分组分解法3(教学课件)
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分组分解法因式分解课件
详细描述
在分组后，需要对每个组内的项式进行因式分解。常用的因式分解技巧包括提公 因式法、十字相乘法、公式法等。根据不同组内项式的特征，选择合适的因式分 解技巧，并灵活运用，以获得最佳的分解结果。
问题三：如何确定分组分解法的正确性？
总结词
确定分组分解法的正确性是确保因式分解结果准确无误的重要步骤。
详细描述
03
原理概述
分组分解法是一种将多项 式分组，然后对每组进行 因式分解的方法。
分组依据
分组依据是多项式的项数 和各项系数的特征，通常 是将系数相近或具有某种 关系的项分为一组。
分解步骤
分组后，对每组进行因式 分解，最后将各组的因式 结果组合起来。
原理应用示例
示例1
将多项式$2x^2 + 3x - 5$分组为$(2x^2 - 5) + 3x$，然后 分别对$2x^2 - 5$和$3x$进行因式分解，得到结果$(2x + 5)(x - 1) + 3x = 2x^2 + x - 5$。
特点
分组分解法适用于多项式的因式 分解，尤其在处理复杂的多项式 时具有高效性和实用性。
分组分解法的应用场景
多项式的因式分解
适用于任何可以分组提取公因式的多 项式，如二次、三次、四次多项式等 。
代数方程的求解
数学竞赛和数学教育
分组分解法是数学竞赛和中学数学教 育中的重要内容，用于提高学生的数 学思维和解题能力。
06 分组分解法的总结与展望
总结
定义
分组分解法是一种将多项式分 组并提取公因式进行因式分解
的方法。
适用范围
适用于具有明显分组特征的多 项式，如三项一组、二项一组 等。
步骤
首先观察多项式的项数和系数 特点，然后选择合适的分组方 式，提取公因式进行因式分解 。
在分组后，需要对每个组内的项式进行因式分解。常用的因式分解技巧包括提公 因式法、十字相乘法、公式法等。根据不同组内项式的特征，选择合适的因式分 解技巧，并灵活运用，以获得最佳的分解结果。
问题三：如何确定分组分解法的正确性？
总结词
确定分组分解法的正确性是确保因式分解结果准确无误的重要步骤。
详细描述
03
原理概述
分组分解法是一种将多项 式分组，然后对每组进行 因式分解的方法。
分组依据
分组依据是多项式的项数 和各项系数的特征，通常 是将系数相近或具有某种 关系的项分为一组。
分解步骤
分组后，对每组进行因式 分解，最后将各组的因式 结果组合起来。
原理应用示例
示例1
将多项式$2x^2 + 3x - 5$分组为$(2x^2 - 5) + 3x$，然后 分别对$2x^2 - 5$和$3x$进行因式分解，得到结果$(2x + 5)(x - 1) + 3x = 2x^2 + x - 5$。
特点
分组分解法适用于多项式的因式 分解，尤其在处理复杂的多项式 时具有高效性和实用性。
分组分解法的应用场景
多项式的因式分解
适用于任何可以分组提取公因式的多 项式，如二次、三次、四次多项式等 。
代数方程的求解
数学竞赛和数学教育
分组分解法是数学竞赛和中学数学教 育中的重要内容，用于提高学生的数 学思维和解题能力。
06 分组分解法的总结与展望
总结
定义
分组分解法是一种将多项式分 组并提取公因式进行因式分解
的方法。
适用范围
适用于具有明显分组特征的多 项式，如三项一组、二项一组 等。
步骤
首先观察多项式的项数和系数 特点，然后选择合适的分组方 式，提取公因式进行因式分解 。
人教八年级数学上册《14.3 因式分解分组分解法》 课件
八年级数学
第十五章
第五节
分组分解法因式分解
探究：
如何因式分解 mx+my+nx+ny ？
针对四项或四项以上的多项式，当不能提公因 式或不能使用公式法，可以考虑将其分组，对 各组分别分解，再对整体因式分解。这种方法 叫分组分解法。
因式分解： 2 a x4 b x a y 2 b y (2xy)(a2b)
(3) ax2 3x2 4a 12
(a3)(x2)(x2)
巩固练习：
2、因式分解：
(1) a 2 2 a 4 b 2 4 b
(a2b)(a2b2)
(2) x2 a2 bx ab 2ax
