量子力学第七章 近似方法

H n H n En n En n En n
4
………
三、零级近似的解
ˆ 的本征值和本征函数可以全部求出： 因H 0
ˆ ( 0) E ( 0) ( 0) , H 0 k k k k 1,2,n
微扰论 的前提
(3)
本节讨论能级是无简并的,即零级近似能级与波函数是 一一对应的.
(m 上式右边第二项等于零，
E a m E a m
(0) m (0) n
k n k n
n)
于是
( 0) ( 0) ( 0) ˆ (1) ( 0) d E a E a * H k k mk n k mk m n
(0) m
(1) ( 0 ) ˆ *H n d
1. 引入实参数λ
ˆ H ˆ (1)， 是个小量 令H
ˆ ( 0) H ˆ (1) ) E (H 由此方程可见，H的本征值及本征函数都与λ有关。
代入本征值方程：得到 因此令
En E
( 0) n
E
(1) n
E
2
( 2) n

( 0) (1) ( 2) n n n 2 n
5
(0) ˆ ( 0 ) (1) d ( 0 ) *E ( 0 ) (1) d * H n n n n n
由于H (0)是厄密 算符所以等式左 边等于零.
(0) ˆ (1) ( 0 ) d ( 0 ) *E (1) ( 0 ) d n *H n n n n
四. 一级近似
方程
(1) ( 0) ˆ ( 0) E ( 0) ) ˆ (1) E (1) ) (H ( H n n n n
1. 一级近似能级
( 0) 用 n * 左乘上面等式两边再积分
(0) ˆ ( 0 ) E ( 0 ) ) (1) d ( 0 ) *( H ˆ (1) E (1) ) ( 0 ) d * ( H n n n n n n
( 0) 上面我们称 E 及 n 为零级近似能级和
波函数。 ( 1) (1) 称 E n 及 n 为能级及波函数的一级修 正。
( 0) n
我们来求级
数形式的解
3
2. 各级近似方程
将上面级数形式解的表示代入方程
ˆ ( 0 ) H ˆ (1) )( ( 0 ) (1) 2 ( 2 ) ) (H n n n
( 0) n (1) n ( 0) n
第七章 近似方法
1
§7.1定态非简并微扰 方法
一、适用条件
求解定态薛定谔方程
ˆ E H
(1)
ˆ 比较复杂，无法直接求解，若可将其分成两部分 H
ˆ H ˆ H ˆ , H 0
H0 H
(2)
ˆ 的本征值和本征函数可以求出，则方程（1）就 H 0
可以通过逐步近似的方法求解。
2
二. 各级近似方程
( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ˆ (1) ( 0) E (1) ( 0) E a E a H k k k n k k n n n k n
( 0) m
等式两边同时乘
* 再积分可得到 ( m
k n
n)
7
(0) (0) ( 0) (0) (0) (0) E a * d E a * k k m k n k m k d k n k n (0) (0) ˆ (1) ( 0 ) d E (1) ( 0 ) * m *H n n m n d
(0) (1) ( 2) (0) (1) ( 2) (En E n 2 E n )( n n 2 n )
要求等式两边λ的同次幂系数相等可得
( 0) ( 0) ( 0) ( 0) 零次幂相等得零级近 ˆ H n En n 似方程 一次幂相等得一级近 ( 0) (1) (1) ( 0) ( 0) (1) (1) ( 0) ˆ ˆ H n H n En n En n 似方程 二次幂相等得二级近 似方程 ˆ ( 0) ( 2) ( 0) ( 2) (1) (1) ( 2) ( 0) ˆ (1) (1)
( 0) En En H nn
6
2. 一级近似波函数 ( 1) ( 0) n a k k
(1) (1) ( 0) Βιβλιοθήκη Baidu a 注意到：若 n 是一级方程的解，则 n n （ a 为任
k n
意数）亦是一级方程的解，换言之，上面展开系数中 an 不可能由方程确定，它可以是任意的。因此我们规定 an 0 。事实上 an 不同取值只不过相当于改变一个 相因子。（见曾谨言p299） (1) ( 0) ˆ ( 0) E ( 0) ) ˆ (1) E (1) ) 代入一级方程 (H n ( H n n n 我们得到
am
(0) ˆ (1) ( 0 ) d * H n m (0) (0) En Em
(1) n
mn

(0) ˆ (1) ( 0 ) d * H n m (0) (0) En Em
(0) m
8
一级近似下的波函数应为
H mn (0) n ( 0) m ( 0) mn En Em (0) ˆ ( 0 ) d ( 0 ) * H ˆ (1) ( 0 ) d 其中 H mn m *H n n m
(1) (0) ˆ (1) ( 0 ) d En n *H n
在一级近似下能级为
En E
( 0) n
E
(1) n
其中能级的一级修正是
(1) (0) (0) ˆ (1) ( 0 ) d ( 0 ) *H ˆ E n n *H n n d H nn n