初中数学竞赛解题方法归纳.pptx
全国初中数学竞赛辅导 第二十一讲《应用问题的解题技巧》 北师大版
第二十一讲应用问题的解题技巧应用问题是中学数学的重要内容．它与现实生活有一定的联系,它通过量与量的关系以及图形之间的度量关系,形成数学问题．应用问题涉及较多的知识面,要求学生灵活应用所学知识,在具体问题中,从量的关系分析入手,设定未知数,发现等量关系列出方程,获得方程的解,并代入原问题进行验证．这一系列的解题程序,要求对问题要深入的理解和分析,并进行严密的推理,因此对发展创造性思维有重要意义．下面举出几个例题,略述一下解应用问题的技能和技巧．1．直接设未知元在全面透彻地理解问题的基础上,根据题中求什么就设什么是未知数,或要求几个量,可直接设出其中一个为未知数,这种设未知数的方法叫作直接设未知元法．例1某校初中一年级举行数学竞赛,参加的人数是未参加人数的3倍,如果该年级学生减少6人,未参加的学生增加6人,那么参加与未参加竞赛的人数之比是2∶1．求参加竞赛的与未参加竟赛的人数及初中一年级的人数．分析本例中要求三个量,即参赛人数、未参赛人数,以及初中一年级人数．由已知条件易知,可直接设未参赛人数为x,那么参赛人数便是3x．于是全年级共有(x+3x)人．由已知,全年级人数减少6人,即(x+3x)-6, ①而未参加人数增加6人时,则参加人数是未参加人数的2倍,从而总人数为(x+6)+2(x+6)．②由①,②自然可列出方程．解设未参加的学生有x人,则根据分析,①,②两式应该相等,所以有方程(x+6)+2(x+6)=(x+3x)-6,所以x+6+2x+12=4x-6,所以 3x+18=4x-6,所以 x=24(人)．所以未参加竞赛的学生有24人,参加竞赛的小学生有3×24=72(人)．全年级有学生4×24=96(人)．说明本例若按所求量次序设参加人数为x人,则未参加人数为例2一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件,若他每天多做做多少个零件？定期是多少天？分析若直接设这个工人要做x个零件,定期为y天,则他每天做另一方面,如果他每天少做5个,则要增加3天工期,因此,显然,将此两式联立,解出x,y即可．解设工人要做x个零件,定期为y天,则他每天做x/y个,依分析有方程组整理得②×2+①得将x=50y代入②得y=27, x=50y=1350,答工人要做1350个零件,定期为27天．例3一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的旅客人数相等．起初每辆汽车乘了22人,结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上．已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？解设起初有汽车m辆,开走一辆空车后,平均每辆车所乘旅客为n人．由于m≥2,n≤32,依题意有22m+1=n(m-1)．所以因为n为自然数,所以23/m-1为整数,因此m-1=1,或m-1=23,即 m=2或m=24.当 m=2时,n=45(不合题意,舍去)；当m=24时,n=23(符合题意)．所以旅客人数为：n(m-1)=23×(24-1)=529(人)．答起初有汽车24辆,有乘客529人．注意解方程后所得结果必须代入原题检验根的合理性,并根据情况做具体讨论．2．间接设元如果对某些题目直接设元不易求解,便可将并不是直接要求的某个量设为未知数,从而使得问题变得容易解答,我们称这种设未知数的方法为间接设元法．例4若进货价降低8％,而售出价不变,那么利润可由目前的p％增加到(p+10)％,求p．分析本题若直接设未知元为x,则不易列方程,为此,可间接设元,设进货价为x,则下降后的进货价为0.92x．由于售出价不变,它可用以下方程式表示：x(1+p％)=0.92x[1+(10+p)％]．