(xa)(xab)
(3) x2 4 xy 4 y 2 3x 6 y
(x2y)(x2y3)
四项多项式只有二二分组或一三分组两种可能， 分组后或用提公因式或用公式继续分解。
练习：
4、对4x2+2x–9y2–3y运用分组分解法分解因 式，分组正确的是（ B ） A．（4x2+2x）+（–9y2–3y） B．（4x2–9y2）+（2x–3y） C．（4x2–3y）+（–9y2+2x） D．（4x2+2x–3y）–9y2
因式分解： x2axy2ay(xy)(xya)
分组分解法关键在于合理分组，但分组没有绝 对的方法，只要保证分组后能继续分解即可。
练习：
1、因式分解：
7x2 3yxy21x (7xy)(x3) x2 3ax6ab4b2 (x2b)(x3a2b)
2、分解因式：a2b2c22ab (abc)(abc)
3、分解因式：4x2a26a9(2xa3)(2xa3)
谢谢观赏
第十五章
第五节
分组分解法因式分解
探究：
如何因式分解 mx+my+nx+ny ？
针对四项或四项以上的多项式，当不能提公因 式或不能使用公式法，可以考虑将其分组，对 各组分别分解，再对整体因式分解。这种方法 叫分组分解法。
因式分解： 2 a x4 b x a y 2 b y (2xy)(a2b)
(3) ax2 3x2 4a 12
(a3)(x2)(x2)
巩固练习：
2、因式分解：
(1) a 2 2 a 4 b 2 4 b
(a2b)(a2b2)
(2) x2 a2 bx ab 2ax
(xa)(xab)
(3) x2 4 xy 4 y 2 3x 6 y
(x2y)(x2y3)
四项多项式只有二二分组或一三分组两种可能， 分组后或用提公因式或用公式继续分解。
练习：
4、对4x2+2x–9y2–3y运用分组分解法分解因 式，分组正确的是（ B ） A．（4x2+2x）+（–9y2–3y） B．（4x2–9y2）+（2x–3y） C．（4x2–3y）+（–9y2+2x） D．（4x2+2x–3y）–9y2
因式分解： x2axy2ay(xy)(xya)
分组分解法关键在于合理分组，但分组没有绝 对的方法，只要保证分组后能继续分解即可。
练习：
1、因式分解：
7x2 3yxy21x (7xy)(x3) x2 3ax6ab4b2 (x2b)(x3a2b)
2、分解因式：a2b2c22ab (abc)(abc)
3、分解因式：4x2a26a9(2xa3)(2xa3)
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十字相乘法和分组分解(经典教学课件)
想一想:
(4)
2 2 a -12a(b+c)+36(b+c)
=[a-6(b+c)][a-6 (b+c)]
2 =(a-6b-6c)
把下列各式因式分解：
（1）x2+2xy+y2-z2 （2）ab+a+b+1
解：（1）
（ 2 ） 原式=（x2+2xy+y2)-z2 原式 =(ab+a)+(b+1) =(x+y)2-z2 =a(b+1)+(b+1) =(x+y+z)(x+y-z) =(b+1)(a+1)
小结: 由多项式乘法法则
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
反过来用就得到一个因式分解的方法
∴x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
这个方法也称为十字相乘法
即:只要一个形如x2+mx+n的 二次三项式的常数项可以分解 成两个有理数相乘,且这两个有 理数的和恰好等于一次项的系 数,这个多项式就能用十字相乘 法分解因式
(5)
b2-b-2 =(b+1)(b-2)
把下列各式分解因式 (1) x2-7x-8 =(x+1)(x-8) (2) m2-3m-10 =(m+2)(m-5) (3) y2+4y+4 =(y+2)2 2 (4) a -2a-8 =(a+2)(a-4)
(5)
b2-2b-3 =(b+1)(b-3)
把下列各式分解因式 (1) x2-5x+4 =(x-1)(x-4) (2) m2-5m-6 =(m+1)(m-6) (3) y2-8y+16 =(y-4)2 2 (4) a +4a-21 =(a-3)(a+7)
