河北省衡水市2021届新高考数学一模考试卷含解析
2021届河北省衡水中学全国高三第一次联合考试(全国卷)数学(理)试题(解析版)
2021届河北省衡水中学全国高三第一次联合考试（全国卷）数学（理）试题一、单选题1．已知集合10,2x A x x ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭{}24B x x =≤，则()()R R A B ⋃=（ ）A ．(,2](1,)-∞-⋃-+∞B ．(,2)[1,)-∞--+∞C ．(2,1)--D ．[2,1]--【答案】B【解析】先根据题意得(,1)(2,)A =-∞-⋃+∞，[2,2]B =-，再根据集合运算即可求解. 【详解】因为集合{}210,42x A x B x x x ⎧⎫+=>=⎨⎬-⎩⎭，所以(,1)(2,)A =-∞-⋃+∞，[2,2]B =-，[2,1)A B ⋂=--，()()()(,2)[1,)RRRA B A B ⋃=⋂=-∞-⋃-+∞.故选：B 【点睛】本题考查集合的运算，一元二次不等式的解法，分式不等式的解法，考查运算能力，是基础题.2．设a R ∈，若复数1ia i-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于直线y x =上，则a =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】化简复数写出其在复平面内对应的点的坐标，再代入直线方程即得参数. 【详解】 化简221(1)()1(1)11i i a i a a ia i a a -----+==+++，故复平面内对应点的坐标是2211,11a a a a -+⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为复数1i a i -+在复平面内对应的点位于直线y x =上，所以221111a a a a +--=++，所以0a =. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数在复平面内对应的点的特征，属于基础题. 3．设()πxf x -=，()πlog g x x =，()πxh x =，则()0.3f ，()0.3g ，()0.3h 的大小关系是（ ）A ．()()()0.30.30.3g f h <<B ．()()()0.30.30.3f g h <<C ．()()()0.30.30.3f h g <<D ．()()()0.30.30.3g h f <<【答案】A【解析】根据指数函数与对数函数的性质，分别求得()0.3f ，()0.3g ，()0.3h 取值范围，即可求解. 【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得()0.3000.3ππ1f -<=<=，()0.30.3π1h =>，根据对数函数的性质，可得()π0.3log 0.30g =<， 所以()()()0.30.30.3g f h <<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了指数式与对数的比较大小，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.4．1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个关于“奇偶归一”的猜想，对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，若输入a 的值为3，则输出结果为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】根据程序框图，列出循环过程中的a与对应的i，计算循环结果. 【详解】根据程序框图，列出循环过程中的a与i，a 3 10 5 16 8 4 2 1i 1 2 3 4 5 6 7 8所以输出的结果为8i=.故选：C【点睛】本题考查程序框图，重点考查循环过程，属于基础题型.5．函数()21sin()21xxxf x-⋅=+的部分图象大致为（）A．B．C ．D ．【答案】C【解析】先判断出()f x 的奇偶性，然后通过特殊值()1f 与0的关系即可确定出()f x 所对应的函数图象. 【详解】因为()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且()()()()()()()21sin 12sin 21sin 211221xxxxxxx x x f x f x ---⋅--⋅--⋅-====+++，所以()f x 是偶函数，排除A ，D ；又因为(21)sin1(1)021f -=>+，排除B.故选：C. 【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数的图象，难度一般.分析函数解析式对应的函数图象可从函数的奇偶性、函数的单调性、特殊值等方面入手.6．某校学生可以根据自己的兴趣爱好，参加各种形式的社团活动.为了解学生的意向，校数学建模小组展开问卷调查并绘制统计图表如下： 你最喜欢的社团类型是什么？—您选哪一项？（单选） A ．体育类如：羽毛球、足球、毽球等 B ．科学类如：数学建模、环境与发展、电脑等 C ．艺术类如：绘画、舞蹈、乐器等 D ．文化类如：公关演讲、书法、文学社等 E.其他由两个统计图表可以求得，选择D 选项的人数和扇形统计图中E 的圆心角度数分别为（ ） A ．500，28.8° B ．250，28.6°C ．500，28.6°D ．250，28.8°【答案】A【解析】根据扇形统计图和条形统计图得选择A 的人数为300，占比为15%，进而得接受调查的学生的总人数为2000，故选D 的人数为500，进而得E 的圆心角度数. 【详解】解：设接受调查的学生的总人数为x ， 由调查结果条形图可知选择A 的人数为300，通过调查结果的扇形统计图可知：选择A 的人数比例为15%， 所以30015%x=，解得2000x =， 而选择D 的人数为：200025%500⨯=，扇形统计图中E 的圆心角度数为：(115%12%40%25%)36028.8︒︒----⨯=.故选：A. 【点睛】本题考查扇形统计图与条形统计图的应用，考查数据分析与处理，是中档题. 7．已知M 为抛物线2:4C x y =上一点，C 在点M 处的切线11:2l y x a =+交C 的准线于点P ，过点P 向C 再作另一条切线2l ，则2l 的方程为（ ） A ．1124y x =-- B ．122y x =-+ C ．24y x =-+ D ．24y x =--【答案】D【解析】先根据C 在点M 处的切线11:2l y x a =+，求出a 的值，再求得点3,12P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后再求过点P 抛物线的切线方程. 【详解】设()00,M x y ，由题意知，214y x =，则12y x '=， C 在点M 处的切线11:2l y x a =+，所以001122x x y x =='=所以01x = ，则11,4M ⎛⎫⎪⎝⎭， 将11,4M ⎛⎫⎪⎝⎭代入11:2l y x a =+的方程可得14a =-，即111:24l y x =- 抛物线2:4C x y =的准线方程为：1y =- 则3,12P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.设2l 与曲线C 的切点为()00,N x y ， 则20000011(1)433222x x y x x +--==⎛⎫+-- ⎪⎝⎭，解得04x =-或01x =（舍去）， 则(4,4)N -，所以2l 的方程为24y x =--. 故选：D 【点睛】本题考查利用导数求曲线在某点和过某点的切线方程，属于中档题. 8．已知||||1CA CB ==，设2a CA CB =-，22b CA CB =+.若0a b ⋅=，则sin ,CA CB 〈〉的值为（ ）A．0 B ．2C ．1D ．1-【答案】C【解析】依题意设12,CA e CB e ==，由0a b ⋅=可得120e e ⋅=，从而得到1e ，2e 的夹角为2π，即可得解； 【详解】解：根据题意，设12,CA e CB e ==，则121e e ==，则122a e e =-，1222b e e =+.因为0a b ⋅=，即)()1212220e e e -⋅+=，即2211222220e e e e +-⋅=，所以120e e ⋅=，所以向量1e ，2e 的夹角为2π，sin 12π=.故选：C 【点睛】本题考查平面向量数量积的运算律，向量夹角的计算，属于中档题.9．如图，A ，B ，C ，D 四点共圆，,DA DC BAD DAC ⊥∠=∠，M ，N 在线段AC 上，且AM AB =，N 是MC 的中点.设,AC d DAC α=∠=，则下列结论正确的是（ ）A ．||sin2AB d α=⋅ B ．2||cos NC d α=⋅ C ．2||(||)2dDC d AB =⋅- D ．||cos BD d α=⋅【答案】C【解析】||cos2AB d α=⋅，故选项A 不正确；||||sin DC BD d α==，故选项D 不正确；2||sin NC d α=⋅，故选项B 不正确；2||(||)2dDC d AB =⋅-，故选项C 正确. 【详解】连接BC ，如图所示，易知AC 是圆的直径.因为BAD DAC α∠=∠=，所以2BAC α∠=. 在Rt ABC 中，||cos2AB d α=⋅， 故选项A 不正确；在Rt ADC 中，||sin DC d α=⋅.又因为BAD DAC ∠=∠，所以||||sin DC BD d α==， 故选项D 不正确；211||(||)(||)(1cos2)sin 222dNC d AM d AB d αα=-=-=⋅-=⋅，故选项B 不正确；因为BAD DAC ∠=∠，所以||BD DC =.又因为AM AB =，易知ADB △与ADM △全等，所以||||BD DM =， 所以||DC DM =.又因为N 是MC 的中点，所以DN CM ⊥， 所以Rt DNC Rt ADC ∽，所以||||||||DC NC AC DC =，所以2||||||(||)2d DC AC NC d AB =⋅=⋅-， 故选项C 正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查几何选讲和三角函数，考查二倍角的余弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．在菱形ABCD 中，4,60AB A ︒=∠=，将ABD △沿对角线BD 折起使得二面角A BD C --的大小为60°，则折叠后所得四面体ABCD 的外接球的半径为（ ）A ．B C D 【答案】A【解析】根据题意做出图形，取OC 上离O 点近的三等分点记为E ，取OA 上离O 点近的三等分点记为F ，自这两点分别作平面BDC 、平面ABD 的垂线，交于点P ，则P 就是外接球的球心，连接OP ，CP ，再根据几何关系计算即可得答案. 【详解】解：如图，取BD 的中点记为O ，连接OC ，OA ，根据题意需要找到外接球的球心， 取OC 上离O 点近的三等分点记为E ，同理取OA 上离O 点近的三等分点记为F ， 自这两点分别作平面BDC 、平面ABD 的垂线，交于点P ， 则P 就是外接球的球心，连接OP ，CP ，由菱形的性质得AOC ∠就是二面角A BD C --的平面角， 所以AOC △是边长为34232⨯=33OE =. 在POE △中，30POE ︒∠=， 所以23PE =.又433CE =， 所以133PC R ==. 故选：A. 【点睛】本题考查几何体的外接球的半径求解，考查空间思维能力，是中档题.11．已知函数2(),()2ln ,()4x f x e g x x h x x x m ===-+，直线1x t =分别交函数()f x 和()g x 的图象于点A 和点B .若对任意12,[1,]t t e ∈都有()2||AB h t >成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(),2ee -∞+ B ．(,4)e -∞+ C ．()2,5e e-∞-D ．(,3)e -∞+【答案】D【解析】先根据题意将恒成立问题转化成最值问题，再利用导数求最值，计算参数范围即可. 【详解】由题意，直线1x t =分别交函数()f x 和()g x 的图象于点A 和点B ，故||2ln xAB e x =-设()()2ln 1xF x e x x e =-≤≤，则问题可以转化为在区间[1,]e 内min max ()()F x h x >.因为12()20xF x e e x'=-->，所以()F x 在[1,]e 上单调递增，故min ()(1)F x F e ==.因为2()4h x x x m =-+，其对称轴2x =，所以在区间[1,]e 上，(1)()f f e > 即max ()(1)143h x h m m ==-+=-，所以e 3m >-，即3m e <+.故选：D. 【点睛】本题考查了恒成立问题，考查了利用导数求函数最值和利用二次函数求最值，属于中档题.12．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若2021220210122021(12)x b b x b x b x -=++++，数列{}n a 的首项12202111122021,222n n n b b b a a S S ++=+++=⋅，则2021S =（ ） A ．12021-B ．12021C ．2021D ．2021-【答案】A【解析】通过对二项展开式赋值12x =求解出1a 的值，然后通过所给的条件变形得到1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，从而求解出{}n S 的通项公式，即可求解出2021S 的值. 【详解】令12x =，得202112202102202111202222b b b b ⎛⎫-⨯=++++= ⎪⎝⎭. 又因为01b =，所以1220211220211222b b b a =+++=-. 由111n n n n n a S S S S +++==-，得111111n n n n n n S S S S S S +++-=-=，所以1111n n S S +-=-， 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111S =-，公差为1-的等差数列，所以11(1)(1)nn n S =-+-⋅-=-， 所以1n S n =-，所以202112021S =-.故选：A. 【点睛】本题考查二项展开式与数列的综合运用，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.解答问题时注意11n n n a S S ++=-的运用.二、填空题13．若实数x ，y 满足2,,3,x y y x x +⎧⎪≤⎨⎪⎩则232z y x =-+的最小值为__________.【答案】9-【解析】化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合找到最优解，联立方程组求出最优解的点的坐标，代入目标函数即可求出结果. 【详解】 由约束条件作出由232z y x =-+，得3222z y x -=+， 作直线3:2l y x =，将直线l 平移经过M 点时在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值. 联立203x y x +-=⎧⎨=⎩ 解得：(3,1),M -代入232z y x =-+可得：min 9z =- 故答案为：9-【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，属于基础题.14．在ABC 中，14,6,cos 3AB BC B ===-，则ABC 的外接圆的半径等于___________.【解析】先由余弦定理求出AC =sin B =，再由正弦定理可得答案. 【详解】在ABC中，易求sin 3B =.又6,4BC AB ==， 由余弦定理可得2222212cos 64264683AC BC AB BC AB B ⎛⎫=+⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭-，解得AC =设ABC 外接圆的半径为r，则由正弦定理，得2sin 3AC r B ===，所以4r =.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形和利用正弦定理求三角形外接圆的半径，属于中档题. 15．已知甲有2张印着数字2的卡片，乙有3张印着数字2的卡片和3张印着数字3的卡片，乙先从自己的卡片中任选2张卡片给甲，甲再从现有的卡片中任选2张还给乙，每张卡片被选中的可能性都相等，则甲给乙的两张卡片都印着数字2的概率为__________. 【答案】815【解析】分三种情况：①乙选两张印着数字3的卡片给甲；②乙选1张印着数字2和1张印着数字3的卡片给甲；③乙选2张印着数字2的卡片给甲，分别计算概率即可. 【详解】可分为三种情况：①乙选两张印着数字3的卡片给甲；②乙选1张印着数字2和1张印着数字3的卡片给甲；③乙选2张印着数字2的卡片给甲，所以2211223233332222264646C C C C C C 1681C C C C C 3015P =⨯+⨯+⨯==.故答案为：815【点睛】本题考查概率的计算，考查互斥事件与相互独立事件的概率计算，考查分类讨论的思想.16．过椭圆2221(1)x y a a+=>上一点P 及坐标原点O 作直线l 与圆2221x y a +=+交于A ，B 两点.若存在一点P 满足2||||1a PA PB =+，则实数a 的取值范围是_________.【答案】[2,)+∞【解析】将||||PA PB 整理化简得22||||1||PA PB a OP =+-结合22||1,OP a ⎡⎤∈⎣⎦，得21||||PA PB a ≤⋅≤，即可得2211a a ≤-≤，解不等式即可. 【详解】 如图所示：22||||(||||)(||||)1||PA PB OA OP OA OP a OP =-+=+-.又因为22||1,OP a ⎡⎤∈⎣⎦，所以21||||PA PB a ≤⋅≤.若存在一点P ，使得2||||1a PA PB =+，即2211a a ≤-≤，解得2a ≥故答案为：2,)+∞ 【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，涉及不等式的性质，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()1,3n n S ++在抛物线2y x 上.（1）求n a ；（2）求数列{}9n a -的前n 项和n T .【答案】（1）21,2,1, 1.n n n a n +⎧=⎨=⎩；（2）2272,4,726, 5.n n n n T n n n ⎧-++=⎨-+⎩. 【解析】（1）由条件可得222n S n n =+-，当1n =时，111a S ==；当2n 时，由1n n n a S S -=-可求出答案.（2）28,2,98, 1.n n n a n -⎧-=⎨-=⎩,分4n 和5n ，分别求和，得出答案.【详解】解：（1）因为点()1,3n n S ++在抛物线2yx 上，所以23(1)n S n +=+，所以222n S n n =+-. 当1n =时，111a S ==； 当2n 时()22122(1)2(1)221n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦.所以21,2,1, 1.n n n a n +⎧=⎨=⎩（2）易求28,2,98, 1.n n n a n -⎧-=⎨-=⎩当4n 时，22922972n n T S n n n n n n =-+=--++=-++； 当5n 时，[]()22449(4)142222936726n n T T S S n n n n n n =+---=++---+=-+. 综上，2272,4,726, 5.n n n n T n n n ⎧-++=⎨-+⎩【点睛】本题考查根据前n 项和求通项公式，等差数列加绝对值的求和问题.属于中档题.18．近年来，随着我国社会主义新农村建设的快速发展，许多农村家庭面临着旧房改造问题，为此某地出台了一项新的政策.为了解该地农村家庭对新政策的满意度，进行了相关调查，并从参与调查的农村家庭中抽取了200户进行抽样分析，其中，非务农户中对新政策满意的占7，而务农户中对新政策满意的占1.（1）完成上面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地农村家庭的工作方式与对新政策的满意度有关（结果精确到0.001）？（2）若将频率视为概率，从该地区的农村家庭中采用随机抽样的方法，每次抽取1户，抽取5次，记被抽取的5户中对新政策满意的人数为X，每次抽取的结果相互独立，求X的分布列和数学期望.附表：2.072参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）填表见解析；能；（2）分布列见解析；期望为3.【解析】（1）根据题意补全列联表，再根据独立性检验的知识求解即可；（2）根据题意从该地区农村家庭中随机抽取一户，对新政策满意的概率是35，随机变量满足二项分布，即：3~5,5X B⎛⎫⎪⎝⎭，再根据二项分布的知识求解即可.