解设原进货价为x,则下降8％后的进货价为0.92x．根据题意售货价不变,故有以下方程x(1+0.01p)=0.92x[1+0.01(p+10)],约去x得1+0.01p=0.92［1+0.01(p+10)］,所以1+0.01p=0.92+0.0092p+0.092,所以(0.01-0.0092)p=0.92+0.092-1,即 0.0008p=0.012,所以 p=15．答原利润为15％．例5甲乙两人沿着圆形跑道匀速跑步,它们分别从直径AB两端同时相向起跑．第一次相遇时离A点100米,第二次相遇时离B点60米,求圆形跑道的总长．分析与解如图1－76,设圆形跑道总长为2S,又设甲乙的速度分别为V,V＇,再设第一次在C点相遇,则第二次相遇有以下两种情况：(1)甲乙第二次相遇在B点下方D处,此时有方程组化简得由③,④得解此方程得S=0(舍去),S=240．所以2S=480米．经检验是方程的解．(2)若甲乙第二次相遇在B的上方D＇处,则有方程组解此方程组得S=0(舍去),S=360．所以2S=720米．经检验也是方程的解．这样,两人可能在D点处相遇,也可能在D＇点处相遇,故圆形跑道总长为480米或720米．3．设辅助元有时为了解题方便,可设某些量为辅助量,参与列方程和运算,最后把这些辅助量约去,得出要求的值．例6从两个重量分别为m千克和n千克,且含铜百分数不同的合金上,切下重量相等的两块,把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后,两者含铜百分数相等,问切下的重量是多少千克？分析与解设切下的重量是x千克,并设重m千克的铜合金中含铜的百分数为q1,重n千克的铜合金中含铜的百分数为q2,则切下的两块中分别含铜xq1和xq2,而混合熔炼后所得两块合金中分别含铜[xq1+(n-x)q2]和[xq2+(m-x)q1]．故依题意有方程解此方程得答切下的重量为mn/m+n(千克)．例7甲乙两邮递员分别从A,B两地同时以匀速相向而行,甲比乙多走了18千米(km),相遇后甲走4.5小时到达B地,乙走8小时到A地,求A,B两地的距离．解设甲速为a千米/小时,乙速为b千米/小时,A,B两地的距离为2S,依题意有所以所以 S-9/S+9=3/4,所以 S=63(千米), 2S=126(千米)．答 A,B两地相距126千米．练习二十一1．已知甲、乙、丙三人．甲单独做一件工作的时间是乙丙两人合作做这件工作所用时间的a倍,乙独做这件工作是甲丙两人合作做这件工作的b倍．求丙单独做这件工作是甲乙两人合作做这件工作所需时间的几倍？2．有甲乙两容量均为20升(L)的容器,甲容器内装满纯酒精,而乙为空容器．自甲内倒出若干酒精于乙内,再将乙其余部分注满水,将此混合溶液注满甲容器,最后自甲容器回注入乙容器62/3升,则两容器内所含纯酒精量相等,问第一次自甲容器倒出多少酒精？3．某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后,再以每小时15千米的速度走平路到B地,共用了55分钟．回来时他以每小时8千米的速度通过平路后,以每小时4千米的速度上坡,从B地到A地共用了11/2小时,求地面上A,B两地相距多少千米？4．有一块长方形的场地,长比宽多4米,周围有一条宽2米的道路环绕着,已知道路的面积和这块土地的面积相等．求这块场地的周长是多少米？5．一个四位数是奇数,它的千位数字小于其他各位数字,十位数字等于千位数字和个位数字之和的2倍,求这个四位数．。
2023年初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全配版四边形的趣味问题
第十章四边形旳趣味问题第一节四边形旳分类与鉴定【知识点拨】1.四边形旳性质: 四边形旳内角和等于3600。
2、四边形旳旳分类: （1）对边平行；（2）对边不平行。
本节研究是对边不平行旳四边形。