分组分解法数学教案
分组分解法数学教案
标题：初中数学——分组分解法
一、课程目标：
1. 学生能够理解并掌握分组分解法的概念和原理。
2. 学生能够运用分组分解法解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。
二、教学重点与难点：
1. 重点：理解和掌握分组分解法的步骤和方法。
2. 难点：灵活应用分组分解法解决复杂的多项式因式分解问题。
三、教学过程：
（一）导入新课
通过回顾以前学过的因式分解方法，引出新的因式分解方法——分组分解法。
（二）新课讲解
1. 分组分解法的概念：将多项式的项分成两组或三组，然后分别进行因式分解，最后再把它们组合在一起的方法。
2. 分组分解法的步骤：
- 分组：根据多项式的系数特点，将多项式的项合理地分为若干组。
- 因式分解：对每一组进行因式分解。
- 合并：将各组的因式分解结果合并在一起。
（三）例题解析
选择一些典型的例题，引导学生一步一步地进行分组分解，以加深他们对分组分解法的理解和掌握。
（四）课堂练习
设计一些相关的习题，让学生独立完成，然后集体评讲，检验他们的学习效果。
（五）归纳总结
带领学生一起回顾本节课的主要内容，强调分组分解法的关键步骤和注意事项。
（六）作业布置
布置一些课后习题，让学生在课后进一步巩固所学知识。
四、教学评价：
通过课堂观察、课堂练习和课后作业的反馈，评估学生对分组分解法的理解和掌握程度，以及他们的问题解决能力。
【北师大版】初二八年级数学下册《4.3.3 分组分解法及分解因式的方法》课件PPT
知1－练
7 把下列各式分解因式：
(1)1＋x＋x2＋x；
(2)xy2－2xy＋2y－4；
(3)a2－b2＋2a＋1.
解： (1)原式＝(1＋x)＋(x2＋x) ＝(1＋x)＋x(x＋1) ＝(1＋x)(1＋x) ＝(1＋x)2.
(2)原式＝(xy2－2xy)＋(2y－4) ＝xy(y－2)＋2(y－2) ＝(y－2)(xy＋2)．
x
骣 ççç桫x－
4 x
÷÷÷
2 【中考·宜宾】把代数式3x3－12x2＋12x分解因式，
结果正确的是( D )
A．3x(x2－4x＋4)
B．3x(x－4)2
C．3x(x＋2)(x－2)
D．3x(x－2)2
知2－练
3 【2016·潍坊】将下列多项式因式分解，结果中 不含有因式a＋1的是( C ) A．a2－1 B．a2＋a C．a2＋a－2 D．(a＋2)2－2(a＋2)＋1
解：(1) m3－2m2－4m＋8 ＝m2(m－2)－4(m－2) ＝(m－2)(m2－4) ＝(m－2)(m＋2)(m－2) ＝(m＋2)(m－2)2.
(2) x2－2xy＋y2－9 ＝(x－y)2－32 ＝(x－y＋3)(x－y－3)．
知2－练
1 知识小结
分解因式时通常采用一“提”、二“公”、三 “分”、四“变”的步骤，即首先看有无公因式可 提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤 不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分 组后有公因式可提或可利用公式法继续分解，若上 述方法都行不通，则可以尝试用配方法、换元法、 待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法．
知2－练
4 观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式 分解： 甲：x2－xy＋4x－4y＝(x2－xy)＋(4x－4y)(分成两组) ＝x(x－y)＋4(x－y)(分别提公因式) ＝(x－y)(x＋4)． 乙：a2－b2－c2＋2bc＝a2－(b2＋c2－2bc)(分成两组) ＝a2－(b－c)2(直接运用公式) ＝(a＋b－c)(a－b＋c)． 请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式： (1)m3－2m2－4m＋8； (2)x2－2xy＋y2－9.
