图像法解一元二次方程
图像法解一元二次方程浅析
教学目标
（1）会求出二次函数与坐标轴的交点坐标；
（2）会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
（3） 总结出二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根。
重点和难点:
重点：（1）会求出二次函数与坐标轴的交点坐标；
（2）总结出二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个
数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根。
难点：
一元二次方程的图象解法
一、预习交流：
画出函数322--=x x y 的图象，根据图象回答下列问题．
小结：二次函数与一元二次方程有密切的联系，二次函数与x轴的两个交点的横坐标即是对应的一元二次方程的两根,根的判别式决定着二次函数与x轴交点的个数和一元二次方程根的情况。
二．例题欣赏：
分析：先画图像，再观察图像，找出图像与x轴的公共点，最后再求出方程的根的近似值。
三、课堂小结：二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点一元二次方程
ax2+bx+c= 0的根
一元二次方程
ax2+bx+c= 0根的判别式
Δ=b2-4ac
四、当堂达标：
1 .如果关于x的一元二次方程x2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线y=x2－2x+m与x轴有＿＿个交点.
2.已知抛物线y=x2 –8x + c的顶点在x轴上，则c =＿＿.
3.抛物线y=2x2－3x－5 与y轴交于点＿＿＿＿，与x轴交于点.
5，那么二次4.一元二次方程 3x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，x2=
3
函数y= 3x2+x－10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿.
五、课外作业：
1、必做题：习题 A组1——3.
2、选做题：习题 B组.。
一元二次方程求根公式是什么 方程组有哪些解法
一元二次方程求根公式是什么方程组有哪些解法
十字相乘法，必须要把所有的项移到等号左边，并且等号左边能够分解
因式，使等号右边化为0。
配方法比较简单：首先将二次项系数a化为1，然后把常数项移到等号的
右边，最后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方，左边配成完
全平方式，再开方就得解了。
除此之外，还有图像解法和计算机法。
图像解法利用二次函数和根域问题粗略求解。
一元二次方程组有哪些解法1、配方法(可解全部一元二次方程) 如：解方程：x +2x-3=0 解：把常数项移项得：x +2x=3
等式两边同时加1(构成完全平方式)得：x +2x+1=4 因式分解得：(x+1) =4 解得：x1=-3,x2=1
用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当 2.公式法(可解全部一元二次方程)
首先要通过b -4ac的值来判断一元二次方程有几个根 1.当b -4ac2、当b -4ac=0时
x有两个相同的实数根即x1=x2 3.当b -4ac>;0时x有两个不相同的实数根
当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√(b -4ac)}/2a来求得方程的根
3、因式分解法(可解部分一元二次方程)(因式分解法又分“提公因式法”、“公
式法(又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种)”和“十字相乘法”。
如：解方程：x +2x+1=0 解：利用完全平方公式因式分解得：(x+1 =0解。
初中数学 如何通过一元二次方程的图像确定其解的情况
初中数学如何通过一元二次方程的图像确定其解的情况一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
通过一元二次方程的图像，我们可以确定方程的解的情况。
下面我将详细介绍如何通过图像确定方程的解的情况。
首先，我们需要了解一元二次方程的图像是什么样的。
一元二次方程的图像是一个抛物线，其开口方向由a的正负决定。
如果a > 0，则抛物线开口向上；如果a < 0，则抛物线开口向下。
接下来，我们来探讨方程的解的情况。
一元二次方程的解可以分为三种情况：有两个实数解、有一个实数解、无实数解。
1. 有两个实数解的情况：当抛物线与x轴有两个交点时，方程有两个实数解。
这种情况发生在方程的判别式D = b^2 - 4ac > 0时。
判别式D表示抛物线与x轴的交点个数，当D > 0时，有两个交点，即方程有两个实数解。
2. 有一个实数解的情况：当抛物线与x轴有一个交点时，方程有一个实数解。
这种情况发生在方程的判别式D = b^2 - 4ac = 0时。
判别式D为0表示抛物线与x轴有一个交点，即方程有一个实数解。
3. 无实数解的情况：当抛物线与x轴没有交点时，方程无实数解。
这种情况发生在方程的判别式D = b^2 - 4ac < 0时。
判别式D小于0表示抛物线与x轴没有交点，即方程无实数解。
通过以上分析，我们可以通过观察一元二次方程的图像来确定方程的解的情况。
具体步骤如下：1. 绘制一元二次方程的图像，可以借助计算机绘图软件或手绘。
2. 观察抛物线与x轴的交点个数。
-如果有两个交点，则方程有两个实数解。
-如果有一个交点，则方程有一个实数解。
-如果没有交点，则方程无实数解。
需要注意的是，通过图像确定解的情况只能给出初步的结论，具体的解需要通过代入法或求根公式进行计算。
用 二次函数图像解法一元二次方程
图15－3
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
