x＋log a y；(3)×.公式log a M n＝n log a M(n∈R)中的M应为大于0的数．【答案】(1)√(2)×(3)×教材整理2 换底公式阅读教材P 65至P 66“例5”以上部分，完成下列问题． 对数换底公式：log a b ＝logcblogca (a >0，且a ≠1，b >0，c>0，且c ≠1)； 特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．计算：log 29·log 34＝________.【解析】 由换底公式可得log 29·log 34＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4. 【答案】4[小组合作型](1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18; 【导学号：97030098】 (2)2lg 2＋lg 32＋lg 0.36＋2lg 2；(3)log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72； (4)2log 32－log 3329＋log 38－52log 53.【精彩点拨】 当对数的底数相同时，利用对数运算的性质，将式子转化为只含一种或少数几种真数的形式再进行计算．【自主解答】 (1)法一 原式＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二 原式＝lg 14－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝ ⎛⎭⎪⎫732×18＝lg 1＝0.(2)原式＝2lg 2＋lg 32＋lg 36－2＋2lg 2＝错误!＝错误!＝错误!.(3)原式＝log 33343＋lg (25×4)＋2＝log 33－14＋lg 102＋2＝－14＋2＋2＝154. (4)原式＝2log 32－(log 325－log 39)＋3log 32－5log 532 ＝2log 32－5log 32＋2log 33＋3log 32－9＝2－9＝－7.1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系． 2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．[再练一题]1．求下列各式的值： (1)lg 25＋lg 2·lg 50；(2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25.【解】 (1)原式＝lg 25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg 25＋1－lg 25＝1. (2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＋lg 2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1个有效数字)？(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)【精彩点拨】 由题目可知经过一年物质剩余的质量约是原来的75%，由此首先找到剩余量与年数的关系，再利用对数计算．【自主解答】 设物质的原有量为a ，经过t 年，该物质的剩余量是原来的13，由题意可得a ·0.75t ＝13a ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫34t ＝13，两边取以10为底的对数得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫34t＝lg 13，∴t(lg 3－2lg 2)＝－lg 3， ∴t ＝－lg 3lg 3－2lg 2≈0.477 12×0.301 0－0.477 1≈4(年)．解对数应用题的步骤[再练一题]2．地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lgE －11.4)．根据英国天空电视台报道，英格兰南部2007年4月28日发生地震，欧洲地震监测站称，地震的震级为5.0级，而2011年3月11日，日本本州岛发生9.0级地震，那么此次地震释放的能量是5.0级地震释放能量的________倍．【解】 设9.0级地震所释放的能量为E 1,5.0级地震所释放的能量为E 2.由9.0＝23(lg E 1－11.4)，得lg E 1＝32×9.0＋11.4＝24.9. 同理可得lg E 2＝32×5.0＋11.4＝18.9， 从而lg E 1－lg E 2＝24.9－18.9＝6.故lg E 1－lg E 2＝lg E1E2＝6，则E1E2＝106＝1 000 000，即9.0级地震释放的能量是5.0级地震释放能量的1 000 000倍．[探究共研型]探究1 假设log25log23＝x ，则log 25＝xlog 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x ＝5，进一步可以得到什么结论？【提示】 进一步可以得到x ＝log 35，即log 35＝log25log23.探究2 由探究1，你能猜测logcblogca 与哪个对数相等吗？如何证明你的结论？【提示】 logcb logca ＝log a b .假设logcblogca ＝x ，则log c b ＝xlog c a ，即log c b ＝log c a x ，所以b ＝a x ，则x ＝log a b ，所以logcblogca ＝log a b.(1)已知log 1227＝a ，求log 616的值；(2)计算(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)的值.【导学号：02962014】【精彩点拨】 各个对数的底数都不相同，需先统一底数再化简求值． 【自主解答】 (1)由log 1227＝a ，得3lg 32lg 2＋lg 3＝a ，∴lg 2＝3－a2a lg 3. ∴log 616＝lg 16lg 6＝4lg 2lg 2＋lg 3＝4×3－a 2a1＋3－a 2a＝错误!. (2)法一 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log253＋log225log24＋log25log28·log 52＋log54log525＋log58log5125＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log25＋2log252log22＋log253log22log 52＋2log522log55＋3log523log55＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log22log25＝13.法二 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 2lg 5＝13. 法三 原式＝(log 2153＋log 2252＋log 2351)·(log 512＋log 5222＋log 5323)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log25＋log25＋13log25(log 52＋log 52＋log 52)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·log 52＝3×133＝13.1．在利用换底公式进行化简求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底．2．