分组分解法PPT课件
解：a² +2ab+b² -c² =(a² +2ab+b² )-c²
=(a+b)² -c² =[(a+b)+c][(a+b)-c]
=(a+b+c)(a43;3a-3分解因式
解：2x² -5x-ax+3a-3 =(2x² -5x-3)+(-ax+3a) =(x-3)(2x+1)-a(x-3) =(x-3)[(2x+1)-a] =(x-3)(2x+1-a)
` 定义：利用分组来分解因式的方
法叫做分组分解法。
例1、把x³ -x² +x-1分解因式。
解：x³ -x² +x-1
=(x³ -x² )+(x-1) =x² (x-1)+(x-1) =(x-1)(x² +1)
思考：本例能否按第1，3项，第2，
4项分组来分解呢？
例2 把a² +2ab+b² -c² 分解因式。
小结：1、要准确分组。 2、分解因式，一般应先考虑能否提取 公因式，然后考虑运用公式法和十字 相乘法,在不能运用上述方法分解时,再 考虑用分组分解法 3、分解因式必须进行到每个因式都不 再能分解为止。
.
7.10、分组分解法
•观察多项式:mx+my+nx+ny
。有没有公因式可提取？ 。 多项式有几项能不能直接用公式法 或十字相乘法？ •这个多项式能否进行因式分解？
mx+my+nx+ny =(mx+my)+(nx+ny) =m(x+y)+n(x+y) =(x+y)(m+n)
=(a+b)² -c² =[(a+b)+c][(a+b)-c]
=(a+b+c)(a43;3a-3分解因式
解：2x² -5x-ax+3a-3 =(2x² -5x-3)+(-ax+3a) =(x-3)(2x+1)-a(x-3) =(x-3)[(2x+1)-a] =(x-3)(2x+1-a)
` 定义：利用分组来分解因式的方
法叫做分组分解法。
例1、把x³ -x² +x-1分解因式。
解：x³ -x² +x-1
=(x³ -x² )+(x-1) =x² (x-1)+(x-1) =(x-1)(x² +1)
思考：本例能否按第1，3项，第2，
4项分组来分解呢？
例2 把a² +2ab+b² -c² 分解因式。
小结：1、要准确分组。 2、分解因式，一般应先考虑能否提取 公因式，然后考虑运用公式法和十字 相乘法,在不能运用上述方法分解时,再 考虑用分组分解法 3、分解因式必须进行到每个因式都不 再能分解为止。
.
7.10、分组分解法
•观察多项式:mx+my+nx+ny
。有没有公因式可提取？ 。 多项式有几项能不能直接用公式法 或十字相乘法？ •这个多项式能否进行因式分解？
mx+my+nx+ny =(mx+my)+(nx+ny) =m(x+y)+n(x+y) =(x+y)(m+n)
2、3的分解与组成课件
2、3的分解与组成课件一、教学内容本节课的内容为《数学》一年级下册第四章《2、3的分解与组成》。
具体内容包括：理解数的分解与组成的概念，掌握2、3的分解与组成方法，能够熟练运用2、3的分解与组成进行数学运算。
二、教学目标1. 知识与技能：学生能够理解2、3的分解与组成概念，掌握2、3的分解与组成方法，并能运用其进行数学运算。
2. 过程与方法：通过实践情景引入、例题讲解、随堂练习等方式，培养学生观察、分析、解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生主动探究的欲望，培养学生的团队协作意识。
三、教学难点与重点教学重点：2、3的分解与组成方法。
教学难点：如何引导学生从具体到抽象，理解并运用2、3的分解与组成进行数学运算。
四、教具与学具准备教具：PPT课件、数字卡片、磁性黑板。
学具：学生用数字卡片、练习本、铅笔。
五、教学过程1. 实践情景引入（1）教师展示一个苹果，引导学生观察并提问：苹果可以怎么分？2. 例题讲解（1）教师通过PPT展示2的分解与组成例题，引导学生观察并提问：2可以怎么分解与组成？3. 随堂练习（1）教师发放数字卡片，学生分组进行2的分解与组成练习。
（2）教师挑选部分学生进行黑板演示，并给予评价。
4. 类比学习3的分解与组成（1）教师引导学生观察2的分解与组成方法，类比学习3的分解与组成。
（2）学生分组讨论3的分解与组成方法，并进行课堂分享。
（2）学生思考并回答：如何运用2、3的分解与组成进行数学运算？六、板书设计1. 2的分解与组成：1+1=221=12. 3的分解与组成：1+1+1=331=232=1七、作业设计1. 作业题目：（1）用数字卡片拼出2、3的分解与组成。
1+1=？21=？1+1+1=？31=？32=？2. 答案：（1）2、3的分解与组成图形。
