高考数学压轴专题(易错题)备战高考《复数》难题汇编及答案

【最新】数学《复数》高考知识点

一、选择题

1．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ） A ．2 B ．2

C ．22

D ．5

【答案】D 【解析】

分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果. 详解：因为()13i z i +=+，所以31

(3)(1)212

i z i i i i +==+-=-+, 因此5,z = 选D.

点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如

()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，

如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为

.-a bi

2．设i 是虚数单位，若复数()10

3a a R i

-∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．-3 B ．-1

C ．1

D ．3

【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 因,

故由题设,

故

,故选D ．

考点：复数的概念与运算.

3．已知复数i z x y =+（x ，y ∈R ），且23z +=1

y x

-的最大值为（ ） A 3B 6 C ．26+ D ．26【答案】C 【解析】

【分析】

根据模长公式，求出复数z 对应点的轨迹为圆，1

y x

-表示(,)x y 与(0,1)连线的斜率，其最值为过(0,1)点与圆相切的切线斜率，即可求解. 【详解】

∵复数i z x y =+（x ，y ∈R

），且2z +=

=()2

223x y ++=.

设圆的切线l ：1y kx =+

=

化为2420k k -

-=，解得2k =

∴

1

y

x -的最大值为2 故选:C. 【点睛】

本题考查复数的几何意义、轨迹方程、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.

4．已知复数z 满足121i

z i i

+?=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1 B

．2

C

D 【答案】D 【解析】 【分析】

按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】

21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i i

z i i z i z i i i i i

+-∴

?=-??=-?==--=--

-，

12||z i z ∴=-+?==

故选：D 【点睛】

本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.

5

．已知复数z

，则|z |＝( )

A ．

14

B ．

12

C ．1

D ．2

【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

解：因为===，因此|z |＝12

6．已知z 是复数，则“2z 为纯虚数”是“z 的实部和虚部相等”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】D 【解析】 【分析】

设z a bi =+，2z 为纯虚数得到0a b =±≠，得到答案. 【详解】

设z a bi =+，,a b ∈R ，则(

)2

22

2z a b

abi =-+，

2z 为纯虚数22

020

a b a b ab ?-=??=±≠?

≠?，z 的实部和虚部相等a b ?=. 故选：D. 【点睛】

本题考查了既不充分也不必要条件，意在考查学生的推断能力.

7．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线

【答案】A 【解析】 【分析】

设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】

设()z x yi x y R =+∈、，

1x yi ++=

，()11iz i x yi +=++=

y x =-，

所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．

8．在复平面内，复数21i

z i

=+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

【答案】D 【解析】

分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可.

详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112

i i i i i z i i i i --=

===+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限. 本题选择D 选项.

点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

9．若复数()21a i

a R i

-∈+为纯虚数，则3ai -=（ ）

A B ．13

C ．10

D

【答案】A 【解析】 【分析】

由题意首先求得实数a 的值，然后求解3ai -即可． 【详解】

由复数的运算法则有：

2(2)(1)221(1)(1)22

a i a i i a a

i i i i ++-+-==+++-, 复数()21a i

a R i -∈+为纯虚数，则2020a a +=??

-≠?

，

即2,|3|a ai =--= 本题选择A 选项. 【点睛】

复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.

10．复数(1)(2)z ai a i =-+在复平面内对应的点在第一象限，其中a R ∈，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．

B ．)+∞

C ．(,-∞

D ．(

【答案】A 【解析】 【分析】

利用复数代数形式的乘除运算、化简，再由实部与虚部均大于0，列出不等式组，即可求解. 【详解】

由题意，复数2

(1)(2)3(2)z ai a i a a i =-+=+-在复平面内对应的点在第一象限，

所以2

3020

a a >??->?，解得0a <<，即实数a 的取值范围是. 故选：A . 【点睛】

本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数的代数表示法及其几何意义的应用，着重考查了推理与运算能力.

11．若复数1a i

z i

+=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1 B ．-1

C ．

12

D ．12

-

【答案】A 【解析】 【分析】

由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可. 【详解】

()()()()()i 1i 11i

i 1i 1i 1i 2

a a a a z ++-+++=

==--+Q ， 所以3

·z i =

()()()()

34

1i 1i 1i 12

2

a a a a -++--++=

，

因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，1

02

a --

= 可得1a =，1a =时3

,?