在运用换底公式时，还可结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如log a b ·log b a ＝1，log a b ·log b c·log c d ＝log a d ，log a m b n ＝n m log a b ，log a a n ＝n ，等，将会达到事半功倍的效果．[再练一题]3.求值：log 225·log 3116·log 519＝________.【解析】 原式＝log 252·log 32－4·log 53－2＝2lg 5lg 2·－4lg 2lg 3·－2lg 3lg 5＝16. 【答案】 161．若a >0，且a ≠1，x ∈R ，y ∈R ，且xy >0，则下列各式不恒成立的是( ) ①log a x 2＝2log a x ；②log a x 2＝2log a |x |； ③log a (xy )＝log a x ＋log a y ； ④log a (xy )＝log a |x |＋log a |y |. A ．②④ B ．①③ C ．①④D ．②③【解析】 ∵xy >0，∴①中，若x <0，则不成立；③中，若x <0，y <0也不成立，故选B . 【答案】 B2．lg 2516－2lg 59＋lg 3281等于( ) A ．lg 2 B ．lg 3 C ．lg 4D ．lg 5【解析】 lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2516÷2581×3281＝lg 2.故选A .【答案】 A3．(2016·宝鸡高一检测)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则log a 18＝________.(用m ，n 表示) 【解析】 log a 18＝log a (2×32)＝log a 2＋log a 32＝log a 2＋2log a 3＝m ＋2n . 【答案】 m ＋2n4．计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________. 【解析】 原式＝(lg 2)2＋lg 2·(1＋lg 5)＋2lg 5 ＝lg 2(1＋lg 5＋lg 2)＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2. 【答案】 25．已知log 189＝a ,18b ＝5，求log 3645. 【导学号：97030099】 【解】 法一 ∵log 189＝a ,18b ＝5，即log 185＝b ， 于是log 3645＝log1845log1836＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!. 法二 ∵log 189＝a ,18b ＝5， 即log 185＝b .于是log 3645＝错误!＝错误!＝错误!.法三 ∵log 189＝a ,18b ＝5，∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18. ∴log 3645＝lg 45lg 36＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.。
教学设计3：2.2.1 第2课时 对数的运算
2.2.1 第2课时对数的运算（一）教学目标1．知识与技能：（1）掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明.（2）能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答.2．过程与方法：（1）结合实例引导学生探究换底公式，并通过换底公式的应用，使学生体会化归与转化的数学思想. （2）通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨，培养学生学会共同学习的能力.（3）通过应用对数知识解决实际问题，帮助学生确立科学思想，进一步认识数学在现实生活、生产中的重要作用.3．情感、态度与价值观（1）通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.（2）在教学过程中，通过学生的相互交流，培养学生灵活运用换底公式的能力，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）换底公式及其应用.（2）对数的应用问题.2．教学难点：换底公式的灵活应用.（三）教学方法启发引导式通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力.利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起着重要作用，在解题过程中应注意：（1）针对具体问题，选择恰当的底数；（2）注意换底公式与对数运算性质结合使用；（3）换底公式的正用与逆用.（四）教学过程课后作业作业：习题2.2 学生独立完成巩固新知提升能力。
DL教育 最新高考 高中数学课件(可改)第二章 2.2.1 第2课时对数的运算
● (2)分析问题中的变量，并根据各个不等关系列出常量与变量x，y之间的不等式;
● (3)把各个不等式连同变量x，y有意义的实际范围合在一起，组成不等式组。
● 高三数学复习知识点2 ● 一、充分条件和必要条件 ● 当命题“若A则B”为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。 ● 二、充分条件、必要条件的常用判断法 ● 1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=>A或者A=>B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可 ● 2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。 ● 3.集合法 ● 在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则： ● 若A?B，则p是q的充分条件。 ● 若A?B，则p是q的必要条件。 ● 若A=B，则p是q的充要条件。 ● 若A?B，且B?A，则p是q的既不充分也不必要条件。 ● 三、知识扩展 ● 1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为： ● (1)交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题; ● (2)同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题; ● (3)交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。 ● 2.由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，他们之间存在这密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转
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第二章 2.2.1 对数与对数运算
课件8：2.2.1 第2课时 对数的运算
方法二：原式＝lg14－lg(73)2＋lg7－lg18 ＝lg73142××718＝lg1＝0. (2)原式＝2＋l2gl3g62－＋2l＋g32lg2＝42llgg22＋＋2llgg33＝12. (3)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5) ＝lg25＋1－lg25 ＝1.
跟踪训练 2.
2 原式＝lologg333442＝3lloogg3344＝23.
4．计算：log89·log332＝________.
[答案]
10 3
[解析] 运用换底公式，得 log89·log332＝llgg98·llgg332＝23llgg32·5llgg32＝130.