（2）2、1、3、2、1八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课通过实践情景引入、例题讲解、随堂练习等方式，使学生掌握了2、3的分解与组成方法，达到了教学目标。
七年级数学上册 9.16《分组分解法》课件
注意：如果把一个多项式的项分组并提出公 因式后，它们(tā men)的另一个因式正好相同， 那么这个多项式就可以用分组分解法来分解 因式。
第二页，共三十页。
【注意】 (1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因
式，这是正确分组的关键，因此，设计分组方案是否有效
要有预见性. (2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使 分解过程简单. (3)分组时要用到添括号法则，注意在添加带有“－”号的 括号时，括号内每项的符号都要改变. (4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有直 接达到(dádào)分解的目的．
例２ 把2ax-10ay+5by-bx分解(fēnjiě)因 分析式：把这个多项式的前两项与后两项分
成两组，然后从两组分别提出(tí chū)公因式
2a与-b，这时，另一个因式正好都是 x-5y，这样全式就可以提出公因式x-5y。
第八页，共三十页。
还有其他(qítā)分 组的方法吗？
解： 2ax-10ay+5by-bx ： 解法 二 (jiě fǎ)
=(2ax-10ay)+(5by-bx) 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）=(2ax-bx)+(5by-10ay)
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
=(2ax-bx)+(-10ay +5by）
=(x-5y)(2a-b)
=x(2a-b)-5y(2a-b)
= (2a-b)(x-5y)
am+bm+an-cm+bn-cn
=(am+bm-cm)+(an+bn-cn)
=m(a+b-c)+n(a+b-c)
第二页，共三十页。
【注意】 (1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因
式，这是正确分组的关键，因此，设计分组方案是否有效
要有预见性. (2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使 分解过程简单. (3)分组时要用到添括号法则，注意在添加带有“－”号的 括号时，括号内每项的符号都要改变. (4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有直 接达到(dádào)分解的目的．
例２ 把2ax-10ay+5by-bx分解(fēnjiě)因 分析式：把这个多项式的前两项与后两项分
成两组，然后从两组分别提出(tí chū)公因式
2a与-b，这时，另一个因式正好都是 x-5y，这样全式就可以提出公因式x-5y。
第八页，共三十页。
还有其他(qítā)分 组的方法吗？
解： 2ax-10ay+5by-bx ： 解法 二 (jiě fǎ)
=(2ax-10ay)+(5by-bx) 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）=(2ax-bx)+(5by-10ay)
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
=(2ax-bx)+(-10ay +5by）
=(x-5y)(2a-b)
=x(2a-b)-5y(2a-b)
= (2a-b)(x-5y)
am+bm+an-cm+bn-cn
=(am+bm-cm)+(an+bn-cn)
=m(a+b-c)+n(a+b-c)
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例（1）
巩固练习 2 1. a -ab+ac-bc =a(a+c)-b(a+c) 解：原式=a(a-b)+c(a-b) =(a-b)(a+c) =(a-b)(a+c) 3 2 2. a -a -a+1 2 2 解： 原式=a(a -1)- (a -1) 2 =(a -1)(a-1) 2 =(a+1)(a-1)
2.