没用措施是转化为三角形进行研究。
【赛题精选】例2.如图: 求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F旳度数。
（1999年重庆市竞赛题）【阐明】探索存在型问题是指在一定条件下, 判断与否存在某个结论。
解答此类问题, 先假设结论存在, 从假设出发, 根据题设条件及有关性质进行推理论证, 若推出矛盾, 则不定假设, 若推出合理旳成果, 则阐明假设对旳。
这种措施叫“假设法”。
【阐明】对于四边形, 作对角是常用旳辅助线！【针对训练】第二节平行四边形旳问题【知识点拨】1.平行四边形性质: 对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分。
2.矩形性质: 矩形除具有平行四边形旳性质外, 还具有对角线相等、四个角是直角。
3、菱形性质：除具有平行四边形旳性质外, 尚有四条边相等、对角线互相垂直、且每一条对角线平分一组对角。
4、平行四边形问题旳处理措施:（1）转化为三角形问题来处理；（2）常用平行四边形旳性质来处理。
【赛题精选】例2.凸四边形ABCD中, AB∥CD, 且AB＋BC＝CD＋AD求证: ABCD是平行四边形。
（1990年芜湖市竞赛题）例3.平面上有三个正△ABD.△ACE、△BCF, 两两共有一种顶点。
求证: CD与EF互相平分。
（1990年芜湖市竞赛题）例4.在Rt△ABC中, ∠ACB＝900, CD⊥AB于D, AE平分∠BAC, 交CD于K, 交BC 于E、, F是BE上一点, 且BF＝CE。
求证: FK∥AB。
（大连市第八届“育英杯”竞赛题）例6.矩形ABCD中, AB＝20cm, BC＝10cm, 若在AC.AB上各取一点M、N, 使BM＋MN旳值最小, 求这个最小值。
（1998年北京市竞赛题）例7、设P为等腰三角形ABC斜边AB上任意一点, PE⊥AC于点E, PF⊥BC于点F, PG⊥EF于G, 延长GP并在其延长线上取一点D, 使得PD＝PC。
初中数学竞赛讲解教材第二讲巧添辅助妙解竞赛题
第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中 , 巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系 , 通过圆的有关性质找到解题途径 . 下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路 .1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆” , 此时若能把握问题提供的信息 , 恰当补出辅助圆 , 并合理挖掘图形隐含的性质 , 就会使题设和结论的逻辑关系明朗化 .1.1 作出三角形的外接圆例 1 如图 1, 在△ ABC 中, AB ＝AC, D 是底边 BC A 上一点 , E 是线段 AD 上一点且∠ BED ＝ 2∠ CED ＝∠A. 求证： BD ＝2CD.E分析：关键是寻求∠ BED ＝2∠CED 与结论的联系 .容易想到作∠ BED 的平分线 , 但因 BE ≠ ED, 故不能 B G D C直接证出 BD ＝2CD. 若延长 AD 交△ ABC 的外接圆 F图1 于 F, 则可得 EB ＝ EF, 从而获取 .证明： 如图 1, 延长 AD 与△ ABC 的外接圆相交于点 F, 连结 CF 与 BF, 则∠ BFA ＝∠ BCA ＝∠ ABC ＝∠ AFC, 即∠ BFD ＝∠ CFD. 故 BF: CF ＝BD: DC.又∠ BEF ＝∠ BAC, ∠BFE ＝∠ BCA, 从而∠ FBE ＝∠ ABC ＝∠ ACB ＝∠ BFE.故 EB ＝EF.作∠ BEF 的平分线交 BF 于 G, 则 BG ＝GF.