5．计算下列各式的值： (1)2lg5＋lg4＋eln2＋log 22 2； (2)(log23＋log89)(log34＋log98＋log32)．
(2)log927＝lloogg33297＝lloogg333332＝32lloogg3333＝32.
1
11
(3)log2125·log332·log53
＝log25－3·log32－5·log53－1
＝－3log25·(－5log32)·(－log53)＝－15·llgg52·llgg23·llgg35＝－15.
跟踪训练 3.
计算下列各式的值：
(1)log89·log2732；
(2)log927；
1
11
(3)log2125·log332·log53.
[解析] (1)log89·log2732＝llgg98·llgg3227＝llgg3223·llgg2353＝23llgg32·53llgg23＝
10 9.
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3 (3)loga
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1．理解并掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行 对数的有关运算．(重点)
2．了解换底公式．(易混点)
3．能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解 题．(难点)
对数的运算性质
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
logaM＋logaN (1)loga(M· N)＝_____________________ ，
第2课时 对数的运算
自主学习 新知突破
[问题]
loga(M·N)．
设 logaM ＝ m ， logaN ＝ n ， 能 否 利 用 m 、 n 表 示
[提示] 能． 由题意得am＝M，an＝N，∴MN＝am＋n. 由对数的定义知 logaM＝m，logaN＝n，logaMN＝m＋n， ∴logaMN＝logaM＋logaN.
解析： 原式＝log5102＋log50.25 ＝log5(102×0.25)＝log525＝2.
答案： C
3．已知ln 2＝a，ln 3＝b，那么log32用含a，b的代数式表 示为_____________________．
ln 2 a 解析： log32＝ ＝ . ln 3 b a 答案： b
解析： (1)方法一：(正用公式) 4 9 1 lg 3＋ lg 3＋ lg 3－ lg 3 5 10 2 原式＝ 4lg 3－3lg 3
4 9 1 1 ＋ ＋ － lg 5 10 2
3
＝
4－3lg 3
11 ＝ . 5
方法二：(逆用公式)
＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＋2 5＝1＋2 5.
M logaM－logaN (2)loga ＝___________________ ， N
nlogaM (3)logaMn＝_____________ .(n∈R)
运用对数的运算性质应注意的问题 (1)对于一条运算法则，要注意只有当式子中所有的对数 式都有意义时，等式才成立． (2)能用语言准确叙述对数的运算性质． loga(M· N)＝logaM＋logaN―→积的对数等于对数的和． M loga ＝logaM－logaN―→商的对数等于对数的差． N logaMn＝nlogaM(n∈R)―→n次幂的对数等于幂底数的对数 的n倍．
7 1 1 ×12× ＝－2. 3 7×6
1 18 lg 2＋lg 9－lg 10 lg 2 10 lg 1.8 1 (4)原式＝ ＝ ＝ ＝ . lg 1.8 2lg 1.8 2lg 1.8 2
换底公式的应用
2 1 (1)已知3 ＝4 ＝36，求 ＋ 的值． a b
a b
(2)求值： ①log23· log35· log516； ②(log32＋log92)(log43＋log83)．
换底公式的应用技巧
(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的 对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运 算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式
进行互化，统一成一种形式．
2．(1)计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋ log1258)； (2)已知log95＝m,3n＝7，试用含m，n的式子表示log359.
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对数运算性质的应用
计算下列各式的值： 7 (1)log535－2log5 ＋log57－log51.8； 3 2 (2)lg 5 ＋ lg 8＋lg 5· lg 20＋(lg 2)2； 3
2
32 (3)2log32－log3 ＋log38－5log53； 9 (4)log3 27＋lg 25＋lg 4＋7log72＋(－9.8)0.
5 lg 5 lg 2 2lg 2 3lg 2 ＋ lg 5＋2lg 5＋3lg 5 2 3lg 2
2 5
＝13. log35 1 (2)方法一：由3 ＝7，得n＝log37，m＝log95＝ ＝ log39 2
n
log39 2 2 log35，∴log35＝2m.∴log359＝ ＝ ＝ . log335 log37＋log35 n＋2m
[思路探究] 如何应用对数运算性质进行化简求值?
