方程的根与函数的零点(最终版)
2019A新高中数学必修第一册：3.1.1 方程的根与函数的零点
本章内容
3.1 函数与方程 3.2 函数模型及其应用
第三章 小结
3.1.1 方程的根与函数的零点 3.1.2 用二分法求方程的近似解 复习与提高
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1. 方程 f(x)=0 的根与函数 y=f(x) 的图象上 的点有什么关系?
2. 什么是函数的零点? 函数的零点与函数 的图象、对应方程的解有什么关系?
(C) (2, 3)
(D) (3, +∞)
解: 设 f(x)=lgx+x-3,
f(x) 在(0, +∞)上是增函数,
f(1)= -2, <0,
f(2)=lg2-1<0,
f(3)=lg3 >0,
f(2)·f(3)<0,
∴方程的解在2与3之间.
2. 已知方程 x2+bx=1. 若方程有一根在1与2之间, 求 b 的取值范围;
【课时小结】
2. 求函数的零点所在区间 (1) 如果函数 y=f(x) 在区间 [a, b] 上的图象
连续不断, 且 f(a)·f(b)<0, 那么, 函数 y=f(x) 在区间 (a, b) 内有零点.
(2) 如果函数 y=f(x) 在区间 [a, b] 上是连续 的单调函数, 且 f(a)·f(b)<0, 那么, 函数 y=f(x) 在区间 (a, b) 内有且只有一个零点.
函数的零点与方程的根.ppt
例 6 （ 上 海 02 高 考 ）、 已 知 函 数
f
(x)
ax
x2 x 1
a
1。
(1)求 f(x)单调区间。
(2)若 a=3,求证方程 f(x)=0 有且仅有一个正根。
解:(1)定义证明.(2)因在 (1,) 为增函数,
故在 (0,) 为增,又 f(0)= -1<0,f(1)=2.5,所 以在(0,1)有且只有一个正根.下用二分法 约为 0.28(列表,区间,中点,中点函数值)
求函数F( x) f ( x) g( x)的零点可转化为 求函数y f ( x)与y g( x)图像交点的横坐标
一、一元二次函数与一元二次方程 内容复习
知识归纳：1、一元二次函数、不等式、方程的关系
0
0
0
二次函数
y ax2 bx c
（ a 0 ）的 图象
一元二次方程
ax2 bx c 0
a 0的根
有两相异实根 有两相等实根
x1, x2 (x1 x2 )
x1
x2
b 2a
ax2 bx c 0
(a 0)的解集
x x x1或x x2
x
x
b 2a
无实根 R
ax2 bx c 0
例7 已知函数 f(x)＝－x2＋2ex＋m
－1，g(x)＝x＋ex2(x>0)． (1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范
围； (2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)
＝0有两个相异实根．
y f (x) 有零点（即横坐标）。
若函数f(x)的图像在x=x0处与x轴相切，则零点 x0为不变号零点若函数f(x)的图像在x=x0处与x 轴相交，则零点x0为变号零点
方程的根与函数的零点(精选7篇)
方程的根与函数的零点（精选7篇）方程的根与函数的零点篇1第一课时： 3.1.1教学要求：结合二次函数的图象，推断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；把握零点存在的判定条件.教学重点：体会函数的零点与方程根之间的联系，把握零点存在的判定条件.教学难点：恰当的使用信息工具，探讨函数零点个数.教学过程：一、复习预备：思索：一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根与二次函数y=ax +bx+c的图象之间有什么关系？.二、讲授新课：1、探讨函数零点与方程的根的关系：① 探讨：方程x -2x-3=o 的根是什么？函数y= x -2x-3的图象与x轴的交点?方程x -2x+1=0的根是什么？函数y= x -2x+1的图象与x轴的交点？方程x -2x+3=0的根是什么？函数y= x -2x+3的图象与x轴有几个交点？② 依据以上探讨，让同学自己归纳并发觉得出结论：→推广到y=f(x)呢？一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根就是相应二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴交点横坐标.③ 定义零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.④ 争论：y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x) 的图象与x 轴交点的横坐标的关系？结论：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x) 的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点⑤ 练习：求下列函数的零点；→ 小结：二次函数零点状况2、教学零点存在性定理及应用：① 探究：作出的图象，让同学们求出f(2),f(1)和f(0)的值, 观看f(2)和f(0)的符号②观看下面函数的图象，在区间上______(有/无)零点； _____0（＜或＞）. 在区间上______(有/无)零点； _____0（＜或＞）. 在区间上______(有/无)零点； _____0（＜或＞).