因∠ GEF ＝ 1∠ BEF ＝∠ CEF, ∠ GFE ＝∠ CFE, 故△ FEG ≌2 △ FEC. 从而 GF ＝ FC. 于是, BF ＝2CF. 故 BD ＝2CD.1.2 利用四点共圆例 2 凸四边形 ABCD 中, ∠ABC ＝60°, ∠ BAD ＝∠BCD ＝90°,CB ODAB ＝2, CD ＝ 1, 对角线 AC 、BD 交于点 O, 如图 2. 则 sin ∠ AOB ＝ ____.分析：由∠ BAD ＝∠ BCD ＝90°可知 A 、 B 、 C 、DAP图2四点共圆 , 欲求 sin ∠AOB, 联想到托勒密定理 , 只须求出 BC 、AD 即可 .解：因∠ BAD ＝∠ BCD ＝90° , 故 A 、B 、 C 、 D 四点共圆 . 延长BA 、CD 交于 P, 则∠ ADP ＝∠ ABC ＝60°.设 AD ＝ x, 有 AP ＝ 3 x, DP ＝ 2x. 由割 线 定理 得 (2 ＋13 x) 3x ＝2x(1 ＋ 2x). 解得 AD ＝ x ＝2 3 － 2, BC ＝ BP ＝4－3 .由托勒密定理有BD ·CA ＝(4 － 3 )(2 3－2) ＋2×1＝10 3 －12.又 S ABCD ＝ S △ ABD ＋S △BCD ＝ 3 3.2故 sin ∠AOB ＝15 63 .26例 3 已知：如图 3, AB ＝BC ＝CA ＝AD, AH ⊥CD 于 H, CP ⊥BC, CP 交 AH 于 P. 求证： A△ ABC 的面积 S ＝3BPAP · BD.Q4D3BC 2＝3AC ·BC, 只分析：因 S △ABC ＝C H图34 4须证 AC ·BC ＝AP ·BD, 转化为证△ APC ∽△ BCD. 这由 A 、B 、C 、Q 四点共圆易证 ( Q 为 BD 与 AH 交点).证明： 记 BD 与 AH 交于点 Q, 则由 AC ＝AD, AH ⊥ CD 得∠ ACQ ＝∠ ADQ.又 AB ＝AD, 故∠ ADQ ＝∠ ABQ.从而 , ∠ABQ ＝∠ ACQ. 可知 A 、B 、C 、Q 四点共圆 . ∵∠ APC ＝90°＋∠ PCH ＝∠ BCD, ∠CBQ ＝∠ CAQ, ∴△ APC ∽△ BCD. ∴AC ·BC ＝AP ·BD.于是, S ＝3AC ·BC ＝3AP ·BD.442构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关 , 但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息 , 此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆 , 将原问题转化为与圆有关的问题加以解决.2.1联想圆的定义构造辅助圆例 4如图 4, 四边形 ABCD 中, AB∥CD, AD＝DC B A＝DB＝ p, BC＝q. 求对角线 AC 的长 .分析：由“ AD＝DC＝DB＝p”可知 A、B、C 在C E 半径为 p 的⊙ D 上 . 利用圆的性质即可找到AC 与Dp、q 的关系 .解：延长 CD 交半径为 p 的⊙ D 于 E 点, 连结 AE.图4显然 A、B、C 在⊙D 上.∵AB∥CD,∴BC＝AE.从而 , BC＝AE＝q.在△ ACE 中 , ∠ CAE＝90°, CE＝ 2p, AE＝q, 故AC＝ CE 2AE 2＝ 4 p2q 2.2.2联想直径的性质构造辅助圆例 5 已知抛物线 y＝－x2＋2x＋8 与 x 轴交于 B、C 两点，点 D 平分BC. 若在 x 轴上侧的 A 点为抛物线上的动点 , 且∠ BAC 为锐角 , 则AD 的取值范围是 ____.分析：由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外 , 又点 A 在 x 轴上侧 , 从而可确定动点 A 的范围 , 进而确定 AD 的取值范围 .