【详解】解：（1）根据已知数据得到如下列联表：根据列联表中的数据，得到2K 的观测值2200(70503050)258.333 6.635100*********k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地农村家庭的工作方式与对新政策的满意度有关.（2）由列联表中的数据可知，对新政策满意的农村家庭的频率是12032005=，将频率视为概率，即从该地区农村家庭中随机抽取一户，对新政策满意的概率是35.由题意知3~5,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，05053232(0)C 553125P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 141532240(1)C 553125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 232532720(2)C 553125P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3235321080(3)C 553125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 414532810(4)553125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 505532243(5)553125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列为3()535E X np ==⨯=.【点睛】本题考查独立性检验，二项分布，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题. 19．如图，四边形ABCD 是菱形，2,22,AB AP BG DE DE ===⊥平面ABCD .（1）证明：P ，E ，C ，G 四点共面.（2）若2,23PA AC ==，求二面角P CE D --的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）15. 【解析】（1）取PA 的中点M ，根据条件可证明四边形PMBG 和四边形MECB 是平行四边形，利用平行的传递性可证明四边形PGCE 是平行四边形，从而证明四点共面；（2）由菱形和AC 的长，可求出60BAD ︒∠=，又AP ⊥平面ABCD ，可建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求出二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：如图，取PA 的中点M ，连接,EM BM . 因为22AP BG MP ==，所以MP BG =， 所以四边形PMBG 是平行四边形， 所以PG MB =.由题意知,ME AD AD BC ==，所以ME BC =， 所以四边形MECB 是平行四边形， 所以MB EC =，所以PG EC = 所以四边形PGCE 是平行四边形， 所以P ，E ，C ，G 四点共面.（2）解：因为DE⊥平面ABCD，//AP DE，所以AP⊥平面ABCD.在ABC中，由余弦定理得2222222(23)23cos222223AB AC BCBACAB AC+-+-∠===⋅⨯⨯，所以30BAC︒∠=，所以60BAD︒∠=.以A为坐标原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz-.则(0,0,2),(3,3,0),(0,2,1),(0,2,0),(3,3,2),(3,1,1),(0,0,1) P C E D PC CE DE=-=--=设平面PCE的法向量为()111,,n x y z=，则0,0,n PCn CE⎧⋅=⎨⋅=⎩即1111113320,30.x y zx y z⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩令11y=，得1132,xz⎧=⎪⎨⎪=⎩所以3,1,2n⎛⎫= ⎪⎝⎭.设平面CDE的法向量为()222,,m x y z=，则0,0,m DEm CE⎧⋅=⎨⋅=⎩即22220,30.zx y z=⎧⎪⎨--+=⎪⎩令21x=，得223,0,yz⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以(1,3,0)m=-.设二面角P CE D--的平面角为θ，所以222223131013cos,4||||3121(3)3n mn mn m⨯+⋅〈〉===⎛⎫++⨯+⎪⎝⎭，所以2115sin 144θ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以二面角P CE D --的正弦值为15. 【点睛】本题考查空间向量求二面角，考查证明点共面，考查学生的空间想象能力以及计算能力，熟记定理和公理是解决立体几何证明的关键，本题属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是32，短轴长为2，A ，B 分别是E的左顶点和下顶点，O 为坐标原点. （1）求E 的标准方程；（2）设点M 在E 上且位于第一象限，ABM 的两边BM 和AM 分别与x 轴、y 轴交于点C 和点D ，求CDM 的面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）21-. 【解析】（1）先由短轴长得b ，再根据条件列,a c 关系，计算即得结果；（2）先数形结合可知CDM 的面积是ABM 面积减去四边形ABCD 的面积S ，分别计算S 为定值和ABM 面积最大值即求得CDM 的面积最大值. 【详解】解：（1）因为椭圆E 的离心率32c e a ==，短轴长为2，所以1b =. 又因为222a b c =+，解得2,3a c ==.故椭圆E 的方程为2214x y +=；（2）如图所示，设点()()0000,02,01,(,0),(0,)M x y x y C m D n <<<<.(2,0)A -，且A ，D ，M 三点共线，0022y nx ∴=+，得00202y n x =>+，又()0,1B -所以00000222||1122y x y BD n x x ++==+=+=++， 同理得00022||1x y AC y ++=+，又AC BD ⊥，因此四边形ABCD 的面积1||||2S AC BD =⋅00000012222221x y x y x y ++++=⋅⋅++()()()2000022221x y x y ++=++()22000000000044484222x y x y x y x y x y +++++=+++.又因为点()00,M x y 在椭圆上，所以220014x y +=，即220044x y +=，代入上式得()0000000044882222x y x y S x y x y +++==+++.设过点M 且与直线AB 平行的直线l 的方程为1(0)2y x t t =-+>， 当l 与椭圆相切时，M 到AB 的距离d 最大，为两平行线之间的距离，得ABM 面积最大.联立221,21,4y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得222220x tx t -+-=，所以()22(2)4220t t ∆=--=，解得t =.所以直线l的方程为20x y +-=，即min d =所以()max 112ABM S==+. 所以CDM的面积的最大值为(121+-=.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了椭圆中三角形面积的最值问题，属于中档题.21．已知函数22()(, 2.718)xx a f x a R e e-+=∈=.（1）求()f x 的单调区间.（2）若()f x 在区间21,1a e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭上不单调，证明：1111a a a +>-+. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）首先求函数的导数，再分1a ≤和1a >两种情况讨论求函数的单调区间；（2）结合题意分析可知1a a e -<+，由1x e a >+，可证明1111a a a +>-+，再利用分析法转化为证明11111a e a a -+>+-+，通过构造函数，利用导数证明不等式. 【详解】 （1）解：由题意，()222222()x x x x a x x a f x e e --+-++-'==， 令2()22,44g x x x a a =-++-∆=-.①当1a 时，0∆，此时()0f x '，函数()f x 在R 上单调递减；②当1a >时，>0∆，令()0g x =，则11x =21x =，当(,1x ∈-∞-时，()0f x '<，所以()f x 单调递减，当(1x ∈-+时，()0f x '>，所以()f x 单调递增，当(1)x ∈++∞时，()0f x '<，所以()f x 单调递减.综上所述，当1a 时，函数()f x 的单调递减区间为R ，无单调递增区间；当1a >时，函数()f x 的单调递减区间为(,1-∞-和(1)++∞，单调递增区间为(1+.（2）证明：由（1）知1a >，因为(1)0g >，所以210a g e -⎛⎫+< ⎪⎝⎭，得1a a e -<+， 要证1111a a a +>-+，只需证11111a e a a -+>+-+. 对于函数()1x h x e x =--，有()1x h x e '=-.因为()h x '在R 上单调递增，且(0)0h '=， 所以()h x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增，故()(0)0h x h =，即不等式1x e x +恒成立，当且仅当0x =时“=”成立，故当1a >时，1a e a >+，即11a e a ->+①. 因为1a a e -<+且1a >，所以1a a e --<， 可得11a e a >-，所以111e a >>-②. 由①+②得，11111a e a a -+>+-+， 故1111a a a +>-+得证. 【点睛】本题考查导数与函数的综合应用，重点考查转化思想，逻辑推理能力，计算能力，属于难题，本题的难点是第二问，需构造函数()1xh x e x =--，通过分析函数的性质，以及转化变形，证明不等式. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,12sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，a R ∈）. （1）若1a =，求1C 的普通方程；（2）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为3cos 4sin 10ρθρθ+-=，若1C 与2C 相切，求实数a 的值.【答案】（1）22(1)(1)4x y -+-=；（2）73a =或133a =-. 【解析】（1）消去参数θ，直接可得曲线1C 的普通方程；（2）将参数方程，极坐标方程都化为普通方程，由直线与圆相切列方程即可得a 值.【详解】（1）当1a =时，曲线1C 的参数方程为12cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），消去θ， 所以22(1)(1)4x y -+-=；（2）曲线1C 的参数方程为2cos ,12sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）， 消去θ可得22()(1)4x a y -+-=，所以曲线1C 是圆心为(,1)a ，半径为2的圆，曲线2C 的极坐标方程为3cos 4sin 10ρθρθ+-=，可化为3410x y +-=， 若1C 与2C 相切，则1C 的圆心到2C 的距离等于1C 的半径，即2d ==， 解得：73a =或133a =-. 【点睛】 本题考查参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，考查直线与圆的位置关系，考查了转化与化归的思想.23．已知函数()2123f x x x =-++.（1）求不等式21239x x -++≤的解集；（2）若关于x 的方程2()30f x k k -+=有实数解，求实数k 的取值范围.【答案】（1）11744x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）{1k k ≤-或}4k ≥. 【解析】（1）分类讨论法去绝对值、解不等式组、求并集即可；（2）将问题转化为方程()f x =23k k -有解，再根据绝对值三角不等式求最小值，列不等式求解，即可得答案.【详解】（1）原不等式等价于12(21)(23)9x x x ⎧>⎪⎨⎪-++≤⎩或3122(21)(23)9x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--++≤⎩或32(21)(23)9x x x ⎧<-⎪⎨⎪---+≤⎩ 解得1724x <≤或3122x -≤≤或11342x -≤<-， 所以不等式的解集为11744x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）因为212321234x x x x -++≥---=，方程2()30f x k k -+=有解，关于x 的方程2()30f x k k -+=有实数解，只需234k k -≥，解得1k ≤-或4k ≥.所以实数k 的取值范围为{1k k ≤-或}4k ≥.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，方程有解问题，考查数学运算能力与化归转化思想，是中档题.。
河北省衡水市五校2021届高考数学联考试卷(一)(含答案解析)
河北省衡水市五校2021届高考数学联考试卷(一)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x|−4<x<1}，B={x|−3<x<2}，则A∩B等于()A. {x|−3<x<1}B. {x|1<x<2}C. {x|x>−3}D. {x|x<1}2.(−1+√3i2)2015=()A. −1+√3i2B. −1−√3i2C. −1D. 13.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷500次，那么第499次出现正面朝上的概率是()A. 1499B. 1500C. 499500D. 124.已知镭经过100年，剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年的剩留量为y，则y与x的函数关系是()A. y=0.9576B. y=0.9576100xC. y=(0.9576%) xD. y=1−0.04245.函数f(x)=2sin|x|−1x2的部分图象大致为()A. B.C. D.6.已知cosα<0，tan2α>0，则在(0,π)内，α的取值范围是()A. (0,π4) B. (π2,3π4) C. (3π4,π) D. (π2,π)7.在△ABC中，若∠B=30°，AB=2√3，AC=2，则△ABC的面积为()A. √3B. 2√3或√2C. 2√3或√3D. 2√38.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)=x 3−x，则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()A. 6B. 7C. 8D. 9二、多选题（本大题共4小题，共12.0分） 9.已知由样本数据(x 1,y 1)(i =1,2，3，…，8)组成的一个样本，得到回归直线方程为y ̂=2x −0.4且x −=2，去除两个歧义点(−2,7)和(2,−7)后，得到新的回归直线的斜率为3.则下列说法正确的是( )A. 相关变量x ，y 具有正相关关系B. 去除歧义点后的回归直线方程为y ̂=3x −3.2C. 去除歧义点后，随x 值增加相关变量y 值增加速度变小D. 去除歧义点后，样本(4,8.9)的残差为0.1(附：e ̂1=y 1−y i ̂)10. 函数y =f(x)图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y =f(x)为奇函数．有同学据此推出以下结论，其中正确的是( )A. 函数y =f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的图形的充要条件是为奇函数B. f(x)=x 3−3x 2的图象的对称中心为(1,−2)C. 函数y =f(x)的图象关于x =a 成轴对称的充要条件是函数y =f(x −a)是偶函数D. g(x)=|x 3−3x 2+2|是关于x =1对称11. 已知函数f(x)=2lnx +1x ，数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=2，a n+1=f(a n )(n ∈N ∗)，则下列有关数列{a n }的叙述正确的是( )A. a 2<a 1B. a n >1C. S 100<100D. a n ⋅a n+1+1<2a n12. 已知抛物线C 1 ： y 2=2x ，C 2 ： y 2=2ax(a >0)，C 3 ： y 2=2bx(b >0)，若直线l ：y =kx与C 1交于O ，A 两点、与C 2交于O ，B 两点、与C 3交于O ，M 两点，则下列说法正确的是( )A. b =1+a 2时，|OM|=|OA|+|OB|2B. b =√a 时，|OM|2=|OA|⋅|OB|C. b =2a 1+a 时，1|OM|=1|OA|+1|OB| D. b =√1+a 22时，|OM|2=|OA|2+|OB|22三、单空题（本大题共3小题，共15.0分） 13. 已知双曲线x 2m−y 2=1和椭圆x 212+y 24=1焦点相同，则该双曲线的方程为______．14. 已知甲、乙、丙、丁、戊五名同学全部分到A ，B 两个班级，若甲必须在A 班，且每班至少有这五名中的2人，则不同的分配方案有______种．15. 已知函数f(x)=lnx −x 3与g(x)=x 3−ax ，若函数f(x)图象上存在点P ，且点P 关于x 轴对称点Q 在函数g(x)图象上，则实数a 的取值范围为______． 四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 已知点P(3,4)和圆C ：(x −2)2+y 2=4，A ，B 是圆C 上的两个动点，且|AB|=2√3，则圆心到直线AB 的距离d = (1) ；OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(O 为坐标原点)的取值范围是 (2) ． 五、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知△ABC 中的周长为√2+1，且sinB +sinC =√2sinA (1)求边BC 的长；(2)若△ABC 面积为16sinA ，求角A 度数．18. 已知数列{a n }是以1为首项的等差数列，数列{b n }是以q(q ≠1)为公比的等比数列，且a 2=b 1，a 3−a 1=b 2−b 1，a 2b 2=b 3． (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)若S n =a 1b n +a 2b n−1+⋯+a n−1b 2+a n b 1，求S n ．19. 在三棱锥S −ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，AC =2，BC =√13，SB =√29． (1)求证：SC ⊥BC ；(2)求SC 与AB 所成角的余弦值．20. 2019年春节期间，当红影视明星翟天临“不知‘知网’”学术不端事件在全国闹得沸沸扬扬，引发了网友对亚洲最大电影学府北京电影学院乃至整个中国学术界高等教育乱象的反思，为进一步端正学风，打击学术造假行为，教育部日前公布的2019年部门预算中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文6000篇，预算为800万元，国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3为同行专家进行评议，3位专家中有2位以上(含2位)专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学位论文”；有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进行复评，2为复评专家中有1位以上(含1位)专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为p(0<p<1)，且个篇论文是否被评议为“不合格”相互独立．(1)相关部门随机抽查了300位博士硕士论文，每人一篇，抽检是否合格，抽检得到的部分数据如表所示：通过计算说明是否有99.9%的把握认为论文是否合格与作者的学位高低有关系？