③定理：假如函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c (a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.④ 应用：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数. （试争论一些函数值→分别用代数法、几何法）⑤小结：函数零点的求法代数法：求方程的实数根；几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.⑥ 练习：求函数的零点所在区间.3、小结：零点概念；零点、与x轴交点、方程的根的关系；零点存在性定理三、巩固练习：1. p97, 1,题 2,题（老师计算机演示，同学回答）2. 求函数的零点所在区间，并画出它的大致图象.3. 求下列函数的零点：；；；.4.已知：（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；（2）假如函数至少有一个零点在原点右侧，求的值.5. 作业：p102, 2题；p125 1题其次课时： 3.1.2用二分法求方程的近似解教学要求：依据详细函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解. 通过用二分法求方程的近似解，使同学体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.教学重点：用二分法求方程的近似解.教学重点：恰当的使用信息工具.教学过程：一、复习预备：1. 提问：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？零点概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.方程f(x)=0有实数根函数y=f(x) 的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点假如函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c (a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.2. 探究：一元二次方程求根公式？三次方程？四次方程？材料：高次多项式方程公式解的探究史料：在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却始终没有胜利，到了十九世纪，依据阿贝尔（abel）和伽罗瓦（galois）的讨论，人们熟悉到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解.同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当简单，一般来讲并不相宜作详细计算.因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中非常重要的课题二、讲授新课：1. 教学二分法的思想及步骤：① 出示例：有12个小球，质量匀称，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好. （让同学们自由发言，找出最好的方法）解：第一次，两端各放六个球，低的那一端肯定有重球其次次，两端各放三个球，低的那一端肯定有重球第三次，两端各放一个球，假如平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？② 探究：的零点所在区间？如何找出这个零点？→ 师生用二分法探究③ 定义二分法的概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a).f(b)0的函数y=f(x)，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection)④ 探究：给定精度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：a.确定区间，验证，给定精度ε；b. 求区间的中点；c. 计算：若，则就是函数的零点；若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）；d. 推断是否达到精度ε；即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4.2. 教学例题：① 出示例：借助计算器或计算机用二分法求方程2 +3x=7的近似解. （师生共练）② 练习：求函数的一个正数零点（精确到）3. 小结：二分法的概念, 二分法的步骤；注意二分法思想三、巩固练习：1. p100, 1,题 2,题； 2. 求方程的解的个数及其大致所在区间.3. 用二分法求的近似值；4. 求方程的实数解个数：；5. 作业：p102 3，4题，阅读p105框图方程的根与函数的零点篇2一、教学内容解析本节课的主要内容有函数零点的的概念、函数零点存在性判定定理。
方程的根与函数的零点
函数 y =f (x) 有零点
3、零点存在性定理
如果函数y f ( x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的 一条曲线,并且有f (a) f (b) 0, 那么,函数y f ( x)在 区间(a, b)内有零点,即存在c (a, b),使得f (c) 0, 这个 c也就是方程f ( x) 0的根.