[ 规范解答]
(1)原式
9 ＝log5(5× 7)－2(log57－log53)＋log57－log5 5 ＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55 ＝2log55＝2. 3分
(2)方法一：原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5· (1＋lg 2)＋(lg 2)2 ＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3. 6分
式把异底的对数化成同底的对数，在不同底的对数之间建起了
一座桥梁．
1．log2 2的值为( A．－ 2 1 C．－ 2
) B. 2
1 D. 2 1 1 1 2 解析： log2 2＝log22 ＝ log22＝ . 2 2 答案： D
2．2log510＋log50.25＝( A．0 C．2
) B．1 D．4
2 方法二：原式＝2lg 5＋3lg 23＋lg 5(lg 22＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2(lg 5＋lg 2)＋2lg 5· lg 2＋(lg 5)2＋(lg 2)2 ＝2＋(lg 5＋lg 2)2 ＝2＋1＝3. 6分
(3)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3 ＝5log32－(5log32－2log33)－3＝－1. (4)原式＝log3
lg 5 lg 5 方法二：由3 ＝7，得n＝log37，log95＝ ＝ ＝m， lg 9 2lg 3
n
∴lg 5＝2mlg 3. lg 7 ∵log37＝ ＝n，∴lg 7＝nlg 3， lg 3 lg 9 2lg 3 2lg 3 2 ∴log359＝ ＝ ＝ ＝ . lg 35 lg 5＋lg 7 2mlg 3＋nlg 3 2m＋n
[思路探究]
1．为了把题1中a，b表示出来，可以对已知等式作如何处
理或变形？ 2．比较题2中已知对数和所求对数的底数，解答本题若用 换底公式应换为以什么数为底？
[ 边听边记](1)方法来自：∵3a＝4b＝36，∴由对数定义得a＝log336，b＝log436. 1 1 由换底公式，得 ＝log363， ＝log364， a b 2 1 ∴ ＋ ＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1. a b 方法二：对3a＝4b＝36等号两边取以6为底的对数， 得alog63＝blog64＝log636，即alog63＝2blog62＝2， 2 1 2 1 ∴ ＝log63， ＝log62，∴ ＋ ＝log63＋log62＝log66＝1. a b a b
解析： (1)方法一：原式＝
log225 log25 log54 log58 3 log 5 ＋ ＋ log 2 ＋ ＋ 2 5 log24 log28 log525 log5125 2log25 log25 2log52 3log52 ＝3log25＋2log 2＋3log 2log52＋2log 5＋3log 5 2 2 5 5 1 log22 ＝3＋1＋3log25· (3log52)＝13log25· ＝13. log25
lg ②原式＝ lg lg ＝ lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 ＋ lg 4＋lg 8 3 lg 9
2 lg 2 lg 3 lg 3 3lg 2 5lg 3 5 ＋ ＝ . 2lg 2＋3lg 2＝2lg 3· 3 2lg 3 6lg 2 4
1 1 (3)方法一：原式＝ (log27－log248)＋log23＋2log22－ 2 2 1 1 1 1 1 (log22＋log23＋log27)＝ log27－ log23－ log216＋ log23＋2－ 2 2 2 2 2 1 1 － log27＝－ . 2 2
方法二：原式＝log2 4
3 32
9分
＋lg(25× 4)＋2＋1 12分
3 3 13 2 ＝ ＋lg 10 ＋3＝ ＋2＋3＝ . 2 2 2
解决对数运算的常用方法 解决对数的运算问题，主要依据是对数的运算性质．常用
方法有：
(1)将真数化为“底数”“已知对数的数”的幂的积，再展 开； (2)将同底数的对数的和、差、倍合并； (3)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.
方法三：对3a＝4b＝36等号两边取常用对数， 得alg 3＝blg 4＝lg 36， 1 lg 3 1 lg 4 ∴ ＝ ， ＝ ， a lg 36 b lg 36
2 2 1 2lg 3 lg 4 lg 3 ×4 ∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝1. a b lg 36 lg 36 lg 36
lg 3 lg 5 lg 16 (2)①因为log23＝ ，log35＝ ，log516＝ . lg 2 lg 3 lg 5 lg 3 lg 5 lg 16 所以log23· log35· log516＝ · · lg 2 lg 3 lg 5 lg 16 4lg 2 ＝ ＝ ＝4. lg 2 lg 2
对数换底公式
logcb logca logab＝___________ (a>0，a≠1，c>0，c≠1，b>0)．
1 a>0，a≠1，b>0，b≠1)． 特别地：logab· logba＝___(
换底公式的作用 (1)换底公式是进行对数运算的重要基础，利用它可以将对 数转化为我们所需要的对数来计算． (2)对数的运算性质都是在同底之下成立的，对数的换底公
对数运算的综合应用
(1)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过 一年剩余的质量约是原来的 75%，估计约经过________年，该 1 物质的剩余质量是原来的 4 ( 结果保留 1 位有效数字 ) ？ (lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) (2)解下列关于 x 的方程： ①log5(2x＋1)＝log5(x2－2)； ②(lg x)2＋lg x3－10＝0.