解：如图 5, 所给抛物线的顶点为 A0(1,9), 对称轴为 x＝ 1, 与 x 轴交于两点 B( －2,0) 、C(4,0).分别以 BC、DA 为直径作⊙ D、⊙ E, 则两圆与抛物线均交于两点 P(1 －2 2 ,1) 、Q(1 ＋2 2 ,1).可知 , 点 A 在不含端点的抛物线 PA0Q 内时 , ∠BAC＜90°. 且有 3＝DP＝DQ＜AD ≤ DA0＝9,即 AD 的取值范围是 3＜AD≤9.yA0 (1,9)EP QB DC x (-2,0)(4,0)图52.3联想圆幂定理构造辅助圆例 6 AD 是 Rt△ABC 斜边 BC 上的高 , ∠ B 的平行线交 AD 于 M, 交 AC 于 N. 求证： AB2－AN2＝BM·BN.分析：因 AB2－ AN2＝( AB＋ AN)( AB－AN) ＝ BM·BN, 而由题设易知 AM＝AN, 联想割线定理 , 构造辅助圆即可证得结论 .证明：如图 6,∵∠ 2＋∠ 3＝∠ 4＋∠ 5＝90°,又∠ 3＝∠ 4, ∠1＝∠ 5,∴∠ 1＝∠ 2. 从而 , AM ＝ AN.以 AM 长为半径作⊙ A, 交 AB 于 F, 交 BA 的延长线于 E. 则 AE ＝AF ＝AN.由割线定理有 BM ·BN ＝BF ·BE＝( AB ＋ AE)( AB － AF)＝ ( AB ＋ AN)( AB － AN)＝ A B 2－ AN 2,EA2NF 13 5 M4 B D C图6即 AB 2 －AN 2＝ BM · BN.例 7 如图 7, ABCD 是⊙ O 的内接四边形 , 延长 AB 和 DC 相交于 E,延长 AB 和 DC 相交于 E,延长 AD 和 BC 相交于 F,EP 和 FQ 分别切⊙ O 于 P 、Q. 求证： EP 2＋FQ 2＝ EF 2.分析：因 EP 和 FQ 是⊙ O 的切线 , 由结论联想到切割线定理 , 构造辅助圆使 EP 、FQ 向 EF 转化 .证明： 如图 7, 作△ BCE 的外接圆交 EF 于 G, 连 A 结 CG.因∠FDC ＝∠ ABC ＝∠ CGE, 故 F 、D 、C 、 PQG 四点共圆 .OD 由切割线定理 , 有CB EF 2 ＝( EG ＋GF) · EF E GF＝EG · EF ＋GF · EF ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EP 2 ＋FQ 2,即 EP 2 ＋FQ 2＝ EF 2. 2.4 联想托勒密定理构造辅助圆例 8 ＇ ＇ AA' 如图 8, △ABC 与△ A BcbC ＇ 的三边分别为 a 、b 、c 与 a ＇ 、c' b'b 、c＇, 且∠B ＝∠ B, ∠A ＋∠ACB'a' C'＇＇Ba＝ 180°. 试证： aa＝bb(2) ＇＋cc .(1)＇ ＇＇分析：因∠ B ＝∠ B＇ , ∠A ＋∠ A＇图8＝ 180°, 由结论联想到托勒密定理 , 构造圆内接四边形加以证明 . 证明： 作△ ABC 的外接圆 , 过 C 作 CD ∥AB 交圆于 D, 连结 AD 和 BD,如图 9 所示.∵∠ A ＋∠ A ＇ ＝180°＝∠ A ＋∠ D,∠BCD ＝∠ B ＝∠ B ＇ ,∴∠A ＇ ＝∠ D, ∠B ＇ ＝∠ BCD.∴△A ＇ B ＇ C ＇ ∽△ DCB. 有 A'B'＝ B'C'＝ A'C',DC CB DB即 c' ＝ a' ＝ b' .DCaDB故 DC ＝ac', DB ＝ab'.a'a'Acb CBabD图9又 AB ∥DC, 可知 BD ＝AC ＝b, BC ＝AD ＝a. 从而 , 由托勒密定理 , 得AD ·BC ＝AB ·DC ＋AC ·BD,即a 2＝c · ac ' ＋ b · ab' .a'a'故 aa ＇ ＝bb ＇ ＋cc ＇ .练 习 题1. 