3.1.1 方程的根与函数的零点
第1课时
中外历史上的方程求解
《九章算术》给出了一次方程、二次方程和正系数 三次方程的求根方法。
19世纪挪威数学家阿贝尔证明了五次及五次以上一 般方程没有根式解。
一、基上础述知方识程讲的解不相等的根的个数和对应的函数图象与
x 轴交点的个数0相同。 0
0
方程方程xf2(x)=20x的 3实数0根就x2是相2x应函1 数0图象x与2 x2轴x的交3 点0
y A、
B、 y
O 1 2 345 x
O 1 2 345 x
C、 y
D、 y
O 1 2 345 x
O 1 2 345 x
例3、已知f ( x) x2 7 x 12，求该函数的零点个数. 解：令f ( x) 0得 即 x2 7 x 12 ( x 3)( x 4) 0 方程x2 7x 12 0有两个不相等的实数根：3, 4； 函数有两个零点，分别是3, 4. 法2： (7)2 4 12 1 0 方程x2 7x 12 0有两个不相等的实数根；
零点不是
点，是数
5 4 O
45 x
三、基础知识讲解
函数 y = x2- 2x - 3
图象
区间 (a,b)
y
(-2 , 0)
(0 , 2)
方程的根与函数的零点 课件
此判定方法经常考，要注意条件一定要完备，缺一不可． 反之，若函数 y＝f(x)在(a，b)内有零点，则 f(a)·f(b)＜0 不一定 成立． 因为 f(x)在(a，b)内的零点可能为不变号零点，也可能不止一个 零点．
(2)应用零点存在性定理应注意以下问题： ①并非函数所有的零点都能用该定理找到，当函数值在零点左 右不变号时就不能应用该定理，如函数 y＝x2 在零点 x0＝0 左右 的函数值都是正值，显然不能使用定理判断，只有函数值在零 点的左右两侧异号时才能用这种方法． ②利用零点存在性定理只能判别函数 y＝f(x)在区间(a，b)上零 点的存在性，但不能确定零点的个数．
2．解决有关根的分布问题应注意以下几点： (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． (2)结合草图考虑四个方面：①Δ 与 0 的大小；②对称轴与所给 端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向． (3)写出由题意得到的不等式． (4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意，这类问题充分体 现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在 写不等式时要注意条件的完备性．
方程的根与函数的零点
自学导引 1．函数的零点 对于函数 y＝f(x)，把 使f(x)＝0的实数x 叫做函数 y＝f(x)的零点． 想一想：函数的零点是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点吗？ 提示 函数的零点不是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点，而是 y＝f(x) 与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是 一个实数．
如 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的两个零点为
x1，x2(x1≤x2)且 k1＜x1≤x2＜k2.
Δ≥0， 则k1＜－2ba＜k2，
ffkk12＞ ＞00， ，
题型一 求函数的零点 【例 1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝xx＋；3 (2)f(x)＝x2＋2x＋4； (3)f(x)＝2x－3； (4)f(x)＝1－log3x； [思路探索] 利用解方程的方法求相应方程的根即可．
函数的零点与方程根的关系-高中数学知识点讲解
函数的零点与方程根的关系
3．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x 轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70 的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70 的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于 0 时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
1/ 1。
高中数学高一必修第三章《方程的根与函数的零点》教育教学课件
反思与感悟
判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来 确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.(2)利用 函数图象交点的个数判定函数零点的个数.
反思与感悟
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的 图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点. 在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.
跟踪训练1 函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是____4____. 解析 f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1) ＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3). 可知零点为±1，－2,3，共4个.
4.下列各图象表示的函数中没有零点的是( D )
函数 ＝ － 的零点个数是 B
个
个
个
无数个
则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4
＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，
∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内.
反思与感悟
在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有 零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内 无零点.
3.1.1 方程的根与函数的零点
主讲老师：
CONTENTS
1 • PART 01学习目标 2 • PART 02问题导学
3 • PART 03题型探究
人教A版数学必修一3-1-1方程的根与函数的零点(68张).pptx
命题方向 3 判断函数的零点、方程的根所在的区间
[例 3] (2010·天津)函数 f(x)＝ex＋x－2 的零点所在的一
个区间是( )
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
[分析] 函数零点附近函数值的符号相反，可据此求解．
f0＝2m＋1<0 观察图象可得ff－ 1＝1＝ 4m2＋>02<0 ，
f2＝6m＋5>0
解得－56<m<－12.