(2)若p=12，记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为p0，求p0的值；(3)若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其他费用总计为100万元，现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算？并说明理由．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d临界值表：21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，且AB=2，离心率为√32，O为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设P，Q是椭圆C上的两个动点(不与A，B重合)，且关于y轴对称，M，N分别是OP，BP的中点，直线AM与椭圆C的另一个交点为D.求证：D，N，Q三点共线．22.已知函数f(x)=xlnx−ax2，g(x)=f′(x)．(1)若a≥12，试判断函数g(x)的零点个数；(2)若函数f(x)在定义域内不单调且在(2,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵A={x|−4<x<1}，B={x|−3<x<2}，∴A∩B={x|−3<x<1}．故选：A．由A与B，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：(−1+√3i2)2015=[(−12+√32i)3]671⋅(−12+√32i)2=1×(−12+√32i)2=−12−√32i．故选：B．由−12+√32i为1的一个立方虚根，把要求值的式子变形化简．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了互为共轭复数的概念，是基础的计算题．3.答案：D解析：解：抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第499次，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每中结果等可能出现由古典概率的等可能性知，每一次出现正面向上的概率都相等．故所求概率为12故选：D简化模型，只考虑第499次出现的结果，有两种结果，第499次出现正面朝上只有一种结果，即可求本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率的求解，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．4.答案：A解析：解：设衰变率为a，则(1−a)100=0.9576，得1−a=0.95761100，则．故答案选：A．5.答案：A解析：解：因为f(−x)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，故排除C，D；∵f(π6)=0，且0<x<π6时，f(x)<0，∴排除B．故选：A．由函数为偶函数，排除CD，由f(π6)=0，且0<x<π6时，f(x)<0，排除B．本题考查由函数解析式确定函数图象，通常从单调性，奇偶性，特殊点等角度，运用排除法求解，属于基础题．6.答案：B解析：解：∵cosα<0，∴2kπ+π2<α<2kπ+3π2，k∈Z，∴在(0,π)内，α的取值范围是(π2,π)∵tan2α>0，∴2kπ<2α<2kπ+π2，或2kπ+π<2α<2kπ+3π2，k∈Z，可解得：kπ<α<kπ+π4或kπ+π2<α<kπ+3π4，k∈Z∴在(0,π)内，α的取值范围是(0,π4)∪(π2,3π4)综上可得，在(0,π)内，α的取值范围是(π2,3π4).故选：B．由cosα<0，可解得在(0,π)内，α的取值范围是(π2,π)，由tan2α>0可解得在(0,π)内，α的取值范围是(0,π4)∪(π2,3π4)，取交集即可得到在(0,π)内，α的取值范围是(π2,3π4).本题主要考察了三角函数值的符号的确定，属于基本知识的考查．7.答案：C解析：解：∵△ABC中，B=30°，AB=2√3，AC=2，∴2√3sinC =2sin30°，∴sinC=√32，∴C=60°或120°，∴A=90°或30°，∴△ABC的面积为12⋅AB⋅AC⋅sinA=2√3或√3．故选：C．利用正弦定理，求出C ，从而可求A ，利用△ABC 的面积12⋅AB ⋅AC ⋅sinA ，即可得出结论 本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．8.答案：B解析：当0≤x <2时，令f (x )=x 3−x =0，得x =0或x =1． 根据周期函数的性质，由f (x )的最小正周期为2， 可知y =f (x )在[0,6)上有6个零点， 又f (6)=f (3×2)=f (0)=0，所以f (x )在[0,6]上与x 轴的交点个数为7．9.答案：ABD解析：解：由x −=2，代入y ̂=2x −0.4，得y −=2×2−0.4=3.6， ∴去除两个歧义点(−2,7)和(2,−7)后， 得到新的x −=2×86=83，y −=3.6×86=4.8，又得到新的回归直线的斜率为3，∴新的线性回归方程的a ̂=4.8−3×83=−3.2，则去除两个歧义点后的线性回归方程为y ̂=3x −3.2，故B 正确； 又由斜率3>1，相关变量x ，y 具有正相关关系，故A 正确；且去除歧义点后，随x 值增加相关变量y 值增加速度变大，故C 错误；当x =4时，y ̂=3×4−3.2=8.8，则去除歧义点后，样本(4,8.9)的残差为8.9−8.8=0.1，故D 正确． 故选：ABD ．由已知求得y −，进一步求出去除歧义点后的x 与y 的平均数，结合新的回归直线的斜率求a ̂，则线性回归方程可求，然后逐一分析四个选项得答案．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．10.答案：BD解析：解：对于A ，函数y =f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的图形的充要条件是是为奇函数，说法错误，比如函数y=(x−1)3的图象关于点(1,0)成中心对称的图形，但是函数y=(x−1)3不是奇函数，A 错误；对于B，f(x)=x3−3x2=(x−1)3−3(x−1)−2，函数y=x3为奇函数，其图象关于原点对称，而函数f(x)=x3−3x2的图象是由函数y=x3的图象向右平移一个单位，向下平移两个单位得到，故f(x)=x3−3x2的图象的对称中心为(1,−2)，B正确；对于C，因为函数y=f(x)的图象关于x=0成轴对称的充要条件是函数y=f(x)是偶函数，所以函数y=f(x)的图象关于x=a成轴对称的充要条件是函数y=f(x+a)是偶函数，因此C不正确；对于D，作出函数的图象，如图所示：由图可知，D正确．故选：BD．对于A，说法错误，比如函数y=(x−1)3的图象关于点(1,0)成中心对称的图形，但是函数y=(x−1)3不是奇函数；对于B，f(x)=x3−3x2=(x−1)3−3(x−1)−2，函数y=x3为奇函数，其图象关于原点对称，根据平移变换即可判断出正误；对于C，因为函数y=f(x)的图象关于x=0成轴对称的充要条件是函数y=f(x)是偶函数，即可判断出正误；对于D，作出函数的图象，如图所示：即可判断出正误．本题主要考查充要条件的判断，以及函数对称性，奇偶性的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：AB解析：解：A选项，a2=2ln2+12=ln4+12<lne32+12=2，A正确；B选项，因为f′(x)=2x −1x2=2x−1x2，所以当x>1时，f(x)单增，所以f(x)>f(1)=1，因为a1=2>1，所以a n+1=f(a n)>1，所以a n>1，B正确；C选项，因为a n>1，所以S100>100，C错误；D选项，令ℎ(x)=lnx+1x −1(x>1)，ℎ′(x)=1x−1x2=x−1x2>0，所以ℎ(x)在(1,+∞)单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(1)=0，所以lna n +1a n−1>0，则2lna n +2a n−2>0，所以(2lna n +1a n)+1a n>2，即a n+1+1a n>2，所以a n a n+1+1>2a n ，所以D 错误． 故选：AB ．利用数列与函数的关系，推出第二项与第一项的关系，判断A ；通过函数的导数，判断函数的单调性，推出a n >1，判断B ；利用数列的和判断C ；利用函数的导数判断函数的单调性，结合数列与函数的关系推出a n a n+1+1>2a n ，判断D ．本题考查数列与函数的综合应用，函数的导数以及函数的单调性的判断，考查转化思想以及计算能力，是难题．12.答案：ABD解析：解：联立{y =kx y 2=2x 可得k 2x 2=2x ，所以可得A(2k 2,2k )；同理可得B(2a k 2,2ak)，M(2b k 2,2b k)，A 中，b =1+a 2，所以可得2b =a +1，因为|OM|=√4b 2k 4+4b 2k 2=2b k 2√1+k 2， 而|OA|=√4k 4+4k 2=2k 2√1+k 2，|OB|=√4a 2k 4+4a 2k 2=2a k 2√1+k 2，所以|OA|+|OB|2=1+a k 2√1+k 2=2bk 2√1+k 2=|OM|，所以A 正确；B 中，由b =√a ，所以b 2=a ，因为|OM|2=4b 2k 4(1+k 2)=4ak 2(1+k 2)，而|OA|⋅|OB|=2k 2√1+k 2⋅2ak 2√1+k 2=4ak 4(1+k 2)， 所以|OM|2=|OA|⋅|OB|，所以B 正确； C 中，b =2a 1+a，所以1b =1+a2a，所以1|OM|=22b√1+k 2=24a√1+k 2， 而1|OA|+1|OB|=22√1+k 2+22a√1+k 2=22a√1+k 2， 显然1|OM|≠1|OA|+1|OB|，所以C 不正确； D 中，b =√1+a 22所以b 2=1+a 22，所以|OM|2=(√4b 2k 4+4b 2k 2)2=(2b k 2√1+k 2)2=4b 2(1+k 2)k 4=2(1+a 2)(1+k 2)k 4，而|OA|2+|OB|22=4(1+k2)k4+4a2(1+k2)k42=2(1+a2)(1+k2)k4，所以|OM|2=|OA|2+|OB|22，所以D正确．故选：ABD．将直线l与3个抛物线联立求出A，B，M的坐标，分别由给出的b与a的关系求出|OM|，|OA|，|OB|的值，进而判断所给命题的真假．本题考查直线与抛物线相交求交点的方法及两点间的距离的求法，命题的真假的判断方法，属于中档题．13.答案：x27−y2=1解析：本题考查椭圆和双曲线的概念和几何性质，属于简单题．根据题意，求出椭圆的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得m+1=8，解可得m的值，将m的值代入双曲线的方程，即可得答案．解：根据题意，椭圆x212+y24=1的焦点在x轴上，且其焦点坐标为(±2√2,0)，若双曲线x2m −y2=1和椭圆x212+y24=1焦点相同，则有m+1=8，解得m=7；则双曲线的方程为：x27−y2=1．故答案为：x27−y2=1．14.答案：10解析：解：根据题意，分2步进行分析：①，将5人分为人数为2、3的两组，有C52=10种分法，②，将甲所在的组安排到A班，剩下的1组安排到B班，有1种情况，则有10×1=10种不同的安排方法；故答案为：10．根据题意，分2步进行分析：①，将5人分为人数为2、3的两组，②，将甲所在的组安排到A班，剩下的1组安排到B班，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．15.答案：(−∞,1e].解析：解：函数f(x)=lnx −x 3与g(x)=x 3−ax 的图象上存在关于x 轴的对称点，∴f(x)=−g(x)在(0,+∞)上有解，即lnx −x 3=−x 3+ax 在(0,+∞)上有解，∴lnx =ax ，在(0,+∞)上有解，分别设y =lnx ，y =ax ，若y =ax 为y =lnx 的切线，则y′=1x ， 设切点为(x 0,y 0)，则a =1x 0，ax 0=lnx 0， ∴x 0=e ，∴a =1e ，结合图象可知，a ≤1e ．故答案为：(−∞,1e ].由题意可知f(x)=−g(x)有解，即y =lnx 与y =ax 有交点，根据导数的几何意义，求出切点，结合图象，可知a 的范围．本题考查导数的几何意义，以及参数的取值范围问题，关键是转化为y =lnx 与y =ax 有交点，属于中档题． 16.答案：1[2,22]解析：解：①圆C ：(x −2)2+y 2=4的圆心为C(2,0)，半径为2，弦长|AB|=2√3，则圆心C 到直线AB 的距离为d =√22−(√3)2=1；②由题意知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，(M 是AB 的中点)，|CM|=1， 所以M 的轨迹是以C(2,0)为圆心，1为半径的圆，且M 的轨迹方程为：(x −2)2+y 2=1，令{x =2+cosθy =sinθ， 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(3,4)⋅(2+cosθ,sinθ)=12+(6cosθ+8sinθ)=12+10sin(θ+α)，tanα=34；所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )的最大值22，最小值2，其取值范围是[2,22]．故答案为：①1；②[2,22]．①根据圆C 的圆心到直线AB 的距离与半径和弦长的一半构成直角三角形，利用勾股定理求得结果； ②由题意知AB 的中点M 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，利用参数法求出OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )的最大、最小值即可．本题考查了平面向量的综合应用问题，是中档题．17.答案：解：(1)∵sinB +sinC =√2sinA∴由正弦定理，得b +c =√2a又∵△ABC 的周长a +b +c =√2+1，∴a +√2a =√2+1，解之得a =1，即BC 的长为1；(2)∵△ABC 面积为16sinA ，∴12bcsinA =16sinA ，可得bc =13由(1)的结论，得b +c =√2a =√2∴b 2+c 2=(b +c)2−2bc =43由余弦定理，得cosA =b 2+c 2−a 22bc =43−12×13=12 结合A 为三角形的内角，可得A =60°．解析：(1)利用正弦定理化简已知等式，得b +c =√2a ，与三角形的周长为√2+1联解可得a =1，即BC 的长为1；(2)根据三角形的面积公式算出bc =13，结合(1)的结论b +c =√2a =√2，算出b 2+c 2=43.再利用余弦定理的式子解出cos A 的值，即可得到角A 度数．本题给出三角形的周长和角的关系式，求边BC 的长并依此求角的大小．着重考查了正余弦定理解三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题． 18.答案：解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的首项为b 1，则a n =1+(n −1)d ，b n =b 1q n−1．依题意可得{1+d =b 12d =b 1(q −1)(1+d)b 1q =b 1q 2，解得d =1，b 1=2，q =2，所以a n =n ，b n =2n ．(2)S n =1×2n +2×2n−1+⋯+n ×21，①所以2S n =1×2n+1+2×2n +⋯+n ×22，②②−①可得，S n =2n+1+(2n +2n−1+⋯+22)−n ×21 =2n+2−42−1−2n =2n+2−(2n +4)． 解析：(1)根据依题意可得{1+d =b 12d =b 1(q −1)(1+d)b 1q =b 1q 2，解得即可，(2)利用错位相减法即可求出．本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和错位相减法，考查了运算能力，属于中档题 19.答案：解法一：如图，取A 为原点，AC 、AS 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系，∵AC =2，BC =√13，SB =√29，∴B(0,√17,0)、S(0,0，2√3)、C(2√1317,4√17,0)，SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√1317,√17,−2√3)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√1317,√17,0)．(1)∵SC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴SC ⊥BC ． (2)设SC 与AB 所成的角为α，∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√17,0)，SC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，|SC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√17，∴cosα=√1717，即为所求． 解法二：(1)∵SA ⊥面ABC ，AC ⊥BC ，AC 是斜线SC 在平面ABC 内的射影，∴SC ⊥BC ．(2)如图，过点C 作CD//AB ，过点A 作AD//BC 交CD 于点D ，连接SD 、SC ，则∠SCD 为异面直线SC 与AB 所成的角．∵四边形ABCD 是平行四边形，CD =√17，SA =2√3，SD =√SA 2+AD 2=√12+13=5，∴在△SDC 中，由余弦定理得cos∠SCD =√1717，即为所求． 解析：本题考查利用空间向量证明垂直和求夹角和距离问题，以及面面垂直的判定定理，体现了转化的思想方法，利用综合法求异面直线所成的角，关键是找出这个角，把空间角转化为平面角求解，体现了转化的思想，属中档题．解法一：(1)建立坐标系，写出有关点的坐标，B ，C ，S ，(1)要证SC ⊥BC ；只要证EF ⊥面PAB ，只要证SC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可； (2)要求异面直线SC 与AB 所成的角的余弦值，只要求SC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 所成角的余弦值即可；解法二：综合法证明，(1)要证SC ⊥BC ，只要证AC ⊥BC 即可；(2)要求SC 与AB 所成角的余弦值，通过平移找到SC 与AB 所成角，解三角形即可．20.答案：50解析：解：(1)根据题意，填写列联表如下；计算K 2=300×(150×50−50×50)2200×100×200×100=300×5000×5000200×100×200×100=18.75>10.828，所以有99.9%的把握认为论文是否合格与作者的学位高低有关系；(2)因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 32⋅p 2⋅(1−p)+C 33⋅p 3=3×(12)3+(12)3=12；一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 31⋅p ⋅(1−p)2⋅[1−(1−p)2]=3×(12)3×[1−(12)2]=932；所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为p 0=12+932=2532；(3)设每篇学位论文评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500；则P(X =1500)=C 31⋅p ⋅(1−p)2，P(X =900)=1−C 31⋅p ⋅(1−p)2；所以E(X)=900×[1−C 31⋅p ⋅(1−p)2]+1500×C 31⋅p ⋅(1−p)2=900+1800p(1−p)2； 令g(p)=p(1−p)2，p ∈(0,1)；则g′(p)=(1−p)2−2p(1−p)=(3p −1)(p −1)；所以当p ∈(0,13)时，g′(p)>0，g(p)在(0,13)上单调递增；当p ∈(13,1)时，g′(p)<0，g(p)在(13,1)上单调递减；所以g(p)的最大值为g(13)=427；所以实施此方案，最高费用为100+6000×(900+1800×427)×10−4=800(万元)．(1)根据题意，填写列联表，计算K 2的值，对照临界值得出结论；(2)分别计算一篇学位论文初评和复评被认定为“存在问题学位论文”的概率，再求和；(3)根据每篇学位论文评审费X 的可能取值，计算对应的概率值，求出E(X)，利用函数计算E(X)的最大值即可．