2019年4月清华大学标准能力测试(数学)(附详细解答)

2019年4月清华大学标准能力测试（数学）(附详细解答)

‘

详细解答:

1.答案：ACF

解析：点2

22)(),(a a a A a a P ⋅≤⇔∈01212≥+-⇔))((a a a 021≤≤-

⇔a 或2

1≥a ； 点a a a B a a P 12222

2≥-⇔∈)(),(04≥-⇔)(a a 0≤⇔a 或4≥a ； 点a a a C a a P 25422

2≤+⇔∈),(05≤-⇔)(a a ≤⇔05≤a ；

将六个选项逐一代入检验，可知6.25，2.5，-0.375恰好属于C B A ，，中的两个集合。 2.答案：DF

解析：⎩⎨⎧≥=+⇔=,,||)(0340x ax x f 或⎩⎨⎧<=-.,

||054x ax ⎩⎨

⎧≥--=⇔,,01或7x ax 或⎩

⎨⎧<-=,,01或9x ax 1-=⇔ax 或⎩⎨

⎧≥-=,,07x ax 或⎩⎨⎧<=.

,09x ax 当n a

=时，不确定有几个零点，不合题意；

当2-=

x a 时，⎩⎨

⎧<=-⎩⎨⎧≥-=--=-⇔=,

,)(,,)()()(092或072或120x x x x x x x x x f 1=⇔x 或101-，不合题意；

当0=a 时，无零点，不合题意；

当32-=a 时，2－3=⇔x 或）2－3（7=x 或）2－3（9-=x ，符合题意；

当32+-=

x a 时，方程012312=+-+⇔-=x x ax )(，0621<-=∆，无实根；

方程072372

=+-+⇔-=x x ax )(，06223<--=∆，无实根；方程

092392=--+⇔=x x ax )(，恰有一个负实根，不合题意；

当32--=

x a 时，方程012312=++-⇔-=x x ax )(，0621>+=∆，方程有两

不相等的实根；方程072372

=++-⇔-=x x ax )(，02362<-=∆，无实根；方程

092392=-+-⇔=x x ax )(，恰有一个负实根，符合题意；

综上所述，正确选项为DF .

3.答案：A

解析：由题意，可设))()(()(0452

2≠+++-=a c bx x x x a x f ，则

))(())(()('b x x x a c bx x x a x f ++-+++-=2455222，因为452+-x x 是)('x f 的因式，

所以只有可能45＝22

+-++x x c bx x

，即)()()(04522≠+-=a x x a x f ，

))(()('45－5222+-=x x x a x f ，故133-=)

(')

(f f 。

4.答案：E

解析：)sin cos ()cos (sin )'(sin sin )'()('x x e x e x e x e x e x f x

x x x x 22222222-=+-=+=-----。

5.答案：BDF

解析：设点),(43-M 关于直线02=-+y x 的对称点为),(b a N ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-++=-+,,02242

313

4

b a a b

解得),(16-N ，故圆254322

=++-)()

(y x 关于直线02=-+y x 对称的圆为圆：

N 251622=++-)()(y x 。

由题意，点P 到圆N 上的点的最小距离为5，故点P 到圆心N 的最小距离为0或10，即点P 与点

N 重合，或在圆1001622=++-)()(y x 上，经检验，点),(70，)(5，

2-，),(16-符合题意。 6.答案：ADE

解析：由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为 b kx y +=, 因为直线与圆相切,故圆心到直线的距离5162

==++=

r k

b d ||,

又将直线方程与抛物线方程联立,得02=--b kx x ,所以042=+=∆b k .

解得⎩⎨⎧±=-=,,21k b 或⎩⎨⎧±=-=,

,31231k b

即圆与抛物线的公切线的方程为12-±=x y 或31312-±=x y . 可知选项是ADE 正确的. 7.答案：BD

解析：)sin )(cos sin (cos )cos()sin()(x x x x x f +-=++-=θθθθ ,

)cos sin )(sin (cos )('x x x f +--=∴θθ,x x g cos )sin (cos )(θθ-=2,

设θθsin cos -=k ,),(24ππθ∈ ,0<∴k ,故x k x g cos )(2=,),(2

2ππ-∈x . 从而)(x g 一定是偶函数,不是奇函数;

又因为函数定义域为有限区间,故函数)(x g 不是周期函数;

0

0π

上递增, )()()(5552πππ-=>∴g g g ,而

)()(5

7ππ-<-g g ;

很显然020<=k g )(. 8.答案：AF

解析：1>||a ,||||)(a x ax x f -++=∴1||||||||||a x a

x a x a x a -++≥-++

=1

1, 当且仅当01=+||a x ,即|))||,|((a a a

a x -∈--=1

1时取等号; 又因为|||)()(|||||a a a x a x a x a x +=--+≥-++111,当且仅当01

≤-+|))((a x a

x 时取等号. 故当a x 1-

=时,函数)(x f 的最小值为||a a

+1

,经代入检验,可知选项AF 正确. 9.答案：ACDF

解析：依次写出数列}{n a 和}{n b 的前19项为:

0.2;0.4;0.8;1.6;0.6;1.2;0.2;0.4;0.8;1.6;0.6;1.2;0.2;0.4;0.8;1.6;0.6;1.2;0.2…