第15讲┃二次函数的图象与性质(二)
解
析
由抛物线开口向上，得到a大于0，再由对称轴
在y轴右侧，得到a与b异号，可得出b小于0.又抛物线与 y轴交于正半轴，得到c大于0，可得出abc小于0，选项
①错误；由抛物线与x轴有2个交点，得到根的判别式b2
－4ac大于0，选项③错误；由x＝2时对应的函数值大于 0，将x＝2代入抛物线解析式可得出4a＋2b＋c大于0， 得到选项④正确，最后由对称轴为直线x＝1，利用对称 轴公式得到b＝－2a，得选项②正确，所以正确结论的
图15－1
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
第15讲┃二次函数的图象与性质(二)
[注意] 确定抛物线平移后的解析式最好利用 顶点式，利用顶点的平移来研究图象的平移．
考点聚焦
归类探究
回归教材Βιβλιοθήκη 中考预测第15讲┃二次函数的图象与性质(二)
归 类 探 究
探究一 二次函数与一元二次方程 命题角度： 1．二次函数与一元二次方程之间的关系； 2．图象法解一元二次方程； 3．二次函数与不等式(组)． 例1 [2013· 苏州] 已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的 图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程 x2－3x＋m＝0的两实数根是( B ) A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
二次函数的图象与性质(二)
第15讲┃二次函数的图象与性质(二)
考 点 聚 焦
考点1 二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y＝ax2 ＋bx＋c与x轴 的交点个数 2个 1个 没有
判别式Δ＝b2－ 4ac 的符号 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
一元二次不等式(图像法)
1.X轴上的点的坐标具有的形式是：
(x,0)
2.二次函数f(x)=x2_x-2与x轴的交点坐标
0=x2-x-2
y
x1=-1或x2=2
x1 o
x2 x
所以f(x)=x2_x-2与x轴的交点坐标为
（-1，0）和（2，0）
预备知
识
a>0
一元二次方程ax2+bx+c=0的解情况
当⊿＞0时，方程有两
y>0 x<-1或x>2,
-1 o
2
x
y<0 -1<x<2
例.解不等式x2-x-6 >0.
y
解：x2-x-6=0的两个根
是x1=-2，x2=3。 函数y=x2-x-6
的图像如图，
x2-x-6>0
x<-2或x>3是 (, 2) (3, ).
不等的实根x1，x2.
一元二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 y
x1 o
x2 x
当⊿＝0 时，方程有两相
等的实根 X1=X2=X0
当⊿＜0 时，方程无实根
y
o x0
x
y
o
x
观察
y=x2-x-2图像上的点M的坐标(x,y)具有什么性
质
y
y=0, y>0, y<0
y=0 x=-1或x=2,
解不等式x2-x-6 <0.
解: x2-x-6=0的两个根
y
是x1=-2，x2=3。函数
y=x2-x-6 的图像如图
x2-x-6>0 -2<x<3
-2 o
初中数学 如何求解一元二次方程的小数解
初中数学如何求解一元二次方程的小数解要求解一元二次方程的小数解，我们可以使用配方法、求根公式或图像法。
下面将详细介绍这三种方法的步骤和应用。
方法一：配方法配方法是一种通过变换方程的形式来求解一元二次方程的方法。
它的基本思想是将方程转化为完全平方形式，然后求解。
步骤：1. 将方程表示成标准形式：ax² + bx + c = 0，其中a，b和c是已知的实数常数，且a ≠ 0。
2. 如果方程的系数a不为1，则将方程两边都除以a，使得方程的首项系数为1。
3. 将方程的常数项c分解为两个数的乘积，这两个数的和等于方程的一次项系数b。
假设这两个数为m和n。
4. 重新排列方程，将一次项bx拆分为mx + nx。
5. 将方程按照完全平方的形式进行重新组合，即(x + m)(x + n) = 0。
6. 使用零乘法，将方程拆分为两个线性因式，即x + m = 0和x + n = 0。
7. 解这两个方程，得到x的值。
这些值即为方程的小数解。
举例来说，考虑方程2x² + 5x - 3 = 0。
1. 将方程表示成标准形式，得到2x² + 5x - 3 = 0。
2. 系数a为2，不为1，所以我们将方程两边都除以2，得到x² + (5/2)x - 3/2 = 0。
3. 将常数项-3/2分解为两个数的乘积，这两个数的和等于5/2。
我们可以将-3/2分解为1/2和-2，因为1/2 + (-2) = 5/2。
4. 重新排列方程，得到x² + (1/2)x - 2x - 3/2 = 0。
5. 将方程按照完全平方的形式进行重新组合，即(x + 1/2)(x - 2) = 0。
6. 使用零乘法，将方程拆分为两个线性因式，即x + 1/2 = 0和x - 2 = 0。
7. 解这两个方程，得到x = -1/2和x = 2。
这两个值即为方程的小数解。
方法二：求根公式求根公式是一种通过直接计算方程的根的公式来求解一元二次方程的方法。
人教版数学九年级上册2一元二次方程的解及其图像经典课件(34张)
(2)抛物线
在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的
抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
1； ；
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
当x=1时,y= -1
3x 50 2 当x<0 (在对称轴的
又因二次项系数m＋1≠0， 即m≠－1，
3
0
当x=0时函数y的值最小.