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了概率与数学期望的计算问题，是中档题．21.答案：解：(Ⅰ)因为椭圆的焦点在x轴上，AB=2，离心率e=√32，所以b=1，ca =√32.所以由a2=b2+c2，得a2=4．所以椭圆C的标准方程是x24+y2=1．(Ⅱ)设点P的坐标为(x0,y0)，所以Q的坐标为(−x0,y0).因为M，N分别是OP，BP的中点，A(0,1)，B(0,−1)，所以M点的坐标为(x02 ,y02)，N点的坐标为(x02,y0−12)．所以直线AD的方程为y=y0−2x0x+1．代入椭圆方程x24+y2=1中，整理得[x02+4(y0−2)2]x2+8x0(y0−2)x=0．所以x=0，或x=8x0(2−y0)x02+4(y0−2)2=2x0(2−y0)5−4y0．所以y=y0−2x0⋅2x0(2−y0)5−4y0+1=−2y02+4y0−35−4y0．所以D的坐标为(2x0(2−y0)5−4y0,−2y02+4y0−35−4y0)．所以k QN=y0−12−y0x02+x0=−y0+13x0．又k QD=−2y02+4y0−35−4y0−y0 2x0(2−y0)5−4y0+x0=(y0+1)(2y0−3)3x0(3−2y0)=−y0+13x0=k QN．所以D，N，Q三点共线．解析：(Ⅰ)通过椭圆的焦点在x轴上，AB=2，离心率e=√32，求出a，b，然后求解椭圆方程．(Ⅱ)设点P 的坐标为(x 0,y 0)，所以Q 的坐标为(−x 0,y 0).求出M 点的坐标为(x 02 ,y02)，N 点的坐标为(x 02,y 0−12)，得到直线AD 的方程，代入椭圆方程．求出D 的坐标然后根据斜率相等证明D ，N ，Q 三点共线． 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．22.答案：解：(1)g(x)=f′(x)=lnx −2ax +1，令g(x)=0，即lnx =2ax −1，函数g(x)的零点个数即y =lnx 和y =2ax −1的图象的交点个数，设两者相切时的切点是(x 0,y 0)，则由2a =y′|x=x 0=1x 0且lnx 0=2ax 0−1得a =12， 如图所示：，由图象得a >12时，两函数的图象无交点，g(x)无零点， a =12时，两函数图象有1个交点，g(x)有1个零点． (2)由(1)得a ≥12时，g(x)无零点或1个零点，g(x)≤0，函数f(x)在定义域内递减，函数f(x)在定义域内不单调时，a <12，f(x)在(2,+∞)递减时，f′(x)≤0即g(x)≤0恒成立，由g(x)≤0得a ≥lnx+12x ，令ℎ(x)=lnx+12x ，则a ⩾ℎ(x)恒成立， ∵ℎ′(x)=−lnx 2x 2，∴x ∈(2,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减，g(x)<ℎ(2)，由a ⩾ℎ(x)恒成立，得a ≥ℎ(2)，解得：a ≥ln2+14，综上可得，实数a的取值范围是{a|ln2+14≤a<12}．解析：(1)首先求得函数g(x)的解析式，然后结合函数的解析式讨论函数的交点的个数即可；(2)结合(1)的结论将原问题转化为恒成立的问题，然后结合题意整理计算即可求得最终结果．本题考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的零点等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．。
河北省衡水市2021届新高考数学模拟试题(3)含解析
河北省衡水市2021届新高考数学模拟试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等； ④垂直于同一直线的两条直线必平行. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【解析】 【分析】用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对④进行判断. 【详解】①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确. ③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么 这两个角相等或互补，故③错误.④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误. 故选：B 【点睛】本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想.2．若424log 3,log 7,0.7a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】将a 化成以4 为底的对数，即可判断,a b 的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出,b c 与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系. 【详解】依题意，由对数函数的性质可得244log 3log 9log 7a b ==>=.又因为40440.70.71log 4log 7c b =<==<=，故a b c >>.故选:A. 【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.3．在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b +的最小值是（ ） A ．74B ．94C ．52D ．2【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案. 【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知：当8,10x y ==时，810z a b =+有最大值为40，即81040z a b =+=，故4520a b +=.()(511511254194525252020204b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当254b a a b =，即104,33a b ==时等号成立. 故选：B .【点睛】本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.4．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最小值等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【解析】 【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值． 【详解】解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩表示的平面区域（如图示：阴影部分）由200x y x y +-=⎧⎨-=⎩得(1,1)A ，由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-， 易知过点A 时直线在y 上截距最小， 所以3114min z =⨯+=． 故选：A ．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题． 5．在复平面内，复数z=i 对应的点为Z ，将向量OZ uuu r绕原点O 按逆时针方向旋转6π，所得向量对应的复数是（ ） A ．1322-+ B ．3122i -+ C ．1322-- D ．3122i -- 【答案】A 【解析】 【分析】由复数z 求得点Z 的坐标，得到向量OZ uuu r的坐标，逆时针旋转6π，得到向量OB uuu r 的坐标，则对应的复数可求. 【详解】解：∵复数z=i （i 为虚数单位）在复平面中对应点Z （0，1），∴OZ uuu r ＝(0，1)，将OZ uuu r 绕原点O 逆时针旋转6π得到OB uuu r ，设OB uuu r＝(a ，b)，0,0a b <>，则3cos 62OZ OB b OZ OB π⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r ，即3b =， 又221a b +=， 解得：13,2a b =-=， ∴132OB ⎛=- ⎝⎭u u u r ，对应复数为1322i -+. 故选：A. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题. 6．已知集合{}1A x x =<，{}1xB x e =<，则（ ） A ．{}1A B x x ⋂=< B ．{}A B x x e ⋃=< C ．{}1A B x x ⋃=< D ．{}01A B x x ⋂=<<【答案】C 【解析】 【分析】求出集合B ，计算出A B I 和A B U ，即可得出结论. 【详解】{}1A x x =<Q ，{}{}10x B x e x x =<=<，{}0A B x x ∴⋂=<，{}1A B x x ⋃=<.故选：C. 【点睛】本题考查交集和并集的计算，考查计算能力，属于基础题.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（ ）A ．32B ．5C ．26D ．7【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图，可得该几何体是一个三棱锥S ABC -，并且平面SAC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，过S 作SD AC ⊥，连接BD ，2,2,2,2AD AC BC SD ====，再求得其它的棱长比较下结论.【详解】如图所示：由三视图得：该几何体是一个三棱锥S ABC -，且平面SAC ⊥ 平面ABC ，AC BC ⊥， 过S 作SD AC ⊥，连接BD ，则2,2,2,2AD AC BC SD ==== ， 所以=+=2220BD DC BC ，226SB SD BD =+=，2222SA SD AD =+=2225SC SD AC =+=，该几何体中的最长棱长为26故选：C 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.8．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( ) A ．43π B ．16πC ．163π D ．323π 【答案】D 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =,由圆柱的表面积求出r ,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积. 【详解】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =, 因为圆柱的表面积公式为2=22S r rl ππ+圆柱表，所以222224r r r πππ+⨯=,解得2r =, 因为圆柱的体积公式为2=2V Sh r r π=⋅圆柱, 所以3=22=16V ππ⨯⨯圆柱,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的23， 所以所求圆柱内切球的体积为2232=16=333V V ππ=⨯圆柱.故选:D 【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.9．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3% 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案. 【详解】对A ，从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为41123=，故A 正确； 对B ，由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，故B 正确；对C ，12个月的PMI 值的众数为49.4%，故C 正确，； 对D ，12个月的PMI 值的中位数为49.6%，故D 错误 故选：D. 【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题. 10．已知函数2(0x y a a -=>且1a ≠的图象恒过定点P ，则函数1mx y x n+=+图象以点P 为对称中心的充要条件是( ) A ．1,2m n ==- B ．1,2m n =-= C ．1,2m n == D ．1,2m n =-=-【答案】A 【解析】 【分析】由题可得出P 的坐标为(2,1)，再利用点对称的性质，即可求出m 和n . 【详解】根据题意，201x y -=⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(2,1)，又1()1mx m x n mn y m x n x n +++-===+++ 1mn x n-+， 所以1,2m n ==-. 故选：A. 【点睛】本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题. 11．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ） A ．-1 B ．1C ．0D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.12．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．23B ．21C ．35D ．32【答案】B 【解析】 【分析】根据随机数表法的抽样方法，确定选出来的第5个个体的编号. 【详解】随机数表第1行的第4列和第5列数字为4和6，所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下46，64，42，16，60，65，80，56，26，16，55，43，50，24，23，54，89，63，21，…其中落在编号01，02，…，39，40内的有：16，26，16，24，23，21，…依次不重复的第5个编号为21. 故选：B 【点睛】本小题主要考查随机数表法进行抽样，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省衡水市2021届新高考数学一模试卷含解析
河北省衡水市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，,//,,,DC BE DC BE DC CB DC CA =⊥⊥22AB EB ==，则三棱锥E ABC -体积的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】B 【解析】 【分析】根据已知证明BE ⊥平面ABC ，只要设AC x =，则)2402BC x x =-<<，从而可得体积()222114466E ABC V x x x x -=-=- 【详解】因为,//DC BE DC BE =，所以四边形DCBE 为平行四边形.又因为,,,DC CB DC CA CB CA C CB ⊥⊥⋂=⊂平面ABC ，CA ⊂平面ABC ，所以DC ⊥平面ABC ，所以BE ⊥平面ABC .在直角三角形ABE 中，22AB EB ==， 设AC x =，则)2402BC x x =-<<，所以211422ABC S AC BC x x ∆=⋅=- 以()222114466E ABCV x x x x -=-=-又因为()22222442x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭，当且仅当()22222442x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭，即2x 时等号成立，所以()max 13E ABC V -=. 故选：B ． 【点睛】本题考查求棱锥体积的最大值．解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为x ，用建立体积V 与边长x 的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值． 2．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，43,25,AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π【答案】D 【解析】 【分析】根据底面为等边三角形，取BC 中点M ，可证明BC ⊥平面PAM ，从而BC PM ⊥，即可证明三棱锥P ABC -为正三棱锥.取底面等边ABC ∆的重心为O '，可求得P 到平面ABC 的距离，画出几何关系，设球心为O ，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积. 【详解】设M 为BC 中点，ABC ∆是等边三角形， 所以AM BC ⊥， 又因为PA BC ⊥，且PAAM A =，所以BC ⊥平面PAM ，则BC PM ⊥， 由三线合一性质可知,PB PA PC ==所以三棱锥P ABC -为正三棱锥，43,AB =25,PA PB PC === 设底面等边ABC ∆的重心为O '， 可得226433AO AM '==⨯=，2220162PO PA AO '=-'=-=， 所以三棱锥P ABC -的外接球球心在面ABC 下方，设为O ，如下图所示：由球的性质可知，PO ⊥平面ABC ，且,,P O O '在同一直线上，设球的半径为R ， 在Rt AOO ∆'中，222AO AO OO ='+'， 即()22162R R =+-， 解得5R =，所以三棱锥P ABC -的外接球表面积为24425100S R πππ==⨯=， 故选：D. 【点睛】本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高，属于中档题.3．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒ B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.4．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．(722+πB ．(1022+πC ．(1042+πD ．(1142+π【答案】C 【解析】 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可， 【详解】由题意可知几何体的直观图如图：上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥, 几何体的表面积为：1442223(1042)2ππππ+⨯⨯⨯=+， 故选：C 【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键. 5．已知函数()3cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数2()3g x m x=+的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 【答案】D 【解析】 【分析】由函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，得1m =，进而得()3sin cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用图像变换求解即可【详解】由函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，得233f m π⎛⎫=+⎪⎝⎭23322m m +=+1m =，所以()3sin cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2cos2g x x =，故只需将函数()f x 的图象上的所有点“先向左平移3π个单位长度，得2cos ,y x =再将横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变,得()2cos2g x x =”即可. 故选：D 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题6．已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是3y x =，则双曲线的离心率为（ ）AB．CD【答案】D 【解析】双曲线的渐近线方程是1y x a=±，所以1a =1a b == ，2224c a b =+= ，即2c =，c e a == D. 7．已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于,A B 两点，若22240,5BF AB BF AF ⋅==，则双曲线C 的离心率为（） A B ．4C ．