10z i =>,符合题意，故选A.

【点睛】

复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

12．如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是（ ）

A ．1 B

C ．2

D 【答案】A 【解析】

分析：先根据已知336z i z i ++-=找到复数z 对应的点Z 的轨迹，再利用数形结合求

1z i ++的最小值.

详解：设复数z 对应的点Z(x,y),6=，

它表示点Z 到A （0，-3）和B （0,3）的距离和为6， 所以点Z 的轨迹为线段AB,

因为1z i ++Z 到点C （-1,-1）的距离， 所以当点Z 在点D(0，-1)时，它和点C （-1,-1）的距离最小，且这个最小距离为1. 故答案为：A

点睛：（1）本题主要考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)z a bi ++表示复数z 对应的点到（-a,-b ）的距离，类似这样的结论还有一些，大家要结合直角坐标理解它的几何意义，并做到能利用它解题.

13．已知复数122i

z i

+=- （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．0

C ．1

D ．i

【答案】C 【解析】 【分析】

利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案． 【详解】 复数()()()()1221252225

i i i i

z i i i i +++=

===--+，所以复数z 的虚部为1，故选C ． 【点睛】

本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

14．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．[1,1]- C ．(0,1)(1,)?+∞ D ．(1,)-+∞

【答案】C 【解析】 【分析】

首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2x

y t =-，再根据指数函数的图象，得到关于

t 的不等式，求解.

【详解】

由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，

2a

x a

y b t

=??==-? ，即2x y t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限， 则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ， 解得0t >且1t ≠ ，

即t 的取值范围是()()0,11,+∞U . 故选：C 【点睛】

本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.

15．复数1122

i

i ++的虚部为（ ） A ．

110 B ．110

-

C ．

310

D ．310

-

【答案】A 【解析】 【分析】

化简复数111

122510

i i i +=++，结合复数的概念，即可求解复数的虚部，得到答案，. 【详解】

由题意，复数

()()11211

12212122510

i i i i i i i -+=+=+++-， 所以复数1122

i

i ++的虚部为110.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

16．已知m 为实数，i 为虚数单位，若(

)

2

4m m +- 0i >，则222m i

i

+=-（ ） A ．i B ．1 C ．- i

D ．1-

【答案】A 【解析】

因为2

(4)0m m i +->，所以2

(4)m m i +-是实数，且20{

240

m m m >?=-=，故

22(1)

222(1)

m i i i i i ++==--，应选答案A ．

17．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在

24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ?=u u u v u u u v

（ ）

A ．-16

B ．0

C ．16

D ．32

【答案】B 【解析】 【分析】

先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r

，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】

∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是2

4y x =与y x =-的交点.

由24y x y x

?=?=-?得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r

， ∴444(4)0OA OB ?=?+?-=u u u r u u u r

.

故选B 【点睛】

本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

18．已知方程()()2

440x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，则复数z 等于

（ ） A ．22i - B ．22i +

C ．22i -+

D ．22i --

【答案】A 【解析】

【详解】

由b 是方程()()2

440x i x ai a R ++++=∈的根可得()2

440b i b ai ++++=,

整理可得：()()

2

440b a i b b ++++=，

所以2

0440b a b b +=??

++=?，解得2

2a b =??=-?

，所以22z i =-，故选A .

19．复数z 满足|||3|z i z i -=+，则||z ( ) A ．恒等于1

B ．最大值为1，无最小值

C ．最小值为1，无最大值

D ．无最大值，也无最小值

【答案】C 【解析】 【分析】

设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈，由题意求出1y =-，再计算||z 的值． 【详解】

解：设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈， 由|||3|z i z i -=+，得|(1)||(3)|x y i x y i +-=++，

2222(1)(3)x y x y ∴+-=++， 解得1y =-；

222||11z x y x ∴=+=+…，

即||z 有最小值为1，没有最大值． 故选：C ． 【点睛】

本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题．

20．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）

A ．-1

B ．1

C ．0

D ．2

【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案. 【详解】

为纯虚数，故

且

，即

.

故选：. 【点睛】

本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.