当x=0时函数y的值最小.
只含有一个未知数，并且未知 数的最高次数是2的整式方程叫做一元二 次方程。
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
特征：方程的左边按x的降幂排列， 右边＝0
❖ 练习：下列方程中哪些是一元二次方程？试 说明理由。
3x25x3 不是
x2 4
是
x 2 x2 x 1
不是
v 当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
2、已知关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m。
❖ 什么叫方程的根？
v 能够使方程左右两边相等的未知数的值， 叫方程的根。
v 解：把x＝2代入原方程得： v (m－1) ×22＋3 ×2 －5m＋4＝0 v 解这个方程得：m＝6
❖ 3、在实际问题转化为数学模型（ 一元二次 方程 ） 的过程中，体会学习一元二次方程的 必要性和重要性。
方程的本质
1、下列式子哪些是方程？ 特征是什么？
右侧)时, y随着x的增大而
y随着x的增大而减小,当x=
时,函数y的值最小,最小
2、我们学过哪些方程？
2＋3＝5 ＝5（1＋x）（1＋x）
当x=1时,y= -1
x24(x2)2 不是
浅谈用图像法解一元二次方程
浅谈用图像法解一元二次方程高一12班 薛雨晴现在有这样一个题目，设关于x 的方程2kx 2+2x-3k-2=0的两根一个大于1，一个小于1，求k 的取值范围。
通常看到这类题目，我们会有韦达定理来求出答案，过程是这样的 方程可变成x 2+ x+ =0设二次函数为y=x 2+ x+ △>0设方程两根为x1,x2. (x1-1)(x2-1)<0→…… k >0可见解题过程繁琐。
但是，换一个角度，用图像法更加方便直观。
一、何为图像法:顾名思义就是用画图的方法直观地解题。
二、在一元二次方程中图像法的使用方法在研究一元二次方程根的分布情况时，我们可以使用图像法。
在运用图像法时，我们要从四个方面考虑：1.开口方向 2.根的多少 3.对称轴分布 4.分界点。
考虑了这几方面，这类题目的解题时就会明朗很多。
我们再回头看开篇的那道题目。
2 2k -3k-2 2k2 2k -3k-2 2k（图像法）从图像中可以看出，开口向上，对称轴没有范围，有两个根。
另外当x=1时，y <0 答案是k >0相比之下，图像法明显简单了许多。
三、图像法思考能训练我们的思维相比繁琐的代数解题方法，图像法更加直观易懂。
图像法更加可以培养空间想象力，开阔思维性，敏捷性。
学数学靠的是对题目的理解和做题时的一种直觉。
图像法能够提高综合运用数学知识的能力。
在一些抽象的数学题目面前，图像法能够使题目具体化。
多掌握一种数学解题方法，对数学的认识也会更深一步。
正如萧伯纳所说的：你有一个苹果，我有一个苹果，彼此交换一下，我们彼此仍然是各有一个苹果；但你有一种思想，我有一种思想，彼此交换，我们就都有了两种思想，甚至更多。
21.3.2图像法求一元二次方程的根
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)
一个解x的范围是（ C ）
A. 3＜x＜3.23
B. 3.23＜x＜3.24
C. 3.24＜x＜3.25
D. 3.25＜x＜3.26
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一 元二次方程ax2+bx+c=0的近似根的一般步
(3)观察估计抛物线y=x2+2x-10 和直线y=3的交点的横坐标；
两个交点的横坐标一个在-5 与-4之间,另一个在2与3之间.