2D【答案】A 【解析】 【分析】由已知得2AB BF ⊥，24BF x =，由已知比值得25,3AF x AB x ==，再利用双曲线的定义可用a 表示出1AF ，2AF ，用勾股定理得出,a c 的等式，从而得离心率． 【详解】2220,0,0,90AB BF AB BF ABF ⋅=≠≠∴∠=︒.又2245BF AF =，∴可令24BF x =，则25,3AF x AB x ==.设1AF t =，得21122AF AF BF BF a -=-=，即()5342x t x t x a -=+-=，解得3,t a x a ==，∴24BF a =,116BF AB AF a =+=, 由2221212BF BF F F +=得222(6)(4)(2)a a c +=，2213c a =，c ，∴该双曲线的离心率13ce a==. 故选：A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点,A B 到焦点的距离都用a 表示出来，从而再由勾股定理建立,a c 的关系．8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对【答案】A 【解析】 【分析】首先确定不超过20的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果. 【详解】不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，从这8个素数中任选2个，有2828C =种可能；其中选取的两个数，其和等于20的有()3,17，()7,13，共2种情况， 故随机选出两个不同的数，其和等于20的概率212814P ==． 故选：A . 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.9．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ） A ．26B ．13C ．23D ．1【答案】B 【解析】 【分析】过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF.因为//CD 平面ABE ，所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离h .设(0)2CDE πθθ∠=<≤，将h 表示成关于θ的函数，再求函数的最值，即可得答案. 【详解】过点E 作EH CD ⊥，垂足为H ，过H 作HF AB ⊥，垂足为F ，连接EF. 因为平面ECD ⊥平面ABCD ，所以EH ⊥平面ABCD ， 所以EH HF ⊥.因为底面ABCD 是边长为1的正方形，//HF AD ，所以1HFAD ==.因为//CD 平面ABE ，所以点C 到平面ABE 的距离等于点H 到平面ABE 的距离. 易证平面EFH⊥平面ABE ，所以点H 到平面ABE 的距离，即为H 到EF 的距离h . 不妨设(0)2CDE πθθ∠=<≤，则sin EH θ=，21sin EF θ=+.因为1122EHFSEF h EH FH =⋅⋅=⋅⋅，所以21sin sin h θθ⋅+=， 所以22sin 12211sin 1sin h θθθ==≤++，当2πθ=时，等号成立. 此时EH 与ED 重合，所以1EH =，2111133E ABCD V -=⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意辅助线及面面垂直的应用.10．已知i 为虚数单位，若复数12z i =+，15z z ⋅=，则||z =A ．1B ．5C ．5D ．55【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 由15z z ⋅=可得15z z =，所以15555||2i ||||5z z +====，故选B ． 11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．113 B ．4 C ．133D ．5【答案】B 【解析】 【分析】还原几何体的直观图，可将此三棱锥1A CD E -放入长方体中, 利用体积分割求解即可. 【详解】如图，三棱锥的直观图为1A CD E -，体积11111111BB E A A CD E E AB A F A C E CC D E AD F D ADC C V V V V V V V ------=-----长方体 12121242222422222423232=⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.故选:B.【点睛】本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题. 12．双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r等于()A ．B．2C．3 D．6【答案】A【解析】【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.【详解】双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r，即r ＝.答案：A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021 2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版
2021 2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）0.92．（5分后）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c的大小关系就是c （）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b3．（5分后）未知a＞1，a．0＜x＜1b．1＜x＜0，则f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（）c．2＜x＜0d．2＜x＜14．（5分）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0与x轴所围站图形的面积为（）5．（5分）曲线a．4b．2c．1d．36．（5分）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴7．（5分后）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）a．f（x）=x3b．f（x）=+xc．f（x）=3xd．f（x）=3+x38．（5分后）设f（x）就是奇函数，对任一的实数x、y，存有f（x+y）=f（x）+f （y），当x＞0时，f（x）＜0，则f（x）在区间[a，b]上（）a．有最大值f（a）b．有最小值f（a）c．有最大值d．存有最小值9．（5分）已知函教f（x）=asin（ωx+φ）（a＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜a）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是（）a．[6kπ，6kπ+3]，k∈zb．[6k3，6k]，k∈zc．[6k，6k+3]，k∈zd．[6kπ3，6kπ]，k∈z1页10．（5分）若不等式lg≥（x1）lg3对任意x∈（∞，1）恒成立，则a的取值范围就是（）a．（∞，0]b．[1，+∞）c．[0，+∞）d．（∞，1]11．（5分后）设f（x）就是定义在r上的函数，其Auron函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2021，则xx不等式ef（x）＞e+2021（其中e为自然对数的底数）的边值问题为（）a．（2021，+∞）b．（∞，0）∪（2021，+∞）c．（∞，0）∪（0，+∞）d．（0，+∞）12．（5分后）设立函数f（x）=sin，若存有f（x）的极值点x0满足用户x0+[f（x0）]＜m，则m的值域222范围就是（）a．（∞，6）∪（6，+∞）b．（∞，4）∪（4，+∞）c．（∞，2）∪（2，+∞）d．（∞，1）∪（1，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分后）若非零向量，满足用户|+|=||=2||，则向量与+的夹角为．14．（5分后）设立函数y=f（x）在r上加定义，对于任一取值的正数p，定义函数2，则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）=x2x1，p=2，则下列结论不成立的是：．①fp[f（0）]=f[fp（0）]；②fp[f（1）]=f[fp（1）]；③fp[fp （2）]=f[f（2）]；④fp[fp（3）]=f[f（3）]．15．（5分后）未知f（x）就是定义在r上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2x+|，若函数y=f（x）a在区间[3，4]上加10个零点（互不相同），则实数a的值域范围就是．16．（5分后）未知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，a=2且（2+b）（sinasinb）=（cb）sinc，则△abc面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）2217．（10分）已知a∈r，命题p：“?x∈[1，2]，xa≥0”，命题q：“?x∈r，x+2ax+2a=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，谋实数a的值域范围．18．（12分后）在△abc中，内角a，b，c面元的边分别为a，b，c，未知sinc+sin （ba）=sin2a，a≠．2（ⅰ）求角a的取值范围；（ⅱ）若a=1，△abc的面积s=x，c为钝角，求角a的大小．19．（12分后）未知函数f（x）=e+ax1（e为自然对数的底数）．（ⅰ）当a=1时，谋过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围起的三角形的面积；2（ⅱ）若f（x）≥x在（0，1）上恒设立，谋实数a的值域范围．20．（12分）已知函数f（x）满足2f（x+2）f（x）=0，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax当x∈（4，2）时，f（x）的最大值为4．（ⅰ）求实数a的值；2页，（ⅱ）设b≠0，函数，x∈（1，2）．若对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），并使f（x1）g（x2）=0，谋实数b的值域范围．21．（12分后）未知函数f（x）=x+3+ax+b，g（x）=x+3+lnx+b，（a，b为常数）．（ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，5），求b的值；（ⅱ）设立函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）x=xf′（x）存有唯一求解，谋实数b的值域范围；（ⅲ）令f（x）=f（x）g（x），若函数f（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．22．（12分后）未知函数，（ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并推论与否存有极值；（ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围；（ⅲ）证明：（n∈n+，n≥2）．3页2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）（2021?重庆三模）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）【分析】求出a与b中不等式的解集确定出a与b，找出两集合的交集即可．【解答】解：由a中lnx≥0=ln1，得到x≥1，即a=[1，+∞）；由b中的不等式解得：4＜x＜4，即b=（4，4），则a∩b=[1，4）．故选：b．【评测】此题考查了关连及其运算，熟练掌握关连的定义就是求解本题的关键．2．（5分）（2021?东城区二模）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c 的大小关系是c（）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．0.9【解答】解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.1＞1，∴b＜a＜c．故选：c．【评测】本题考查了指数与对数函数的单调性，属基础题．3．（5分）（2021?南昌校级二模）已知a＞1，，则f（x）＜1设立的一个充份不必要条件就是0.9（）a．0＜x＜1b．1＜x＜0c．2＜x＜0d．2＜x＜1【分析】谋出来不等式的边值问题即为不等式设立的充要条件；据当子集a?子集b且b?a时，a就是b的充份不必要条件．【解答】解：f（x）＜1成立的充要条件是∵a＞12∴x+2x＜0∴2＜x＜0∴f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是1＜x＜0故选项为b【评测】本题考查不等式的边值问题就是不等式的充要条件；据子集之间的关系推论条件关系．4．（5分）（2021春?玉溪校级期末）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0【分析】根据分段函数的定义域，算出f（1）的值，再根据分段函数的定义域展开代入解；4页【答疑】求解：函数2，f（1）=π+1＞0，∴f（f（1））=0，可得f（0）=π，∴f（f（f（1）））=π，故选c；【评测】此题主要考查函数值的解，就是一道基础题；5．（5分）（2021春?进贤县校级月考）曲线a．4b．2c．1d．3上的积分可求出答案．上的积分，与x轴所围站图形的面积为（）【分析】根据面积等于cosx的绝对值在0≤x≤【解答】解：面积等于cosx的绝对值在0≤x≤即s==3=3=3，故选：d．【评测】本题主要考查余弦函数的图象和用定分数谋面积的问题．属于基础题6．（5分）（2021?开封模拟）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴【分析】分别求出2函数的对称轴和对称中心即可得解．【解答】解：由2xz．由x=kπ，k∈z，解得函数y=cos（x）的对称轴为：x=kπ，k∈z．=k，k∈z，解得函数y=sin（2x）的对称轴为：x=+，k∈k=0时，二者存有相同的对称轴．由2x由x=kπ，k∈z，可解得函数y=sin（2x=k）的对称中心为：（）的对称中心为：（kπ+，0），k∈z．，0），k∈z．，k∈z，可解得函数y=cos（x故2函数没相同的对称中心．故选：a．【评测】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属基本知识的考查．7．（5分后）（2021?厦门演示）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）5页。
2021届河北省张家口市邢台市衡水市高三上学期摸底联考(新高考)数学试题(解析版)
由题意，函数 ，可得 ，则 ，
因为曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
所以 ，解得 ．
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了利用导数的几何意义求参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
14．2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年，某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出8名农技人员（5男3女），并分成两组，分配到2个贫困村进行扶贫工作，若每组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同的分配方案共有______种（用数字填写答案）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】化简复数 ，进而得出 的共轭复数 ，可得 在复平面内对应的点．
【详解】
∵ ，∴ ，它在复平面内对应的点 位于第四象限．
故选：D．
【点睛】
本题考查复数的几何意义，考查共轭复数的定义，考查复数的运算，属于基础题．
4．设 ， ， ，则（）．
【详解】
解：若选①：由正弦定理及 ，
得 ，
又 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
由余弦定理得 ，
即 ．
若选②：由正弦定理得及 ，
得 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，结合 及 ，
可解得 ， ．
因为 ，所以 ，
由余弦定理得 ，
即 ．
若选③：由 ，得 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，
【详解】
解：（1）因为 为正方形，所以 ．又因为平面 平面 ，
且平面 平面 ，所以 平面 ．所以 ．
因为 ， 线段 的中点，所以 ．
又 ，所以 平面 ．
河北省衡水中学2021届高三数学第一次教学质量检测试题 理(含解析).doc
河北省衡水中学2021届高三数学第一次教学质量检测试题 理（含解析）（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题无效.第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( ) A. {}1,3- B. {}1,0 C. {}1,3 D. {}1,5【答案】C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B =∴1x =是方程240x x m -+=解，即140m -+=∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C 2.z 是z 的共轭复数，若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位) ，则z =（ ） A. 1i + B. 1i -- C. 1i -+ D. 1i -【答案】D 【解析】【详解】试题分析：设,,,z a bi z a bi a b R =+=-∈，依题意有22,22a b =-=，故1,1,1a b z i ==-=-. 考点：复数概念及运算．【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.3.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A. 1033 B. 1053 C. 1073D. 1093【答案】D 【解析】 试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log n a a M n M =.4.已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若0.82(log 5.1),(2),(3)a g b g c g =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. b a c <<D.b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数()f x 在R 上是增函数可得()g x 为偶函数且在[)0,+∞上为增函数，从而可判断,,a b c 的大小.【详解】()g x 的定义域为R .()()()()()g x xf x x f x xf x g x -=--=--==⎡⎤⎣⎦，故()g x 为偶函数.因为()f x 为R 上的奇函数，故()00f =，当0x >时，因为()f x 为R 上的增函数，故()()00f x f >=.设任意的120x x ≤<，则()()120f x f x ≤<，故()()1122x f x x f x <， 故()()12g x g x <，故()g x 为[)0,+∞上的增函数，所以 ()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，而0.82223log 8log 5.1log 422=>>=>，故()()()0.823log 5.12g g g >>，所以c a b >>.故选C.【点睛】本题考查函数的奇函数、单调性以及指对数的大小比较，注意奇函数与奇函数的乘积、偶函数与偶函数的乘积都是偶函数，指数对数的大小比较应利用中间数和对应函数的单调性来考虑.5.