作一个辅助圆证明：△ ABC 中, 若 AD 平分∠ A, 则AB＝BD.AC DC( 提示：不妨设 AB ≥AC, 作△ ADC 的外接圆交 AB 于 E, 证△ ABC ∽△ DBE, 从而AB＝BD＝BD.)ACDE DC2. 已知凸五边形 ABCDE 中, ∠BAE ＝ 3a, BC ＝CD ＝ DE, ∠BCD ＝∠ CDE ＝ 180°－ 2a. 求证：∠ BAC ＝∠ CAD ＝∠ DAE.( 提示：由已知证明∠ BCE ＝∠ BDE ＝ 180°－ 3a, 从而 A 、 B 、C 、D 、E 共圆, 得∠ BAC ＝∠ CAD ＝∠ DAE.)3. 在△ ABC 中 AB ＝BC, ∠ABC ＝20°, 在 AB 边上取一点 M, 使 BM ＝AC. 求∠ AMC 的度数 .( 提示：以 BC 为边在△ ABC 外作正△ KBC, 连结 KM, 证 B 、 M 、 C 共圆 , 从而∠ BCM ＝ 1∠BKM ＝10°, 得∠AMC ＝30°.)24．如图 10, AC 是 ABCD 较长的对角线 , 过 C 作 F CCF ⊥AF, CE ⊥AE. 求证： AB · AE ＋AD · AF ＝AC 2. D( 提示：分别以 BC 和 CD 为直径作圆交 AC 于点G 、 H. 则 CG ＝AH, 由割线定理可证得结论 .)AB E5. 如图 11. 已知⊙ O 1 和⊙ O 2 相交于 A 、B, 直线 图10CD 过 A 交⊙ O 1 和⊙O 2 于 C 、D, 且 AC ＝AD, EC 、ED 分别切两圆于 C 、D. 求证： AC 2＝AB ·AE.( 提示：作△ BCD 的外接圆⊙ O3, 延长 BA 交⊙ O3E于 F, 证 E 在⊙ O3上, 得△ ACE≌△ ADF, 从而 AE D＝ AF, 由相交弦定理即得结论 .)AC O1O26．已知 E 是△ ABC 的外接圆之劣弧 BC 的中点 .B求证： AB·AC＝AE2－BE2.图11 ( 提示：以 BE 为半径作辅助圆⊙ E, 交 AE 及其延长线于 N、M,由△ ANC∽△ ABM 证 AB· AC＝ AN· AM.)7.若正五边形ABCDE 的边长为 a, 对角线长为b, 试证：b－a a b＝ 1.( 提示：证 b2＝a2＋ab, 联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得 .)。
初中数学选择题的解题方法与技巧省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
B
D（．8 3 2）cm
CO
8.
以方程组
y y
x
x 1
2
旳解 (x, y)为坐标旳点
在平面直角坐标系中旳位置是
（A）
A．第一象限
B．第二象限
直接法、 数 形结正当
C．第三象限
D．第四象限
1.方程 (x 3)(x 1) x 3旳解是
（ D）
A．x 0
B．x 3
C．x 3或 x 1 D．x 3或 x 0
之（一）——选择题
数学选择题旳主要解法：
①直接法 ②特值法 ③数形结正当 ④逐一验证法 ⑤排除法 ⑥估算法 ⑦试验法
所取旳值一定要符合题意
数（式）与图形（图像） 相结合
注意自变量旳取值范围
有时解一道题要 同步利用几种 措施哦！
合作交流，尝试探索 应用迁移，巩固提升 效果检测，心中有数 课后巩固，拓展提升
1. 解方程
A．
B．
旳成果是
直接法、 排除法、
（D）
C．
D逐．一无验解证法
2．a,b在数轴上旳位置如图，下列结论正确旳是（ A ）
A.a b 0
C. a b 0
BD.．aab0 b
3．-2旳相反数是
0
排除法、 特值法
-1
a
A. 2 B. 1
C. -2
1 D.
2
2
b
0
1
（ A）
4．已知
是正整数，则实数n旳最大值为（ B ）
2.计算：(5)0
（ A ）．
A．1 B．0 C．-1 D．-5
3.