所以 m 的取值范围是(－56，－12)．
规律总结：这类题目一般是从几何角度入手，利用代数 方法解决．若题目改为函数 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1 的两个零
f0>0 点均在区间(0,1)内，则需满足不等式组fΔ≥1>00
(3)函数 y＝x2－2x＋3 与 x 轴没有交点，方程没有实根．
观察可知，二次函数 f(x)与 x 轴的交点的横坐标恰好是相 应方程 f(x)＝0 的根，这种关系对一般的一元二次函数与其相 应的方程之间的情况也成立，即方程 ax2＋bx＋c＝0 的实根就 是 f(x)＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标．
[解析] (1)令 f(x)＝0，即 3x＋2＝0，∴x＝－23. ∴f(x)＝3x＋2 的零点是－23. (2)令 f(x)＝x2－3x－4＝0，得 x1＝4，x2＝－1. ∴f(x)＝x2－3x－4 的零点是 4，－1. (3)令 f(x)＝log2x＝0，得 x＝1， ∴f(x)＝log2x 的零点为 1.
名师辩误做答
1．混淆了零点与点的概念 [例 5] 函数 f(x)＝x2－5x＋6 的零点是________． [错解] (2,0)，(3,0) 由题意，得 x2－55x＋6＝0，∴x＝2，x＝3， ∴函数的零点是(2,0)和(3,0)．
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10
8
6
函数图象
方程的根
7
x2 2x 36 0
5
f
(x)
x2
4
2x
3
3
2
1
4
-3
2
-1
1
2
1
2
8
6
3 -3
4 -4
y5
x1 3
x2 1
2x 1 0
f ( x) 5 2x 1
4
3
2
4
6
1
8
10
4
2 15
0
1
2
3
4
2 10
4
x0
函数图象与x轴 的交点坐标
(-3, 0) (1, 0)
(0, 0)
例二、已知函数 y f (x) 是R上的连续函数，观
察下表，判断函数在哪些区间内一定存在零点， 并简述理由。
x123456789
f(x) 0.2 0.4 -0.4 -0.3 1 6 8 -3 -1
例三、试判断函数 f (x) ex x 4是否有零点， 若有，有几个？
解：因为 f (1) e 3 0 且 f (2) e2 2 0 所以函数在区间(1, 2) 存在零点；
零点：对于函数 y f (x)，我们把使 f (x)=0的 实数x叫做函数 y f (x)的零点。
代数方面：零点就是方程 f (x)=0 的实根 图形方面：零点就是函数 y f (x) 的图象
与x轴交点的横坐标
判断方程 f (x) 0 是否有实根 判断函数 y f (x) 的图象与x轴是否有交点
判断函数 y f (x) 是否有零点
1
f (x) x2 x 6
2
f (x) lg x 2
3
f (x) ex 1
x 3，x 2
x 100
没有零点
判断方程 ex x 4 0 是否有实根
判断函数 f (x) ex x 4 的图象与 x轴是否有交点
判断函数 ห้องสมุดไป่ตู้ (x) ex x 4 是否有零点
又因为函数 f (x) ex x 4 在R上是单调递增 函数，所以函数有且只有一个零点，其对应方 程 ex x 4=0 有且仅有一个实根。
特殊
特殊 一般
以形助数 以数辅形 数形结合
课本P88 1 P92 A组 1、2
函数零点方程根，数形本是同根生。 函数零点端点判，图象连续不能忘。
方程 函数
华罗庚老先生曾说过:“数缺 形时少直观，形缺数时难入微;
数形结合万般好，隔离分家万 事休。”
判断下列方程是否有实根，并说明理由。
x2 x 6 0 ex x 4 0
① x2 2x 3 0 ② 2x 1 0 ③ ln x 1 0
f (x) x2 2x 3 f (x) 2x 1 f (x) ln x 1
ln x 1 12 0
10
f ( x) 8 ln x 1
6
4
2 12
65
8
o10
2
e
5
4
xe
(e, 0)
y
a
0
有位同学去郊外游玩，请问： 1、他从A地走到B地是否一定
穿过河流？ 2、他从A地走到C地是否一定
穿过河流？
bx
将河流抽象成x轴，这位同学走的路径当做函数图象，你能得到什么结论？
y f (x)
y
(a, b)
a
0
bx
零点存在定理：如果函数y f (x)在区间 [a, b]上的图 象是连续不断的一条曲线，并且有 f (a) f (b) 0，那么 y f (x)在区间 (a, b)内有零点，即存在c (a, b)，使 得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x)=0的根。