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x ≥+的解集是（ ）A. {}|10x x -<≤B. {}|11x x -≤≤C. {}|11x x -<≤D. {}|12x x -<≤【答案】C 【解析】试题分析：如下图所示，画出2()log (1)g x x =+的函数图象，从而可知交点(1,1)D ，∴不等式()()f x g x ≥的解集为(1,1]-，故选C ．考点：1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想．6.设直线l 1，l 2分别是函数f(x)=ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 A. (0,1) B. (0,2)C. (0,+∞)D. (1,+∞)【答案】A 【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为221111112222111121211,ln .1,1,0111211PAB A B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x ∆∆⎛⎫-++>∴=-⋅=<=∴<< ⎪++++⎝⎭，故选A ．考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.7.（2021新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A. π B.3π4 C.π2D. π4【答案】B 【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：11,2AC AB ==， 结合勾股定理，底面半径221312r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是2233ππ1π4V r h ⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选B.【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.8.（2021新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A. 1 B. 2 C 4 D. 8【答案】C 【解析】 设公差为d，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.9.设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】通过非零向量,m n 的夹角为钝角，满足0m n ⋅<，而λ=m n 不成立，可判断出结论. 【详解】解：,m n 为非零向量，存在负数λ，使得λ=m n ，则向量,m n 共线且方向相反，可得0m n ⋅<.反之不成立，非零向量,m n 的夹角为钝角，满足0m n ⋅<，而λ=m n 不成立.∴,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是0m n ⋅<”的充分不必要条件.【点睛】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.10.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z ＝2x ＋y 的最小值是（ ）A. －15B. －9C. 1D. 9【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组表示的可行域，平移直线z ＝2x ＋y ，当直线经过B （－6，－3）时，取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B （－6，－3）处取得最小值z min ＝－12－3＝－15.故选：A【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.11.已知椭圆()2212:11x C y m m +=>与双曲线()2222:10x C y n n-=>的焦点重合，1e 、2e 分别为1C 、2C 的离心率，则（ ） A. m n >且121e e > B. m n >且111e e < C. m n <且121e e > D. m n <且121e e <【答案】A【分析】根据椭圆1C 和双曲线2C 的焦点重合得出222m n -=，可得出m 、n 的大小，再由离心率公式可得出12e e 与1的大小关系，进而可得出结论.【详解】由于椭圆1C 和双曲线2C 的焦点重合，则2211m n -=+，则2220m n -=>，1m >，0n >，m n ∴>.211m e m -==2e n ==，121e e ∴====>， 故选：A.【点睛】本题考查利用椭圆和双曲线的焦点求参数的大小关系，同时也考查了两曲线的离心率之积的问题，考查计算能力，属于中等题. 12.若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）．A. 1-B. 32e --C. 35e -D. 1【答案】A 【解析】由题可得()()()()121212121x x x f x x a ex ax e x a x a e ---⎡⎤=+++-=+++-⎣⎦'， 因为()20f '-=，所以1a =-，()()211x f x x x e-=--，故()()212x f x x x e--'=+，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在()(),2,1,-∞-+∞上单调递增，在()2,1-上单调递减， 所以()f x 的极小值为()()1111111f e-=--=-，故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.第16题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x 的图象与y=cosx 的图象的交点个数是 . 【答案】7 【解析】 由1sin 2cos cos 0sin 2x x x x =⇒==或，因为[0,3]x π∈，所以3551317,,,,,,,2226666x πππππππ=共7个 考点：三角函数图像14.如图，三棱锥A BCD -中， 3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是________．【答案】78【解析】如下图，连结DN ，取DN 中点P ，连结PM ，PC ，则可知即为异面直线，所成角（或其补角）易得，，，∴，即异面直线，所成角的余弦值为.考点：异面直线的夹角.15.在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2by ax x=+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += . 【答案】3- 【解析】 曲线2b y ax x=+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2b y ax x =-，所以7442b a -=-②，由①②解得1,{2,a b =-=-所以3a b +=-．【考点】导数与切线斜率．16.如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （在的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准方程为 ；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③2NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）22(1)(2)2x y -+-=；（Ⅱ）①②③ 【解析】 （Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为．（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方， 所以，， 令直线的方程为，此时，，所以，，，因为，，所以NAMA NBMB=．所以2221(21)22222NB MA NA MB -==-=-+， 222121222222NB MA NAMB+==+=-+ 正确结论的序号是①②③．考点：圆的标准方程，直线与圆的位置关系．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 【答案】（Ⅰ）π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）π6．【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-．数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k Z ∈．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k Z ∈． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k Z ∈．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 考点：“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．18. 某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高. 【答案】（1）25；（2）0.016. 【解析】 试题分析：解题思路：（1）通过茎叶图得出数据即可求解；（2）观察频率直方图中的各个矩形的高与面积即可.规律总结：以图表给出的统计题目一般难度不大，主要考查频率直方图、茎叶图、频率分布表给出.试题解析：(1)分数在[50,60)的频率为0.00810＝0.08，由茎叶图知：分数在 [50,60)之间的频数为2， 所以全班人数为20.08＝25.(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中 [80,90)间的矩形的高为425÷10＝0.016. .考点：1.茎叶图；2.频率直方图.19.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF的中点.(1)设P是CE上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E－AG－C的大小.【答案】（1）30；（2）60【解析】试题分析: (1)第(1)问,直接证明BE⊥平面ABP得到BE⊥BP,从而求出∠CBP的大小. (2)第（2）问，可以利用几何法求，也可以利用向量法求解.试题解析：(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP.又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP.又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.(2)方法一：如图，取EC的中点H，连接EH，GH，CH.因为∠EBC＝120°，所以四边形BEHC为菱形，所以AE＝GE＝AC＝GC223213+=取AG 的中点M ，连接EM ，CM ，EC ， 则EM⊥AG，CM⊥AG，所以∠EMC 为所求二面角的平面角． 又AM ＝1，所以EM ＝CM ＝13123-=. 在△BEC 中，由于∠EBC＝120°，由余弦定理得EC 2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12， 所以EC ＝23，所以△EMC 为等边三角形， 故所求的角为60°. 方法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz.由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(133)，C(－13，0)， 故AE ＝(2,0，－3)，AG ＝(13，0)，CG ＝(2,0,3)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量，由00m AE m AG ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得111123030x z x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(332)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量．由00n AG n CG ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得222230230x y x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(332)．所以cos 〈,m n 〉＝||||m n m n ⋅＝12.故所求的角为60°.点睛：本题的难点主要是计算，由于空间向量的运算，所以大家在计算时，务必仔细认真.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>以抛物线28y x =的焦点为顶点，且离心率为12.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆E 相交于A 、B 两点，与直线4x =-相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点且满足OP OA OB =+（其中O 为坐标原点），试问在x 轴上是否存在一点T ，使得OP TQ ⋅为定值？若存在，求出点T 的坐标及OP TQ ⋅的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，且定点T 的坐标为()1,0-. 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标可得出a 的值，由椭圆E 的离心率可得c 的值，进而可得出b 的值，由此可求得椭圆E 的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆E 的方程联立，列出韦达定理，求出点P 的坐标，由点P 在椭圆E 上得出22443m k =+，并求出点Q 的坐标，设点(),0T t ，计算出OP TQ ⋅，由OP TQ ⋅为定值求出t ，由此可求得定点T 的坐标. 【详解】（1）抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0，由题意可知2a =，且12c e a ==，1c ∴=，则b == 因此，椭圆E 的方程为22143x y +=；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()2224384120k x kmx m +++-=，由韦达定理得122843kmx x k +=-+，则()121226243m y y k x x m k +=++=+，()12122286,,4343km m OP OA OB x x y y k k ⎛⎫=+=++=- ⎪++⎝⎭，即点2286,4343kmm P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 由于点P 在椭圆E 上，则222281611434433km m k k ⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得22443m k =+，联立4y kx m x =+⎧⎨=-⎩，得44x y m k =-⎧⎨=-⎩，则点()4,4Q m k --，设在x 轴上是否存在一点(),0T t ，使得OP TQ ⋅为定值，()4,4TQ t m k =---，()()()22284642188634342km t m m k k t ktm km m OP TQ k m m ++-+++⋅===++为定值， 则10t +=，得1t =-，因此，在x 轴上存在定点()1,0T -，使得OP TQ ⋅为定值.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中存在定点满足某条件问题的求解，考查计算能力，属于中等题.21.已知函数()2ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<.【答案】（1）a=1；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）通过分析可知f （x ）≥0等价于h （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ≥0，进而利用h ′（x ）＝a 1x-可得h （x ）min ＝h （1a），从而可得结论； （2）通过（1）可知f （x ）＝x 2﹣x ﹣xlnx ，记t （x ）＝f ′（x ）＝2x ﹣2﹣lnx ，解不等式可知t （x ）min ＝t （12）＝ln 2﹣1＜0，从而可知f ′（x ）＝0存在两根x 0，x 2，利用f （x ）必存在唯一极大值点x 0及x 012＜可知f （x 0）14＜，另一方面可知f （x 0）＞f （1e）21e=． 【详解】（1）解：因为f （x ）＝ax 2﹣ax ﹣xlnx ＝x （ax ﹣a ﹣lnx ）（x ＞0），则f （x ）≥0等价于h （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ≥0，求导可知h ′（x ）＝a 1x-． 则当a ≤0时h ′（x ）＜0，即y ＝h （x ）在（0，+∞）上单调递减， 所以当x 0＞1时，h （x 0）＜h （1）＝0，矛盾，故a ＞0．因为当0＜x 1a ＜时h ′（x ）＜0、当x 1a＞时h ′（x ）＞0， 所以h （x ）min ＝h （1a），又因为h （1）＝a ﹣a ﹣ln 1＝0， 所以1a=1，解得a ＝1； 另解：因为f （1）＝0，所以f （x ）≥0等价于f （x ）在x ＞0时的最小值为f （1）， 所以等价于f （x ）在x ＝1处是极小值， 所以解得a ＝1；（2）证明：由（1）可知f （x ）＝x 2﹣x ﹣xlnx ，f ′（x ）＝2x ﹣2﹣lnx ，令f ′（x ）＝0，可得2x ﹣2﹣lnx ＝0，记t （x ）＝2x ﹣2﹣lnx ，则t ′（x ）＝21x-， 令t ′（x ）＝0，解得：x 12=， 所以t （x ）在区间（0，12）上单调递减，在（12，+∞）上单调递增， 所以t （x ）min ＝t （12）＝ln 2﹣1＜0，从而t （x ）＝0有解，即f ′（x ）＝0存在两根x 0，x 2，且不妨设f ′（x ）在（0，x 0）上为正、在（x 0，x 2）上为负、在（x 2，+∞）上为正， 所以f （x ）必存在唯一极大值点x 0，且2x 0﹣2﹣lnx 0＝0，所以f （x 0）20x =-x 0﹣x 0lnx 020x =-x 0+2x 0﹣220x =x 020x -，由x 012＜可知f （x 0）＜（x 020x -）max 2111224=-+=； 由f ′（1e ）＜0可知x 0112e ＜＜， 所以f （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0，1e）上单调递减， 所以f （x 0）＞f （1e ）21e=； 综上所述，f （x ）存在唯一的极大值点x 0，且e ﹣2＜f （x 0）＜2﹣2．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）,l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）3±. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=化简即可求解；（Ⅱ）先将直线l 化成极坐标方程，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为2212110x y x +++=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=可得圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=.（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈. 设A ，B 所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=.于是1212cos ρρα+=-，1211ρρ=.12AB ρρ=-==由AB 23cos 8α=，tan α=.所以l 的斜率为3或3-.23.已知函数()123f xx x =+--. （I ）在答题卡图中画出()y f x =的图像； （II ）求不等式()1f x >的解集．【答案】（I ）见解析（II ）()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，【解析】试题分析：（Ⅰ）化为分段函数作图；（Ⅱ）用零点分区间法求解 试题解析：（Ⅰ）如图所示：（Ⅱ）()413{3212342x x f x x x x x -≤-=--<<-≥，，，()1f x >优质资料\word 可编辑- 21 - / 21- 21 - 当1x ≤-，41x ->，解得5x >或3x <1x ∴≤- 当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <113x ∴-<<或312x << 当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <332x ∴≤<或5x > 综上，13x <或13x <<或5x >()1f x ∴>，解集()()11353⎛⎫-∞⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭，，，考点：分段函数的图像，绝对值不等式的解法。