2 2 p+3q-9q +p
(Ｄ)按公式点特分组 例题精讲 2 2 2 例4. a -4b +12bc-9c
解： 原式= =
2 2 2 a -(4b -12bc+9c ) 2 2 a -(2b-3c)
=(a-2b+3c)(a+2b-3c)
巩固练习 2 2 2 1. a -2ab+b -c 2.
2 2 2 4a -b -4c +4bc
2 2 b -4bc+4c
2 4a
)
原式=5x(x-3)-2y(x-3)
2 2 原式=ax -4a+3x -12
=(5x-2y)(x-3)
2 2 (3)9m -6m+2n-n
2 原式=9m
2 2 2 =a(x -4)+3(x -4)=(a+3)(x -4)=
(a+3)(x-2)(x+2)
注意事项
（1）把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公 因式，这是正确分组的关键所在. 因此，分组分解因式要有 预见性； （2）分组的方法不唯一，而合理的选择分组方 案，会使分 解过程简单； （3）分组时要用到添括号法则，注意在添加带有负号的括号 时，括号内每项的符号都要改变； （4）实际上，分组只是为实际分解创造了条件， 并没有直 接达到分解的目的。
复习提问：
1、我们学过哪几种因式分解方法？
提取公因式法、公式法。
2、请分解下列因式
(1) am+an
(4) (2) -10ay+5by (3)
2 2 (a-b) -c 2 2 x -y +ax+ay
(5)am+an+bm+bn
自主学习
1. ax+ay-bx-by=( ax+ay )－ ( bx+by ) =a( x+y )-b( x+y )=( a-b ) ( x+y ) 2 2 2 2 2. x +y-y +x= (x –y )+( x+y ) =( x+y )( x-y )+( x+y ) =( x+y )( x-y+1 )
2 2 原式=(2x-y) -a
-6m
2 +1-1+2n-n
2 2 2 (4)4x -4xy-a +y
2 2 =(3m-1) -(n-1)
=(3m+n-2)(3m-n)
=(2x-y-a)(2x-y+a)
课堂小结 1、分组分解法的定义： 多项式的某些项通过适当的结合成为 一组，利用分组来分解一个多项式的 因式，这种方法叫 分组分解法 2、分组分解法的分类：
2 解：原式=(a +ac)-(ab+bc)
（B） 按系数特征分 例题精讲 2 例2. 7x +3y+xy+21x 2 解： 原式= (7x +21x)+(xy+3y) =7x(x+3)+y(x+3) =(x+3)(7x+y)
例（1）
巩固练习 1. 2ac-6ad+bc-3bd
2. 5am+b-a-5bm
2. 用分组分解a2－b2－c2＋2bc的因式，分组正确的是 （ ）
2 2 2 C.(a -b )-(c 43;c -2bc)
3. =( )－( =( 2a+b-2c ) ( 2a-b+2c ) 4．把下列各式分解因式 2 2 2 (2)ax +3x -4a-12 (1)5x +6y-15x-2xy
2 2 1-m -n +2mn
课堂检测
1.用分组分解法把ab－c＋b－ac分解式分组的方法 有( B ) A．1种 B.2种 C.3种 D.4种 2 2 2 2.用分组分解a -b -c +2bc的因式，正确的是（ D ） 2 2 2 2 2 2 A.(a -c )-(b -2bc) B.(a -b -c )+2bc
(A). 按字母特征分组
(B).按系数特征分组 (C).按指数特点分组 (D).按公式特点分组
规律总结
(5)
1.合理分组（2+2）型； 2.组内分解（提公因式、平方差公式） 3.组间再分解（整体提因式） 4.如果一个多项式中有三项是一个完全平方式 或者通过提取负号是一个完全平方式，一般就 选用“三一分组”的方法进行分组分解。因此 在分组分解的过程中要特别注意符号的变化。
拓展提升
2 2 １.已知a +b -6a+2b+10=0,求a,b的值。
解: ∵
2 2 a +b -6a+2b+10=0
∴ 2 2 ∴(a-3) +(b+1) =0 ∴a=3,b=-1
1.若 ,则
2 2 a -6a+9+b +2b+1=0
2. 分解因式
解： 原式=
2 2 2 2 a b -a -b +1
3.