假如一元一次不等式组
x>3 x a
旳解集为 x
初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)--二次方程与方程组
第八章 二次方程与方程组第一节 一元二次方程【赛题精选】§1、一元一次方程的解法主要有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。
例1、利用直接开平方法解下列关于x 的方程。
（1）0)1(9)2(22=+--x x （2）)0(0)22()(22>=+-+a a x a x（3）)21(2142222nx n x n x x ++=++例2、利用因式分解法解下列关于x 的方程。
（1）(5x+2)(x-1)=(2x+11)(x-1) （2）0452=+-x x(3)02_23()12(2=++-+x x (4)0)()(22222=-++-q p pq x q p x（5）x m x m x x m )1()1()1(2222-=--+-例3、用配方法解下列关于x 的方程。
（1）)0(02≠=++a c bx ax （2）03)12()1(2=-+-+-m x m x m（3）01333223=-+++x x x§2、根的判别式、根与系数的关系韦达定理：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为1x 、2x ，那么1x 、2x 与a 、b 、c的关系为：两根之和a b x x -=+21；两根之积ac x x =21。
例4、若首项系数不相等的两个二次方程02)2()1(222=+++--a a x a x a （1）、02)2()1(222=+++--b b b x b （2）（其中a 、b 均为正整数）有一个公共根。
求ab ab b a b a --++的值。
例5、已知方程02=++c bx x 与02=++b cx x 各有两个根1x 、2x 及'1x 、'2x ，且1x 2x ＞0，'1x '2x ＞0。
求证：（1）1x ＜0，2x ＜0，'1x ＜0，'2x ＜0；（2）b-1≤c ≤b+1；（3）求b 、c 所有可能的值。
初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)-第01章-代数基础知识
第一章 代数式基础知识第一节 用字母表示数1、什么是代数式？用运算符号将数或者表示数的字母连接起来的式子，叫代数式。
单独一个数或字母也叫代数式。
代数式总能表达一个意思。
2、什么是单项式？任意个字母和数字的积的形式的代数式。
一个单独的数或字母也叫单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
任何一个非零数的零次方等于“1”。
单项式分母中不含字母(单项式是整式，而不是分式）。
3、什么是多项式？若干个单项式的和组成的式子叫做多项式。
多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。
不含字母的项叫做常数项。
4、循环小数化为分数纯循环小数：小数中除了循环节外没有其它小数。
如3.0 、82.0 、283.0 等。
混循环小数：小数中除了循环节外还有其它小数。
如1032.0 、1032.5 等。
例、纯循环小数化为分数。
（1）3.0（2）82.0 （3）283.0 解：3.33.010 =⨯（1） 82.2882.0100 =⨯ 283.382283.01000 =⨯ 3.03.0 = （2） 82.082.0 =283.0283.0 = （1）－（2）得：（1）－（2）得：（1）－（2）得：33.0)110(=⨯- 2882.0)1100(=⨯- 382283.0)11000(=⨯- 9311033.0=-=∴992811002882.0=-=999382283.0= 例、混循环小数化为分数。
将（1）1032.0 、（2）1032.5 化为分数。
解：（1）设x =1032.0 ， 那么：103.210 =x ；103.230110000 ＝x ； 2230199901010000-==-x x x 99902299=x 。
∴ 999022991032.0=解：（2）设x =1032.0 ，则1032.5 ＝5＋x +=51032.0 那么：103.210 =x ；103.230110000 ＝x ； 2230199901010000-==-x x x 99902299=x∴ 9990229951032.5= 。