(4)确定方程x2+2x-10=3的解;
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根 为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
3、根据下列表格的对应值:
x
3.23 3.24 3.25 3.26
方程组
x 2y 2x y
2 6
的解吗？
①在同一个直角坐标系中，画出直线
L1：y
1
x
1
与直线L2：y=2x+6的图像.
2
②两条直线有交点吗？
（－2，2）
写出交点的坐标P（－2，2 ）
l2：y 2x 6
③检验点P的坐标是不是方程
组
x 2y 2x y
2 的解？ 6
l1：y
-
1 2
x
1
一元二次方程的图象解法
两个不相等的实数根
(2)一元二次方程ax2+bx+c=4的根的情况是？
无实数根
(3)一元二次方程ax2+bx+c=2的根的情况是？
一元二次方程的实际应用与解法
一元二次方程的实际应用与解法一元二次方程是数学中常见的一种类型方程，表达形式为ax^2 + bx + c = 0。
本文将介绍一元二次方程的实际应用以及解法。
一、一元二次方程的实际应用一元二次方程广泛应用于各个领域，特别是在物理学、工程学和经济学等实际问题的建模与求解中。
以下是一些常见的实际应用：1. 物体运动问题：对于抛体运动或自由落体运动等问题，可以通过一元二次方程来描述物体的运动轨迹。
例如，当我们知道一个物体的初速度、重力加速度和运动时间时，可以使用一元二次方程来求解物体的最终位置。
2. 地面覆盖问题：在城市规划中，经常需要考虑各类设施的地面覆盖范围。
通过一元二次方程可以描述设施的传播范围和受影响区域的大小。
例如，对于一个无线网络信号的传播范围，可以通过一元二次方程来计算无线信号的衰减程度和覆盖范围。
3. 财务问题：在经济学中，一元二次方程常应用于财务问题的建模与解决。
例如，在投资分析中，可以使用一元二次方程来计算某项投资的回报率和投资时间。
此外，一元二次方程也可用于计算生产成本与产量之间的关系等。
二、一元二次方程的解法解一元二次方程有多种方法，常见的有以下几种：1. 因式分解法：如果一元二次方程可以因式分解为两个一次因式的乘积，即可直接得到方程的解。
例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，可以因式分解为(x - 1)(x - 3) = 0，从而得到x = 1和x = 3两个解。
2. 公式法：一元二次方程的解也可以通过求根公式来计算。
根据求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a)，可以得到方程的解。
其中，a、b和c 分别代表方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。
3. 完全平方式：当一元二次方程的解可以表示为一个完全平方数时，可以通过完全平方式求解。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，可以将其转化为(x + 3)^2 = 0，从而得到x = -3作为方程的解。
《图像法解一元二次不等式》教学设计
《图象法解一元二次不等式》教学设计肥城市职业教育中心校一、教学目标a. 知识目标。
使学生掌握三种类型的一元二次不等式的图解法，并理解掌握这种解法的理论依据。
b. 能力目标。
通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质。
c. 德育目标。
通过图象法，教师有意识地向学生渗透抽象与具体、联系与转化、特殊与一般、个性与共性等辩证唯物主义的观点和方法，并注意通过设问、追问、反问、讨论、分组竞赛等主动参与教学的活动，培养学生的自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、竞争意识和集体主义精神。
二、重点难点a. 教学重点是三种类型的一元二次不等式图象解法。
b. 教学难点是二次不等式、二次方程和二次函数三者关系的有机联系。
数形结合和分类转化等数学思想的理解和运用。
三、教学方法及策略a. 自主合作式教学模式b. 微课教学手段四、教学用具电教多媒体五、教学过程：1、复习引入，展示目标我们在前一节学习了一元二次函数的图象和性质，你能求出一元二次函数y=x²-x-2与x轴的交点吗？启发诱导学生x轴上的点的特点是y坐标为零，于是令y=0,即x²-x-2=0求得交点坐标为P1（-1，0），P2（2，0），从而得出结论：一元二次函数与x轴的交点坐标的横坐标就是其对应的一元二次方程的根——有两个不相等的实数根则有两个不同的交点，有两个相等的实数根则有一个交点，没有实数根则没有交点。
这是揭示二次函数、二次方程和二次不等式三者关系的关键，是突破本课难点的重要环节。
启发学生二次函数的图象是一条抛物线，其开口方向由二次项系数决定，鼓励学生自已动手画出草图。
（然后由多媒体展示出电脑所画出的标准图形，让学生观察和比较）y>o的点吗？诱导学生纵坐标取正值的点位于x轴的上方，取负值的点位于x轴的下方，从而得出正确答案。