2 x
2 2 +2xy+y -a =
2 ) -(
(
2 2 x +2xy+y )-(
=( x+y
2 a
) )=( x+y+a )( x+y-a )
2 a
合作交流 am+an+bm+bn
分析： 这个一次四项多项式没有公因式，但 是分组后就有相同因式了。 解：原式 = a(m+n)+b(m+n)
= (m+n)(a+b)
分组分解法的概念：
多项式的某些项通过适当的结合成为一 组，利用分组来分解一个多项式的因式， 这种方法叫分组分解法
分组的目的： 使组之间产生新的公因 式，或者能利用乘法公 式继续进行分解。
合作交流
（A）. 按字母特征分组 原式=a+1+b+ab 例题精讲 =(a+1)+b(a+1) 例1. a+b+ab+1 = (a+1)(b+1) 解：原式=ab+a+b+1 =a(b+1)+(b+1) =(b+1)(a+1)
(Ｃ) 按指数特点分组 例题精讲 2 2 例3. x -y +ax+ay (x+y)(x-y)+a(x+y) 解:原式= =(x+y)(x-y+a)
这个多项式的前两项用平方差公式分解后与 后两项有公因式(x+y)可继续分解,这也是分组分 解法中常见的情形.
巩固练习 2 2 1. x +x-4y -2y
2 2 2 a (b -1)-(b -1) 2 2 (a -1)(b -1)
= =(b-1)(b+1)(a-1)(a+1)
巩固练习 2 1. a -ab+ac-bc =a(a+c)-b(a+c) 解：原式=a(a-b)+c(a-b) =(a-b)(a+c) =(a-b)(a+c) 3 2 2. a -a -a+1 2 2 解： 原式=a(a -1)- (a -1) 2 =(a -1)(a-1) 2 =(a+1)(a-1)
2.
2 2 p+3q-9q +p
(Ｄ)按公式点特分组 例题精讲 2 2 2 例4. a -4b +12bc-9c
解： 原式= =
2 2 2 a -(4b -12bc+9c ) 2 2 a -(2b-3c)
=(a-2b+3c)(a+2b-3c)
巩固练习 2 2 2 1. a -2ab+b -c 2.
2 2 2 4a -b -4c +4bc
2 2 b -4bc+4c
2 4a
)
原式=5x(x-3)-2y(x-3)
2 2 原式=ax -4a+3x -12
=(5x-2y)(x-3)
2 2 (3)9m -6m+2n-n
2 原式=9m
2 2 2 =a(x -4)+3(x -4)=(a+3)(x -4)=
(a+3)(x-2)(x+2)
注意事项
（1）把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公 因式，这是正确分组的关键所在. 因此，分组分解因式要有 预见性； （2）分组的方法不唯一，而合理的选择分组方 案，会使分 解过程简单； （3）分组时要用到添括号法则，注意在添加带有负号的括号 时，括号内每项的符号都要改变； （4）实际上，分组只是为实际分解创造了条件， 并没有直 接达到分解的目的。
复习提问：
1、我们学过哪几种因式分解方法？
提取公因式法、公式法。
2、请分解下列因式
(1) am+an
(4) (2) -10ay+5by (3)
2 2 (a-b) -c 2 2 x -y +ax+ay
(5)am+an+bm+bn
自主学习
1. ax+ay-bx-by=( ax+ay )－ ( bx+by ) =a( x+y )-b( x+y )=( a-b ) ( x+y ) 2 2 2 2 2. x +y-y +x= (x –y )+( x+y ) =( x+y )( x-y )+( x+y ) =( x+y )( x-y+1 )
2 2 原式=(2x-y) -a
-6m