河北省张家口市邢台市衡水市2021届高三上学期摸底联考(新高考)数学试题 Word版含答案
张家口市邢台市衡水市2021届新高三摸底联考数学试卷（新高考）第Ⅰ卷一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}0,1,2,3A =，{B x y ==，则A B =（ ）．A ．{}3B ．{}2,3C ．{}0,1D ．{}0,1,22．命题“()0,x ∀∈+∞，221xx +≥”的否定是（ ）．A ．()00,x ∃∈+∞，02021x x +< B ．()00,x ∃∈+∞，02021x x +≥C ．()0,x ∀∈+∞，221xx +<D ．221xx +≤3．已知复数34i2iz -=-，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．设132a =，3log 2b =，2log 0.1c =，则（ ）． A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c b a >>5．已知向量m ，n 满足2m n m n +=-，且2m n =，则m 与n 的夹角的余弦值为（ ）．A ．13B ．14C ．16D ．186．函数()()22e cos e 1x xx x f x -=+的大致图象为（ ）．A ．B ．C ．D ．7．我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第n 天后剩余木棍的长度为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使得不等式20202021n S >成立的正整数n 的最小值为（ ）． A ．9B ．10C ．11D ．128．已知斜率存在的直线l 交椭圆C ：22194x y +=于A ，B 两点，点P 是弦AB 的中点，点()1,0M ，且()0MP MB MA ⋅-=，1MP =，则直线MP 的斜率为（ ）．A ．B ．C ．43±D ．34±二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．已知双曲线E ：2214x y m -=（0m >）的一条渐近线方程为30x y +=，则下列说法正确的是（ ）．A ．E 的焦点在x 轴上B ．49m =C ．E 的实轴长为6D ．E 10．2020年初以来，5G 技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近5个月来5G 手机的实际销量，如下表所示：若y 与x 线性相关，且求得线性回归方程为455y x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．147a =B ．y 与x 正相关C ．y 与x 的相关系数为负数D ．8月份该手机商城的5G 手机销量约为36.5万部 11．已知0a >，0b >，且211a b+=，则（ ） A ．1b >B ．8ab ≤C ．224112a b +≥D ．28a b +≥12．已知函数()πcos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()()sin 2g x x θ=+（π0π-<<）的图象关于y 轴对称，则下列结论正确的是（ ）． A ．π4θ=B ．直线π8x =是()g x 的图象的一条对称轴 C ．()g x 在π5π,88⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．()g x 的图象可看作是()f x 的图象向左平移π4个单位长度而得到的 第Ⅱ卷三、填空题：13．若曲线()32f x ax x =-在点()()2,2f 处的切线的斜率为1，则a =______． 14．已知π1tan 42α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=______，22cos 2sin 2cos ααα=-______． 15．2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年，某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出8名农技人员（5男3女），并分成两组，分配到2个贫困村进行扶贫工作，若每组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同的分配方案共有______种（用数字填写答案）．16．已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，1AB BC CA ===，2PA =，则当点P 到平面ABC 的距离取最大值时，球O 的表面积为______．四、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．17．在①5cos 3cos 3cos b B a C c A -=；②3sin cos 4cos 3cos sin b B C a B b B C =-；③2π2cos 12810B ⎛⎫+=-⎪⎝⎭（0π02B <<），这三个条件中，任选一个补充在下面问题中的横线处，并加以解答．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若7a c +=，ABC △的面积为4，______，求sin B 及b ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8390S S -=，26a =． （1）求数列{}n a 的通项公式及n S ； （2）记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若2033nT =，求n 的值． 19．如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB AD ⊥，四边形ADEF 为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ．33BC AB AD ==，M 为线段BD 的中点．（1）求证：BD ⊥平面AFM ；（2）求平面AFM 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知()2,0F ，()2,3M -，动点P 满足12OF MP PF ⋅=． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0D 作直线AB 交C 于A ，B 两点，若AFD △的面积是BFD △的面积的2倍，求AB ． 21．2020年初，新型冠状病毒肺炎爆发时，我国政府迅速采取强有力措施抗击疫情，赢得了国际社会的高度评价，在这期间，为保证抗疫物资的质量，我国也加大了质量检查的力度．某市2020年初新增加了甲、乙两家专门生产消毒液的工厂，质检部门现从这两家工厂中各随机抽取了100瓶消毒液，检测其质量，得到甲厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示，乙厂所生产的消毒液质量指标值的频数分布表如表所示（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率）（1）规定：消毒液的质量指标值越高，消毒液的质量越好．已求得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数为2263，乙厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为26.5，分别求甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数以及乙厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数，并针对这两家工厂所生产的消毒液的质量情况写出两条统计结论；（2）甲厂生产的消毒液的质量指标值Z 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，并已求得11.95σ=．该厂决定将消毒液分为A ，B ，C 级三个等级，其中质量指标值Z 不高于2.6的为C 级，高于38.45的为A 级，其余为B 级，请利用该正态分布模型解决下列问题： （ⅰ）甲厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中B 级消毒液的总瓶数； （ⅱ）已知每瓶消毒液的等级与出厂价X （单位：元/瓶）的关系如下表所示：假定甲厂半年消毒液的生产量为1000万瓶，且消毒液全都能销售出去．若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为4千万元（含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内），问：甲厂能否在半年之内收回投资？试说明理由． 附：若()2,ZN μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<≤+=，()220.9545P Z μσμσ-<≤+=，()330.9973P Z μσμσ-<≤+=．22．已知函数()sin cos 1f x x x x =+-，()()214g x x f x =-． （1）求()f x 在区间()0,2π上的极值点；（2）证明：()g x 恰有3个零点．2021届新高三摸底联考 数学参考答案及评分细则一、单项选择题1．D 【解析】∵{}2B x x =≤，∴{}0,1,2AB =．故选D ．2．A 【解析】命题的否定是：变量词，否结论，可得命题的否定为：()00,x ∃∈+∞，02021x x +<．故选A ．3．D 【解析】∵()52i 34i 2i 2i 5z +-===+-，∴2i z =-，它在复平面内对应的点()2,1-位于第四象限．故选D ．4．B 【解析】∵13221a =>=，33log 2log 31b =<=，且0b >，22log 0.1log 10c =<=，∴a b c >>．故选B ．5．B 【解析】∵2m n m n +=-，∴2222244m n m n m n m n ++⋅=+-⋅，∴212m n n ⋅=． 设向量m 与n 的夹角为θ，则22112cos 24nm n m n n θ⋅===．故选B ． 6．C 【解析】因为()()()()2222e cos e cos e1e 1x x xxx x x x f x f x -----===++，所以()f x 为偶函数，排除D ；因为()102f =．所以排除B ；因为()()2422e cos 244cos 221e 1e ef --==++， 而22224cos 250111e e e e-<<<++，所以()()21,0f ∈-，排除A ．故选C ． 7．C 【解析】记第n 天后剩余木棍的长度为n a ，则{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列， 所以12n n a =，11112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==--，n S 是关于n 的增函数，而10101102320201210242021S =-=<，11111204720201220482021S =-=>， 所以使得不等式20202021n S >成立的正整数n 的最小值为11．故选C ． 8．D 【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，直线AB 的斜率为k ，不妨令0k >，则22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减，得()()()()1212121211094x x x x y y y y +-++-=，所以1200121122094y y x y x x -⨯+⨯⨯=-，所以00490x y k +=，即0049x k y =-． 由()0MP MB MA ⋅-=，得MP AB ⊥，又001MP y k x =-，所以00004191MP x yk k y x ⋅=-⋅=--，解得095x =．过点P 作PH x ⊥轴于点H ，则4cos 5PMH ∠=， 所以3tan 4PMH ∠=，即34MP k =-，考虑对称性可知，直线MP 的斜率为34±． 故选D ． 二、多项选择题9．AD 【解析】由0m >，可知双曲线E 的焦点一定在x 轴上，故A 正确；根据题意得13b a ==，所以36m =，故B 错误； 双曲线E的实轴长为12=，故C 错误； 双曲线E的离心率3c e a ===，故D 正确． 故选AD ．10．AB 【解析】由表中数据，计算得()11234535x =⨯++++=，所以4535140y =⨯+=， 于是得371041962161405a ++++=⨯，解得147a =，故A 正确；由回归方程中的x 的系数为正可知，y 与x 正相关，且其相关系数0r >，故B 正确，C 错误；8月份时，7x =，32y =（万部），故D 错误．故选AB ．11．ACD 【解析】21110b a b b-=-=>，∴1b >，故A 正确；211a b +=≥8ab ≥，故B 错误；222222412121*********2222a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-⨯⨯≥+-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；()21422448b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，故D 正确．故选ACD ．12．ABC 【解析】由题得，()πππππcos 2cos 2sin 2sin 244424g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴π4θ=，故A 正确； ∵ππππsin 2sin 18842g ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴直线π8x =是函数()g x 的图象的一条对称轴，故B 正确； 由ππ3π2π22π242k x k +≤+≤+（k ∈Z ），得π5πππ88k x k +≤≤+（k ∈Z ），当0k =时，π5π88x ≤≤，故()g x 在π5π,88⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确； ()πππ3πcos 2sin 2sin 24248f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而()π3ππsin 2sin 2884g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故函数()g x 的图象可看作是函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度而得到的，故D 错误． 故选ABC ． 三、填空题 13．14 【解析】∵()232f x ax '=-，∴()21221f a '=-=，解得14a =．14．3，87-【解析】因为π1tan 42α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以tan 111tan 2αα-=+，解得tan 3α=， 所以22222222cos 2cos sin 1tan 8sin 2cos sin 2cos tan 27a a ααααααα--===----．15．180 【解析】分配的方案有两类，第一类：一组3人，另一组5人，有()3282C 1A 110-⋅=种；第二类：两组均为4人，有44284252C C A 70A ⋅=种， 所以共有11070180N =+=种不同的分配方案． 16．16π3【解析】当点P 到平面ABC 的距离最大时，PA ⊥平面ABC ．如图， 以ABC △为底面，PA 为侧棱补成一个直三棱柱，则球O 是该三棱柱的外接球， 球心O 到底面ABC △的距离112d PA ==． 由正弦定理得ABC △的外接圆半径2sin 603AB r ==︒，所以球O的半径为3R ==，所以球O 的表面积为216π4π3S R ==．四、解答题17．解：若选①：由正弦定理及5sin 3cos 3cos b B a C c A -=， 得()5sin cos 3sin cos 3sin cos 3sin 3sin B B A C C A A C B =+=+=， 又()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，所以5cos 3B =，即3cos 5B =，所以4sin 5B ==．因为114sin 4225ABC S ac B ac ==⨯=△，所以10ac =， 由余弦定理得()2222222cos 12212493217b a c ac B a c a c ac =+-=+-=+--=-=，即b =若选②：由正弦定理得及3sin cos 4cos 3cos sin b B C a B b B C =-， 得()3sin sin 4sin cos B B C A B +=，即3sin sin 4sin cos B A A B =，又()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，所以3sin 4cos B B =，结合22sin cos 1B B +=及()0,πB ∈，可解得3cos 5B =，4sin 5B =． 因为114sin 4225ABC S a B ac ==⨯=△，所以10ac =， 由余弦定理得()2222222cos 12212493217b a c ac B a c a c ac =+-=+-=+--=-=，即b =若选③：由2π2cos 12810B ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，得πcos 410B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 又π02B <<，所以ππ3π444B <+<，所以πsin 04B ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以πsin 410B ⎛⎫+==⎪⎝⎭，所以ππ4sin sin 441021025B B ⎛⎫=+-=⨯+⨯= ⎪⎝⎭． 因为114sin 4225ABC S ac B ac ==⨯=△，所以10ac =， 由余弦定理得()2222222cos 12212493217b a c ac B a c a c ac =+-=+-=+--=-=，即b =18．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()1118283390,6,a d a d a d ⎧+-+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得13,3,a d =⎧⎨=⎩∴()3133n a n n =+-⨯=．∴()()1233332222n n n a a n n S n n ++===+． （2）由（1）可得()132113331n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 故()21111121211322313131n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 令2033n T =，得()2203133n n =+，即10111n n =+，解得10n =． 19．解：（1）因为ADEF 为正方形，所以AF AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，所以AF ⊥平面ABCD ．所以AF BD ⊥．因为AB AD =，M 线段BD 的中点，所以BD AM ⊥．又AM AF A =，所以BD ⊥平面AFM ．