数学竞赛客观题求解策略课件 (共169张PPT)
则四面体的体积的最大值是
。
例 4、若实数 x, y 满足1 cos2 (2x 3y 1) x2 y 2 2(x 1)(1 y) ，则 xy 的
x y 1
最小值是
。
例 5、任何面积为 1 的凸四面形，其周长及对角线的长度之和的最小
值为
。
评注 牛顿曾说过：“没有大胆的猜想，就 做不出伟大的发现”。
风急天高猿啸哀，渚清沙白鸟飞回。 无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来。
——这是对心境的的无限感慨
2、有穷无穷紧相连，静点美名天下传
策略二 极端原理法； 通过最大、最小、最 远最近等特殊数量或位置的考察，从而发现问题 的解题思路（特殊引路，探求一般证题规律）
1、 以退为进——投石问路 2、动静结合——破除定势 3、李代桃僵——以小换大
则 x2 xy y2 y2 yz z 2 z2 zx x2 的最小值为
。
例 2、设 x, y, z 为正实数，且满足 x yz y zx z xy 1， 则 x y z 的
最小值为
。
例 3、四面体 P ABC的 6 条棱长的和为 l ，且 APB BPC CPA 900 ，
x 2013 2012
。
题目：设实数
x,
y, z 都大于
1，则
x4 ( y 1)2
(z
y4 1) 2
z4 (x 1)2
的最小值为
。
题目：设正实数 x, y, z 满足 xyz 1 ，则
x3
y3
z3
的最
(1 y)(1 z) (1 z)(1 x) (1 x)(1 y)
初中数学趣味数学竞赛课件(共43张)
先考虑两个店主之间的得失，鞋店主先拿假钞去隔壁店主 那里换来两张50元的真钞，后来又赔给隔壁店主100元， 所以双方没得失。所以鞋店主只是损失了一双50元的鞋子 与50元现金。
24.把10个硬币放入三只杯子中，使得每只杯子 中硬币的个数仍都是奇数，请问如何能办得到？
答案：只需要把一个杯子套入另一只杯子之中即可
25. 一辆四轮赛车参加距离比赛，行程18Байду номын сангаас0千米， 轮胎都是新的，每只轮胎在1200千米内有效， 问车上最少应该带几只备用的新轮胎？
答案：2只 当车走了600米时，换下两个轮胎，当走到1200米时， 用之前换下来的两个轮胎去换另外两个轮胎。
26、盒子里有27只球，其中有一只是次品， 这个次品外观上与正品毫无区分，只是分量 略重一些。现在有一架天平，要把次球找出 来，至少要称几次？
答案：后报的取胜
15、请问如何用三根直木棒组成12个直角？
答案：把三根木棒 按东西、南北、上 下三个方位交叉 放置即可组成12个 直角。
16、有一个密封的
长方体水箱（如图）
，如果从里面量得
宽3分米，高5分米，
3
箱内水的高度是4分
米，如果将水箱向
后推倒，以它的后
5
面为底面，这时箱
内水的高度是多少
分米？
答案：先用5升壶装满后倒进6升壶里，在再将 5升壶装满向6升壶里到，使6升壶装满为止， 此时5升壶里还剩4升水将6升壶里的水全部倒 掉，将5升壶里剩下的4升水倒进6升壶里，此 时6升壶里只有4升水再将5升壶装满，向6升壶 里到，使6升壶里装满为止，此时5升壶里就只 剩下3升水了
29、一位老人有17只羊，分给三个儿子：老大 九分之一，老二三分之一，老三二分之一.三个 儿子想：羊又不能宰，这该怎么办？三人各得 多少只羊？
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三、求最值（一定要写出取到最值时，x,y 分别满足的条件！） 设所求代数式为 t，然后通过代入，计算判别式等求出 t 的范围。 把所求的最值问题转化为代数问题，利用基本不等式求最值。 先求出最值 n，构造一个 n 的特例，再证明 n-1 不能成立。
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学海无 涯 初中数学竞赛解题方法归纳 一、代数 1、一元二次方程根的分布 （பைடு நூலகம்）利用韦达定理
（2）利用二次函数图像 2、一元二次方程整数根 1 判别式（令 p2 ，利用平方差公式算出整数根) 2 韦达定理（两根均为整数） 3 参数分离法（参数为一次的时候且可以利用整除解决问题） 4 因式分解法 3、绝对值方程 1 零点分段法 2 绝对值不等式（ a b a b a b ）