2 +1-1+2n-n
2 2 2 (4)4x -4xy-a +y
2 2 =(3m-1) -(n-1)
=(3m+n-2)(3m-n)
=(2x-y-a)(2x-y+a)
课堂小结 1、分组分解法的定义： 多项式的某些项通过适当的结合成为 一组，利用分组来分解一个多项式的 因式，这种方法叫 分组分解法 2、分组分解法的分类：
2 解：原式=(a +ac)-(ab+bc)
（B） 按系数特征分 例题精讲 2 例2. 7x +3y+xy+21x 2 解： 原式= (7x +21x)+(xy+3y) =7x(x+3)+y(x+3) =(x+3)(7x+y)
例（1）
巩固练习 1. 2ac-6ad+bc-3bd
2. 5am+b-a-5bm
2. 用分组分解a2－b2－c2＋2bc的因式，分组正确的是 （ ）
2 2 2 C.(a -b )-(c 43;c -2bc)
3. =( )－( =( 2a+b-2c ) ( 2a-b+2c ) 4．把下列各式分解因式 2 2 2 (2)ax +3x -4a-12 (1)5x +6y-15x-2xy
2 2 1-m -n +2mn
课堂检测
1.用分组分解法把ab－c＋b－ac分解式分组的方法 有( B ) A．1种 B.2种 C.3种 D.4种 2 2 2 2.用分组分解a -b -c +2bc的因式，正确的是（ D ） 2 2 2 2 2 2 A.(a -c )-(b -2bc) B.(a -b -c )+2bc
(A). 按字母特征分组
(B).按系数特征分组 (C).按指数特点分组 (D).按公式特点分组
规律总结
(5)
1.合理分组（2+2）型； 2.组内分解（提公因式、平方差公式） 3.组间再分解（整体提因式） 4.如果一个多项式中有三项是一个完全平方式 或者通过提取负号是一个完全平方式，一般就 选用“三一分组”的方法进行分组分解。因此 在分组分解的过程中要特别注意符号的变化。
拓展提升
2 2 １.已知a +b -6a+2b+10=0,求a,b的值。
解: ∵
2 2 a +b -6a+2b+10=0
∴ 2 2 ∴(a-3) +(b+1) =0 ∴a=3,b=-1
1.若 ,则
2 2 a -6a+9+b +2b+1=0
2. 分解因式
解： 原式=
2 2 2 2 a b -a -b +1
3.
2 x
2 2 +2xy+y -a =
2 ) -(
(
2 2 x +2xy+y )-(
=( x+y
2 a
) )=( x+y+a )( x+y-a )
2 a
合作交流 am+an+bm+bn
分析： 这个一次四项多项式没有公因式，但 是分组后就有相同因式了。 解：原式 = a(m+n)+b(m+n)
= (m+n)(a+b)
分组分解法的概念：
多项式的某些项通过适当的结合成为一 组，利用分组来分解一个多项式的因式， 这种方法叫分组分解法
分组的目的： 使组之间产生新的公因 式，或者能利用乘法公 式继续进行分解。
合作交流
（A）. 按字母特征分组 原式=a+1+b+ab 例题精讲 =(a+1)+b(a+1) 例1. a+b+ab+1 = (a+1)(b+1) 解：原式=ab+a+b+1 =a(b+1)+(b+1) =(b+1)(a+1)
(Ｃ) 按指数特点分组 例题精讲 2 2 例3. x -y +ax+ay (x+y)(x-y)+a(x+y) 解:原式= =(x+y)(x-y+a)
这个多项式的前两项用平方差公式分解后与 后两项有公因式(x+y)可继续分解,这也是分组分 解法中常见的情形.
巩固练习 2 2 1. x +x-4y -2y
2 2 2 a (b -1)-(b -1) 2 2 (a -1)(b -1)
= =(b-1)(b+1)(a-1)(a+1)