（2）由（1）知AF ⊥平面ABCD ，所以AF AB ⊥，AF AD ⊥，又AB AD ⊥，所以AB ，AD ，AF 两两垂直．分别以AB ，AD ，AF 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -（如图）．设1AB =，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,3,0C ，()0,1,0D ，()0,1,1E ，所以()1,1,0BD =-，()0,1,1AE =，()1,3,0AC =，设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z =， 则0,0,AC n AE n ⋅=⎧⎨⋅=⎩ 即0,30,y z x y +=⎧⎨+=⎩令1y =，则3x =-，1z =-，则()3,1,1n =--． 由（1）知，()1,1,0BD =-为平面AFM 的一个法向量．设平面AFM 与平面ACE 所成的锐二面角为θ，则cos cos BD n BD n BD n θ⋅=⋅=311110-⨯-+⨯+-⨯=11=． 所以平面AFM 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值为11． 20．解：（1）设(),P x y ，则()2,3MP x y =+-，()2,0OF =，()2,PF xy =--．由12OF MP PF ⋅=，得2x +=28y x =， 即动点P 的轨迹C 的方程为28y x =．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意知112AFD S FD y =⋅△，212BFD S FD y =⋅△， 因为2AFD BFD S S =△△，所以122y y =，易知120y y <，所以122y y =-． ①设直线AB 的方程为1x my =+，联立28,1,y x x my ⎧=⎨=+⎩消去x ，得2880y my --=，则264320m ∆=+>，128y y m +=， ②128y y =-， ③由①②③解得14x=±，所以1262AB y m =-===． 21．解：（1）甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲．设乙厂生产的消毒液的质量指标值的中位数为n ，则()0.20.1200.030.5n ++-⨯=，解得2263n =． 统计结论：（答案不唯一，任意两个即可，其他答案如果叙述正确也给分）①两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相等，从这个角度看这两家工厂生产的消毒液质量基本相当； ②由数据波动的情况可知，乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，说明甲厂生产的消毒液比乙厂生产的消毒液的质量更稳定．③两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相同，但乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，所以甲厂生产的消毒液更好．④两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的众数均等于25．⑤两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数均为2263． ⑥甲厂生产的消毒液质量集中在平均数附近，乙厂生产的消毒液中质量指标值特别小和质量指标值特别大的较多．（2）（ⅰ）()()2.638.452P Z P Z μσμσ<≤=-<≤+()()1222P Z P Z μσμσμσμσ=-<≤++-<≤+⎡⎤⎣⎦0.8186=， 因为1000000.818681860⨯=，所以可估计甲厂所生产的这10万瓶消毒液中，B 级消毒液有81860瓶． （ⅱ）设每瓶消毒液的利润为Y 元，则Y 的可能取值为10，54-，()()1038.45P Y P Z ==≥()P Z μσ=≥+()112P Z μσμσ=--<<+⎡⎤⎣⎦ ()110.68272=-0.15865=， 由（ⅰ）知()()5 2.638.450.1816P Y P Z ==<<=，所以()410.81860.158650.02275P Y =-=--=，故Y 的分布列为所以每瓶消毒液的平均利润为()100.1586550.818640.02275 5.5885E Y =⨯+⨯-⨯=（元）， 故生产半年消毒液所获利润为1 5.5885 5.5885⨯=（千万元），而5．5885（千万元）>4（千万元），所以甲厂能在半年之内收回投资．22．解：（1）()cos f x x x '=（()0,2πx ∈），令()0f x '=，得π2x =，或3π2x =． 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当3π,2π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．故π2x =是()f x 的极大值点，3π2x =是()f x 的极小值点． 综上所述，()f x 在区间()0,2π上的极大值点为π2x =，极小值点为3π2x =． （2）()()22111sin cos 44g x x f x x x x x =-=+--（x ∈R ）， 因为()00g =，所以0x =是()g x 的一个零点．()()()()()()2211sin cos 1sin cos 44x g x x x x x x x x g x --=+-----=+--=， 所以()g x 为偶函数．即要确定()g x 在R 上的零点个数，只需确定0x >时，()g x 的零点个数即可． 当0x >0时()()11cos 12cos 22g x x x x x x '=-=-． 令()0g x '=，即1cos 2x =，π2π3x k =+或5π2π3x k =+（k ∈N ）． π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减，又()00g =，所以π03g ⎛⎫< ⎪⎝⎭；π5,π33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，且25251ππ03362g ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， 所以()g x 在区间50,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭内有唯一零点．当5π3x ≥时，由于sin 1x ≤，cos 1x ≤． ()()2221111sin cos 11444g x x x x x x x x x t x =+--≥+--=-=． 而()t x 在区间5π,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内单调递增，()5π03t x t ⎛⎫≥> ⎪⎝⎭， 所以()0g x >恒成立，故()g x 在区间5π,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内无零点，所以()g x 在区间()0,+∞内有一个零点，由于()g x 是偶函数，所以()g x 在区间(),0-∞内有一个零点，而()00g =，综上，()g x 有且仅有三个零点．。
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河北省衡水市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<【答案】D 【解析】 【分析】结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出10a -<<,1b <-,1c >,即可选出答案. 【详解】 由0.30.310log 4log 13<=-,即1b <-, 又8881log 0.125log 0.2log 10-=<<=,即10a -<<,0.341>,即1c >,所以b a c <<. 故选:D. 【点睛】本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题. 2．已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ） A ．12e-B ．14e-C ．1e-D ．2e-【答案】A 【解析】 【分析】求导得到'()xf x e =，根据切线方程得到ln b a a =，故2ln ab a a =，设()2ln g x x x =，求导得到函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min g x g e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】()x f x e b =+，则'()x f x e =，取0x e a =，()0a >，故0ln x a =，()0f x a b =+.故(ln 1)a b a a +=+，故ln b a a =，2ln ab a a =.设()2ln g x x x =，()()'2ln 2ln 1g x x x x x x =+=+，取()'0g x =，解得12x e -=.故函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min 12g x g e e -⎛⎫==- ⎪⎝⎭.故选：A . 【点睛】本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 3．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】首先判断出()f x 是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值. 【详解】由已知()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-， 而()()330f x f x --+-=， 所以()()33f x f x -=+， 所以()()6f x f x =+，即()f x 的周期为6.由于()11f =，()22f =-，()00f =， 所以()()()()33330f f f f =-=-⇒=，()()()4222f f f =-=-=， ()()()5111f f f =-=-=-， ()()600f f ==.所以()()()()()()1234560f f f f f f +++++=， 又202063364=⨯+， 所以()()()()1232020f f f f ++++=()()()()12341f f f f +++=.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.4．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．3【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】分析：由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD 为等边三角形，把数量积AE BE ⋅分拆，设(01)DE tDC t =≤≤，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。
详解：连接BD,取AD 中点为O,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD 为等边三角形，3BD =(01)DE tDC t =≤≤AE BE ⋅223()()()2AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+ =233322t t -+(01)t ≤≤ 所以当14t =时，上式取最小值2116，选A. 点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。
同时利用向量共线转化为函数求最值。
5．()712x x-的展开式中2x 的系数为（ ）A ．84-B ．84C ．280-D ．280【答案】C 【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式1C k n k kk n T a b -+=，得()712x -展开式的通项为()172kk kk T C x+=-，则()712x x-展开式的通项为()1172kk k k T C x -+=-，由12k -=，得3k =，所以所求2x 的系数为()3372280C -=-.故选C.点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式1C r n r rr n T ab -+=，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出r ，将r 的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.6．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域是[]0,1 B ．()f x 是奇函数 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x 是增函数【答案】C 【解析】 【分析】根据[]x 表示不超过x 的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论. 【详解】由[]x 表示不超过x 的最大正整数，其函数图象为选项A ，函数()[)0,1f x ∈，故错误； 选项B ，函数()f x 为非奇非偶函数，故错误；选项C ，函数()f x 是以1为周期的周期函数，故正确； 选项D ，函数()f x 在区间[)[)[)0,1,1,2,2,3上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误. 故选：C 【点睛】本题考查对题干[]x 的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题. 7．已知a ，b ，c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则232a c a b c +++-的最小值（ ） A 29B ．2932C 1923D ．5【答案】A 【解析】 【分析】由于a b ⊥，且为单位向量，所以可令()1,0a =，()0,1b =，再设出单位向量c 的坐标，再将坐标代入232a c a b c +++-中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果．【详解】解：设(),c x y =，()1,0a =，()0,1b =，则221x y +=，从而()()()()222223221232x y x y +++-=+++-+-a c a b c()()()22222234132x y x y x x y =++++++-+-()()()2222222325229x y x y =+++-+-≥+=，等号可取到．故选：A 【点睛】此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题． 8．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为，且，再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解. 【详解】 由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得，所以，即椭圆的左焦点为，且① 直线交轴于，所以，，因为，所以，所以，又由点在椭圆上，得 ②由，可得，解得，所以，所以椭圆的离心率为.故选A. 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ） A ．y x =± B ．2y x =±C ． 3y x =D ．2y x =【答案】B 【解析】 【分析】先设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ，根据题意，得到1//EM PF ，再由22114F E F F =，根据勾股定理求出2b a =，从而可得渐近线方程. 【详解】设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ，因为12PF F ∆是以圆O 的直径12F F 为斜边的圆内接三角形，所以1290F PF ∠=， 又因为圆E 与直线2PF 的切点为M ，所以1//EM PF ，又22114F E F F =，所以144b PF b =⋅=， 因此22PF a b =+， 因此有222(2)4b a b c ++=，所以2b a =，因此渐近线的方程为2y x =±. 故选B 【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.10．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．1B ．12C．2D【答案】A 【解析】 【分析】设200(,),(,)2y P y M x y p ，因为PM MF =，得到200,442y y p x y p =+=，利用直线的斜率公式，得到020002244OM y k y p y p y pp==++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，抛物线24y x =的焦点坐标为(,0)2pF ， 设200(,),(,)2y P y M x y p， 因为PM MF =，即M 线段PF 的中点，所以220001(),222442y y y p p x y p p =+=+=，所以直线OM的斜率020022144OM y k y p y p y pp==≤=++，当且仅当0y p y p=，即0y p =时等号成立， 所以直线OM 的斜率的最大值为1. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.11．已知()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()2ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】D 【解析】 【分析】根据()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得函数()f x 的周期为3，再由奇函数的性质结合已知可得33101022f f f f f -=-====（）（）（）（）（） ，利用周期性可得函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数． 【详解】∵()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33332222f x f x ∴-++=++（）（） ，可得3f x f x （）（）+=，函数()f x 的周期为3， ∵当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()2ln 1f x x x =-+， 令0fx =（），则211x x -+=，解得0x =或1， 又∵函数()f x 是定义域为R 的奇函数，∴在区间33[]22-，上，有11000f f f -=-==（）（），（）． 由3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取0x =，得3322f f -=（）（） ，得33022f f =-=（）（）， ∴33101022f f f f f -=-====（）（）（）（）（）． 又∵函数()f x 是周期为3的周期函数，∴方程()f x =0在区间[]0,6上的解有39012345622，，，，，，，，． 共9个，故选D ． 【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题．12．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则2020a =（ ）A ．1-B ．1CD ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据可导函数在极值点处的导数值为0，得出140396a a =，再由等比数列的性质可得. 【详解】解：依题意1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，也就是()2860f x x x '=-+=的两个根∴140396a a =又{}n a 是正项等比数列，所以2020a ==∴20201a ==.故选：B 【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。